← inapoi la cuprins · Cursul 7 · Carte: cap. 5.5–5.6 · Notite: p. 31–36 · Inainte: Cap 4

Ce cade: partial 2025 grila 5 (amplificator de 40 dB, ADC cu SNR 50 dB) — rezolvata in sectiunea 6; examen 2023 C: “decibeli: definitie, interpretare; daca SNR = 60 dB, de cate ori e mai mare puterea semnalului decat a zgomotului?”; examen 2024: “ce probleme apar la cuantizare, se poate recupera semnalul, cum minimizam erorile?”

Dupa esantionare, fiecare esantion $s(nT_s)$ e inca un numar real (infinit de zecimale). Ca sa-l putem stoca pe un numar finit de biti $B$, il rotunjim la unul din $2^B$ niveluri: $s(n) = Q[s(nT_s)]$.

Pasul de cuantizare (latimea unei trepte), pentru semnal in $[-A, A]$:

$$ \boxed{\Delta = \frac{2A}{2^B}} $$

Exemplu (curs): $A = 1$, $B = 3$ → $2^3 = 8$ niveluri, $\Delta = \frac{2}{8} = 0.25$.

Eroarea $\varepsilon = s(nT_s) - \tilde{s}(nT_s)$, unde $\tilde s$ e valoarea folosita la reconstructie (D → A) pentru treapta respectiva.

• cea mai buna alegere: $\tilde s$ = mijlocul treptei → eroarea e intre $-\Delta/2$ si $+\Delta/2$
• valoarea efectiva (RMS) a erorii (calculul din notite p. 32–33):

$$ \mathrm{rms}(\varepsilon) = \sqrt{\frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\varepsilon^2\,d\varepsilon} = \sqrt{\frac{1}{\Delta}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2\Delta^3}{8}} = \boxed{\sqrt{\frac{\Delta^2}{12}} = \frac{\Delta}{\sqrt{12}}} \qquad P_{eroare} = \frac{\Delta^2}{12} $$

Tema din curs (rezolvata): daca reconstruim la $a = \Delta/4$ in loc de mijloc, eroarea e in $[-\Delta/4, 3\Delta/4]$: $\mathrm{rms}^2 = \frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/4}^{3\Delta/4}\varepsilon^2 d\varepsilon = \frac{1}{3\Delta}\left(\frac{27\Delta^3}{64} + \frac{\Delta^3}{64}\right) = \frac{7\Delta^2}{48} \approx 0.146\Delta^2 > \frac{\Delta^2}{12} \approx 0.083\Delta^2$ → mai mare, deci mijlocul e mai bun.

$$ \boxed{\mathrm{SNR} = \frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}}} $$

= de cate ori e mai mare puterea semnalului decat puterea zgomotului. Cu cat mai mare, cu atat mai bine.

Semnal de test: sinusoida $A\cos(2\pi f t)$ care ocupa tot intervalul $[-A, A]$:

• $P_{semnal} = \frac{A^2}{2}$ (puterea unui cosinus, Cap 2)
• $P_{eroare} = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{(2A/2^B)^2}{12} = \frac{A^2}{3\cdot 2^{2B}}$

$$ \mathrm{SNR}_{ADC} = \frac{A^2/2}{A^2/(3\cdot 2^{2B})} = \boxed{\frac{3}{2}\cdot 2^{2B}} $$

(nu depinde de $A$!)

Decibelul (dB) = unitate pentru un raport de puteri, pe scara logaritmica:

$$ \boxed{\frac{P_2}{P_1}\,(\mathrm{dB}) = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{P_2}{P_1} = 10^{\,\mathrm{dB}/10} $$

• Bel (dupa Graham Bell) $= \log_{10}\frac{P_2}{P_1}$; prea grosier, asa ca folosim zecimi de Bel → deciBel → factorul 10
• De ce logaritmic? Rapoartele din practica merg de la $10^{-10}$ la $10^{10}$; in dB devin $-100 \dots 100$. Si: inmultirea rapoartelor devine adunare (doua amplificatoare de 20 dB + 10 dB in serie = 30 dB).

Puterea absoluta a unui semnal, raportata la 1 mW:

$$ P\,(\mathrm{dBm}) = 10\log_{10}\frac{P}{1\ \mathrm{mW}} $$

Folosita de exemplu pentru puterea semnalului GSM primit de telefon. Truc: $P_{iesire}(\mathrm{dBm}) = P_{intrare}(\mathrm{dBm}) + G(\mathrm{dB})$.

$$ \mathrm{SNR}_{ADC}(\mathrm{dB}) = 10\log_{10}\left(\frac{3}{2}\cdot 2^{2B}\right) = \underbrace{10\log_{10}\tfrac{3}{2}}_{\approx 2} + 2B\cdot\underbrace{10\log_{10}2}_{\approx 3} \approx \boxed{6B + 2\ \mathrm{dB}} $$

(am folosit $\log_{10}\frac32 \approx 0.2$ si $\log_{10}2 \approx 0.3$; in notite apare intai “+20”, corectat apoi la “+2”)

• $B = 8$ → $\approx 50$ dB → puterea semnalului e de $\approx 10^5$ ori mai mare decat a erorii
• $B = 16$ → $\approx 98$ dB → $\approx 10^{10}$ ori. CD audio: $B = 16$, $f_s = 44100$ Hz → frecventa maxima 22.05 kHz
• fiecare bit in plus → $+6$ dB (eroarea de 2 ori mai mica in amplitudine, de 4 ori in putere)

• $2^B$ niveluri; $\Delta = \frac{2A}{2^B}$
• eroarea de cuantizare: $\pm\Delta/2$, RMS $= \frac{\Delta}{\sqrt{12}}$, putere $\frac{\Delta^2}{12}$; ireversibila, scade cu mai multi biti
• $\mathrm{SNR} = \frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}}$; $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac32 2^{2B}$ → $\approx 6B + 2$ dB
• $\mathrm{dB} = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$; $10X$ dB = $10^X$ ori; $3$ dB ≈ ×2; $-3$ dB ≈ jumatate
• dB-urile se aduna cand rapoartele se inmultesc (lant de amplificatoare)
• dBm = raportat la 1 mW (0 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W)
• $B = 8$ → 50 dB; $B = 16$ → 98 dB; CD: 16 biti, 44.1 kHz

Enunt: Un amplificator analog de 40 dB si un convertor A/D cu SNR = 50 dB. (a) La intrarea amplificatorului avem $P = 10$ mW. $P_{out} = $ ? (b) In digital: de cate ori e $P_{out}$ (semnalul) mai mare decat $P_{zgomot}$?

• (a) $40$ dB → raport $10^{40/10} = 10^4$. $P_{out} = 10\ \mathrm{mW}\cdot 10^4 = 10^5$ mW $= $ 100 W. (Cu dBm: $10$ mW $= 10$ dBm; $10 + 40 = 50$ dBm $= 10^5$ mW ✓.) Capcana: “$40 \cdot 10 = 400$” e gresit — dB-urile nu se inmultesc direct cu puterea.
• (b) $\mathrm{SNR} = 50$ dB → $\frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}} = 10^{50/10} =$ $10^5$ ori.

G1. Un amplificator de 30 dB mareste puterea semnalului de:

1. A. 30 ori
2. B. 300 ori
3. C. 1000 ori
4. D. 3 ori

G2. Daca SNR-ul unui semnal este 60 dB, puterea semnalului e mai mare decat a zgomotului de:

1. A. 60 ori
2. B. $10^6$ ori
3. C. $10^{60}$ ori
4. D. 600 ori

G3. O atenuare de 3 dB (adica −3 dB) inseamna ca puterea:

1. A. scade la jumatate
2. B. scade de 3 ori
3. C. scade de 1000 ori
4. D. creste de 2 ori

G4. Puterea de 1 W exprimata in dBm este:

1. A. 0 dBm
2. B. 1 dBm
3. C. 30 dBm
4. D. 1000 dBm

G5. Doua amplificatoare de 20 dB si 10 dB legate in serie au castigul total:

1. A. 200 dB
2. B. 30 dB (adica ×1000)
3. C. 2 dB
4. D. 10 dB

G6. Un ADC pe 8 biti are $\mathrm{SNR}_{ADC}$ aproximativ:

1. A. 8 dB
2. B. 16 dB
3. C. 50 dB
4. D. 98 dB

G7. Daca adaugam un bit in plus la un ADC, SNR-ul de cuantizare:

1. A. creste cu aproximativ 6 dB
2. B. se dubleaza in dB
3. C. scade
4. D. nu se schimba

G8. Un ADC pe $B = 4$ biti pentru semnale in $[-1, 1]$ are pasul de cuantizare:

1. A. 0.25
2. B. 0.125
3. C. 0.5
4. D. 1/4096

G9. Valoarea efectiva (RMS) a erorii de cuantizare (reconstructie la mijlocul treptei) este:

1. A. $\Delta$
2. B. $\Delta/2$
3. C. $\Delta/\sqrt{12}$
4. D. $\Delta^2$

G10. Eroarea de cuantizare:

1. A. poate fi eliminata complet cu un filtru trece-jos
2. B. este ireversibila, dar poate fi micsorata folosind mai multi biti
3. C. apare doar daca $f_s < 2W$
4. D. nu exista la ADC-uri moderne

G11. Un cuantizor pe 3 biti are:

1. A. 3 niveluri
2. B. 6 niveluri
3. C. 8 niveluri
4. D. 9 niveluri

G12. Un raport de puteri $P_2/P_1 = 0.01$ exprimat in dB este:

1. A. −2 dB
2. B. −20 dB
3. C. −100 dB
4. D. 0.01 dB

G13. Pentru CD audio s-au ales:

1. A. $B = 8$, $f_s = 8$ kHz
2. B. $B = 16$, $f_s = 44.1$ kHz
3. C. $B = 24$, $f_s = 192$ kHz
4. D. $B = 16$, $f_s = 22.05$ kHz

G14. $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac32 2^{2B}$ depinde de:

1. A. amplitudinea $A$ a semnalului
2. B. doar de numarul de biti $B$
3. C. de frecventa de esantionare
4. D. de frecventa semnalului

1. a) Un ADC pe 12 biti primeste o sinusoida care ocupa tot intervalul. Cat e $\mathrm{SNR}_{ADC}$ in dB si ca raport?
2. b) Vrem $\mathrm{SNR}_{ADC} \geq 90$ dB. Cati biti ne trebuie (minim)?
3. c) Un semnal de 1 mW trece printr-un amplificator de 23 dB. Ce putere are la iesire (in mW si in dBm)?
4. d) Pentru un ADC pe 12 biti cu intrare in $[-2, 2]$ V, cat sunt $\Delta$ si eroarea RMS?

Problema — rezolvare:

• a) $6\cdot 12 + 2 = 74$ dB; raport $\frac32 2^{24} \approx 2.5\cdot 10^7$ (adica $10^{7.4}$).
• b) $6B + 2 \geq 90$ → $B \geq 14.67$ → $B = 15$ biti.
• c) $23$ dB $= 20 + 3$ dB → $\times 100 \times 2 = \times 200$ → 200 mW; in dBm: $0 + 23 = $ 23 dBm.
• d) $\Delta = \frac{2\cdot 2}{2^{12}} = \frac{4}{4096} \approx 0.98$ mV; $\mathrm{rms} = \frac{\Delta}{\sqrt{12}} \approx 0.28$ mV.

Urmatorul: Cap 6 — Jumatatea din Cursul 8 (dupa curs) · Simulare partial + foaie de formule.