← inapoi la cuprins · Teoria: Cap 3 §4–5, Cap 4 §2–8

Asta e familia de probleme cea mai probabila la partial (la examenul din 2026 era marcata “recuperare punctaj la partial”). Mai jos: Problema 1 rezolvata pas cu pas, cu desen la fiecare pas, apoi Problema 2 pentru tine.

Culori in toate desenele: albastru = copia partii pozitive a spectrului, portocaliu = copia partii negative, sageata rosie = purtatoarea (linia de ½).

Mesajul ocupa frecventele de la −1 la 1 MHz (latime totala $W = 2$ MHz). Forma (trapezul) nu conteaza — conteaza unde e si cat de lat e.

Desfacem paranteza: $y(t) = \underbrace{\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1}} + \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2}}$.

• bucata 1 e un cosinus simplu → ca in Cap 0: linii de ½ la ±100 MHz (sagetile rosii, “purtatoarea”)
• bucata 2: inmultirea cu cos copiaza mesajul in jurul lui +100 si −100 MHz, la jumatate din inaltime (Cap 3 §4)

Raspuns a): sageti de ½ la ±100 MHz + copiile trapezului (inaltime ½) pe [99, 101] si [−101, −99] MHz. In jurul lui 0 nu mai e nimic.

Problema: semnalul e la ~100 MHz, Nyquist clasic ar cere $f_s \geq 2\cdot 101 = 202$ MHz, dar convertorul merge doar pana la 20 MHz.

Ce face esantionarea cu $f_s$: copiaza spectrul la fiecare $f_s$ — adica banda de la 100 apare si la $100 - f_s$, $100 - 2f_s$, … (si la $+f_s$, …). Cu $f_s = 16$, banda “coboara” in pasi de 16 pana ajunge aproape de 0:

Unde se opreste? La restul impartirii $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → $r = 4$. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = [3, 5] MHz. (La fel, copia negativa de la −100 ajunge la −4.)

Regula: dupa esantionare, ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. Banda trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini — altfel se suprapune cu copia portocalie.

Tabelul cu toate incercarile:

Raspuns b): $f_s = 16$ MHz. (Atentie: 20 MHz, cea mai mare, nu merge!) Bonus: $r = 4 = f_s/4$ → banda e fix la mijloc intre 0 si 8 — cea mai mare marja.

Problema: vrem 2 MHz. Banda are 2 MHz → ca semnal real ar trebui $2\cdot 2 = 4$ MHz. Solutia: facem semnalul complex — un semnal complex de latime $B$ are nevoie doar de $f_s \geq B$ = 2 MHz ✓.

5a. Inmultim esantioanele cu $e^{-j\pi n/2}$ = sirul $[1, -j, -1, j, 1, -j, \dots]$ → tot spectrul se muta cu 4 MHz la stanga (de ce 4: e locul unde e banda, $r = 4$):

5b. Banda albastra (mesajul) e acum la 0. Un filtru trece-jos digital cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz si arunca copia portocalie (ajunsa la −8).

Pastram un esantion din 8: $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → se ating, dar nu se suprapun:

Raspuns c): esantionam la 16 MHz → inmultim cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ → filtru trece-jos digital la 1 MHz → pastram 1 din 8 esantioane → semnal complex la 2 MHz, cu toata informatia.

Pasii, ca la Problema 1: (1) ce faci cu zgomotul inainte de convertor? (2) pentru fiecare $f_s$: restul $r$ din $45 : f_s$, banda $[r - 0.5, r + 0.5]$, e intre 0 si $f_s/2$? (3) IQ: cu ce inmultesti? filtru trece-jos la cat? decimare cu cat?

a)

• Intai filtrul analog trece-banda, centrat in 45 MHz (de ex. de la 43 la 47 MHz) → scoate zgomotul (altfel la esantionare s-ar copia peste semnal).
• Incercari ($f_s \geq 2B = 2$ ✓ pentru toate):

• Alegem $f_s = 4$ MHz.

b) banda are 1 MHz; vrem 1 MHz → semnal complex (IQ):

• inmultim cu $e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$ → mutam cu 1 MHz la stanga → banda ajunge la [−0.5, 0.5]
• filtru trece-jos digital la 0.5 MHz
• decimare cu $M = 4/1 = 4$ → 1 MHz ✓