← inapoi la cuprins · Foaia de formule

1. Care dintre urmatoarele aplicatii care ruleaza in cloud NU implica operatii de procesare a semnalelor discutate la curs?

1. A. recunoasterea vocii unui asistent vocal
2. B. stocarea unor documente text
3. C. compresia imaginilor incarcate (JPEG)
4. D. detectia zgomotului dintr-o inregistrare

2. Ce fel de filtru are functia de transfer din figura?

1. A. trece-jos
2. B. trece-sus
3. C. trece-banda
4. D. opreste-banda

3. Sistemul $y(t) = 2x(t) + x(t - 1)$ este:

1. A. liniar si invariant in timp
2. B. liniar, dar nu invariant in timp
3. C. neliniar, dar invariant in timp
4. D. nici liniar, nici invariant in timp

4. Semnalul $s(t) = 4\cos(2\pi\cdot 100\,t) + 2\sin(2\pi\cdot 300\,t) + \cos(2\pi\cdot 500\,t)$ trece printr-un filtru trece-sus ideal cu $f_c = 200$ Hz. La iesire obtinem:

1. A. $4\cos(2\pi\cdot 100\,t)$
2. B. $2\sin(2\pi\cdot 300\,t) + \cos(2\pi\cdot 500\,t)$
3. C. $\cos(2\pi\cdot 500\,t)$
4. D. $4\cos(2\pi\cdot 100\,t) + 2\sin(2\pi\cdot 300\,t)$

5. Pentru un filtru RC trece-jos, la frecventa de taiere $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$:

1. A. $|H(f_c)| = 1/2$, faza $-90^\circ$
2. B. $|H(f_c)| = 1/\sqrt2$, faza $-45^\circ$
3. C. $|H(f_c)| = 0$
4. D. $|H(f_c)| = 1$, faza $0$

6. Pulsul periodic cu $\Delta/T = 1/6$ are $c_k = A\frac{\Delta}{T}e^{-j\pi k\Delta/T}\mathrm{sinc}(\frac{\pi k\Delta}{T})$. Primul $k > 0$ pentru care $c_k = 0$ este:

1. A. 3
2. B. 6
3. C. 12
4. D. nu exista

7. Comunicare digitala: “01” → $\cos(2\pi f_1 t)$, “10” → $\cos(2\pi f_2 t)$, “11” → suma, cu $f_1 = 1/T$, $f_2 = 2/T$. Se transmite $y(t) = \cos(2\pi f_c t)(1 + s(t))$ cu $f_c = 8/T$. Pe un interval in care se transmite “10”, spectrul $|Y(f)|$ pentru $f > 0$ are:

1. A. $\frac12$ la $8/T$ si $\frac14$ la $7/T$ si $9/T$
2. B. $\frac12$ la $8/T$ si $\frac14$ la $6/T$ si $10/T$
3. C. doar $\frac12$ la $8/T$
4. D. $\frac12$ la $2/T$

8. Semnalul $\cos(2\pi\cdot 700\,t)$ este esantionat cu $f_s = 1000$ Hz. In intervalul $[0, f_s/2]$, componenta apare la:

1. A. 700 Hz
2. B. 300 Hz
3. C. 1700 Hz
4. D. 500 Hz

9. Un semnal de 5 mW trece printr-un amplificator de 20 dB. Puterea la iesire este:

1. A. 25 mW
2. B. 100 mW
3. C. 500 mW
4. D. 5 W

10. Un convertor A/D pe 10 biti are $\mathrm{SNR}_{ADC}$ aproximativ:

1. A. 20 dB
2. B. 62 dB
3. C. 100 dB
4. D. 10 dB

Fie un semnal aperiodic $s(t)$ cu spectrul din figura, unde $W$ este banda semnalului:

Plecand de la $s(t)$ generam semnalul $y(t) = \big(1 + s(t)\big)\cos(2\pi f_c t)$, cu $f_c > W$.

1. (a) [1 p] Cum arata spectrul $|Y(f)|$?
2. (b) [0.5 p] Fie $W = 2$ MHz si $f_c = 90$ MHz. Ce frecventa de esantionare ar cere criteriul Nyquist “clasic”?
3. © [1.5 p] Avem un convertor A/D cu $f_s \in [5, 15]$ MHz. Ce $f_s$ putem folosi, pastrand toata informatia din $y(t)$? Aratati de ce $f_s = 10$, $12$ si $15$ MHz nu merg. Desenati spectrul semnalului esantionat in $[-f_s/2, f_s/2]$.
4. (d) [1.5 p] Avem un procesor care lucreaza la $f_p = 2$ MHz. Cum obtinem un semnal $x(n)$ cu frecventa de esantionare $f_s' = 2$ MHz care sa contina toata informatia din $y(t)$? Descrieti pasii (cu ce inmultim, ce filtram, cu cat decimam).
5. (e) [0.5 p] Cum arata $|X(f)|$ pentru $x(n)$?

(a) [1 p] $y(t) = \cos(2\pi f_c t) + s(t)\cos(2\pi f_c t)$ → $Y(f) = \frac12\delta(f \mp f_c) + \frac12 S(f - f_c) + \frac12 S(f + f_c)$.

• 0.4 p sagetile de $\frac12$ la $\pm f_c$ (purtatoarea)
• 0.4 p trapezul copiat in jurul lui $\pm f_c$, de jumatate din inaltime
• 0.2 p capetele marcate: $f_c \pm W/2$, $-f_c \pm W/2$; copiile nu se suprapun pentru ca $f_c > W$

(b) [0.5 p] Frecventa maxima: $f_c + W/2 = 91$ MHz → $f_s \geq 2\cdot 91 = $ 182 MHz (imposibil cu ADC-ul dat → bandpass sampling).

© [1.5 p] Banda: $[89, 91]$ MHz, $B = 2$ MHz → conditie necesara $f_s \geq 2B = 4$ MHz ✓ pentru tot intervalul. Testam restul $r = 90 \bmod f_s$, banda $[r - 1, r + 1]$:

• 0.3 p conditia $f_s \geq 2B$ + ideea de bandpass (inainte: FTB analog in jurul lui 90 MHz)
• 0.6 p o $f_s$ corecta, justificata (ex. 8 MHz)
• 0.3 p de ce 10, 12, 15 nu merg
• 0.3 p desenul: in $[-4, 4]$ MHz, sageti de $\frac12$ la $\pm 2$ MHz + trapezul pe $[1, 3]$ si $[-3, -1]$; replici la fiecare 8 MHz

(d) [1.5 p] Banda e 2 MHz; un semnal real ar cere $f_s' \geq 4$ MHz → facem semnal complex (IQ), care cere doar $f_s' \geq B = 2$ MHz:

1. esantionam cu $f_s = 8$ MHz (banda la $f_s/4 = 2$ MHz) [0.3 p]
2. IQ: inmultim cu $e^{-j2\pi\cdot 2\,\mathrm{MHz}\cdot n/8\,\mathrm{MHz}} = e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$, adica $i(n) = y(n)\cdot[1, 0, -1, 0, \dots]$, $q(n) = y(n)\cdot[0, -1, 0, 1, \dots]$ → banda pozitiva ajunge in $[-1, 1]$ MHz [0.5 p]
3. FTJ digital cu taierea la 1 MHz (scoate copia negativa, ajunsa la $\pm 4$ MHz) [0.3 p]
4. decimare cu $M = f_s / f_s' = 8/2 = 4$ → $x(n) = i_4(n) + j\,q_4(n)$ la 2 MHz [0.4 p]

Formula: $x(m) = \Big\{y\big(\tfrac{n}{f_s}\big)\,e^{-j2\pi\frac{f_c}{f_s}n}\Big\}_{\mathrm{FTJ}}\Big|_{n = 4m}$, cu $\frac{f_c}{f_s} = 11.25$ → $e^{-j2\pi\cdot 11.25 n} = e^{-j\pi n/2}$.

(e) [0.5 p] In $[-1, 1]$ MHz: linie de $\frac12$ la $f = 0$ (purtatoarea a devenit componenta continua) + trapezul de $\frac12$ pe tot intervalul $[-1, 1]$ MHz; replicile la fiecare 2 MHz se ating, dar nu se suprapun.

• ≥ 8 p: esti pregatit. Mai parcurge doar foaia de formule.
• 5–8 p: recitesti sectiunile din coloana “Recitesti” pentru ce ai gresit + refaci problema din Cap 4 §10 fara sa te uiti.
• < 5 p: concentreaza-te pe Cap 4 (reteta din §8) si pe fisele de 1 minut din fiecare capitol.