← inapoi la cuprins · Teoria: Cap 3 §4–5, Cap 4 §2–8

Asta e familia de probleme cea mai probabila la partial (la examenul din 2026 era marcata “recuperare punctaj la partial”). Mai jos: Problema 1 rezolvata punct cu punct (a, b, c), cu desen la fiecare pas, apoi Problema 2 pentru tine.

Culori in toate desenele: albastru = copia partii pozitive a spectrului, portocaliu = copia partii negative, sageata rosie = purtatoarea (linia de ½).

Observa: la a) nu avem numere — raspunsul se da cu litere ($W$, $f_c$). Numerele apar abia la b).

Ce avem: mesajul $s(t)$, cu spectrul intre $-W/2$ si $W/2$. $W$ e latimea totala (jumatate la stanga lui 0, jumatate la dreapta).

Pas 1 — desfacem paranteza in doua bucati:

$$ y(t) = \underbrace{\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1}} + \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2}} $$

Pas 2 — spectrul fiecarei bucati:

• bucata 1 e un cosinus simplu, de amplitudine 1 → ca in Cap 0: doua linii de ½ la $+f_c$ si $-f_c$ (sagetile rosii; se numeste purtatoarea)
• bucata 2: inmultirea cu $\cos(2\pi f_c t)$ copiaza spectrul mesajului in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$, fiecare copie la jumatate din inaltime (Cap 3 §4 — aceeasi idee ca la cosinus, unde $A$ devenea $A/2$ la $\pm f$)

Pas 3 — unde sunt capetele copiilor: copia de la $f_c$ se intinde cu $W/2$ in stanga si $W/2$ in dreapta: de la $f_c - W/2$ la $f_c + W/2$. La fel in partea negativa.

Ce e pe axa verticala:

• la mesaj: $|S(f)|$ — varful trapezului il notam A (in enunt nu se da un numar)
• la $y$: $|Y(f)|$ — sagetile au inaltimea ½, trapezele au inaltimea A/2 (jumatate din varful mesajului)

Pe FIECARE parte (si la $+f_c$, si la $-f_c$) desenezi amandoua, in acelasi loc: sageata de ½ (din bucata 1) si trapezul de A/2 (din bucata 2), centrat sub sageata. Stanga e oglinda dreptei. (Stanga/dreapta nu vine din cele doua bucati — vine din faptul ca orice cosinus are o componenta la $+f_c$ si una la $-f_c$.)

$W = 2$ MHz → $W/2 = 1$ MHz. $f_c = 100$ MHz. Deci:

• copia pozitiva: de la $100 - 1 = $ 99 la $100 + 1 = $ 101 MHz
• copia negativa: de la −101 la −99 MHz

Frecventa maxima e 101 MHz → Nyquist clasic ar cere $f_s \geq 2\cdot 101 = 202$ MHz. Convertorul merge doar pana la 20 MHz. → folosim bandpass sampling (Cap 4 §5): profitam ca banda e ingusta (doar 2 MHz).

Esantionarea cu $f_s$ copiaza spectrul la fiecare $f_s$. Banda de la 100 apare si la $100 - f_s$, $100 - 2f_s$, … Exemplu cu $f_s = 16$:

Se opreste la restul impartirii $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → $r = 4$. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = [3, 5] MHz. (Copia negativa, de la −100, ajunge la −4.)

Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. Banda trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini — altfel se suprapune cu copia portocalie.

Banda are 2 MHz. Un semnal real cu banda de 2 MHz ar avea nevoie de $f_s \geq 2\cdot 2 = 4$ MHz — noi vrem doar 2. Trucul: facem semnalul complex (IQ). Un semnal complex de latime $B$ are nevoie doar de $f_s \geq B$ = 2 MHz ✓.

Inmultim esantioanele cu sirul $[1, -j, -1, j, 1, -j, \dots]$ (adica $e^{-j\pi n/2}$) → tot spectrul se muta cu 4 MHz la stanga. De ce 4? Pentru ca acolo e banda dupa esantionare ($r = 4$).

Apoi un filtru trece-jos digital cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz (mesajul) si arunca copia portocalie:

Pastram un esantion din 8 ($M = 16/2 = 8$): $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → se ating, dar nu se suprapun:

Pasii, ca la Problema 1: (1) ce faci cu zgomotul inainte de convertor? (2) pentru fiecare $f_s$: restul $r$ din $45 : f_s$, banda $[r - 0.5, r + 0.5]$, e intre 0 si $f_s/2$? (3) IQ: cu ce inmultesti? filtru trece-jos la cat? decimare cu cat?

a)

• Intai filtrul analog trece-banda, centrat in 45 MHz (de ex. de la 43 la 47 MHz) → scoate zgomotul (altfel la esantionare s-ar copia peste semnal).
• Incercari ($f_s \geq 2B = 2$ ✓ pentru toate):

• Alegem $f_s = 4$ MHz.

b) banda are 1 MHz; vrem 1 MHz → semnal complex (IQ):

• inmultim cu $e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$ → mutam cu 1 MHz la stanga → banda ajunge la [−0.5, 0.5]
• filtru trece-jos digital la 0.5 MHz
• decimare cu $M = 4/1 = 4$ → 1 MHz ✓