Raspuns model:

• Arhitectura: un filtru FIR foloseste doar intrarea curenta si intrari mai vechi: $y(n) = \sum_i b_i\,x(n-i)$. Nu are reactie (feedback). Un filtru IIR foloseste si iesiri mai vechi: $y(n) = \sum_i b_i\,x(n-i) + \sum_i a_i\,y(n-i)$, deci are reactie. Raspunsul la impuls e finit la FIR si infinit la IIR.
• Performanta: pentru aceeasi taiere abrupta, IIR are nevoie de mult mai putini coeficienti (mai putine calcule, mai putina memorie, intarziere mai mica).
• Avantaje FIR: e mereu stabil (toti polii sunt in $z = 0$); cu coeficienti simetrici are faza liniara, deci pastreaza forma semnalului. Avantaj IIR: eficienta. Dezavantaje IIR: poate fi instabil (polii trebuie sa fie in interiorul cercului unitate) si are faza neliniara.
• Design: FIR — metoda ferestrei. IIR — pornind de la filtre analogice (Butterworth, Cebisev) transformate in digital, sau prin plasarea polilor si a zerourilor.

Raspuns model: Se inmultesc coeficientii $h(n)$ cu $\cos\left(2\pi\frac{f_c}{f_s}n\right)$ pentru $f_c = f_s/2$, adica cu $\cos(\pi n) = (-1)^n = 1, -1, 1, -1, \dots$ Practic: se schimba semnul fiecarui al doilea coeficient. Motivul: o inmultire cu un cosinus in timp muta spectrul in frecventa, deci banda de trecere se muta de la frecventa 0 la $f_s/2$. Cu $f_c$ intre 0 si $f_s/2$ se obtine un filtru trece-banda centrat pe $f_c$.

Raspuns model:

1. Deplasarea in timp: $s(t - \tau) \leftrightarrow S(f)\,e^{-j2\pi f\tau}$. Intarzierea semnalului schimba doar faza spectrului. Modulul $\lvert S(f)\rvert$ ramane acelasi.
2. Deplasarea in frecventa (modulatia): $s(t)\,e^{j2\pi f_0 t} \leftrightarrow S(f - f_0)$. Inmultirea cu o exponentiala muta spectrul cu $f_0$. Pentru cosinus: $s(t)\cos(2\pi f_c t) \leftrightarrow \frac12 S(f - f_c) + \frac12 S(f + f_c)$.
3. Semnal real: $S(-f) = S^*(f)$, deci modulul spectrului e simetric fata de $f = 0$.

Se mai pot da: liniaritatea; Parseval (energia calculata in timp e egala cu cea calculata in frecventa); $S(0)$ = componenta continua. Pentru semnale periodice scrii aceleasi proprietati cu $c_k$ in loc de $S(f)$, de exemplu $s(t - \tau) \leftrightarrow c_k\,e^{-j2\pi k\tau/T}$.

Raspuns model: Convolutia a doua semnale discrete $x(n)$ si $h(n)$ este semnalul $y(n) = (h * x)(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k)\,x(n-k)$, unde $M$ este numarul de esantioane din $h$. Fiecare esantion de la iesire este o suma ponderata a ultimelor $M$ esantioane de la intrare, cu ponderile $h(k)$. Daca $x$ are $P$ esantioane, rezultatul are $M + P - 1$.

Aplicatie: filtrarea digitala. Filtrarea unui semnal $x(n)$ cu un filtru de coeficienti $h(n)$ se face prin convolutie. Exemplu: $h = [\frac15, \frac15, \frac15, \frac15, \frac15]$ (media alunecatoare) face media ultimelor 5 valori si netezeste semnalul (filtru trece-jos).

Raspuns model: Daca $x(n)$ si $h(n)$ au spectrele $X(k)$ si $H(k)$, atunci semnalului $y(n) = (h * x)(n)$ ii corespunde spectrul $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$. Invers, semnalului $y(n) = h(n)\cdot x(n)$ ii corespunde spectrul $Y(k) = (H * X)(k)$. Pe scurt: convolutia intr-un domeniu (timp sau frecventa) inseamna inmultire in celalalt.

La ce foloseste: arata ca filtrarea, care in frecventa este inmultirea spectrului cu functia de transfer $H(k)$, se realizeaza in timp prin convolutia cu coeficientii $h(n)$. A doua forma explica modulatia (inmultirea cu un cosinus muta spectrul) si scurgerea spectrala (DFT leakage).

Raspuns model:

• Interval: DFT pe $N$ esantioane da $N$ valori $X(k)$, $k = 0 \dots N-1$, care acopera frecventele de la 0 pana la $f_s$ (fara $f_s$), in pasi de $f_s/N$. Echivalent, intervalul $[-f_s/2, f_s/2]$: valorile cu $k > N/2$ sunt frecventele negative ($k - N$).
• Legatura $k$ ↔ Hz: $f_k = k\cdot f_s/N$. Exemplu: $N = 8$, $f_s = 8000$ Hz, $k = 3$ → 3000 Hz. Rezolutia este $f_s/N$.
• Proprietati: liniaritate; spectru periodic cu perioada $N$, $X(k+N) = X(k)$; simetrie pentru semnale reale, $\lvert X(N-k)\rvert = \lvert X(k)\rvert$; intarzierea in timp schimba doar faza; inmultirea cu $e^{j2\pi mn/N}$ deplaseaza spectrul cu $m$ pozitii.

Raspuns model:

• DFT este transformata: $X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j2\pi nk/N}$, $k = 0, \dots, N-1$. FFT este un algoritm rapid care calculeaza exact aceleasi valori $X(k)$.
• Calculul direct al DFT cere $N$ inmultiri pentru fiecare din cele $N$ valori, deci aproximativ $N^2$ operatii, $O(N^2)$. FFT cere aproximativ $N\log_2 N$, adica $O(N\log N)$.
• FFT (radix-2, Cooley si Tukey, 1965) cere ca $N$ sa fie putere a lui 2. Altfel semnalul se completeaza cu zerouri.
• Fiind aceleasi valori, toate proprietatile DFT (legatura $k$ ↔ frecventa, simetria, leakage) sunt valabile si pentru rezultatul FFT.

Raspuns model: FFT calculeaza DFT-ul unui semnal cu $N$ esantioane in $O(N\log N)$ operatii, fata de $O(N^2)$ cat cere calculul direct din formula DFT. Schema radix-2 are $\log_2 N$ etaje, fiecare cu $N/2$ operatii de tip “fluture” (o inmultire, o adunare, o scadere). Exemplu: pentru $N = 1024$, cam 10 000 de operatii in loc de cam 1 000 000.

Raspuns model:

• Etape: (1) se alege raspunsul ideal in frecventa, de exemplu trece-jos: $\lvert H(k)\rvert = 1$ pana la frecventa de taiere si 0 in rest; (2) se aplica transformata inversa (IFFT) → coeficientii ideali $h(n)$, un sinc infinit de lung; (3) se pastreaza doar $M$ coeficienti din mijloc, adica se inmulteste cu o fereastra dreptunghiulara: $h_r = h\cdot r$, deci in frecventa $H_r = H * R$ → apar ondulatii (riplu) si lobi laterali; (4) se inmulteste in schimb cu o fereastra care scade lin spre capete: $h_w = h\cdot w$ → ondulatii mult mai mici, cu pretul unei zone de tranzitie mai late.
• Coeficientii filtrului sunt valorile $h_w(n)$: sinc-ul trunchiat inmultit cu fereastra. Sunt simetrici, deci filtrul are faza liniara.
• Exemple de ferestre: dreptunghiulara, Hanning (Hann), Hamming, Blackman.

(Daca intrebarea continua cu “din trece-jos in trece-sus”: vezi A2.)

Raspuns model: $c_k$ este coeficientul Fourier de ordin $k$ al unui semnal periodic $s(t)$ cu perioada $T$. Arata cat din frecventa $k/T$ (armonica $k$) contine semnalul: $\lvert c_k\rvert$ este amplitudinea componentei, iar $\angle c_k$ faza ei. Se calculeaza cu $c_k = \frac{1}{T}\int_0^T s(t)\,e^{-j2\pi kt/T}dt$, iar semnalul se reface cu $s(t) = \sum_k c_k\,e^{j2\pi kt/T}$. $c_0$ este media semnalului. Graficul lui $\lvert c_k\rvert$ in functie de $k$ este spectrul semnalului.

Raspuns model:

1. Functia de transfer $H(f)$ este raportul dintre amplitudinea complexa a semnalului de la iesire si cea a semnalului de la intrare, pentru fiecare frecventa: $H(f) = V_{out}/V_{in}$. Modulul $\lvert H(f)\rvert$ arata de cate ori se inmulteste amplitudinea unei sinusoide de frecventa $f$, iar faza $\angle H(f)$ arata cu cat se decaleaza.
2. Depinde de frecventa $f$ si de componentele sistemului (la circuitul RC: de $R$ si $C$). Nu depinde de semnalul de intrare.
3. Frecventa de taiere $f_c$ este frecventa la care $\lvert H(f_c)\rvert = \frac{\max\lvert H\rvert}{\sqrt2}$, adica puterea de la iesire scade la jumatate (−3 dB). La RC trece-jos, $\lvert H(f)\rvert = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi fRC)^2}}$, de unde $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$. Sub $f_c$ semnalul trece aproape intreg, peste $f_c$ e atenuat tot mai mult.

Raspuns model: Conversia are doi pasi si fiecare aduce o problema.

• Aliasing-ul, de la esantionare: daca $f_s < 2 f_{max}$, copiile spectrului se suprapun si frecventele mari apar ca frecvente mici, false. Informatia se pierde. Se evita cu $f_s \geq 2 f_{max}$ (Nyquist) si cu un filtru analog trece-jos (anti-aliasing) inaintea convertorului.
• Eroarea de cuantizare, de la cuantizare: fiecare esantion e rotunjit la unul din $2^B$ niveluri. Eroarea e ireversibila. Se poate doar micsora, marind numarul de biti $B$ ($\mathrm{SNR}_{ADC} \approx 6B + 2$ dB).

Raspuns model: Aliasing-ul apare la esantionare, cand frecventa de esantionare e prea mica: $f_s < 2 f_{max}$. Esantionarea copiaza spectrul la fiecare $f_s$. Daca $f_s$ e prea mica, copiile se suprapun, iar o frecventa $f > f_s/2$ apare ca o frecventa mai mica, $f - m f_s$. Exemplu: 800 Hz esantionat la 1000 Hz arata ca 200 Hz. Il evitam alegand $f_s \geq 2 f_{max}$ si punand inainte de convertor un filtru analog trece-jos (anti-aliasing) care taie tot ce e peste $f_s/2$. Dupa esantionare nu mai poate fi reparat.

Raspuns model:

• Ce este: fenomenul prin care o componenta a semnalului a carei frecventa nu coincide cu una dintre frecventele DFT ($k\cdot f_s/N$) apare in spectru imprastiata peste toate componentele $k$, nu ca o singura linie. Poate acoperi componente vecine de amplitudine mai mica.
• De ce apare: secventa de $N$ esantioane este un semnal infinit inmultit cu o fereastra dreptunghiulara: $s(n) = s^{\infty}(n)\cdot r(n)$. Inmultirea in timp inseamna convolutie in frecventa: $S(k) = (S^{\infty} * R)(k)$, unde $R(k)$ este un dsinc (lob principal + lobi laterali). Cand frecventa e exact pe o frecventa DFT, celelalte valori cad pe zerourile dsinc-ului si efectul nu se vede.
• Cum il atenuam: inmultim semnalul cu o fereastra cu lobi laterali mai mici (Hamming, Hanning, Blackman) si/sau folosim mai multe esantioane $N$. Zero-padding-ul nu il atenueaza.

Raspuns model:

• a. Decibelul (dB) e o unitate logaritmica pentru un raport de puteri: $\mathrm{dB} = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$.
• b. Arata de cate ori e o putere mai mare decat alta: castigul unui amplificator, atenuarea unui cablu sau a unui filtru, SNR-ul. Se foloseste pentru ca rapoartele foarte mari devin numere mici si pentru ca inmultirile devin adunari (castigurile in dB se aduna). $10X$ dB inseamna de $10^X$ ori; 3 dB inseamna dublu.
• c. 60 dB → $10^{60/10} = 10^6$: semnalul e de un milion de ori mai puternic decat zgomotul.

Raspuns model:

• a, b. Da, exact, daca semnalul e limitat in banda (nu are frecvente peste $f_{max}$) si a fost esantionat cu $f_s \geq 2 f_{max}$ (Nyquist). Atunci copiile spectrului nu se suprapun si semnalul se recupereaza cu un filtru trece-jos cu taierea la $f_{max}$.
• c. Limitari: filtrele reale nu sunt ideale, deci in practica se ia $f_s$ ceva mai mare. Degradarea vine de la cuantizare: eroarea de rotunjire nu se mai poate elimina. Daca $f_s < 2 f_{max}$ apare in plus aliasing.
• d. Frecventa de esantionare $f_s$ (hotaraste daca apare aliasing) si numarul de biti $B$ (hotaraste marimea erorii de cuantizare).

Raspuns model: Un sistem e liniar daca respecta principiul superpozitiei: la o suma de intrari raspunde cu suma iesirilor, iar daca intrarea e inmultita cu o constanta, iesirea se inmulteste cu aceeasi constanta: $S[a_1x_1 + a_2x_2] = a_1S[x_1] + a_2S[x_2]$. E invariant in timp daca o intarziere a intrarii produce aceeasi intarziere a iesirii: $x(t - \tau) \rightarrow y(t - \tau)$. Un sistem cu ambele proprietati (LTI) raspunde la o sinusoida cu o sinusoida de aceeasi frecventa, careia ii schimba doar amplitudinea si faza. De aceea poate fi descris complet prin functia de transfer.

Raspuns model: Este liniar si invariant in timp (LTI). Liniar: iesirea e o suma de valori ale intrarii, iar suma e o operatie liniara (pentru intrarea $a_1x_1 + a_2x_2$ obtinem $a_1y_1 + a_2y_2$). Invariant in timp: daca intarziem intrarea cu $n_0$, toti termenii sumei se muta cu $n_0$ si obtinem $y(n - n_0)$.

Raspuns model: patru tipuri, dupa frecventele lasate sa treaca:

• trece-jos: trec frecventele sub $f_c$; $\lvert H\rvert$ e 1 langa $f = 0$ si scade spre 0;
• trece-sus: trec frecventele peste $f_c$; $\lvert H\rvert$ e 0 la $f = 0$ si urca spre 1;
• trece-banda: trec doar frecventele dintre $f_{start}$ si $f_{stop}$; $\lvert H\rvert$ e o “cocoasa”;
• opreste-banda: trec toate, mai putin cele dintre $f_{start}$ si $f_{stop}$; $\lvert H\rvert$ e 1 cu o “groapa”.

Ce desenezi: patru grafice mici. Pe orizontala $f$, pe verticala $\lvert H(f)\rvert$, cu $f_c$ (sau $f_{start}$ si $f_{stop}$) marcate pe axa. Un filtru ideal are trecere brusca (dreptunghi); unul real are o zona de tranzitie (margini inclinate).

Raspuns model: Presupunem ca sistemul e liniar si invariant in timp. Doua metode:

• Cu un impuls (sisteme digitale): aplicam la intrare impulsul $\delta(n)$ si masuram iesirea. Ea este raspunsul la impuls $h(n)$. Functia de transfer este spectrul lui: $H(k)$ = DFT-ul (FFT-ul) lui $h(n)$.
• Cu sinusoide: aplicam pe rand sinusoide de amplitudine cunoscuta si de frecvente diferite. Pentru fiecare frecventa masuram amplitudinea si decalajul sinusoidei de la iesire. Raportul amplitudinilor da $\lvert H(f)\rvert$, decalajul da $\angle H(f)$. Metoda merge pentru ca un sistem LTI nu schimba frecventa sinusoidei.

Echivalent, pentru orice intrare cunoscuta: $H(k) = Y(k)/X(k)$.

Raspuns model:

• Pulsul de latime $\Delta$ are spectrul in forma de sinc: $\lvert X(f)\rvert = \Delta\lvert\mathrm{sinc}(\pi f\Delta)\rvert$, centrat in 0, cu zerouri la multiplii lui $1/\Delta$.
• Inmultirea cu $\cos(2\pi f_c t)$ da $\frac12 X(f - f_c) + \frac12 X(f + f_c)$: doua copii ale sinc-ului, centrate in $+f_c$ si $-f_c$, la jumatate din inaltime. In jurul lui 0 nu mai ramane nimic.
• La ce foloseste: modulatie. Mutam informatia la frecventa purtatoare $f_c$ ca s-o putem transmite radio (antena de dimensiuni rezonabile, fiecare emitator pe frecventa lui). La receptie inmultim din nou cu $\cos(2\pi f_c t)$ si aplicam un filtru trece-jos.
• Imbunatatiri: (1) adaugam purtatoarea, $(1 + x(t))\cos(2\pi f_c t)$ (AM), ca receptorul sa se poata sincroniza; (2) sinc-ul are valuri laterale lungi, deci ocupa banda mare; un puls cu margini mai line ocupa mai putina banda si nu deranjeaza canalele vecine.

Ce desenezi: axa $f$, doua “dealuri” in forma de sinc, unul centrat in $-f_c$ si unul in $+f_c$.

Raspuns model:

• Cuantizarea rotunjeste fiecare esantion la unul din $2^B$ niveluri. Apare eroarea de cuantizare, intre $-\Delta/2$ si $\Delta/2$, cu valoarea efectiva $\Delta/\sqrt{12}$, unde $\Delta = 2A/2^B$. Ea se comporta ca un zgomot adaugat peste semnal.
• Semnalul nu se mai poate recupera exact: toate valorile dintr-o treapta devin acelasi numar, deci informatia e pierduta. S-ar recupera exact doar daca esantioanele ar fi fost de la inceput chiar pe niveluri, ceea ce practic nu se intampla. Se recupereaza doar o aproximare.
• Minimizam eroarea cu: mai multi biti (fiecare bit in plus aduce aproximativ 6 dB la SNR), reconstructie la mijlocul treptei si un semnal care ocupa tot intervalul convertorului.

Raspuns model: Spectrul are 6 linii: $A_1/2$ la $\pm f_1$, $A_2/2$ la $\pm f_2$, $A_3/2$ la $\pm f_3$ (fiecare cosinus da doua linii, de jumatate din amplitudine). Filtrul trece-jos pastreaza componentele cu frecventa sub cea de taiere ($f_1$ si $f_2$) si o elimina pe $f_3$. La iesire: $y(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cos(2\pi f_2 t)$, cu spectrul format din 4 linii: $A_1/2$ la $\pm f_1$ si $A_2/2$ la $\pm f_2$.

Raspuns model: $y(t) = x^2(t)$ e neliniar: $(x_1 + x_2)^2 \neq x_1^2 + x_2^2$ (apare termenul $2x_1x_2$). $y(t) = x(t)\cos(2\pi f_c t)$ (modulatorul) e liniar, pentru ca inmultirea cu un factor respecta superpozitia, dar nu e invariant in timp: factorul depinde de $t$, deci aceeasi intrare aplicata mai tarziu e inmultita cu altceva.

Raspuns model: Spectrul arata ce frecvente contine semnalul, cu ce amplitudine (spectrul de amplitudine $\lvert X(f)\rvert$) si cu ce faza (spectrul de faza). Din formula lui Euler, $A\cos(2\pi f_0 t) = \frac{A}{2}e^{j2\pi f_0 t} + \frac{A}{2}e^{-j2\pi f_0 t}$, deci spectrul are doua linii de inaltime $A/2$, la $+f_0$ si la $-f_0$. Pentru un semnal real, spectrul de amplitudine e simetric fata de $f = 0$.

Raspuns model: Iese tot o sinusoida, de aceeasi frecventa. Se schimba doar amplitudinea, care se inmulteste cu $\lvert H(f_0)\rvert$, si faza, la care se aduna $\angle H(f_0)$: $A\cos(2\pi f_0 t + \varphi) \to \lvert H(f_0)\rvert A\cos(2\pi f_0 t + \varphi + \angle H(f_0))$. Sistemul nu creeaza frecvente noi. Pentru o suma de sinusoide, fiecare trece separat (superpozitie).

Raspuns model: Este frecventa la care modulul functiei de transfer scade la $\frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$ din valoarea maxima. Puterea e proportionala cu patratul amplitudinii, deci acolo puterea semnalului de la iesire e jumatate din cea maxima ($(1/\sqrt2)^2 = 1/2$), adica −3 dB. Ea marcheaza, prin conventie, granita dintre banda de trecere si banda de oprire a unui filtru real. La circuitul RC: $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$.

Raspuns model: Seria Fourier este scrierea unui semnal periodic de perioada $T$ ca suma de exponentiale complexe (sinusoide) cu frecventele $k/T$, multipli ai frecventei fundamentale $1/T$: $s(t) = \sum_k c_k\,e^{j2\pi kt/T}$. Se foloseste doar pentru semnale periodice. Spectrul lor este discret: linii la frecventele $k/T$, de inaltime $\lvert c_k\rvert$. Pentru semnale aperiodice se foloseste transformata Fourier, iar spectrul devine continuu.

Raspuns model: Sunt invers proportionale: un puls ingust in timp are spectru lat in frecventa, si invers. Pentru pulsul periodic de latime $\Delta$, coeficientii sunt $c_k = A\frac{\Delta}{T}e^{-j\pi k\Delta/T}\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi k\Delta}{T}\right)$, iar primul zero al spectrului este la $k = T/\Delta$, adica la frecventa $1/\Delta$. Daca $\Delta$ scade, primul zero se muta la frecvente mai mari. Explicatia: schimbarile rapide in timp au nevoie de frecvente inalte.

Raspuns model: Parseval: puterea unui semnal periodic, $P = \frac{1}{T}\int_0^T s^2(t)dt$, este egala cu suma patratelor modulelor coeficientilor Fourier, $\sum_k\lvert c_k\rvert^2$. Deci puterea se poate calcula si din spectru, fiecare armonica avand puterea ei. THD (distorsiunea armonica totala) este raportul dintre puterea armonicilor $k \ge 2$ si puterea totala fara componenta continua: $\mathrm{THD} = \frac{\sum_{k\ge2}\lvert c_k\rvert^2}{\sum_{k\ge1}\lvert c_k\rvert^2}$. Arata cat de mult deformeaza un sistem o sinusoida; ideal este 0.

Raspuns model: Modulatia in amplitudine inseamna inmultirea mesajului cu o purtatoare de frecventa mare: $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$. Mesajul modifica amplitudinea purtatoarei. Se foloseste ca sa mutam mesajul (frecvente mici) la o frecventa mare $f_c$, potrivita pentru transmisia radio, si ca sa putem pune mai multe emitatoare pe frecvente diferite. Spectrul: $Y(f) = \frac12\delta(f - f_c) + \frac12\delta(f + f_c) + \frac12 S(f - f_c) + \frac12 S(f + f_c)$, adica doua linii de $\frac12$ la $\pm f_c$ (purtatoarea) si doua copii ale spectrului mesajului, la jumatate din inaltime, centrate in $\pm f_c$. Mesajul se recupereaza inmultind din nou cu purtatoarea si filtrand trece-jos.

Raspuns model: Un semnal periodic, de perioada $T$, are spectru discret: linii doar la multiplii frecventei fundamentale, $f = k/T$, cu inaltimile date de coeficientii seriei Fourier $c_k$. Un semnal aperiodic are spectru continuu, dat de transformata Fourier $S(f) = \int s(t)\,e^{-j2\pi ft}dt$, definit pentru orice frecventa. Legatura: un semnal aperiodic e limita unui semnal periodic cu $T \to \infty$; liniile, aflate la distanta $1/T$, se apropie pana formeaza o curba continua.

Raspuns model: $s(t - \tau) \leftrightarrow S(f)\,e^{-j2\pi f\tau}$. Spectrul se inmulteste cu un factor de modul 1, deci modulul $\lvert S(f)\rvert$ nu se schimba. Se schimba doar faza, care scade cu $2\pi f\tau$ (proportional cu frecventa). Desenul lui $\lvert S(f)\rvert$ ramane identic. Exemplu: $\sin(2\pi f_0 t)$ este un cosinus intarziat cu un sfert de perioada; are acelasi spectru de amplitudine ca si cosinusul si difera doar prin faza.

Raspuns model: Un semnal limitat in banda, cu frecventa maxima $f_{max}$ (in curs notata $W$), poate fi esantionat fara pierdere de informatie daca $f_s \geq 2 f_{max}$. Explicatia: esantionarea copiaza spectrul la fiecare $f_s$, iar pentru $f_s \geq 2 f_{max}$ copiile nu se suprapun. Frecventa Nyquist este $f_s/2$: cea mai mare frecventa care poate fi reprezentata corect la frecventa de esantionare $f_s$.

Raspuns model: Spectrul semnalului esantionat este format din copii (replici) ale spectrului original, asezate la fiecare multiplu de $f_s$: $X(f) = \sum_k c_k\,S(f - k f_s)$. De aceea, dupa esantionare e de ajuns sa privim intervalul de la $-f_s/2$ la $f_s/2$; restul sunt copii.

Raspuns model: Este esantionarea unui semnal de banda ingusta $B$, aflat la o frecventa mare $f_c$, cu o frecventa de esantionare mai mica decat cea ceruta de Nyquist ($f_s < 2 f_{max}$). Se bazeaza pe faptul ca esantionarea produce copii la fiecare $f_s$: alegem $f_s$ astfel incat o copie a benzii sa ajunga aproape de 0, fara sa se suprapuna cu copia partii negative. Pasi si conditii: (1) intai un filtru analog trece-banda in jurul lui $f_c$, ca sa eliminam zgomotul; (2) $f_s \geq 2B$; (3) copiile sa nu se suprapuna — banda de dupa esantionare, centrata in $r = f_c \bmod f_s$, trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$ (sau intre $f_s/2$ si $f_s$, caz in care spectrul iese inversat si se corecteaza inmultind cu $(-1)^n$). Il folosim cand convertorul nu poate esantiona la $2 f_{max}$.

Raspuns model: Este mutarea benzii unui semnal din jurul lui $f_c$ in jurul frecventei 0 (in banda de baza), prin inmultire cu $e^{-j2\pi f_c t}$. Rezulta un semnal complex $x = i + jq$, cu $i = s\cos(2\pi f_c t)$ (in faza) si $q = -s\sin(2\pi f_c t)$ (in cuadratura). In practica se face digital: daca banda e la $f_s/4$, inmultirea e cu sirul $[1, -j, -1, j, \dots]$, deci fara calcule. Urmeaza un filtru trece-jos si decimarea. Avantaj: semnalul complex de banda $B$ centrat in 0 poate fi esantionat cu doar $f_s \geq B$ (nu $2B$), deci se poate prelucra cu dispozitive lente, in timp real.

Raspuns model: Decimarea cu factorul $M$ pastreaza un esantion din $M$: $s_M(n) = s(nM)$. Frecventa de esantionare scade la $f_s' = f_s/M$. In spectru, copiile ajung la fiecare $f_s'$, mai dese. Daca semnalul are componente in afara intervalului $[-f_s'/2, f_s'/2]$, ele se suprapun peste banda utila (aliasing). De aceea, inainte de decimare se aplica un filtru trece-jos digital care pastreaza doar banda utila.

Raspuns model: Pentru ca aliasing-ul se produce chiar in momentul esantionarii si dupa aceea nu mai poate fi reparat: o frecventa mare ajunsa peste una mica nu mai poate fi deosebita de ea. Un filtru digital lucreaza pe esantioane, deci dupa ce raul s-a facut. Singura solutie e sa eliminam frecventele de peste $f_s/2$ cat semnalul e inca analog.

Raspuns model: SNR e raportul dintre puterea semnalului si puterea zgomotului, $\mathrm{SNR} = P_{semnal}/P_{zgomot}$. La un convertor A/D zgomotul e eroarea de cuantizare, de putere $\Delta^2/12$. Pentru o sinusoida care ocupa tot intervalul, $P_{semnal} = A^2/2$, deci $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac32\cdot 2^{2B}$, adica aproximativ $6B + 2$ dB. Exemple: 8 biti → 50 dB, 16 biti (CD) → 98 dB.

Raspuns model: DTFT, $X(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\,e^{-j2\pi fn}$, cere o infinitate de esantioane si da un spectru continuu (o infinitate de valori ale lui $f$). Niciuna nu se poate face pe calculator. DFT foloseste un numar finit $N$ de esantioane si calculeaza spectrul doar la $N$ frecvente, $f = k/N$. De aceea DFT (calculata rapid cu FFT) este varianta practica.

Raspuns model: Este raportul dintre frecventa semnalului si frecventa de esantionare: $f = f_c/f_s$. Nu are unitate de masura. Apare cand inlocuim $t = nT_s$: $\cos(2\pi f_c nT_s) = \cos(2\pi fn)$. Pentru ca $e^{j2\pi(f+1)n} = e^{j2\pi fn}$, spectrul se repeta la fiecare 1, deci ne intereseaza doar $f \in [-1/2, 1/2]$ (sau $[0, 1]$), adica $f_c \in [-f_s/2, f_s/2]$.

Raspuns model: Cosinusul se scrie $\frac{A}{2}\left(e^{j2\pi mn/N} + e^{-j2\pi mn/N}\right)$. Fiecare exponentiala da $N$ pe pozitia ei si 0 in rest. Rezulta $X(k) = \frac{NA}{2}\left(\delta(k-m) + \delta(k+m)\right)$: doua linii de inaltime $NA/2$, la $k = m$ si $k = N - m$. O constanta $c$ da o singura linie, $X(0) = Nc$.

Raspuns model: Este distanta dintre doua frecvente DFT vecine: $f_s/N$ (in Hz), adica 1 impartit la durata inregistrarii. O imbunatatim marind numarul de esantioane $N$ (inregistram mai mult timp) la acelasi $f_s$. Daca marim doar $f_s$, pastrand $N$, rezolutia se inrautateste.

Raspuns model: $X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j2\pi kn/N}$ si $x(n) = \frac1N\sum_{k=0}^{N-1} X(k)\,e^{j2\pi kn/N}$. $x(n)$ = esantioanele semnalului; $N$ = numarul lor; $k$ = indicele componentei de frecventa (corespunde frecventei $k f_s/N$); $X(k)$ = numar complex al carui modul arata cat din acea frecventa este in semnal, iar faza arata intarzierea ei. IDFT reface exact semnalul din spectru.

Raspuns model: Este semnalul de la iesirea sistemului atunci cand la intrare punem impulsul $\delta(n)$ ($\delta(n) = 1$ pentru $n = 0$ si 0 in rest). Pentru un filtru cu coeficientii $h(n)$: $y(n) = (h * \delta)(n) = h(n)$, adica raspunsul la impuls este chiar lista coeficientilor filtrului. El caracterizeaza complet un sistem liniar si invariant in timp: iesirea pentru orice intrare este $y = h * x$.

Raspuns model: Coeficientii lui sunt $h(n) = [\frac1M, \dots, \frac1M]$, deci fiecare iesire este media ultimelor $M$ intrari. Un semnal constant (frecventa 0) trece neschimbat, pentru ca media unor valori egale este aceeasi valoare. Variatiile rapide (frecvente inalte) se anuleaza in medie — de exemplu $1, -1, 1, -1$ are media 0. In frecventa: $\lvert H(k)\rvert$ este maxim la $k = 0$ si scade spre frecventele inalte, iar $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$.

Raspuns model: Sunt aceeasi informatie despre filtru, vazuta in cele doua domenii. $h(n)$ = coeficientii filtrului = raspunsul la impuls (domeniul timp). $H(k)$ = DFT-ul lui $h(n)$ = functia de transfer (domeniul frecventa): arata cu cat este inmultita fiecare componenta de frecventa. Din $H(k)$ se revine la $h(n)$ cu DFT-ul invers (IDFT).

Raspuns model: Zero-padding = adaugarea de esantioane cu valoarea 0 la sfarsitul semnalului inainte de DFT. Numarul de puncte ale spectrului creste (frecventele DFT devin mai dese, la $f_s/N'$), deci vedem mai multe puncte din acelasi spectru, inclusiv forma dsinc dintre punctele initiale. Nu adauga informatie: nu reduce leakage-ul si nu imbunatateste separarea a doua frecvente apropiate. Pentru asta trebuie mai multe esantioane reale sau alta fereastra.

Raspuns model: O fereastra este o secventa $w(n)$ cu care inmultim esantioanele semnalului inainte de DFT: $s(n)\cdot w(n)$. Implicit folosim fereastra dreptunghiulara (1 pe cele $N$ esantioane). Exemple: Hamming, Hanning (Hann), Blackman — coboara lin spre 0 la capete. Castig: lobi laterali mult mai mici in frecventa, deci leakage redus si componentele slabe nu mai sunt acoperite. Pierdere: lob principal mai lat (rezolutie mai slaba intre frecvente apropiate) si amplitudine mai mica a varfului.

Raspuns model: Pentru ca in acele cazuri frecventa semnalului corespunde exact unui index $k$ al DFT, iar dsinc-ul adus de convolutie are zerouri exact pe toate celelalte pozitii $k$. DFT-ul citeste varful intr-o singura pozitie si zerouri in rest. Conditia: in cele $N$ esantioane sa incapa un numar intreg de perioade ($f\cdot N/f_s$ intreg). Daca facem zero-padding, pozitiile nu mai cad toate pe zerouri si forma dsinc devine vizibila.

Raspuns model: Raspunsul in frecventa $H(f)$ arata, pentru fiecare frecventa, de cate ori e inmultita amplitudinea unei sinusoide care trece prin filtru (modulul) si cu cat e decalata (faza). Se obtine ca transformata Fourier a coeficientilor: $H(f) = \sum_n h(n)\,e^{-j2\pi\frac{f}{f_s}n}$; in practica, FFT-ul coeficientilor. Verificari rapide: $H(0)$ = suma coeficientilor, $H(f_s/2)$ = suma cu semne alternate. Exemplu: $h = [1, 2, 1]$ → 4 la frecventa 0 si 0 la $f_s/2$ → trece-jos.

Raspuns model: Faza raspunsului in frecventa scade proportional cu frecventa, ceea ce inseamna ca toate frecventele sunt intarziate cu acelasi numar de esantioane, $\frac{M-1}{2}$ pentru $M$ coeficienti simetrici. Componentele semnalului raman aliniate intre ele, deci semnalul din banda de trecere iese cu aceeasi forma, doar intarziat. E important la semnale la care forma conteaza (audio, impulsuri de date). Filtrele analogice si IIR nu au, in general, aceasta proprietate.

Raspuns model: Transformata Z a unui semnal discret $x(n)$ este $X(z) = \sum_n x(n)\,z^{-n}$, cu $z$ numar complex, $z = r\,e^{j\omega}$. Proprietatea principala: o intarziere cu un esantion devine inmultire cu $z^{-1}$, adica $x(n-1) \leftrightarrow z^{-1}X(z)$. Asa, ecuatia cu diferente a unui filtru devine o ecuatie algebrica, din care rezulta functia de transfer $H(z) = Y(z)/X(z)$. Pentru $r = 1$ (pe cercul unitate, $z = e^{j\omega}$) transformata Z devine transformata Fourier a semnalului discret; deci $H(e^{j\omega})$ este raspunsul in frecventa al filtrului.

Raspuns model: Zerourile sunt valorile lui $z$ pentru care numaratorul lui $H(z)$ e 0 (acolo $H = 0$). Polii sunt valorile pentru care numitorul e 0 (acolo $H$ tinde la infinit). Raspunsul in frecventa se citeste pe cercul unitate: $\lvert H\rvert$ la o frecventa este produsul distantelor de la punctul ei de pe cerc pana la zerouri, impartit la produsul distantelor pana la poli. Un zerou pe cerc anuleaza frecventa din dreptul lui. Un pol aproape de cerc produce un varf la frecventa din dreptul lui.

Ce desenezi: planul $z$ cu axele Re si Im, cercul de raza 1, zerourile cu “o” si polii cu “×”. Frecventa 0 e punctul $z = 1$, iar $f_s/2$ e punctul $z = -1$.

Raspuns model: Un filtru e stabil daca toti polii functiei de transfer sunt strict in interiorul cercului unitate ($\lvert p_i\rvert < 1$); atunci raspunsul la impuls se stinge. Daca un pol e in afara cercului, raspunsul la impuls creste nelimitat (instabil). Exemplu: $y(n) = x(n) + a\,y(n-1)$ are polul $a$ si raspunsul la impuls $a^n$, care scade doar daca $\lvert a\rvert < 1$. Un FIR are $H(z)$ fara numitor; scris cu puteri pozitive, toti polii lui sunt in $z = 0$, in centrul cercului, deci e mereu stabil.

Raspuns model: Se aplica transformata Z ecuatiei, inlocuind $x(n-k)$ cu $z^{-k}X(z)$ si $y(n-k)$ cu $z^{-k}Y(z)$. Se trec termenii cu $Y$ in stanga, se da factor comun si se face raportul $H(z) = Y(z)/X(z)$. Pentru $y(n) = \sum b_i\,x(n-i) + \sum a_i\,y(n-i)$ rezulta $H(z) = \dfrac{\sum b_i z^{-i}}{1 - \sum a_i z^{-i}}$. Exemplu: $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$ da $H(z) = \dfrac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2z^{-1} + 0.61z^{-2}}$.

Raspuns model: Semnalul se imparte in esantioanele cu indice par si cele cu indice impar. Se calculeaza DFT (cu $N/2$ puncte) pe fiecare jumatate, $X_1(k)$ si $X_2(k)$, apoi rezultatele se combina: $X(k) = X_1(k) + w_N^k X_2(k)$ si $X(k + N/2) = X_1(k) - w_N^k X_2(k)$, unde $w_N = e^{-j2\pi/N}$. Se foloseste faptul ca $w_N^{k+N/2} = -w_N^k$ si ca DFT-urile pe jumatati sunt periodice cu $N/2$, deci aceleasi produse se refolosesc pentru doua iesiri. Impartirea se repeta pana la liste de un esantion; rezulta $\log_2 N$ etaje a cate $N/2$ fluturi.

Raspuns model: Algoritmul radix-2 injumatateste lista in mod repetat, pana la liste de un singur esantion, deci $N$ trebuie sa se imparta la 2 de fiecare data, adica $N = 2^m$. Daca nu este, adaugam zerouri la sfarsitul semnalului pana la urmatoarea putere a lui 2 (zero-padding). Zerourile nu adauga informatie; spectrul este acelasi, doar calculat in mai multe puncte (frecventele DFT sunt mai dese, la $f_s/N$ cu noul $N$).