← inapoi la cuprins · Cursurile 4–5 · Carte: cap. 4.8–4.9 · Notite: p. 16–20 · Inainte: Cap 2

Ce cade din capitolul asta:

• spectrul lui $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$ — a fost la partialul din 2025 si e punctul a) al problemei de examen din 2024–2026 (rezolvate in sectiunile 7 si 8)
• “Enumerati 3 proprietati ale transformatei Fourier” — intrebare de teorie la examenele din 2023 si 2026 (sectiunea 2 si sectiunea 12)

Luam un puls: semnalul e 1 timp de $\Delta = 1$ ms si 0 in rest. (“Puls” = o “caramida” dreptunghiulara. $\Delta$, litera greceasca “delta mare”, e latimea pulsului, masurata in secunde.)

In Cap 2 pulsul se repeta la fiecare $T$ secunde (semnal periodic). Spectrul lui era facut din linii, iar distanta dintre doua linii vecine e $1/T$:

Cu cat pulsul se repeta mai rar, cu atat liniile din spectru sunt mai dese. Un puls care nu se mai repeta deloc e acelasi lucru cu un puls care se repeta “o data la infinit”. Atunci distanta dintre linii ajunge 0: liniile se lipesc intr-o curba continua.

Ce vezi in desen: pe orizontala e frecventa (in kHz), pe verticala e inaltimea liniilor. Acelasi puls de 1 ms, repetat tot mai rar: 2 ms, 5 ms, 15 ms. Liniile albastre se indesesc, dar forma pe care o urmaresc (linia punctata) ramane aceeasi. In ultimul desen pulsul nu se mai repeta: a ramas doar forma, plina (verde).

Un semnal care nu se repeta se numeste aperiodic (sau neperiodic).

Mai e o problema de rezolvat. Cand $T$ creste, liniile nu doar se indesesc, ci devin si tot mai scunde. De exemplu linia din mijloc, $c_0$, este media semnalului pe o perioada (Cap 2 §1.3). Pentru pulsul nostru media e $\Delta / T$ (cat timp e 1, impartit la toata perioada):

Daca am desena $c_k$, la $T \to \infty$ n-am mai vedea nimic (toate liniile ajung 0). Solutia: desenam $T \cdot c_k$, care nu mai scade (ultima coloana ramane 1 ms). Asta e transformata Fourier:

$$ S(f) = T \cdot c_k \quad \text{citit la frecventa } f = \frac{k}{T}, \text{ cand } T \to \infty $$

Daca in formula lui $c_k$ din Cap 2 inmultim cu $T$ (dispare $\frac{1}{T}$ din fata) si lasam perioada sa acopere tot timpul, obtinem formula transformatei Fourier (prescurtat TF):

$$ \boxed{S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt} $$

Ce e fiecare simbol:

• $s(t)$ = semnalul in timp ($t$ = timpul, in secunde)
• $f$ = frecventa la care ne uitam (in Hz). Poate fi orice numar, nu doar multipli de $1/T$.
• $\int \dots dt$ = integrala = o “suma continua”: aduni valorile pentru toate momentele $t$. (Geometric: aria de sub grafic.)
• $e^{-j2\pi f t}$ = “detectorul” pentru frecventa $f$. E aceeasi bucata ca in formula lui $c_k$ (Cap 2 §1.1): inmultesti semnalul cu ea, aduni tot, si rezultatul e mare doar daca semnalul chiar contine frecventa $f$.
• $S(f)$ = rezultatul: cat de mult din frecventa $f$ este in semnal. E un numar complex. Pe desene punem modulul lui, $|S(f)|$ (marimea, fara faza), exact ca la $|c_k|$.

Exista si drumul inapoi (din spectru reconstruiesti semnalul), numit transformata Fourier inversa:

$$ \boxed{s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f)\,e^{j2\pi f t}\,df} $$

In cuvinte: aduni toate sinusoidele complexe $e^{j2\pi f t}$, fiecare luata in “cantitatea” $S(f)$. E aceeasi idee ca suma din seria Fourier, doar ca suma a devenit integrala (pentru ca acum sunt toate frecventele, nu doar cateva).

Pulsul nostru, acum singur (nu se mai repeta): $p_\Delta(t) = 1$ pentru $t$ intre $0$ si $\Delta$, si $0$ in rest.

Spectrul lui este (calculul e mai jos, pentru cine il vrea):

$$ |P(f)| = \Delta\,|\mathrm{sinc}(\pi f\Delta)| $$

unde $\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$ este functia “cocoasa cu valuri” din Cap 2 §3.1.

Ce vezi in desen: in stanga, pulsul in timp (orizontal: timpul; vertical: valoarea semnalului). In dreapta, spectrul lui (orizontal: frecventa; vertical: $|P(f)|$). Punctele rosii sunt locurile unde spectrul e exact 0.

Ce retii de aici:

• forma e o cocoasa mare in mijloc si valuri tot mai mici pe margini
• inaltimea maxima e $\Delta$, la $f = 0$
• spectrul e zero la $f = \pm\frac{1}{\Delta}, \pm\frac{2}{\Delta}, \pm\frac{3}{\Delta}, \dots$
• cu numere: puls de $\Delta = 1$ ms → zerouri la $\frac{1}{0.001} = 1000$ Hz $= 1$ kHz, apoi la 2 kHz, 3 kHz … Puls de $\Delta = 2$ ms → primul zero la $\frac{1}{0.002} = 500$ Hz.
• pulsul periodic din Cap 2 avea exact aceleasi inaltimi, dar doar in punctele $f = k/T$ (liniile albastre din desenul de mai sus “ciupesc” din curba asta)

In problemele de examen nu ti se da formula mesajului $s(t)$. Ti se da direct un desen al spectrului lui: un trapez (sau un triunghi) intre $-W/2$ si $W/2$.

Ce vezi in desen: in stanga, desenul asa cum apare in enunt, cu litere. In dreapta, acelasi desen cu numere, pentru $W = 2$ MHz.

Cum il citesti:

• Axa orizontala = frecventa $f$.
• Axa verticala = $|S(f)|$ = cat de mult din fiecare frecventa este in mesaj.
• $A$ = inaltimea varfului. In enunt nu se da ca numar, asa ca ii dam noi un nume: $A$.
• $W$ = latimea totala a spectrului, de la capatul din stanga pana la capatul din dreapta. Se mai numeste banda semnalului.
• In afara intervalului (sub $-W/2$ sau peste $W/2$) spectrul e 0: mesajul nu contine frecvente mai mari decat $W/2$.

O proprietate e o regula de tipul: “daca fac X semnalului in timp, atunci spectrul lui se schimba asa”. Te scuteste de calcule: stii spectrul vechi, aplici regula, ai spectrul nou.

Sageata $\leftrightarrow$ se citeste “are spectrul”. De exemplu $s(t) \leftrightarrow S(f)$ = “semnalul $s(t)$ are spectrul $S(f)$”.

Cuvinte folosite in tabel:

• real = semnalul are valori numere obisnuite (nu complexe). Orice semnal masurat in realitate (tensiune, sunet) e real.
• par = simetric fata de $t = 0$: $s(-t) = s(t)$. Exemplu: cosinusul.
• impar = antisimetric: $s(-t) = -s(t)$. Exemplu: sinusul.
• $S^*$ = conjugatul lui $S$: acelasi modul, faza cu semn schimbat (Cap 0 §3).
• $\tau$ (litera greceasca “tau”) = cu cate secunde intarziem semnalul.

Cate un exemplu mic pentru fiecare:

• 1 (real → oglinda). $\cos(2\pi\cdot 5\,t)$ are o linie de $\frac12$ la $+5$ Hz si una de $\frac12$ la $-5$ Hz: aceeasi inaltime in stanga si in dreapta. De aceea la un semnal real e de ajuns sa desenezi partea cu $f > 0$ si s-o oglindesti.
• 2 (par → spectru real). Cosinusul e par. Liniile lui sunt $\frac12$ si $\frac12$: numere reale.
• 3 (impar → spectru imaginar). Sinusul e impar. Liniile lui sunt $-\frac{j}{2}$ la $+f$ si $+\frac{j}{2}$ la $-f$ (Cap 0 §6.2): numere pur imaginare, cu semne opuse.
• 4 (intarziere). Vezi sectiunea 2.2, cu desen si numere.
• 5 (Parseval). Un cosinus de amplitudine $A = 2$. In timp, puterea lui e $\frac{A^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. In frecventa are doua linii de inaltime $\frac{A}{2} = 1$; puterea = $1^2 + 1^2 = 2$. Acelasi rezultat. (Pentru semnale periodice se vorbeste de putere si de suma, Cap 2 §4.1; pentru cele aperiodice de energie si de integrala. Ideea e aceeasi.)
• 6 (deplasare in frecventa). Vezi sectiunea 2.1, cu desen si numere.
• 7 (liniaritate). Spectrul lui $3\cos(2\pi\cdot 5\,t) + \cos(2\pi\cdot 8\,t)$ = liniile primului cosinus ($\frac32$ la $\pm5$ Hz) plus liniile celui de-al doilea ($\frac12$ la $\pm8$ Hz). Le desenezi pe aceeasi axa. Fara proprietatea asta n-am putea analiza semnalele “pe bucati”.
• 8 (scalare). Puls de 1 ms → primul zero al spectrului la 1 kHz. Puls de 0.5 ms (de doua ori mai ingust) → primul zero la 2 kHz (spectru de doua ori mai lat). Cap 2 §3.3.

Valoarea spectrului la $f = 0$. Daca pui $f = 0$ in formula, $e^{-j2\pi\cdot 0\cdot t} = e^0 = 1$ si ramane:

$$ S(0) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t)\,dt $$

adica “suma” intregului semnal (aria de sub graficul lui). Se numeste componenta continua (prescurtat DC, de la “direct current”) si e ruda cu $c_0$ = media din Cap 2. Exemplu: pulsul de inaltime 1 si latime $\Delta = 1$ ms are aria $1 \cdot 0.001 = 0.001$, deci $S(0) = \Delta$ — exact varful cocoasei din desenul de la 1.1.

Intai cu numere. Luam cel mai simplu semnal complex: $e^{j2\pi\cdot 3\,t}$. Asta e un punct care se roteste pe cerc de 3 ori pe secunda (Cap 0 §4.1) si are in spectru o singura linie, la $+3$ Hz.

Il inmultim cu $e^{j2\pi\cdot 10\,t}$. La inmultirea puterilor cu aceeasi baza, exponentii se aduna (ca la $10^2\cdot 10^3 = 10^5$):

$$ e^{j2\pi\cdot 3\,t}\cdot e^{j2\pi\cdot 10\,t} = e^{j2\pi\cdot (3 + 10)\,t} = e^{j2\pi\cdot 13\,t} $$

Rezultatul are o singura linie, la 13 Hz. Linia de la 3 Hz s-a mutat cu 10 Hz la dreapta.

Acum in general. Orice semnal e o suma de astfel de bucati $e^{j2\pi f t}$, cu diverse frecvente $f$ (asta spune formula inversa din sectiunea 1). Daca inmultesti tot semnalul cu $e^{j2\pi f_0 t}$, fiecare bucata isi muta frecventa de la $f$ la $f + f_0$. Deci tot spectrul se muta la dreapta cu $f_0$, fara sa-si schimbe forma:

$$ \boxed{s(t)\,e^{j2\pi f_0 t} \;\longleftrightarrow\; S(f - f_0)} $$

Ce vezi in desen: in stanga, spectrul initial, centrat in 0 (de la $-W/2$ la $W/2$). In dreapta, dupa inmultire: aceeasi forma, centrata acum in $f_0$ (de la $f_0 - W/2$ la $f_0 + W/2$). Linia punctata arata unde era inainte.

Intai cu numere. Luam $\cos(2\pi\cdot 5\,t)$: frecventa 5 Hz, o oscilatie dureaza $\frac15 = 0.2$ s. Il intarziem cu $\tau = 0.05$ s (un sfert de oscilatie):

$$ \cos\big(2\pi\cdot 5\,(t - 0.05)\big) = \cos\big(2\pi\cdot 5\,t - 2\pi\cdot 5\cdot 0.05\big) = \cos\big(2\pi\cdot 5\,t - \tfrac{\pi}{2}\big) $$

Ce s-a schimbat si ce nu:

• frecventa e tot 5 Hz, amplitudinea e tot 1 → liniile din spectru sunt tot la $\pm5$ Hz, tot de inaltime $\frac12$. Modulul spectrului e neschimbat.
• a aparut doar o faza de $-\frac{\pi}{2}$ (un sfert de tura in urma). Formula o prezice: $-2\pi f\tau = -2\pi\cdot 5\cdot 0.05 = -\frac{\pi}{2}$.

Acum in general:

$$ \boxed{s(t - \tau) \;\longleftrightarrow\; S(f)\,e^{-j2\pi f\tau}} $$

Spectrul vechi $S(f)$ se inmulteste cu $e^{-j2\pi f\tau}$. Numarul asta are modulul 1 (e un punct de pe cercul de raza 1, Cap 0 §4), deci inmultirea cu el nu schimba marimea, ci doar roteste faza: $|S(f)\,e^{-j2\pi f\tau}| = |S(f)|\cdot 1 = |S(f)|$.

Ce vezi in desen: in stanga, pulsul original (albastru) si acelasi puls intarziat cu $\tau$ (portocaliu punctat). In dreapta, modulul spectrului pentru fiecare: cele doua curbe sunt exact una peste alta.

Am zis ca semnalele aperiodice au spectru continuu. Dar un cosinus (care tine la nesfarsit) are tot linii, ca in Cap 0. Ca sa putem scrie o linie intr-o formula, avem nevoie de un simbol pentru “ceva care exista intr-un singur punct de pe axa frecventelor”. Simbolul e functia delta, $\delta(f)$ (litera greceasca “delta mic”):

$$ \delta(f) = \begin{cases} 1, & f = 0 \\ 0, & \text{in rest} \end{cases} $$

In cuvinte: $\delta(f)$ = o linie de inaltime 1 la $f = 0$ si nimic in rest. Pe desene o reprezentam printr-o sageata verticala.

Reguli de citire:

• numarul din fata = inaltimea liniei: $\frac12\,\delta(f)$ = linie de inaltime $\frac12$
• $\delta(f - f_c)$ = aceeasi linie, mutata la $f = f_c$ (paranteza e 0 cand $f = f_c$ — acelasi rationament ca la $S(f - f_0)$ din 2.1)
• $\delta(f + f_c)$ = linia mutata la $f = -f_c$ (paranteza e 0 cand $f = -f_c$)

Cu ea scriem spectrele pe care le stim deja:

• constanta $1$ ↔ $\delta(f)$ — o linie la $f = 0$ (un semnal care nu se schimba deloc are “frecventa 0”)
• $e^{j2\pi f_c t}$ ↔ $\delta(f - f_c)$ — o linie la $+f_c$
• $\cos(2\pi f_c t)$ ↔ $\frac{1}{2}\delta(f - f_c) + \frac{1}{2}\delta(f + f_c)$ — doua linii de $\frac12$, la $+f_c$ si la $-f_c$. Este exact spectrul cosinusului din Cap 0 §6.1, doar scris ca formula.

Asta e sectiunea de care depind toate problemele cu AM si cu esantionare. Intrebarea: ce se intampla cu spectrul unui semnal daca il inmultesc cu $\cos(2\pi f_c t)$?

Raspunsul scurt: spectrul se copiaza in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$, fiecare copie la jumatate din inaltime. Mai jos vezi de ce, intai cu numere.

Luam ca mesaj cel mai simplu semnal: $s(t) = \cos(2\pi\cdot 1\,t)$ (frecventa 1 Hz). Il inmultim cu $\cos(2\pi\cdot 10\,t)$ (frecventa 10 Hz).

Pas 1 — scriem fiecare cosinus ca doua exponentiale (formula din Cap 0 §4.2: $\cos x = \frac12 e^{jx} + \frac12 e^{-jx}$):

$$ \cos(2\pi\cdot 1\,t) = \tfrac12 e^{j2\pi\cdot 1\,t} + \tfrac12 e^{-j2\pi\cdot 1\,t} \qquad \text{(linii de } \tfrac12 \text{ la } +1 \text{ si } -1 \text{ Hz)} $$

$$ \cos(2\pi\cdot 10\,t) = \tfrac12 e^{j2\pi\cdot 10\,t} + \tfrac12 e^{-j2\pi\cdot 10\,t} \qquad \text{(linii de } \tfrac12 \text{ la } +10 \text{ si } -10 \text{ Hz)} $$

Pas 2 — inmultim paranteza cu paranteza (fiecare termen din prima cu fiecare termen din a doua → 4 produse). La fiecare produs: numerele din fata se inmultesc ($\frac12\cdot\frac12 = \frac14$), iar frecventele se aduna (ca in 2.1):

Pas 3 — citim rezultatul. Produsul are patru linii de $\frac14$: la $+9$, $+11$, $-9$, $-11$ Hz.

Ce vezi in desen: trei spectre, pe aceeasi axa de frecventa (in Hz). Sus: mesajul, doua linii de $\frac12$ la $\pm1$ Hz. La mijloc: cosinusul de 10 Hz, doua linii de $\frac12$ la $\pm10$ Hz. Jos: produsul lor.

Uita-te la desenul de jos si compara-l cu cel de sus:

• cele doua linii ale mesajului (de la $-1$ si $+1$) apar acum in jurul lui $+10$: la $10 - 1 = 9$ si $10 + 1 = 11$ (albastru)
• si inca o data in jurul lui $-10$: la $-10 - 1 = -11$ si $-10 + 1 = -9$ (portocaliu)
• fiecare copie are jumatate din inaltimea initiala: $\frac12 \to \frac14$
• in jurul lui 0, unde era mesajul, nu a mai ramas nimic

Asta inseamna “inmultirea cu un cosinus muta spectrul”: spectrul mesajului a fost luat din jurul lui 0 si pus in jurul lui $\pm10$ Hz.

Un mesaj adevarat nu are doua linii, ci un spectru intreg $S(f)$ (trapezul din 1.2). Dar se intampla acelasi lucru cu fiecare frecventa din el: fiecare se muta in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$. Deci se muta toata forma.

Formal: scriem cosinusul ca doua exponentiale,

$$ s(t)\cos(2\pi f_c t) = \frac{1}{2}s(t)\,e^{j2\pi f_c t} + \frac{1}{2}s(t)\,e^{-j2\pi f_c t} $$

si aplicam proprietatea 6 (deplasarea in frecventa, sectiunea 2.1) fiecarui termen: primul muta spectrul cu $+f_c$, al doilea cu $-f_c$:

$$ \boxed{s(t)\cos(2\pi f_c t) \;\longleftrightarrow\; \frac{1}{2}S(f - f_c) + \frac{1}{2}S(f + f_c)} $$

In cuvinte: spectrul lui $s$ se copiaza in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$, fiecare copie la jumatate din inaltime. Asta e regula pe care o folosesti in toate problemele.

Exemplul din 4.1, scris cu litere (pentru doua frecvente oarecare $f_1$ si $f_2$):

$$ \cos(2\pi f_1 t)\cdot\cos(2\pi f_2 t) = \frac{1}{2}\cos\big(2\pi(f_2 - f_1)t\big) + \frac{1}{2}\cos\big(2\pi(f_2 + f_1)t\big) $$

Apar frecventa diferenta si frecventa suma, fiecare cu amplitudinea $\frac12$. In spectru: linii de $\frac14$ la $\pm(f_2 - f_1)$ si la $\pm(f_2 + f_1)$ (un cosinus de amplitudine $\frac12$ da doua linii de $\frac14$).

Vrei sa trimiti prin radio un mesaj $s(t)$: voce, muzica, date. Mesajul are frecvente mici (vocea: pana la cativa kHz). Nu-l poti trimite asa cum e, din doua motive:

• Antena. O antena trebuie sa aiba o lungime comparabila cu lungimea de unda. La 1 kHz lungimea de unda e de 300 km. La 100 MHz e de 3 m, deci ajunge o antena de aproximativ un metru (ca la masina).
• Toti ar vorbi unii peste altii. Toate vocile ocupa aceleasi frecvente mici. Daca toate posturile ar emite direct, s-ar amesteca.

Solutia: fiecare post isi muta mesajul la o frecventa mare, a lui, numita frecventa purtatoare $f_c$ (indicele “c” vine de la “carrier” = purtator). Cum il muta? Inmultindu-l cu $\cos(2\pi f_c t)$ — exact regula din sectiunea 4. Procedeul se numeste modulatie.

$$ y(t) = \big(1 + s(t)\big)\cos(2\pi f_c t) $$

• $s(t)$ = mesajul (frecvente mici)
• $f_c$ = frecventa purtatoare (mare, de exemplu 100 MHz)
• $\cos(2\pi f_c t)$ = purtatoarea
• $y(t)$ = semnalul care pleaca efectiv pe antena

Daca desfaci paranteza (inmultesti cosinusul cu 1 si apoi cu $s(t)$), obtii doua bucati:

$$ y(t) = \underbrace{1\cdot\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1: purtatoarea singura}} + \underbrace{s(t)\cdot\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2: mesajul mutat}} $$

Ce vezi in desen: trei grafice in timp (orizontal: timpul). Stanga: mesajul, care se schimba incet. Mijloc: purtatoarea, care oscileaza foarte repede, mereu intre $-1$ si $1$. Dreapta: semnalul AM — purtatoarea oscileaza la fel de repede, dar inaltimea ei urca si coboara dupa mesaj. Linia albastra punctata (conturul) este chiar $1 + s(t)$.

“Amplitudine” = inaltimea oscilatiei. Mesajul modifica amplitudinea purtatoarei. De aici numele: modulatie in amplitudine (AM = “amplitude modulation”).

Spectrul unei sume e suma spectrelor (proprietatea 7, liniaritatea). Deci luam cele doua bucati pe rand.

Bucata 1: $1\cdot\cos(2\pi f_c t)$. E un cosinus simplu, de amplitudine 1. Stim din Cap 0: un cosinus de amplitudine $A$ are doua linii de $A/2$. Aici amplitudinea e 1, deci: doua sageti de inaltime $\frac12$, la $+f_c$ si la $-f_c$.

Bucata 2: $s(t)\cdot\cos(2\pi f_c t)$. E mesajul inmultit cu un cosinus. Regula din 4.2: spectrul mesajului se copiaza in jurul lui $+f_c$ si $-f_c$, la jumatate din inaltime. Varful mesajului era $A$, deci: doua copii ale trapezului, de inaltime $\frac{A}{2}$.

Ce vezi in desen: trei spectre, pe aceeasi axa de frecventa. Sus: bucata 1 (sagetile rosii de $\frac12$). La mijloc: bucata 2 (copiile mesajului, de inaltime $A/2$; albastru in dreapta, portocaliu in stanga). Jos: totalul, adica raspunsul $|Y(f)|$ — cele doua desene puse pe aceeasi axa.

Formula totalului (bucata 1 cu functii delta din sectiunea 3, bucata 2 cu regula din 4.2):

$$ \boxed{Y(f) = \underbrace{\frac{1}{2}\delta(f - f_c) + \frac{1}{2}\delta(f + f_c)}_{\text{bucata 1: sagetile}} + \underbrace{\frac{1}{2}S(f - f_c) + \frac{1}{2}S(f + f_c)}_{\text{bucata 2: copiile mesajului}}} $$

Luam numerele din problema de examen: $f_c = 100$ MHz si $W = 2$ MHz. Atunci $W/2 = 1$ MHz, deci mesajul ocupa de la $-1$ la $+1$ MHz.

Copia din dreapta e mesajul mutat cu $+100$. Fiecare punct al mesajului se muta cu $+100$:

• copia din dreapta ocupa [99, 101] MHz, cu mijlocul la 100
• copia din stanga ocupa [−101, −99] MHz, cu mijlocul la −100

Ce vezi in desen: $|Y(f)|$ cu numerele pe axa (in MHz). Desenul e schematic: in realitate copiile sunt mult mai departe de 0 decat pare.

Aceleasi capete, cu litere (asa le scrii la punctul a) al problemei, unde nu ai numere):

• copia din dreapta: de la $f_c - \frac{W}{2}$ la $f_c + \frac{W}{2}$
• copia din stanga: de la $-f_c - \frac{W}{2}$ la $-f_c + \frac{W}{2}$

Ce vezi in desen: sus, spectrul mesajului $|S(f)|$ (in jurul lui 0, varf $A$, latime $W$). Jos, spectrul semnalului AM $|Y(f)|$.

Observatii:

• Cat loc ocupa semnalul AM? Fiecare copie are latimea $W$, cat tot spectrul mesajului (cu partea negativa cu tot). Cum cea mai mare frecventa din mesaj e $W/2$, banda ocupata de semnalul AM este de doua ori frecventa maxima a mesajului. Exemplu: un mesaj audio cu frecvente pana la 5 kHz, transmis cu $f_c = 100$ kHz, ocupa de la $100 - 5 = 95$ kHz la $100 + 5 = 105$ kHz, adica 10 kHz.
• De ce “$1 +$” in formula? Ca purtatoarea sa fie transmisa mereu, chiar si cand mesajul e zero (cand $s(t) = 0$, ramane $y(t) = \cos(2\pi f_c t)$). Receptorul are nevoie de ea ca sa se “acordeze” exact pe frecventa $f_c$. In spectru, “$1 +$” este motivul pentru care apar sagetile. Fara el ($y = s(t)\cos(2\pi f_c t)$) ai avea doar copiile, fara sageti.
• Atentie la notatie: in subiectele de examen, $W$ e toata latimea benzii (mesajul ocupa $[-W/2, W/2]$). In carte, mesajul ocupa $[-W, W]$. Uita-te mereu la ce scrie pe desenul din enunt.

La receptor avem semnalul mutat sus, in jurul lui $\pm f_c$. Vrem mesajul inapoi, in jurul lui 0. Demodulare = operatia inversa modulatiei.

Cum? Inmultim inca o data cu $\cos(2\pi f_c t)$. Stim ce face inmultirea cu un cosinus: muta tot ce exista cu $+f_c$ si cu $-f_c$, la jumatate din inaltime. Aplicam asta celor doua copii (cu numere, $f_c = 100$):

Doua dintre copii ajung inapoi la 0 — acolo e mesajul. Celelalte doua ajung la $\pm200$, adica la $\pm 2f_c$. Pe acestea le aruncam cu un filtru trece-jos (prescurtat FTJ: un filtru care lasa sa treaca frecventele mici si le sterge pe cele mari, Cap 1 §6).

Ce vezi in desen: spectrul dupa a doua inmultire cu purtatoarea. In mijloc (albastru): mesajul, revenit in jurul lui 0. Pe margini (gri): copiile de la $\pm 2f_c$. Linia verde punctata: fereastra filtrului trece-jos, care pastreaza doar ce e in mijloc.

Aceeasi idee — inmultesti cu cos (si sin) la frecventa $f_c$ ca sa aduci semnalul inapoi in jurul lui 0, apoi filtrezi trece-jos — se numeste IQ downconversion si e in Cap 4.

• semnal periodic → spectru cu linii; semnal aperiodic → spectru continuu $S(f)$
• $S(f) = \int s(t)e^{-j2\pi ft}dt$; inapoi: $s(t) = \int S(f)e^{j2\pi ft}df$
• puls de latime $\Delta$ → $|S(f)| = \Delta|\mathrm{sinc}(\pi f\Delta)|$, zerouri la $f = \frac{1}{\Delta}, \frac{2}{\Delta}, \dots$
• “trapez intre $-W/2$ si $W/2$”: $W$ = latimea totala; varful = $A$; cea mai mare frecventa din mesaj = $W/2$
• proprietati: semnal real → modul simetric; intarziere → se schimba doar faza; Parseval; $s(t)e^{j2\pi f_0 t} \leftrightarrow S(f - f_0)$ (spectrul se muta cu $f_0$)
• $S(0) = \int s(t)\,dt$ = componenta continua (DC)
• sageata = linie = functie delta: $\cos(2\pi f_c t) \leftrightarrow \frac{1}{2}\delta(f - f_c) + \frac{1}{2}\delta(f + f_c)$ (doua sageti de $\frac12$)
• $s(t)\cos(2\pi f_c t) \leftrightarrow \frac{1}{2}S(f - f_c) + \frac{1}{2}S(f + f_c)$ (doua copii, la jumatate din inaltime)
• AM, $(1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$: sageti de $\frac12$ la $\pm f_c$ (de la “1”) + copii de inaltime $\frac{A}{2}$ pe $[f_c - \frac{W}{2}, f_c + \frac{W}{2}]$ si $[-f_c - \frac{W}{2}, -f_c + \frac{W}{2}]$ (de la $s(t)$)
• cos × cos → frecventa diferenta si frecventa suma, fiecare cu amplitudinea $\frac12$
• demodulare: inmultesti din nou cu purtatoarea, apoi filtru trece-jos

Ce se cere: liniile din $|Y(f)|$ (la ce frecvente si cat de inalte) pe durata unui singur simbol.

Ce stim:

• pe intervalul $2T < t < 3T$ se transmite un singur simbol (al treilea: primul e pe $0 \ldots T$, al doilea pe $T \ldots 2T$). Pe durata lui, $s(t)$ e unul din cele 4 semnale de mai sus.
• $y(t)$ are exact forma AM din sectiunea 5.2: $(1 + s(t))$ ori purtatoarea.
• Ce inseamna $\frac{1}{T}$, $\frac{2}{T}$, $\frac{10}{T}$: sunt frecvente, scrise in functie de durata simbolului. Daca de exemplu $T = 1$ ms, atunci $f_1 = 1$ kHz, $f_2 = 2$ kHz si $f_c = 10$ kHz.

Pas 1 — luam un caz: se transmite “01”, deci $s(t) = \cos(2\pi f_1 t)$. Desfacem paranteza:

$$ y(t) = \cos(2\pi f_c t) + \cos(2\pi f_c t)\cdot\cos(2\pi f_1 t) $$

Pas 2 — produsul de cosinusuri (formula din 4.3: apar diferenta si suma, fiecare cu $\frac12$ in fata):

$$ y(t) = \cos(2\pi f_c t) + \tfrac{1}{2}\cos\big(2\pi(f_c - f_1)t\big) + \tfrac{1}{2}\cos\big(2\pi(f_c + f_1)t\big) $$

Pas 3 — trecem fiecare cosinus in spectru (un cosinus de amplitudine $A$ da linii de $A/2$ la $\pm$ frecventa lui):

• $\cos(2\pi f_c t)$, amplitudine 1 → linii de $\frac12$ la $\pm f_c = \pm\frac{10}{T}$ (purtatoarea)
• $\frac12\cos(2\pi(f_c - f_1)t)$, amplitudine $\frac12$ → linii de $\frac14$ la $\pm(f_c - f_1) = \pm\frac{9}{T}$
• $\frac12\cos(2\pi(f_c + f_1)t)$, amplitudine $\frac12$ → linii de $\frac14$ la $\pm(f_c + f_1) = \pm\frac{11}{T}$

Pas 4 — celelalte simboluri se fac la fel:

• “00”: $s(t) = 0$, ramane doar $y(t) = \cos(2\pi f_c t)$ → doar purtatoarea
• “10”: ca la “01”, dar cu $f_2 = \frac{2}{T}$ → linii de $\frac14$ la $\frac{10}{T} \pm \frac{2}{T}$, adica la $\frac{8}{T}$ si $\frac{12}{T}$
• “11”: $s(t)$ are amandoua frecventele → apar amandoua perechile de linii

Ce vezi in desen: $|Y(f)|$ pentru fiecare din cele 4 simboluri, doar partea cu $f > 0$ (partea cu $f < 0$ e oglinda). Orizontal: frecventa, in multipli de $1/T$. Vertical: inaltimea liniilor. Rosu: purtatoarea ($\frac12$). Albastru: liniile mesajului, mutate in jurul purtatoarei ($\frac14$).

Raspuns:

La partial te uiti ce simbol cade pe intervalul cerut si scrii randul lui din tabel.

Ce se cere: un desen al lui $|Y(f)|$, cu tot ce trebuie scris pe axe.

Ce stim:

• spectrul mesajului: un trapez de la $-W/2$ la $W/2$ (sectiunea 1.2). Varful lui nu e dat → il notam $A$.
• $y(t)$ e un semnal AM (sectiunea 5).
• nu avem numere la punctul a) → raspunsul se da cu litere ($W$, $f_c$, $A$).

Pas 1 — desfacem paranteza in doua bucati:

$$ y(t) = \underbrace{\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1}} + \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2}} $$

Pas 2 — spectrul bucatii 1. Cosinus simplu, de amplitudine 1 → doua sageti de $\frac12$, la $+f_c$ si la $-f_c$ (sectiunea 5.4).

Pas 3 — spectrul bucatii 2. Mesaj inmultit cu cosinus → trapezul copiat in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$, la jumatate din inaltime: $\frac{A}{2}$ (sectiunea 4.2).

Pas 4 — capetele copiilor (regula: [centru − latime/2, centru + latime/2], sectiunea 5.5):

• copia din dreapta (centru $f_c$): de la $f_c - \frac{W}{2}$ la $f_c + \frac{W}{2}$
• copia din stanga (centru $-f_c$): de la $-f_c - \frac{W}{2}$ la $-f_c + \frac{W}{2}$

Pas 5 — verificam ca nu se suprapun. Enuntul da $f_c > W$, deci copia din dreapta incepe la $f_c - \frac{W}{2}$, care e pozitiv. Copiile nu se ating intre ele si nu ajung la 0.

Raspuns (ce desenezi si scrii pe foaie): desenul de jos din figura de la sectiunea 5.6, adica:

• sageti de $\frac12$ la $\pm f_c$ (purtatoarea)
• trapezul, la jumatate din inaltime ($\frac{A}{2}$), pe $[f_c - \frac{W}{2},\ f_c + \frac{W}{2}]$ si pe $[-f_c - \frac{W}{2},\ -f_c + \frac{W}{2}]$
• in jurul lui 0 nu mai e nimic (mesajul a fost mutat)
• pe axa orizontala scrii: $-f_c - \frac{W}{2}$, $-f_c$, $-f_c + \frac{W}{2}$, $0$, $f_c - \frac{W}{2}$, $f_c$, $f_c + \frac{W}{2}$; pe cea verticala: $|Y(f)|$, $\frac12$, $\frac{A}{2}$

Aceeasi rezolvare, cu inca doua desene si cu punctele b) si c), este in Problema-tip.

Raspunsurile, cu explicatii, sunt in sectiunea 11.

G1. Spectrul unui semnal aperiodic (de exemplu un singur puls) este:

1. A. format din linii la multipli de $1/T$
2. B. continuu
3. C. mereu zero
4. D. o singura linie

G2. Valoarea $S(0)$ a transformatei Fourier reprezinta:

1. A. frecventa maxima a semnalului
2. B. integrala (suma) semnalului, adica componenta continua
3. C. energia semnalului
4. D. faza semnalului

G3. Semnalul $s(t)e^{j2\pi f_0 t}$ are spectrul:

1. A. $S(f)e^{-j2\pi f_0}$
2. B. $S(f - f_0)$
3. C. $S(f)\cdot f_0$
4. D. $S(f + f_0) + S(f - f_0)$

G4. Semnalul $s(t)\cos(2\pi f_c t)$ are spectrul:

1. A. $S(f - f_c)$
2. B. $\frac12 S(f - f_c) + \frac12 S(f + f_c)$
3. C. $S(f)\cos(2\pi f_c)$
4. D. $2S(f - f_c)$

G5. Daca intarziem un semnal cu $\tau$, modulul spectrului $|S(f)|$:

1. A. se muta cu $\tau$
2. B. ramane la fel
3. C. se inmulteste cu $e^{-j2\pi f\tau}$ si scade
4. D. devine continuu

G6. Un puls dreptunghiular de durata $\Delta = 2$ ms are primul zero al spectrului la:

1. A. 2 kHz
2. B. 500 Hz
3. C. 1 kHz
4. D. 250 Hz

G7. Un mesaj audio ocupa frecventele $0 \ldots 5$ kHz si e transmis AM cu $f_c = 100$ kHz. Semnalul AM ocupa (pentru $f > 0$):

1. A. $0 \ldots 5$ kHz
2. B. $95 \ldots 105$ kHz
3. C. $100 \ldots 105$ kHz
4. D. doar 100 kHz

G8. In $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$, termenul “1” are rolul:

1. A. de a amplifica mesajul
2. B. de a transmite purtatoarea si cand mesajul e zero (sincronizarea receptorului)
3. C. de a filtra zgomotul
4. D. nu are niciun rol

G9. $\cos(2\pi\cdot 100\,t)\cdot\cos(2\pi\cdot 1000\,t)$ contine frecventele:

1. A. 100 Hz si 1000 Hz
2. B. 900 Hz si 1100 Hz
3. C. 1100 Hz
4. D. 100000 Hz

G10. In spectrul lui $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$, la $\pm f_c$ apar:

1. A. sageti de inaltime 1
2. B. sageti de inaltime $\frac12$ (purtatoarea), plus copiile lui $\frac12 S$
3. C. doar copiile lui $S$
4. D. nimic

G11. Pentru un semnal real, $|S(f)|$ este:

1. A. simetric fata de $f = 0$
2. B. antisimetric
3. C. zero pentru $f < 0$
4. D. constant

G12 (tip partial). Cu notatiile din sectiunea 7, pe un interval se transmite “01”. Spectrul $|Y(f)|$ pentru $f > 0$ are:

1. A. o linie la $10/T$
2. B. $\frac12$ la $10/T$ si $\frac14$ la $9/T$ si $11/T$
3. C. $\frac14$ la $8/T$ si $12/T$
4. D. $\frac12$ la $1/T$

G13. Ca sa recuperam mesajul dintr-un semnal $s(t)\cos(2\pi f_c t)$, receptorul:

1. A. il inmulteste cu $\cos(2\pi f_c t)$ si aplica un filtru trece-jos
2. B. aplica direct un filtru trece-sus
3. C. il ridica la patrat
4. D. il imparte la $f_c$

G14. Mesajul are spectrul intre $-W/2$ si $W/2$, cu $W = 4$ MHz, si e transmis AM cu $f_c = 50$ MHz. Copia din stanga (partea negativa) ocupa:

1. A. de la $-54$ la $-46$ MHz
2. B. de la $-52$ la $-48$ MHz
3. C. de la $48$ la $52$ MHz
4. D. de la $-50$ la $-46$ MHz

Fie $y(t) = \big(1 + 0.5\cos(2\pi\cdot 1000\,t)\big)\cos(2\pi\cdot 20000\,t)$.

1. a) Desfaceti produsul si scrieti $y(t)$ ca suma de cosinusuri.
2. b) Desenati $|Y(f)|$ (cu inaltimi si frecvente).
3. c) Ce latime de banda ocupa semnalul in jurul purtatoarei?
4. d) Inmultim $y(t)$ cu $\cos(2\pi\cdot 20000\,t)$ si aplicam un filtru trece-jos ideal cu frecventa de taiere 5 kHz. Ce obtinem?

Incearca intai singur, pe foaie. Rezolvarea e in sectiunea 11.

• G1 → B. Un semnal care nu se repeta e facut din toate frecventele, cate putin din fiecare → curba continua (sectiunea 1). A descrie un semnal periodic (acolo sunt linii la multipli de $1/T$). C: un puls are clar spectru (cocoasa din 1.1). D: o singura linie are doar o exponentiala $e^{j2\pi ft}$ care tine la nesfarsit.
• G2 → B. Cu $f = 0$ in formula ramane $S(0) = \int s(t)\,dt$ (sectiunea 2). A: $S(0)$ e o inaltime in spectru, nu o frecventa. C: energia e $\int |S(f)|^2 df$ (Parseval), nu valoarea intr-un punct. D: faza e unghiul lui $S(f)$, alt lucru.
• G3 → B. Proprietatea 6: inmultirea cu $e^{j2\pi f_0 t}$ muta spectrul cu $f_0$ (sectiunea 2.1). A seamana cu proprietatea intarzierii, dar aceea e pentru $s(t - \tau)$. C: spectrul nu se inmulteste cu un numar, se muta. D: doua copii apar la inmultirea cu cosinus, nu cu o singura exponentiala (si atunci au $\frac12$ in fata).
• G4 → B. Cosinusul = doua exponentiale de $\frac12$ → doua copii, fiecare la jumatate (sectiunea 4.2). A: lipseste copia de la $-f_c$ si lipseste $\frac12$. C: nu e o inmultire in frecventa. D: inaltimea scade la jumatate, nu creste.
• G5 → B. Intarzierea inmulteste spectrul cu $e^{-j2\pi f\tau}$, care are modulul 1 → modulul nu se schimba (sectiunea 2.2). A: spectrul nu se muta pe axa frecventei (se muta semnalul pe axa timpului). C: prima parte e adevarata, dar “si scade” e fals. D: nu are legatura.
• G6 → B. Primul zero e la $\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{0.002} = 500$ Hz (sectiunea 1.1). A (2 kHz) ar veni din greseala “2 ms → 2 kHz”. C (1 kHz) e al doilea zero, $\frac{2}{\Delta}$. D (250 Hz) ar fi $\frac{1}{2\Delta}$.
• G7 → B. Spectrul mesajului (de la $-5$ la $+5$ kHz, cu partea negativa cu tot) se muta in jurul lui 100 kHz: de la $100 - 5 = 95$ la $100 + 5 = 105$ kHz. A: acolo era mesajul inainte de modulatie; dupa, in jurul lui 0 nu mai e nimic. C: uita jumatatea din stanga purtatoarei (partea negativa a mesajului, mutata). D: doar purtatoarea e la exact 100 kHz; mesajul ocupa loc in jurul ei.
• G8 → B. Cu “1 +”, purtatoarea e transmisa si cand $s(t) = 0$, iar receptorul se poate acorda pe ea (sectiunea 5.6, Observatii). A: “1” nu inmulteste mesajul. C: nu filtreaza nimic. D: are rol — de la el vin sagetile din spectru.
• G9 → B. Diferenta: $1000 - 100 = 900$ Hz. Suma: $1000 + 100 = 1100$ Hz (sectiunea 4.3). A: frecventele initiale dispar dupa inmultire (ca in desenul din 4.1, unde in jurul lui 0 nu ramane nimic). C: lipseste diferenta. D: frecventele nu se inmultesc intre ele, se aduna si se scad.
• G10 → B. Bucata “1 × cos” da sageti de $\frac12$; bucata “$s$ × cos” da copii de $\frac12 S$ (sectiunea 5.4). A: un cosinus de amplitudine 1 are linii de $\frac12$, nu de 1. C: asa ar fi fara “1 +”. D: tocmai acolo a fost mutat tot.
• G11 → A. Semnal real → $S(-f) = S^*(f)$, iar un numar si conjugatul lui au acelasi modul → oglinda (proprietatea 1). B: antisimetric ar insemna valori negative, dar un modul nu e niciodata negativ. C: un semnal real are mereu si parte negativa in spectru. D: ar insemna ca are toate frecventele la fel de mult.
• G12 → B. “01” → $s(t) = \cos(2\pi f_1 t)$ cu $f_1 = 1/T$ → purtatoarea $\frac12$ la $10/T$ si linii de $\frac14$ la $10/T \pm 1/T$ (sectiunea 7). A e raspunsul pentru “00”. C sunt liniile pentru “10” (si fara purtatoare). D: la $1/T$ era mesajul inainte de modulatie.
• G13 → A. Demodulare: a doua inmultire cu purtatoarea aduce o copie la 0, iar filtrul trece-jos arunca copiile de la $\pm 2f_c$ (sectiunea 5.7). B: semnalul e deja la frecvente mari, un filtru trece-sus nu-l muta nicaieri. C si D nu muta spectrul inapoi la 0 in mod curat.
• G14 → B. Centrul copiei din stanga e $-f_c = -50$. $W/2 = 2$. Capetele: $-50 - 2 = -52$ si $-50 + 2 = -48$ (sectiunea 5.5). A foloseste $W$ in loc de $W/2$. C e copia din dreapta. D porneste din centru ($-50$) in loc de capat si foloseste $W$ in loc de $W/2$.

Numerele din enunt: mesajul este $s(t) = 0.5\cos(2\pi\cdot 1000\,t)$ (un cosinus de amplitudine 0.5 si frecventa 1000 Hz = 1 kHz). Purtatoarea are $f_c = 20000$ Hz = 20 kHz.

a) Ce se cere: $y(t)$ scris ca suma de cosinusuri simple.
Ce stim: formula cos × cos din 4.3.
Pasi:

1. Desfacem paranteza: $y(t) = \cos(2\pi\cdot 20000\,t) + 0.5\cos(2\pi\cdot 1000\,t)\cos(2\pi\cdot 20000\,t)$.
2. Produsul de cosinusuri da diferenta ($20000 - 1000 = 19000$) si suma ($20000 + 1000 = 21000$), fiecare cu $\frac12$ in fata. Mai aveam un 0.5, deci $0.5\cdot\frac12 = 0.25$.

Raspuns a): $y(t) = \cos(2\pi\cdot 20000\,t) + 0.25\cos(2\pi\cdot 19000\,t) + 0.25\cos(2\pi\cdot 21000\,t)$

b) Ce se cere: desenul lui $|Y(f)|$.
Ce stim: raspunsul de la a) si regula “un cosinus de amplitudine $A$ are doua linii de $A/2$”.
Pasi:

1. $\cos(2\pi\cdot 20000\,t)$, amplitudine 1 → linii de $\frac12 = 0.5$ la $\pm 20$ kHz.
2. $0.25\cos(2\pi\cdot 19000\,t)$ → linii de $\frac{0.25}{2} = 0.125$ la $\pm 19$ kHz.
3. $0.25\cos(2\pi\cdot 21000\,t)$ → linii de $0.125$ la $\pm 21$ kHz.

Raspuns b): 6 linii: 0.5 la $\pm20$ kHz; 0.125 la $\pm19$ kHz si la $\pm21$ kHz.

Ce vezi in desen: $|Y(f)|$, cu frecventa in kHz pe orizontala (schematic, nu la scara). Rosu: purtatoarea. Albastru si portocaliu: liniile mesajului, mutate in jurul purtatoarei.

c) Ce se cere: cat loc ocupa semnalul in jurul purtatoarei.
Pasi: in partea pozitiva, liniile sunt de la 19 kHz la 21 kHz. Latimea = $21 - 19 = 2$ kHz.
Raspuns c): 2 kHz, adica de doua ori frecventa mesajului (1 kHz) — exact observatia din sectiunea 5.6.

d) Ce se cere: ce semnal iese dupa a doua inmultire cu purtatoarea si dupa filtrul trece-jos.
Ce stim: asta e demodularea din 5.7. Filtrul trece-jos cu taierea la 5 kHz pastreaza doar frecventele mai mici de 5 kHz.
Pasi:

1. $y(t)\cdot\cos(2\pi f_c t) = \big(1 + 0.5\cos(2\pi\cdot 1000\,t)\big)\cdot\cos^2(2\pi f_c t)$.
2. Cosinus la patrat e cosinus × cosinus cu aceeasi frecventa. Formula din 4.3: diferenta e $f_c - f_c = 0$ (o constanta), suma e $2f_c$. Deci $\cos^2(2\pi f_c t) = \frac12 + \frac12\cos(2\pi\cdot 2f_c\,t)$.
3. Inlocuim: $\big(1 + 0.5\cos(2\pi\cdot 1000\,t)\big)\cdot\frac12 \;+\; \big(1 + 0.5\cos(2\pi\cdot 1000\,t)\big)\cdot\frac12\cos(2\pi\cdot 40000\,t)$.
4. Primul termen are doar frecventele 0 si 1 kHz → trece prin filtru. Al doilea are totul in jurul lui 40 kHz (la 39, 40, 41 kHz) → taiat de filtru.

Raspuns d): $\frac12 + 0.25\cos(2\pi\cdot 1000\,t)$. Adica mesajul (la jumatate din amplitudine: 0.25 in loc de 0.5), plus o constanta $\frac12$ care vine de la purtatoare.

La examen teoria e cu raspuns scris de tine, in cateva randuri. Mai jos sunt intrebarile legate de acest capitol, fiecare cu un raspuns model, asa cum l-ai scrie pe foaie. Acopera raspunsul, incearca sa-l scrii singur, apoi compara.

T1. Enumerati 3 proprietati ale transformatei Fourier. (examen 2023 B; examen 2026)

T2. Daca avem un semnal de puls (neperiodic) $x(t)$ si il inmultim cu o sinusoida de frecventa purtatoare $f_c$, ce spectru are semnalul rezultat? La ce se poate folosi acest procedeu? Am putea sa-l imbunatatim? (examen 2024 B)

T3. Ce este modulatia in amplitudine si de ce se foloseste? Cum arata spectrul semnalului modulat? (tip examen; e si punctul a) al problemei din 2024–2026)

T4. Care e diferenta dintre spectrul unui semnal periodic si spectrul unui semnal aperiodic? (tip examen)

T5. Ce se intampla cu spectrul unui semnal daca il intarziem cu $\tau$? (tip examen; apare si la problema cu pulsul din 2021, punctul c)

Urmatorul capitol: Cap 4 — Esantionarea (Nyquist, aliasing, bandpass sampling, IQ, decimare) — cel mai important pentru problema de la partial.