← inapoi la cuprins · Cursul profesorului: cap. 6.3 si 8.1–8.2 · Notitele colegilor: p. 25–27, 30 · Inainte: Cap 6 — DFT

Un termometru masoara ceva din ora in ora. Sapte citiri la rand arata asa:

$$1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 3,\ 2,\ 1$$

Valoarea 10 e suspecta: e un varf brusc, cel mai probabil o eroare de masurare. Vrei sa “netezesti” lista, ca varful sa nu mai sara in ochi.

Cea mai simpla idee: in loc de fiecare citire, scrii media ultimelor 5 citiri. O valoare gresita se “dilueaza” intre 4 valori bune. Din 10 ramane cam 4 (calculul complet e in sectiunea 3).

Regula “fa media ultimelor 5 valori” este un filtru digital. Operatia matematica din spatele ei se numeste convolutie.

Dupa esantionare (Cap 4) un semnal nu mai e o curba. E o lista de numere, numite esantioane. Un filtru digital este o regula care:

• primeste o lista de numere (intrarea),
• scoate o alta lista de numere (iesirea),
• calculeaza fiecare numar de la iesire ca suma ponderata a celor mai recente numere de la intrare.

“Suma ponderata” inseamna: inmultesti fiecare numar cu o pondere (un coeficient) si aduni rezultatele. La media a 5 valori, toate ponderile sunt $\frac15$. La alte filtre ponderile sunt diferite intre ele.

Incepem cu cel mai mic exemplu posibil. Formula vine abia la 2.5.

• intrarea: $x = [1, 2, 3]$, adica $x(0) = 1$, $x(1) = 2$, $x(2) = 3$
• filtrul: $h = [1, 1]$, adica $h(0) = 1$, $h(1) = 1$

Filtrul are doi coeficienti, deci se uita la doua valori de la intrare: cea de acum si cea de la pasul dinainte.

Aici $x(n)$ este intrarea de la pasul $n$ (“de acum”), iar $x(n-1)$ este intrarea de la pasul $n - 1$ (“cu un pas in urma”).

O singura conventie: daca regula cere o valoare care nu exista (inainte de primul numar sau dupa ultimul), punem 0 in locul ei.

Rezultat: $y = [1, 3, 5, 3]$.

Tocmai ai facut o convolutie. Se scrie $y = h * x$ si se citeste “h convolutie cu x”.

Ce vezi in desen: randul albastru este intrarea $x$ si sta pe loc. Randul portocaliu este filtrul $h$, scris intors ($h(1)$ in stanga, $h(0)$ in dreapta). La fiecare pas il muti cu o casuta la dreapta. Casutele care ajung una sub alta se inmultesc (liniile verzi), apoi produsele se aduna. Casutele gri, punctate, au iesit in afara lui $x$: acolo e 0, nu contribuie.

Daca filtrul are $M$ coeficienti in loc de 2, regula se lungeste: te uiti la ultimele $M$ valori de la intrare.

$$y(n) = h(0)\,x(n) + h(1)\,x(n-1) + h(2)\,x(n-2) + \dots + h(M-1)\,x(n-M+1)$$

Ca sa nu scrii toata suma, se foloseste semnul $\sum$ (“sigma” = aduna toti termenii):

$$\boxed{\,y(n) = (h * x)(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k)\cdot x(n-k)\,}$$

Cum o citesti, bucata cu bucata:

• $k$ ia pe rand valorile $0, 1, 2, \dots, M-1$ — cate una pentru fiecare coeficient al filtrului;
• $h(k)$ = coeficientul numarul $k$;
• $x(n-k)$ = intrarea de acum $k$ pasi. Pentru $k = 0$ e intrarea de acum. Pentru $k = 1$ e cea de la pasul dinainte. Si tot asa;
• $\sum$ = aduni toate produsele $h(k)\cdot x(n-k)$.

Verificare pe exemplul nostru ($M = 2$, deci $k$ ia valorile 0 si 1): $y(n) = h(0)\,x(n-0) + h(1)\,x(n-1)$. Exact regula din 2.2.

Aceasta este definitia convolutiei din curs. $M$ = numarul de esantioane din $h(n)$.

In exemplu: $x$ are $P = 3$ numere, $h$ are $M = 2$ numere, iar $y$ a iesit cu 4 numere.

$$\text{lungimea lui } y = M + P - 1 = 2 + 3 - 1 = 4$$

Acelasi $x = [1, 2, 3]$, dar $h = [2, 1]$, adica $h(0) = 2$, $h(1) = 1$. Regula: $y(n) = 2\cdot x(n) + 1\cdot x(n-1)$.

Rezultat: $y = [2, 5, 8, 3]$. Observa: coeficientul $h(0) = 2$ a inmultit mereu valoarea cea mai noua.

Acesta e exemplul profesorului, dat si ca test la curs. Sunt numerele din povestea cu termometrul.

• intrarea: $x = [1, 2, 3, 10, 3, 2, 1]$ → $P = 7$ numere
• filtrul: $h = [\frac15, \frac15, \frac15, \frac15, \frac15]$ → $M = 5$ coeficienti, toti egali cu $\frac15$
• se cere: $y = h * x$

Cate numere va avea $y$: $M + P - 1 = 5 + 7 - 1 = 11$.

Scriem formula din 2.5 pentru $M = 5$:

$$y(n) = \tfrac15 x(n) + \tfrac15 x(n-1) + \tfrac15 x(n-2) + \tfrac15 x(n-3) + \tfrac15 x(n-4)$$

Toti coeficientii sunt $\frac15$, deci il scoatem in fata:

$$y(n) = \frac{x(n) + x(n-1) + x(n-2) + x(n-3) + x(n-4)}{5}$$

Aduni ultimele 5 valori si imparti la 5. Este media ultimelor 5 intrari. De aici numele: medie alunecatoare (Moving Average) — fereastra de 5 valori “aluneca” peste semnal.

Valorile care nu exista (inainte de $x(0)$ sau dupa $x(6)$) sunt 0 si nu le mai scriem.

Cum citesti un rand, de exemplu $n = 4$: fereastra prinde $x(4), x(3), x(2), x(1), x(0)$, adica 3, 10, 3, 2, 1. Suma e 19. Impartit la 5 da $\frac{19}{5}$.

Cum citesti randul $n = 7$: fereastra ar prinde $x(7), x(6), x(5), x(4), x(3)$. Dar $x(7)$ nu exista (e 0). Raman 1, 2, 3, 10. Suma e 16.

Ce vezi in desen: in stanga intrarea, cu varful de 10 la $n = 3$. In dreapta iesirea, desenata la aceeasi scara: varful a scazut la 4 si s-a latit. Pe axa orizontala e numarul esantionului $n$, pe cea verticala valoarea lui.

• Varful brusc de 10 a fost turtit la 4 si intins pe mai multe esantioane.
• Iesirea urca si coboara lin, fara salturi mari.

Este cel mai simplu semnal posibil: un singur 1, la $n = 0$, si in rest doar zerouri.

$$\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} \qquad\text{adica}\qquad \delta = [1, 0, 0, 0, \dots]$$

$\delta$ se citeste “delta”. Il mai gasesti sub numele: impuls, semnal Delta, Kronecker Delta. In cartea cursului apare o data si sub numele “treapta unitate”; acolo este vorba tot despre $\delta(n)$.

Impulsul intarziat: $\delta(n - 2)$ este acelasi 1, dar mutat la $n = 2$: $[0, 0, 1, 0, \dots]$. In general $\delta(n - d)$ are 1-ul la pozitia $n = d$.

Luam filtrul $h = [1, 1]$ din sectiunea 2 si ii dam la intrare $x = \delta = [1, 0, 0, \dots]$. Regula e aceeasi: $y(n) = h(0)\cdot x(n) + h(1)\cdot x(n-1)$.

A iesit $y = [h(0), h(1)] = [1, 1]$. Exact coeficientii filtrului.

Nu e o coincidenta. Singurul 1 de la intrare “trece” pe rand prin dreptul fiecarui coeficient si il scoate la iesire, unul cate unul. Merge la fel pentru orice filtru:

$$\boxed{\,x(n) = \delta(n) \;\Rightarrow\; y(n) = (h * \delta)(n) = h(n)\,}$$

Ce vezi in desen: in stanga impulsul $\delta(n)$: un singur bat de inaltime 1, la $n = 0$. In dreapta ce scoate filtrul “media a 5 valori” din sectiunea 3: cinci bete de inaltime $\frac15$, adica exact $h(n)$.

De aceea lista $h(n)$ are doua nume care inseamna acelasi lucru:

• coeficientii filtrului (ponderile din suma),
• raspunsul la impuls (ce “raspunde” filtrul cand il lovesti cu un impuls).

Intrebarea fireasca: am aflat ce face filtrul cu un singur impuls. De unde stim ce face cu orice alt semnal?

Raspunsul: orice semnal este o suma de impulsuri, fiecare mutat la locul lui si inmultit cu valoarea de acolo. Pentru $x = [1, 2, 3]$:

$$[1, 2, 3] = \underbrace{[1, 0, 0]}_{1\cdot\delta(n)} + \underbrace{[0, 2, 0]}_{2\cdot\delta(n-1)} + \underbrace{[0, 0, 3]}_{3\cdot\delta(n-2)}$$

Acum folosim cele doua proprietati ale unui sistem LTI (liniar si invariant in timp, Cap 0 §2):

• invariant in timp: daca intrarea vine mai tarziu cu 1 pas, iesirea e aceeasi, doar mai tarziu cu 1 pas. Deci la $\delta(n-1)$ filtrul raspunde cu $h(n-1)$ — lista $h$ mutata cu o pozitie la dreapta.
• liniar: daca intrarea e de 2 ori mai mare, iesirea e de 2 ori mai mare. Iar la o suma de intrari, iesirea e suma iesirilor.

Aplicam pe fiecare bucata, cu $h = [1, 1]$:

A iesit $[1, 3, 5, 3]$ — acelasi rezultat ca in sectiunea 2. Deci convolutia este, privita altfel: fiecare valoare de la intrare lasa in urma ei o copie a lui $h$ (inmultita cu valoarea respectiva), iar copiile se aduna.

Ce vezi in desen: pe coloana din stanga, intrarea desfacuta in 3 impulsuri (albastru) si suma lor (mov, jos). Pe coloana din dreapta, raspunsul filtrului la fiecare impuls (rosu): cate o copie a lui $h = [1, 1]$, mutata si inmultita. Jos (verde) suma raspunsurilor: $y = [1, 3, 5, 3]$.

Intrebarea: ai un sistem la care ai acces doar la intrare si la iesire. Nu stii ce e inauntru. Cum ii afli functia de transfer?

Raspunsul, in 3 pasi:

1. Pui la intrare un impuls $\delta(n)$.
2. Notezi ce iese. Iesirea este chiar $h(n)$, raspunsul la impuls.
3. Calculezi DFT-ul lui $h(n)$ (Cap 6). Rezultatul $H(k)$ este functia de transfer: iti spune cu cat inmulteste sistemul fiecare frecventa.

De ce pasul 3 da functia de transfer: vezi teorema convolutiei, sectiunea 6.

Alte doua variante corecte: (a) bagi pe rand cate o sinusoida de fiecare frecventa si masori de cate ori s-a schimbat amplitudinea la iesire — asa e definita functia de transfer in Cap 1 §3; (b) bagi orice semnal cunoscut $x(n)$, masori $y(n)$ si calculezi $H(k) = Y(k)/X(k)$ (unde $X(k) \neq 0$).

Fiecare proprietate, cu un exemplu mic pe care il poti verifica de mana.

$h * x = x * h$. Nu conteaza care lista e “filtrul” si care e “semnalul”. Rezultatul e acelasi.

Exemplu: stim ca $[1, 1] * [1, 2, 3] = [1, 3, 5, 3]$. Schimbam rolurile: filtrul e $h = [1, 2, 3]$ ($M = 3$), intrarea e $x = [1, 1]$. Regula: $y(n) = 1\cdot x(n) + 2\cdot x(n-1) + 3\cdot x(n-2)$.

• $y(0) = 1\cdot 1 = 1$
• $y(1) = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 = 3$
• $y(2) = 1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 = 5$
• $y(3) = 2\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3$

Tot $[1, 3, 5, 3]$ ✓

La ce ajuta: la examen alegi ca “filtru” lista mai scurta. Ai mai putini termeni de adunat la fiecare pas.

Doua lucruri:

• inmultire cu un numar: daca dublezi intrarea, se dubleaza iesirea. $[1, 1] * [2, 4, 6] = [2, 6, 10, 6]$, adica de 2 ori $[1, 3, 5, 3]$.
• suma: convolutia unei sume = suma convolutiilor.

Exemplu pentru suma, cu $h = [1, 1]$, $a = [1, 2, 3]$, $b = [0, 1, 0]$:

• $h * a = [1, 3, 5, 3]$
• $h * b = [0, 1, 1, 0]$
• suma lor: $[1, 4, 6, 3]$
• direct: $a + b = [1, 3, 3]$ si $h * [1, 3, 3] = [1,\ 3 + 1,\ 3 + 3,\ 3] = [1, 4, 6, 3]$ ✓

La ce ajuta: daca semnalul e o suma de sinusoide, poti trece fiecare sinusoida separat prin filtru si aduni la sfarsit. Exact ce faceai in Cap 1 §5.

• $x * \delta = x$. Impulsul $[1]$ lasa semnalul neschimbat: $[1] * [1, 2, 3] = [1, 2, 3]$.
• $x * \delta(n - d)$ = semnalul $x$ intarziat cu $d$ pozitii.

Exemplu: $\delta(n-2) = [0, 0, 1]$.

$$[0, 0, 1] * [1, 2, 3] = [0, 0, 1, 2, 3]$$

Verificare cu ideea din 4.3: valoarea 1 de pe pozitia 2 lasa in urma ei o copie a lui $[1, 2, 3]$ care incepe de la pozitia 2. Zerourile nu lasa nimic.

Daca treci semnalul prin filtrul $h_1$ si apoi rezultatul prin filtrul $h_2$, e ca si cum l-ai trece o singura data prin filtrul $h_1 * h_2$.

Exemplu: doua filtre $[1, 1]$ puse unul dupa altul.

• filtrul echivalent: $[1, 1] * [1, 1] = [1,\ 1 + 1,\ 1] = [1, 2, 1]$
• pe rand: $[1, 2, 3]$ → primul filtru → $[1, 3, 5, 3]$ → al doilea filtru → $[1, 4, 8, 8, 3]$
• direct cu $[1, 2, 1]$: $[1, 2, 1] * [1, 2, 3] = [1, 4, 8, 8, 3]$ ✓

(Filtrul $h = [1, 2, 1]$ apare intr-o problema de examen din 2026 — vezi Cap 9.)

Pana aici am lucrat doar in timp: liste de esantioane. Acum ne uitam la aceeasi operatie in frecventa: ce se intampla cu spectrul.

• DFT-ul ia o lista de $N$ esantioane $x(n)$ si scoate o lista de $N$ numere $X(k)$ — spectrul. $X(k)$ spune “cat din frecventa numarul $k$ este in semnal” (frecventa reala este $k\cdot f_s/N$, unde $f_s$ e frecventa de esantionare).
• Formula: $X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j2\pi kn/N}$.
• Pentru $N = 4$ factorul $e^{-j2\pi kn/4}$ ia doar valorile $1, -j, -1, j$ (aceleasi ca la IQ, Cap 4 §6). Asa ca DFT-ul pe 4 puncte se face de mana:

Notam cu litere mari spectrele: $X(k)$ pentru intrare, $H(k)$ pentru filtru, $Y(k)$ pentru iesire.

Luam exemplul din sectiunea 2: $x = [1, 2, 3]$, $h = [1, 1]$, $y = h * x = [1, 3, 5, 3]$.

Pas 1 — aducem cele trei liste la aceeasi lungime, $N = 4$, punand zerouri la coada:

• $x = [1, 2, 3, 0]$
• $h = [1, 1, 0, 0]$
• $y = [1, 3, 5, 3]$

Pas 2 — calculam spectrul fiecarei liste cu tabelul din 6.1.

Pentru $x = [1, 2, 3, 0]$:

• $X(0) = 1 + 2 + 3 + 0 = 6$
• $X(1) = 1\cdot 1 + 2\cdot(-j) + 3\cdot(-1) + 0\cdot j = 1 - 2j - 3 = -2 - 2j$
• $X(2) = 1 - 2 + 3 - 0 = 2$
• $X(3) = 1 + 2j - 3 - 0 = -2 + 2j$

Pentru $h = [1, 1, 0, 0]$:

• $H(0) = 1 + 1 = 2$
• $H(1) = 1 - j$
• $H(2) = 1 - 1 = 0$
• $H(3) = 1 + j$

Pentru $y = [1, 3, 5, 3]$:

• $Y(0) = 1 + 3 + 5 + 3 = 12$
• $Y(1) = 1 - 3j - 5 + 3j = -4$
• $Y(2) = 1 - 3 + 5 - 3 = 0$
• $Y(3) = 1 + 3j - 5 - 3j = -4$

Pas 3 — inmultim $H(k)$ cu $X(k)$, linie cu linie, si comparam cu $Y(k)$:

Calculul de la $k = 1$, desfacand parantezele (si $j^2 = -1$, Cap 0 §3):

$$(1 - j)(-2 - 2j) = -2 - 2j + 2j + 2j^2 = -2 + 2\cdot(-1) = -4$$

Concluzie: spectrul iesirii este produsul dintre spectrul filtrului si spectrul intrarii, la fiecare $k$. In timp am facut o convolutie (complicata). In frecventa aceeasi operatie e o simpla inmultire.

$$(h * x)(n) \;\longleftrightarrow\; H(k)\cdot X(k) \qquad\qquad h(n)\cdot x(n) \;\longleftrightarrow\; (H * X)(k)$$

Sageata dubla $\longleftrightarrow$ inseamna “ii corespunde in celalalt domeniu” (stanga: timp, dreapta: frecventa).

(Detaliu pentru cine verifica numeric: la a doua forma, cu formulele DFT din curs, mai apare un factor constant $\frac1N$. El nu schimba forma spectrului. In curs teorema se enunta fara el, asa cum e scrisa mai sus.)

Asta e poanta capitolului. Pune cap la cap ce stii deja:

• In Cap 0 §6.5 ai filtrat un semnal pe spectru: desenai liniile, desenai “fereastra” filtrului si taiai ce era in afara ei. Adica inmulteai fiecare linie cu 1 (trece) sau cu 0 (taiata).
• In Cap 1 §5 fereastra era “moale”: fiecare linie se inmultea cu $|H(f)|$, un numar intre 0 si 1.
• Acum: $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$. Este exact acelasi lucru, scris pentru semnale digitale. $H(k)$ este fereastra filtrului (functia de transfer), $X(k)$ sunt liniile semnalului.

Teorema spune ce trebuie facut cu esantioanele ca sa obtii aceasta inmultire in frecventa: o convolutie cu $h(n)$.

Ce vezi in desen: randul de sus e in frecventa, cel de jos in timp. Intrarea (albastru) este suma dintre un cosinus lent (linia de la $k = 2$) si unul rapid (linia de la $k = 16$). Filtrul (portocaliu) este media ultimelor 8 valori; spectrul lui e aproape 1 la frecvente mici si exact 0 la $k = 16$. Sus: inmultind linie cu linie, linia de la $k = 2$ ramane aproape intreaga ($32\cdot 0.9 = 28.8$), iar cea de la $k = 16$ dispare ($25.6\cdot 0 = 0$). Jos: aceeasi filtrare facuta prin convolutie — din semnalul “zimtat” ramane doar cosinusul lent. In acest desen semnalul este considerat periodic (se repeta la nesfarsit), de aceea iesirea nu are la inceput “rampa” de pornire pe care ai vazut-o la exemplul din sectiunea 3.

Din 6.2 avem $H(k) = [2,\ 1 - j,\ 0,\ 1 + j]$. Ne intereseaza marimea (modulul, Cap 0 §3): $|1 - j| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.41$.

Frecventele joase trec, cea mai inalta e taiata → $h = [1, 1]$ este un filtru trece-jos. Normal: $[1, 1]$ aduna doua valori vecine, deci e (de 2 ori) media lor.

Ai intalnit-o deja, fara sa-i spunem pe nume:

• Modulatia AM (Cap 3 §4): inmulteai mesajul cu $\cos(2\pi f_c t)$ in timp. Spectrul cosinusului are doua linii (doua “delta”) la $\pm f_c$. In frecventa rezulta convolutia spectrului mesajului cu aceste doua linii. Iar convolutia cu un delta mutat inseamna “muta acolo” (5.3). De aceea spectrul mesajului aparea copiat la $+f_c$ si la $-f_c$.
• Scurgerea spectrala (Cap 8): cand iei doar $N$ esantioane dintr-un semnal lung, de fapt il inmultesti in timp cu o fereastra dreptunghiulara. In frecventa, spectrul lui se convolutioneaza cu spectrul ferestrei.

Ce se cere: lungimea lui $y$.

Ce stim: $x$ are $P = 4$ valori, $h$ are $M = 3$ valori.

Pas 1. Formula din 2.6: lungimea = $M + P - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$.

Raspuns a): $y$ are 6 valori: $y(0), y(1), \dots, y(5)$.

Ce se cere: cele 6 valori.

Ce stim: $x(0) = 2$, $x(1) = 0$, $x(2) = 4$, $x(3) = 6$; $h(0) = 1$, $h(1) = 2$, $h(2) = 1$.

Pas 1 — scriem regula (formula din 2.5 cu $M = 3$):

$$y(n) = 1\cdot x(n) + 2\cdot x(n-1) + 1\cdot x(n-2)$$

In cuvinte: valoarea de acum, plus de 2 ori cea dinainte, plus cea de acum 2 pasi.

Pas 2 — calculam pe rand (ce nu exista e 0):

Raspuns b): $y = [2, 4, 6, 14, 16, 6]$.

Ce se cere: o verificare.

Pas 1 — numarul de valori: am obtinut 6, cat am prezis la a) ✓

Pas 2 — regula sumelor (2.7): suma lui $x$ este $2 + 0 + 4 + 6 = 12$. Suma lui $h$ este $1 + 2 + 1 = 4$. Produsul: $12\cdot 4 = 48$. Suma lui $y$: $2 + 4 + 6 + 14 + 16 + 6 = 48$ ✓

Raspuns c): rezultatul trece ambele verificari.

Regula filtrului (pentru toate punctele): $y(n) = \frac12 x(n) + \frac12 x(n-1)$ — media dintre valoarea de acum si cea dinainte.

Ce se cere: $y$ pentru intrarea constanta.

Pas 1 — prima valoare: $y(0) = \frac12\cdot 3 + \frac12\cdot 0 = 1.5$ (inainte nu era nimic).

Pas 2 — valorile din mijloc, $n = 1, \dots, 5$: $y(n) = \frac12\cdot 3 + \frac12\cdot 3 = 3$.

Pas 3 — ultima valoare: $y(6) = \frac12\cdot 0 + \frac12\cdot 3 = 1.5$ (semnalul s-a terminat).

Raspuns a): $y = [1.5, 3, 3, 3, 3, 3, 1.5]$. Lasand deoparte cele doua margini, constanta 3 a trecut neschimbata.

Ce se cere: $y$ pentru intrarea alternanta.

Pas 1 — prima valoare: $y(0) = \frac12\cdot 1 + \frac12\cdot 0 = 0.5$.

Pas 2 — valorile din mijloc: doua valori vecine sunt mereu $1$ si $-1$. Media lor: $\frac12\cdot 1 + \frac12\cdot(-1) = 0$. Deci $y(1) = y(2) = \dots = y(5) = 0$.

Pas 3 — ultima valoare: $y(6) = \frac12\cdot 0 + \frac12\cdot(-1) = -0.5$.

Raspuns b): $y = [0.5, 0, 0, 0, 0, 0, -0.5]$. Lasand deoparte marginile, alternanta a fost stearsa complet.

Ce vezi in desen: sus, semnalul constant intra (albastru) si iese (rosu) tot 3. Jos, semnalul alternant intra si iese 0. La capete ($n = 0$ si $n = 6$) sunt valorile de margine.

Ce se cere: tipul filtrului.

Pas 1 — ce frecventa are semnalul constant: nu se schimba deloc, deci are frecventa 0 — cea mai joasa posibila (Cap 0 §6: constanta = linie la $f = 0$).

Pas 2 — ce frecventa are semnalul alternant: isi schimba semnul la fiecare esantion. Mai repede de atat un semnal esantionat nu se poate schimba. Este un cosinus cu frecventa $f_s/2$: $\cos(\pi n) = 1, -1, 1, -1, \dots$ — cea mai mare frecventa care exista dupa esantionare (Cap 4).

Pas 3 — punem cap la cap: frecventa cea mai joasa trece, frecventa cea mai inalta e taiata.

Raspuns c): este un filtru trece-jos. Explicatia in cuvinte: media a doua valori vecine netezeste schimbarile rapide si lasa neatinse zonele unde semnalul sta pe loc.

Ce se cere: acelasi lucru pentru $h = [\frac12, -\frac12]$.

Pas 1 — regula noua: $y(n) = \frac12 x(n) - \frac12 x(n-1)$ — jumatate din diferenta dintre valoarea de acum si cea dinainte.

Pas 2 — semnalul constant: in mijloc, $\frac12\cdot 3 - \frac12\cdot 3 = 0$. Iese $[1.5, 0, 0, 0, 0, 0, -1.5]$ → constanta e stearsa.

Pas 3 — semnalul alternant: in mijloc, de exemplu la $n = 1$: $\frac12\cdot(-1) - \frac12\cdot 1 = -1$; la $n = 2$: $\frac12\cdot 1 - \frac12\cdot(-1) = 1$. Iese $[0.5, -1, 1, -1, 1, -1, 0.5]$ → alternanta trece neschimbata.

Raspuns d): acum e un filtru trece-sus. O diferenta intre vecini e 0 unde semnalul sta pe loc si mare unde se schimba repede. (Un singur semn schimbat a transformat trece-jos in trece-sus — ideea e reluata in Cap 9.)

Intai, ce semnal e la intrare (din Cap 6): un cosinus de amplitudine $A$ care cade exact pe linia $m$ da doua linii de inaltime $A\cdot N/2$: una la $k = m$ si oglinda ei la $k = N - m$.

• liniile de la $k = 1$ si $k = 7$ (adica $8 - 1$): un cosinus de 1000 Hz. Inaltimea 8 = $A\cdot 8/2$ → $A = 2$.
• liniile de la $k = 3$ si $k = 5$ (adica $8 - 3$): un cosinus de 3000 Hz, tot cu $A = 2$.

Deci $x$ = esantioanele lui $2\cos(2\pi\cdot 1000\,t) + 2\cos(2\pi\cdot 3000\,t)$.

Ce se cere: $|Y(k)|$ dupa filtrul ideal si semnalul ramas.

Ce stim: teorema convolutiei: $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$, deci $|Y(k)| = |H(k)|\cdot|X(k)|$ — inmultim linie cu linie.

Pas 1 — inmultirea:

Pas 2 — ce semnal e asta: au ramas liniile de la $k = 1$ si $k = 7$, de inaltime 8 → cosinusul de 1000 Hz, cu amplitudinea $8/(N/2) = 8/4 = 2$.

Raspuns a): $|Y(k)| = [0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 8]$. A ramas doar $2\cos(2\pi\cdot 1000\,t)$; cosinusul de 3000 Hz a fost eliminat.

Ce se cere: $|Y(k)|$ dupa filtrul real $h = [\frac12, \frac12]$.

Ce stim: tot $|Y(k)| = |H(k)|\cdot|X(k)|$, cu valorile lui $|H(k)|$ din enunt. (Ele vin din DFT-ul pe 8 puncte al lui $h$ completat cu zerouri — nu trebuie calculate aici.)

Pas 1 — inmultirea:

(Cu valorile nerotunjite, $0.9239$ si $0.3827$: $8\cdot 0.9239 = 7.39$ si $8\cdot 0.3827 = 3.06$.)

Raspuns b): $|Y(k)| = [0,\ 7.39,\ 0,\ 3.06,\ 0,\ 3.06,\ 0,\ 7.39]$. Linia de 1000 Hz a ramas aproape intreaga. Linia de 3000 Hz a scazut la mai putin de jumatate, dar nu a disparut: filtrul real nu taie brusc, ca cel ideal.

Ce vezi in desen: randul de sus e punctul a), cel de jos punctul b). In fiecare rand: spectrul intrarii (albastru) × spectrul filtrului (portocaliu) = spectrul iesirii (rosu). Pe axa orizontala e indicele $k$; linia $k$ inseamna frecventa $k\cdot 1000$ Hz.

Ce se cere: amplitudinile cosinusurilor la iesire.

Ce stim: o linie de inaltime $L$ (impreuna cu oglinda ei) inseamna un cosinus de amplitudine $A = L/(N/2) = L/4$.

Pas 1 — 1000 Hz: $A = 7.39/4 \approx 1.85$ (la intrare era 2).

Pas 2 — 3000 Hz: $A = 3.06/4 \approx 0.77$ (la intrare era 2).

Raspuns c): la iesire avem aproximativ $1.85\cos(2\pi\cdot 1000\,t) + 0.77\cos(2\pi\cdot 3000\,t)$ (fiecare cu o mica intarziere, care nu se vede in $|Y(k)|$). Se vede direct regula din Cap 1: amplitudinea de la iesire = amplitudinea de la intrare × $|H|$ la frecventa respectiva ($2\cdot 0.9239 \approx 1.85$ si $2\cdot 0.3827 \approx 0.77$).

(Nota: rezultatul e valabil dupa primul esantion, cand filtrul are deja ambele valori de care are nevoie — fara efectul de margine din Problema 2.)

Ce se cere: $h(n)$.

Pas 1. Din 4.2: ce iese cand intra $\delta(n)$ este chiar raspunsul la impuls.

Raspuns a): $h = [1, 2, 1]$.

Ce se cere: $y = h * x$ pentru $x = [1, 0, -1]$.

Ce stim: $M = 3$, $P = 3$ → $y$ are $3 + 3 - 1 = 5$ valori. Regula: $y(n) = 1\cdot x(n) + 2\cdot x(n-1) + 1\cdot x(n-2)$.

Pas 1 — calculul:

Pas 2 — verificare: suma lui $x$ este $1 + 0 - 1 = 0$, deci suma lui $y$ trebuie sa fie $0\cdot 4 = 0$. Si este: $1 + 2 + 0 - 2 - 1 = 0$ ✓

Raspuns b): $y = [1, 2, 0, -2, -1]$.

• Convolutia: $y(n) = (h * x)(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k)\,x(n-k)$; $M$ = numarul de coeficienti din $h$
• in cuvinte: fiecare iesire = suma ponderata a ultimelor $M$ intrari; $h(0)$ merge cu valoarea cea mai noua; ce nu exista e 0
• lungimea rezultatului: $M + P - 1$ ($P$ = lungimea lui $x$)
• verificare: suma lui $y$ = (suma lui $x$) × (suma lui $h$)
• Moving Average: $h = [\frac1M, \dots, \frac1M]$ → media ultimelor $M$ valori → trece-jos (netezeste)
• exemplul din curs: $[1,2,3,10,3,2,1] * [\frac15, \frac15, \frac15, \frac15, \frac15] = \frac15[1, 3, 6, 16, 19, 20, 19, 16, 6, 3, 1]$
• impulsul: $\delta(n) = 1$ la $n = 0$, 0 in rest; $h * \delta = h$ → $h(n)$ = raspunsul la impuls = coeficientii filtrului
• $h(n)$ caracterizeaza complet un sistem LTI; cutie neagra: bagi $\delta(n)$, citesti $h(n)$, DFT → $H(k)$ = functia de transfer
• proprietati: comutativa, liniara; $x * \delta(n-d)$ = $x$ intarziat cu $d$; doua filtre in serie = un filtru $h_1 * h_2$
• Teorema convolutiei: $(h * x)(n) \leftrightarrow H(k)\cdot X(k)$ si $h(n)\cdot x(n) \leftrightarrow (H * X)(k)$ — convolutie intr-un domeniu = inmultire in celalalt
• filtrarea: in timp convolutie cu $h(n)$, in frecventa inmultire cu $H(k)$ (“fereastra” filtrului)

Incearca-le fara sa te uiti la raspunsuri (sunt imediat dupa, in 9.1).

G1. Semnalul $x$ are 7 esantioane, filtrul $h$ are 5 coeficienti. Cate esantioane are $y = h * x$?

• A. 7
• B. 11
• C. 12
• D. 35

G2. Cat este $[1, 2] * [1, 1, 1]$?

• A. $[1, 2, 0]$
• B. $[1, 3, 2]$
• C. $[1, 3, 3, 2]$
• D. $[3, 3]$

G3. La intrarea unui filtru cu coeficientii $h(n)$ punem impulsul $\delta(n)$. La iesire obtinem:

• A. tot $\delta(n)$
• B. $h(n)$
• C. suma coeficientilor lui $h$
• D. zero

G4. Convolutiei a doua semnale in timp ii corespunde, in frecventa:

• A. adunarea spectrelor
• B. convolutia spectrelor
• C. inmultirea spectrelor
• D. impartirea spectrelor

G5. Filtrul cu $h = [\frac13, \frac13, \frac13]$ este:

• A. trece-jos
• B. trece-sus
• C. trece-banda
• D. nu schimba semnalul

G6. Inmultim doua semnale in timp, esantion cu esantion: $y(n) = h(n)\cdot x(n)$. Spectrul lui $y$ este:

• A. $H(k)\cdot X(k)$
• B. $H(k) + X(k)$
• C. $(H * X)(k)$
• D. acelasi cu al lui $x$

G7. Cat este $x * \delta(n - 3)$?

• A. semnalul $x$ inmultit cu 3
• B. semnalul $x$ intarziat cu 3 esantioane
• C. semnalul $x$ devansat cu 3 esantioane
• D. primele 3 esantioane din $x$

G8. La o anumita frecventa $k$ avem $|X(k)| = 6$ si $|H(k)| = 0.5$. Cat este $|Y(k)|$ la iesirea filtrului?

• A. 6.5
• B. 12
• C. 3
• D. 5.5

Raspunsurile sunt scrise asa cum le-ai pune pe foaie: scurt, cu formula si cu o propozitie de explicatie.

T1. Ce este convolutia? Dati definitia si o aplicatie. (examen 2023, 2026)

T2. Enuntati teorema convolutiei. La ce foloseste? (examen 2023, 2026)

T3. Ce este raspunsul la impuls al unui sistem?

T4. Cum aflati functia de transfer a unui sistem la care aveti acces doar la intrare si la iesire? (examen 2024)

T5. De ce filtrul “Moving Average” este un filtru trece-jos?

T6. Care este legatura dintre $h(n)$ si $H(k)$?

Urmatorul capitol: Cap 8 — Scurgerea spectrala (DFT leakage), zero-padding si ferestre.