← inapoi la cuprins · Cursurile 3–4 · Carte: cap. 4.1–4.7 · Notite: p. 7–16 · Inainte: Cap 1

Ce cade din capitolul asta:

• examen: “explicati termenul $c_k$”, “enumerati 3 proprietati ale transformatei Fourier”
• problema cu pulsul (2021): $c_k = \frac{\Delta}{T}Ae^{-j\pi k\Delta/T}\mathrm{sinc}(\frac{\pi k\Delta}{T})$ — cand e $c_k = 0$, desenati spectrul, puls intarziat → rezolvata complet in sectiunea 9
• partial 2025: comunicare digitala (biti → frecvente)

Pentru un semnal periodic $s(t)$ cu perioada $T$:

$$ \boxed{s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\, e^{j\frac{2\pi k t}{T}}} \qquad \text{(sinteza: construim semnalul din bucati)} $$

$$ \boxed{c_k = \frac{1}{T}\int_0^T s(t)\, e^{-j\frac{2\pi k t}{T}}\, dt} \qquad \text{(analiza: aflam cat din fiecare bucata)} $$

(In notite si in carte se numeste si “transformata Fourier pentru semnale periodice”.)

$$ \frac{1}{T}\int_0^T e^{j\frac{2\pi kt}{T}}\, e^{-j\frac{2\pi lt}{T}}\, dt = \begin{cases} 1, & k = l \\ 0, & k \neq l \end{cases} $$

Intuitie: inmultesti semnalul cu un fazor care se roteste “invers” cu frecventa $k/T$ si faci media. Daca semnalul contine exact frecventa aia, rotatiile se anuleaza si media iese mare. Altfel, ramane ceva care se tot invarte si media iese zero. Formula pentru $c_k$ e un detector de frecventa.

$s(t) = A\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right) = \frac{A}{2}e^{j\frac{2\pi t}{T}} + \frac{A}{2}e^{-j\frac{2\pi t}{T}}$ → comparand cu formula de sinteza: $c_1 = c_{-1} = \frac{A}{2}$, toti ceilalti $c_k = 0$. (Exact ca in Cap 0: doua linii de $A/2$.)

Regula: daca semnalul e deja o suma de cosinusuri / sinusuri, nu calculezi integrala — il desfaci cu Euler si citesti $c_k$ direct.

$$ s(t) = \begin{cases} A, & 0 < t < T/2 \\ -A, & T/2 < t < T \end{cases} $$

Calculul (carte eq. 4.5–4.8, notite p. 8–10): integrala pe cele doua jumatati, folosind $e^{-j\pi k} = (-1)^k$:

$$ \boxed{c_k = \begin{cases} \dfrac{2A}{j\pi k}, & k \text{ impar} \\[2mm] 0, & k \text{ par} \end{cases}} \qquad |c_k| = \frac{2A}{\pi|k|} \ (k \text{ impar}) $$

De retinut:

• unda patrata contine doar armonici impare ($f, 3f, 5f, \dots$)
• amplitudinea scade ca $1/k$: $\frac{2A}{\pi}, \frac{2A}{3\pi}, \frac{2A}{5\pi}, \dots$
• $c_0 = 0$ (media e zero: jumatate $+A$, jumatate $-A$)
• $c_k$ e pur imaginar (unda patrata asa definita e impara, vezi proprietatile)

Sinteza — adunand tot mai multe armonici, ne apropiem de unda patrata (laboratorul 1, ex. 5–6):

Langa salturi raman mereu niste “urechi” (oscilatii) — fenomenul Gibbs. Eroarea totala scade cand adaugi armonici, dar salturile bruste au nevoie de infinit de multe frecvente.

$$ p_\Delta(t) = \begin{cases} A, & 0 < t < \Delta \\ 0, & \Delta < t < T \end{cases} \qquad (\Delta = \text{latimea pulsului},\ \Delta/T = \text{"duty cycle"}) $$

Calculul (notite p. 10–11):

$$ c_k = \frac{1}{T}\int_0^\Delta A e^{-j\frac{2\pi kt}{T}}dt = \frac{A}{j2\pi k}\left(1 - e^{-j\frac{2\pi k\Delta}{T}}\right) $$

Folosim trucul $1 - e^{-j\theta} = e^{-j\theta/2}\cdot 2j\sin\frac{\theta}{2}$:

$$ \boxed{c_k = A\frac{\Delta}{T}\, e^{-j\frac{\pi k\Delta}{T}}\, \mathrm{sinc}\!\left(\frac{\pi k\Delta}{T}\right)} \qquad\qquad |c_k| = A\frac{\Delta}{T}\left|\mathrm{sinc}\!\left(\frac{\pi k\Delta}{T}\right)\right| $$

$$ \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}, \qquad \mathrm{sinc}(0) = 1 $$

• maxim 1 in $x = 0$
• zerouri cand $\sin x = 0$ si $x \ne 0$: $x = \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \dots$
• oscileaza si scade ca $1/x$

Regula de aur (apare peste tot in materie): ingust in timp ↔ lat in frecventa. Un puls scurt are nevoie de multe frecvente inalte ca sa faca salturile rapide. Primul zero al spectrului e la $k = T/\Delta$.

(“Enumerati 3 proprietati ale transformatei Fourier” — alege oricare 3 si scrie formula + o propozitie.)

Puterea unui semnal periodic = media patratului pe o perioada: $P = \frac{1}{T}\int_0^T s^2(t)\,dt$. Parseval spune ca o poti calcula si adunand $|c_k|^2$ — fiecare armonica contribuie cu puterea ei.

Verificare pe un cosinus: $A\cos(2\pi t/T)$ are $P = \frac{A^2}{2}$ (stii din electronica). In frecventa: $|c_1|^2 + |c_{-1}|^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{4} = \frac{A^2}{2}$ ✓.

Pe scurt pentru o suma de cosinusuri: $C + \sum A_i\cos(\dots)$ are puterea $C^2 + \sum \frac{A_i^2}{2}$.

Cand bagi o sinusoida “curata” (frecventa fundamentala $1/T$) intr-un amplificator real, la iesire apar si armonici $2/T, 3/T, \dots$ (distorsiuni). THD masoara cat din puterea (fara DC) e in armonici, nu in fundamentala:

$$ \mathrm{THD} = \frac{\sum_{k=2}^{\infty}|c_k|^2}{\sum_{k=1}^{\infty}|c_k|^2} = \frac{P - |c_0|^2 - 2|c_1|^2}{P - |c_0|^2} $$

• sistem ideal → iesirea e tot sinusoida pura → $\mathrm{THD} = 0$
• exemplu, unda patrata: $P = A^2$, $c_0 = 0$, $2|c_1|^2 = 2\cdot\frac{4A^2}{\pi^2}$ → $\mathrm{THD} = 1 - \frac{8}{\pi^2} \approx 0.19$ (19%)

Fiecare termen $c_k e^{j2\pi kt/T}$ e o exponentiala de frecventa $k/T$, deci trece prin filtru inmultit cu $H(k/T)$ (Cap 1). Superpozitie →

$$ \boxed{c'_k = H\!\left(\frac{k}{T}\right) c_k} \qquad y(t) = \sum_k H\!\left(\frac{k}{T}\right) c_k\, e^{j\frac{2\pi kt}{T}} $$

Reteta: (1) afli $c_k$ ai intrarii; (2) afli $H(k/T)$; (3) inmultesti; (4) recompui. Exemplu: pulsul printr-un RC trece-jos → spectrul sinc e “taiat” la frecvente mari → pulsul iese cu marginile rotunjite (lab. 1, ex. 9).

Vrem sa transmitem 2 biti in fiecare interval de durata $T$. Alegem doua frecvente multiple de $1/T$: $f_1 = k_1/T$, $f_2 = k_2/T$, si codificam:

Receptorul calculeaza $c_{k_1}$ si $c_{k_2}$ pe fiecare interval: daca $|c_{k_1}| \approx 1/2$ → bitul 1 e “1”, daca $\approx 0$ → “0”. De asta frecventele trebuie sa fie multipli de $1/T$: atunci pe un interval de lungime $T$ incape un numar intreg de perioade si ortogonalitatea separa perfect cele doua frecvente.

(La partialul 2025 s-a cerut apoi spectrul semnalului modulat $y(t) = \cos(2\pi f_c t)(1 + s(t))$ — asta e AM, il facem in Cap 3.)

• $s(t) = \sum c_k e^{j2\pi kt/T}$, $c_k = \frac{1}{T}\int_0^T s(t)e^{-j2\pi kt/T}dt$
• fundamentala $1/T$, armonica $k$ = $k/T$; $c_0$ = media (DC)
• spectrul unui semnal periodic = linii (discret), la multipli de $1/T$
• cosinus $A\cos(2\pi k_0t/T)$ → $c_{\pm k_0} = A/2$ (citesti direct, fara integrala)
• unda patrata: doar $k$ impar, $|c_k| = \frac{2A}{\pi|k|}$
• puls: $c_k = A\frac{\Delta}{T}e^{-j\pi k\Delta/T}\mathrm{sinc}(\frac{\pi k\Delta}{T})$; $c_k = 0$ la $k = m\frac{T}{\Delta}$; $c_0 = A\Delta/T$
• $\mathrm{sinc}(x) = \sin x / x$, $\mathrm{sinc}(0) = 1$, zero la $m\pi$
• puls ingust ↔ spectru lat
• real → $c_{-k} = c_k^*$; par → $c_k$ real; impar → $c_k$ imaginar; intarziere → doar faza ($e^{-j2\pi k\tau/T}$)
• Parseval: $\frac{1}{T}\int s^2 = \sum|c_k|^2$; THD = putere armonici / putere totala fara DC
• filtrare: $c'_k = H(k/T)\,c_k$
• comunicare: “01” → $f_1$, “10” → $f_2$, “11” → ambele; frecvente multiple de $1/T$

G1. Un semnal periodic are perioada $T = 2$ ms. Frecventa fundamentala si armonica a 3-a sunt:

1. A. 2 kHz si 6 kHz
2. B. 500 Hz si 1.5 kHz
3. C. 500 Hz si 1.5 Hz
4. D. 2 ms si 6 ms

G2. Coeficientul $c_0$ din seria Fourier reprezinta:

1. A. amplitudinea fundamentalei
2. B. media semnalului pe o perioada (componenta continua)
3. C. puterea semnalului
4. D. faza semnalului

G3. Pentru un semnal real, coeficientii Fourier respecta:

1. A. $c_{-k} = c_k^*$
2. B. $c_{-k} = -c_k$
3. C. $c_k = 0$ pentru $k < 0$
4. D. $c_k$ sunt toti reali

G4. Daca intarziem un semnal periodic cu $\tau$, spectrul de amplitudine $|c_k|$:

1. A. se deplaseaza cu $\tau$
2. B. ramane neschimbat (se modifica doar faza)
3. C. se inmulteste cu $\tau$
4. D. devine zero

G5. O unda patrata simetrica ($+A$ / $-A$, jumatate de perioada fiecare) contine:

1. A. toate armonicile
2. B. doar armonicile pare
3. C. doar armonicile impare
4. D. doar fundamentala

G6. Pentru pulsul periodic cu $\Delta/T = 1/4$, primul $k > 0$ pentru care $c_k = 0$ este:

1. A. 1
2. B. 2
3. C. 4
4. D. niciunul

G7. Cat este $\mathrm{sinc}(0)$?

1. A. 0
2. B. 1
3. C. $\infty$
4. D. nedefinit

G8. Daca facem pulsul periodic mai ingust (scade $\Delta$, $T$ ramane la fel), spectrul lui:

1. A. devine mai ingust
2. B. devine mai lat (primul zero se muta la $k$ mai mare)
3. C. nu se schimba
4. D. dispare

G9. Teorema lui Parseval spune ca:

1. A. $c_{-k} = c_k^*$
2. B. puterea calculata in timp e egala cu $\sum|c_k|^2$
3. C. $c_0$ = media
4. D. spectrul unui semnal real e simetric

G10. THD pentru o sinusoida perfecta (fara distorsiuni) este:

1. A. 0
2. B. 1
3. C. 0.19
4. D. infinit

G11. Pentru $s(t) = 6\cos\left(\frac{2\pi\cdot 3t}{T}\right)$, coeficientii nenuli sunt:

1. A. $c_3 = 6$
2. B. $c_3 = c_{-3} = 3$
3. C. $c_1 = c_{-1} = 3$
4. D. $c_3 = c_{-3} = 6$

G12. Spectrul unui semnal periodic este:

1. A. continuu
2. B. format din linii la multipli ai frecventei fundamentale
3. C. mereu o singura linie
4. D. mereu un sinc

G13. Semnalul periodic cu coeficientii $c_k$ trece printr-un filtru $H(f)$. Coeficientii iesirii sunt:

1. A. $c_k + H(k/T)$
2. B. $H(k/T)\cdot c_k$
3. C. $c_k / H(k)$
4. D. $c_k$ (filtrul nu schimba coeficientii)

G14 (tip partial). Comunicare digitala: “01” → $\cos(2\pi f_1 t)$, “10” → $\cos(2\pi f_2 t)$, “11” → suma, cu $f_1 = 1/T$, $f_2 = 2/T$. Pe un interval in care se transmite “11”, $|c_k|$ are:

1. A. o linie la $k = 3$
2. B. linii de 1/2 la $k = \pm1$ si $k = \pm2$
3. C. linii de 1 la $k = \pm1$ si $\pm2$
4. D. nicio linie

(a) $\frac{\Delta}{T}A$ si $e^{-j\dots}$ nu sunt niciodata 0 (modulul exponentialei e 1). Deci $c_k = 0 \Leftrightarrow \mathrm{sinc}\left(\frac{\pi k}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\sin(\pi k/3)}{\pi k/3} = 0$.

Numaratorul $\sin(\pi k/3) = 0$ cand $\frac{\pi k}{3} = m\pi$, adica $k = 3m$. Dar $k = 0$ nu merge: $\mathrm{sinc}(0) = 1$ (limita $\sin x/x \to 1$), deci $c_0 = \frac{A}{3} \ne 0$.

$$ \boxed{k = 3,\ 6,\ 9} $$

(b) $|c_k| = \frac{A}{3}\left|\mathrm{sinc}\frac{\pi k}{3}\right| = \frac{A\,|\sin(\pi k/3)|}{\pi|k|}$. Cateva valori (cu $|\sin(\pi k/3)| = \frac{\sqrt3}{2}$ pentru $k$ nedivizibil cu 3):

Desenul: linii verticale la fiecare $k$, sub o anvelopa de tip $|\mathrm{sinc}|$ (punctat), cu maxim $A/3$ la $k = 0$, zero la $k = \pm3, \pm6, \pm9, \pm12$, simetric fata de 0 (semnal real). Lobul central se intinde intre $k = -3$ si $k = 3$.

©(i) Pulsul nou e pulsul vechi intarziat cu $\tau$: $p^\tau_\Delta(t) = p_\Delta(t - \tau)$. Proprietatea de deplasare in timp: $c'_k = c_k e^{-j\frac{2\pi k\tau}{T}}$, deci

$$ \boxed{c'_k = \frac{\Delta}{T}A\, e^{-j\frac{\pi k(\Delta + 2\tau)}{T}}\, \mathrm{sinc}\!\left(\frac{\pi k\Delta}{T}\right)} $$

(se poate verifica si direct, cu integrala de la $\tau$ la $\tau + \Delta$.)

©(ii) $|c'_k| = |c_k|\cdot|e^{-j\dots}| = |c_k|$ → spectrul de amplitudine e identic cu cel de la (b). Se schimba doar faza fiecarui coeficient (cu $-2\pi k\tau/T$).

Fie semnalul periodic $s(t) = 1 + 4\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right) + 2\cos\left(\frac{2\pi\cdot 3t}{T}\right)$.

1. a) Care sunt coeficientii $c_k$ nenuli? Desenati $|c_k|$.
2. b) Calculati puterea semnalului (cu Parseval).
3. c) Calculati THD.
4. d) Semnalul trece printr-un filtru trece-jos ideal care lasa sa treaca doar $|f| < 2/T$. Ce semnal iese?

Problema — rezolvare:

• a) Citim direct (Euler): $c_0 = 1$; $c_{\pm1} = 2$; $c_{\pm3} = 1$; restul 0. Desen: linie de 1 la $k=0$, linii de 2 la $k = \pm1$, linii de 1 la $k = \pm3$.
• b) $P = \sum|c_k|^2 = 1^2 + 2\cdot2^2 + 2\cdot1^2 = 1 + 8 + 2 = 11$. (Verificare cu regula $C^2 + \sum A_i^2/2 = 1 + 16/2 + 4/2 = 11$ ✓)
• c) $\mathrm{THD} = \frac{P - |c_0|^2 - 2|c_1|^2}{P - |c_0|^2} = \frac{11 - 1 - 8}{11 - 1} = \frac{2}{10} = 0.2$ (20%).
• d) Trec doar $k = 0$ si $k = \pm1$ ($|k/T| < 2/T$): $y(t) = 1 + 4\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$; $c'_{\pm3} = H(3/T)c_{\pm3} = 0$.

Urmatorul capitol: Cap 3 — Transformata Fourier si modulatia AM (semnale aperiodice, spectru continuu, deplasarea in frecventa, spectrul lui $(1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$).