← inapoi la cuprins · Teoria de examen · Simulare de examen

Tot ce trebuie sa ai in cap, pe capitole. E o lista de recapitulare, fara explicatii: fiecare rand e explicat, cu exemple cu numere, in capitolul lui. Daca un rand nu-ti spune nimic, mergi la capitol. Citeste-o in dimineata examenului.

→ Cap 0

• sistem liniar: $S[a_1x_1 + a_2x_2] = a_1S[x_1] + a_2S[x_2]$; test rapid: $S[0] = 0$
• invariant in timp: $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$
• exemple: $Gx(t)$, $x(t-\tau)$ → LTI · $x^2(t)$, $x(t)+1$ → neliniare · $x(t)\cos(2\pi f_c t)$ → liniar, dar nu invariant
• numar complex: $z = a + jb = re^{j\theta}$, $r = \sqrt{a^2+b^2}$, $\theta = \tan^{-1}\frac{b}{a}$; la inmultire lungimile se inmultesc, unghiurile se aduna
• Euler: $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$
• cos si sin din doua sageti: $\cos(2\pi ft) = \frac{e^{j2\pi ft} + e^{-j2\pi ft}}{2}$ · $\sin(2\pi ft) = \frac{e^{j2\pi ft} - e^{-j2\pi ft}}{2j}$
• citirea unui cosinus: in $A\cos(2\pi f_0 t + \varphi)$: $A$ = amplitudine, $f_0$ = frecventa, $T = 1/f_0$ = perioada, $\varphi$ = faza
• spectrul unui cosinus: $A\cos(2\pi f_0 t)$ → linii de $A/2$ la $\pm f_0$
• spectrul unei constante: $C$ → o singura linie de $C$ la $f = 0$
• sin fata de cos: acelasi $|X(f)|$, difera doar faza · semnal real → $|X(f)|$ simetric
• filtru ideal: pastrezi liniile din zona de trecere, le stergi pe celelalte (pe ambele parti)

→ Cap 1

• impedante: $Z_R = R$ [Ω], $Z_C = \frac{1}{j2\pi fC}$ ($C$ in farazi, $RC$ in secunde)
• functia de transfer: $H(f) = \frac{V_{out}}{V_{in}}$; depinde de frecventa si de piese, nu de semnal
• RC trece-jos: $H = \frac{1}{1 + j2\pi fRC}$, $|H| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}$, $\angle H = -\arctan(f/f_c)$
• RC trece-sus: $H = \frac{j2\pi fRC}{1 + j2\pi fRC}$, $|H| = \frac{f/f_c}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}$
• frecventa de taiere (ambele): $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$
• ce inseamna taierea: $|H(f_c)| = \frac{\max|H|}{\sqrt 2}$ ⇔ putere la jumatate ⇔ −3 dB; faza la $f_c$: $-45^\circ$ (trece-jos), $+45^\circ$ (trece-sus)
• ce iese din filtru: $A\cos(2\pi f_0t + \varphi) \to |H(f_0)|\,A\cos(2\pi f_0 t + \varphi + \angle H(f_0))$ — aceeasi frecventa
• pe spectru: $|V_{out}(f)| = |H(f)|\cdot|V_{in}(f)|$
• tipul filtrului: te uiti la $|H|$ la $f = 0$ si la $f$ foarte mare (FTJ / FTS / FTB / FOB)

→ Cap 2

• de pe grafic: $T$ = distanta intre doua puncte identice; $f_0 = \frac1T$; linii doar la $k\cdot f_0$
• seria: $s(t) = \sum c_k e^{j2\pi kt/T}$, $c_k = \frac1T\int_0^T s(t)e^{-j2\pi kt/T}dt$
• ce e $c_k$: cat din frecventa $\frac kT$ e in semnal ($|c_k|$ amplitudine, $\angle c_k$ faza)
• media: $c_0$ = aria pe o perioada impartita la $T$
• cosinus, fara integrala: $A\cos(2\pi k_0t/T)$ → $c_{\pm k_0} = \frac A2$
• unda patrata $\pm A$: doar $k$ impar, $|c_k| = \frac{2A}{\pi|k|}$, $c_0 = 0$
• puls: $c_k = A\frac{\Delta}{T}e^{-j\pi k\Delta/T}\mathrm{sinc}(\frac{\pi k\Delta}{T})$; $c_0 = A\frac{\Delta}{T}$; $c_k = 0$ la $k = m\frac{T}{\Delta}$ ($m \ne 0$)
• sinc: $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$, $\mathrm{sinc}(0) = 1$, zero la $m\pi$ ($m \ne 0$) · puls ingust ↔ spectru lat
• proprietati: real: $c_{-k} = c_k^*$ · par: $c_k$ real · impar: $c_k$ imaginar · intarziere $\tau$: $c_ke^{-j2\pi k\tau/T}$ (doar faza)
• putere, Parseval: $P$ = media patratului $= \sum|c_k|^2$; cosinus: $\frac{A^2}{2}$
• THD: $\frac{P - |c_0|^2 - 2|c_1|^2}{P - |c_0|^2}$ (puterea armonicilor $k \ge 2$ / puterea fara DC); unda patrata: 19%
• filtrare: $c'_k = H(\frac kT)\,c_k$
• comunicare digitala: “00” → nimic, “01” → $f_1$, “10” → $f_2$, “11” → ambele; $f_i$ multipli de $\frac1T$

→ Cap 3

• transformata: $S(f) = \int s(t)e^{-j2\pi ft}dt$, $s(t) = \int S(f)e^{j2\pi ft}df$ · periodic → linii, aperiodic → curba continua
• puls de latime $\Delta$: $|S(f)| = \Delta|\mathrm{sinc}(\pi f\Delta)|$, zerouri la $f = \frac{m}{\Delta}$ · $S(0)$ = componenta continua
• “trapez intre $-W/2$ si $W/2$”: $W$ = latimea totala, varful = $A$, frecventa maxima = $W/2$
• intarziere: $s(t-\tau) \leftrightarrow S(f)e^{-j2\pi f\tau}$ (modulul nu se schimba)
• mutarea spectrului: $s(t)e^{j2\pi f_0t} \leftrightarrow S(f - f_0)$
• cosinus = doua sageti: $\cos(2\pi f_c t) \leftrightarrow \frac12\delta(f - f_c) + \frac12\delta(f + f_c)$
• inmultire cu cosinus: $s(t)\cos(2\pi f_ct) \leftrightarrow \frac12S(f - f_c) + \frac12S(f + f_c)$
• cos × cos: $\cos a\cos b = \frac12\cos(a - b) + \frac12\cos(a + b)$
• AM, $(1 + s(t))\cos(2\pi f_ct)$: sageti de $\frac12$ la $\pm f_c$ (de la “1”) + copii de inaltime $\frac A2$ pe $[f_c - \frac W2, f_c + \frac W2]$ si $[-f_c - \frac W2, -f_c + \frac W2]$
• demodulare: inmultesti din nou cu $\cos(2\pi f_c t)$, apoi filtru trece-jos

→ Cap 4

• esantionare: $s(n) = s(nT_s)$, $f_s = 1/T_s$ · lant A/D: FTJ analog anti-aliasing → esantionare → cuantizare
• copii la fiecare $f_s$: $X(f) = \sum_k c_kS(f - kf_s)$; conteaza doar zona $[-f_s/2, f_s/2]$
• Nyquist: $f_s \geq 2f_{max}$ · recuperare: filtru trece-jos cu taierea la $f_{max}$
• aliasing: $f$ apare la $f - mf_s$, adusa in $[-f_s/2, f_s/2]$; se previne doar inainte de convertor
• orice banda: [centru − latime/2, centru + latime/2]; latimea nu se schimba, centrul se muta: $f_c$ → $r$ → 0
• bandpass sampling: FTB analog, apoi $f_s \geq 2B$ cu $r$ = restul lui $f_c : f_s$; banda $[r - \frac B2, r + \frac B2]$ trebuie sa stea intre 0 si $\frac{f_s}{2}$
• cazul ideal: $r = \frac{f_s}{4}$, adica $f_s = \frac{4f_c}{4k+1}$ ($k$ intreg)
• spectru inversat (banda intre $\frac{f_s}{2}$ si $f_s$): inmultesti cu $(-1)^n$ (muta cu $\frac{f_s}{2}$)
• IQ: $x = s\,e^{-j2\pi f_ct} = i + jq$, $i = s\cos$, $q = -s\sin$; banda la $\frac{f_s}{4}$: inmultire cu $e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$
• $f_s$ minim, 3 cazuri: real in banda de baza pe $[-\frac W2, \frac W2]$ → $f_s \geq W$ · real la purtatoare, esantionat direct → $f_s \geq 2B$ · complex IQ centrat in 0 → $f_s \geq B$
• decimare: $s_M(n) = s(nM)$, $f_s' = f_s/M$; filtru trece-jos digital inainte

→ Cap 5

• trepte: $B$ biti → $2^B$ trepte; latimea treptei $\Delta = \frac{2A}{2^B}$
• eroarea: intre $\pm\frac\Delta2$, RMS $= \frac{\Delta}{\sqrt{12}}$, putere $\frac{\Delta^2}{12}$; ireversibila
• RMS si putere: putere = media patratelor; RMS = radical din ea
• SNR: $\frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}}$ · convertor: $\frac32 2^{2B} \approx 6B + 2$ dB (8 biti → 50 dB, 16 biti → 98 dB)
• logaritm: $\log_{10}$ = cate zerouri; $\log_{10}2 \approx 0.3$
• decibeli (puteri): $\mathrm{dB} = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$ · $10X$ dB = de $10^X$ ori · 3 dB ≈ ×2 · −3 dB ≈ jumatate
• lant de amplificatoare: dB-urile se aduna (rapoartele se inmultesc)
• decibeli (amplitudini): $20\log_{10}\frac{A_2}{A_1}$
• dBm: fata de 1 mW (0 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W)

→ Cap 6

• frecventa normalizata: $f = \frac{f_c}{f_s}$ (fara unitate); conteaza doar $[-\frac12, \frac12]$
• DTFT (doar teorie): $X(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-j2\pi fn}$
• DFT: $X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j2\pi\frac kNn}$, $k = 0 \dots N-1$
• IDFT: $x(n) = \frac1N\sum_{k=0}^{N-1} X(k)\,e^{\,j2\pi\frac kNn}$
• din $k$ in Hz: $f_k = k\cdot\frac{f_s}{N}$ · rezolutia (pasul): $\frac{f_s}{N}$
• jumatatea de sus: $k > \frac N2$ inseamna frecventa negativa $k - N$ · $X(k+N) = X(k)$
• semnal real: $|X(N-k)| = |X(k)|$
• cosinus pe casuta $m$: $A\cos(2\pi\frac mNn)$ → $\frac{N\cdot A}{2}$ la $k = m$ si la $k = N - m$ · invers: $A = \frac{2|X(m)|}{N}$
• constanta $c$: o singura linie $N\cdot c$ la $k = 0$
• fara leakage doar daca: $m = N\cdot\frac{f_c}{f_s}$ e intreg

→ Cap 7

• convolutia: $y(n) = (h * x)(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k)\,x(n-k)$
• lungimea rezultatului: $M + P - 1$ ($M$ coeficienti in $h$, $P$ valori in $x$)
• verificare rapida: suma lui $y$ = (suma lui $x$) × (suma lui $h$)
• impulsul: $\delta(n) = 1$ la $n = 0$, 0 in rest · $h * \delta = h$ → $h(n)$ = raspunsul la impuls
• mutare: $x * \delta(n-d)$ = $x$ intarziat cu $d$ · doua filtre in serie = un filtru $h_1 * h_2$
• medie alunecatoare: $h = [\frac1M, \dots, \frac1M]$ → trece-jos (netezeste)
• teorema convolutiei: $(h * x)(n) \leftrightarrow H(k)\cdot X(k)$ si $h(n)\cdot x(n) \leftrightarrow (H * X)(k)$
• filtrarea: in timp convolutie cu $h(n)$, in frecventa inmultire cu $H(k)$

→ Cap 8

• cutie = casuta: cutia $k$ din Cap 8 e casuta $k$ din Cap 6 (locul frecventei $k\cdot\frac{f_s}{N}$)
• cand apare leakage: cand $f\cdot\frac{N}{f_s}$ nu e intreg (nu incape un numar intreg de perioade)
• de ce apare: cele $N$ esantioane = semnal infinit × fereastra dreptunghiulara → fiecare linie devine un dsinc
• dsinc: $\frac{\sin(\pi kM/N)}{\sin(\pi k/N)}$, zerouri la $k = l\cdot\frac NM$; primul lob lateral ≈ 22% din varf (−13 dB)
• pe cutie nu se vede: celelalte cutii cad exact pe zerourile dsinc-ului
• zero-padding: cutii mai dese pe aceeasi curba; varful ramane $M\cdot\frac A2$, pozitia devine $k' = f\cdot\frac{N'}{f_s}$
• ferestre (Hann, Hamming, Blackman): $s(n)\cdot w(n)$ → lobi laterali mici, lob principal mai lat
• cum atenuam leakage: fereastra · mai multe esantioane reale · $N$ cu numar intreg de perioade

→ Cap 9

• ecuatia cu diferente: $y(n) = b_0x(n) + b_1x(n-1) + \dots + b_{M-1}x(n-M+1)$, cu $b_i = h(i)$
• Direct Form I: lant de $M-1$ intarzieri, cate o inmultire cu $b_i$, un sumator
• raspunsul in frecventa: $H(f) = \sum_{n=0}^{M-1} h(n)\,e^{-j2\pi\frac{f}{f_s}n}$
• la $f = 0$: suma coeficientilor · la $\frac{f_s}{2}$: suma cu semne alternate
• exemplu $[1, 2, 1]$: $|H| = 2 + 2\cos(2\pi\frac{f}{f_s})$ → 4, 2, 0 la $0, \frac{f_s}{4}, \frac{f_s}{2}$ → trece-jos
• faza liniara: coeficienti simetrici → toate frecventele intarziate cu $\frac{M-1}{2}$ esantioane → forma semnalului se pastreaza
• metoda ferestrei: filtru ideal → IFFT → sinc infinit → trunchiere (ondulatii) → inmultire cu fereastra → verificare cu FFT
• din trece-jos in trece-sus: semnele $+ - + - +$ (inmultire cu $\cos(\pi n)$) · in trece-banda: inmultire cu $\cos(2\pi\frac{f_c}{f_s}n)$

→ Cap 10

• filtru IIR: $y(n) = \sum_i b_i\,x(n-i) + \sum_i a_i\,y(n-i)$ (foloseste si iesirile trecute)
• transformata Z: $X(z) = \sum_n x(n)\,z^{-n}$ · intarziere cu 1 esantion ↔ inmultire cu $z^{-1}$
• functia de transfer: $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}}$ (jos: semnele lui $a$ schimbate)
• zerouri si poli: zerouri = radacinile numaratorului (o), poli = ale numitorului (×); inmultesti intai sus si jos cu $z^2$
• frecventa pe cerc: $z = e^{j2\pi f/f_s}$: $f = 0$ → $z = 1$, $\frac{f_s}{4}$ → $z = j$, $\frac{f_s}{2}$ → $z = -1$
• $|H|$ la o frecventa: produsul distantelor pana la zerouri : produsul distantelor pana la poli
• citirea desenului: zerou pe cerc → sterge frecventa aceea · pol aproape de cerc → varf acolo
• stabilitate: toti polii strict in interiorul cercului unitate · FIR: poli in $z = 0$ → mereu stabil
• FIR vs IIR: FIR = fara reactie, mereu stabil, faza liniara, multi coeficienti · IIR = cu reactie, putini coeficienti, poate fi instabil, faza neliniara

→ Cap 11

• ce este: aceeasi DFT, aceleasi numere $X(k)$, mai putine operatii (Cooley si Tukey, 1965)
• complexitate: DFT directa $O(N^2)$ · FFT $O(N\log N)$
• logaritm in baza 2: $\log_2 N$ = de cate ori injumatatesti pe $N$ pana la 1 ($\log_2 8 = 3$, $\log_2 1024 = 10$)
• ideea: imparti in esantioane pare si impare, DFT pe fiecare jumatate, lipesti
• lipirea: $X(k) = X_{par}(k) + w_N^k X_{imp}(k)$, $X(k + \frac N2) = X_{par}(k) - w_N^k X_{imp}(k)$, cu $w_N = e^{-j2\pi/N}$
• de ce merge: $w_N^{k+N/2} = -w_N^k$
• DFT pentru 2 numere: $[a, b] \to [a + b,\ a - b]$
• schema: $\log_2 N$ etaje × $\frac N2$ fluturi; $N$ trebuie sa fie putere a lui 2 (altfel completezi cu zerouri)

• Un cosinus de amplitudine $A$ da linii de $A/2$, nu de $A$. O constanta $C$ da o linie de $C$ intreg, nu $C/2$. (Cap 0)
• Formula RC de la examen, cu $f$ la numarator, e un filtru trece-sus, nu trece-jos. (Cap 1)
• La puls, $c_0 = A\frac{\Delta}{T}$ nu e zero: regula $c_k = 0$ la $k = m\frac{T}{\Delta}$ e doar pentru $m \ne 0$. (Cap 2)
• La AM, sagetile de $\frac12$ vin de la “1”, iar copiile de $\frac A2$ vin de la $s(t)$. Copia din stanga e pe $[-f_c - \frac W2, -f_c + \frac W2]$. (Cap 3)
• In enunturi $W$ e latimea totala a benzii, deci frecventa maxima e $W/2$. (Cap 4)
• La bandpass sampling, $r = 0$ sau $r = \frac{f_s}{2}$ e rau: banda se calca cu oglinda ei. (Cap 4)
• Aliasing-ul nu se mai repara dupa convertor; un filtru digital nu il scoate. (Cap 4, Cap 9)
• 40 dB inseamna de $10^4$ ori, nu de 400 de ori. (Cap 5)
• La DFT, casutele cu $k > \frac N2$ sunt frecventele negative, nu frecvente mai mari. (Cap 6)
• Zero-padding nu separa mai bine doua frecvente apropiate si nu reduce leakage. (Cap 8)
• La $H(z)$, coeficientii $a_i$ apar la numitor cu semnul schimbat. (Cap 10)
• FFT nu e alta transformata: da exact aceleasi valori ca DFT. (Cap 11)