← inapoi la cuprins · Curs 2 · Carte: cap. 3 · Notite: p. 2–6 · Inainte: Cap 0

Ce cade din capitolul asta (din subiectele vechi):

• problema RC (2021, 2023 var. A si B): “Desenati functia de transfer; aflati frecventa de taiere; ce fel de sistem este” → rezolvata complet in sectiunea 8
• teorie: “Despre functia de transfer: definitie, de ce parametri depinde, legatura cu frecventa de taiere”
• grile la partial: “ce fel de filtru e in imagine?”, “ce ramane din semnal dupa filtru?”

Ne uitam la circuitul din stanga: o sursa $v_{in}(t)$, un rezistor $R$ in serie, si iesirea $v_{out}(t)$ luata pe condensator.

Ca sa lucram cu circuitul la o frecventa $f$, inlocuim fiecare componenta cu impedanta complexa (un fel de “rezistenta” care depinde de frecventa):

$$ Z_R = R, \qquad Z_C = \frac{1}{j2\pi f C} $$

Intuitie (fara calcule) — de ce e filtru trece-jos:

• la frecvente mici ($f \to 0$): $|Z_C| \to \infty$, condensatorul e ca un fir intrerupt → toata tensiunea ramane pe el → $v_{out} \approx v_{in}$ (trece)
• la frecvente mari ($f \to \infty$): $|Z_C| \to 0$, condensatorul e ca un fir (scurtcircuit) → $v_{out} \approx 0$ (nu trece)

Doua impedante in serie impart tensiunea proportional cu marimea lor:

$$ V_{out} = \frac{Z_C}{Z_R + Z_C}\, V_{in} = \frac{\frac{1}{j2\pi f C}}{R + \frac{1}{j2\pi f C}}\, V_{in} = \frac{1}{1 + j2\pi f RC}\, V_{in} $$

(am inmultit sus si jos cu $j2\pi f C$).

Intrare: $v_{in}(t) = A\cos(2\pi f t)$.

Pasul 1 — Euler: spargem cosinusul in doua exponentiale (Cap 0):

$$ v_{in}(t) = \frac{1}{2}\left(A e^{j2\pi f t} + A e^{-j2\pi f t}\right) $$

Pasul 2 — fiecare exponentiala trece separat (sistemul e liniar → superpozitie). Pentru $e^{j2\pi f t}$ inmultim cu $\frac{1}{1 + j2\pi f RC}$, pentru $e^{-j2\pi f t}$ (frecventa $-f$) inmultim cu $\frac{1}{1 - j2\pi f RC}$:

$$ v_{out}(t) = \frac{1}{2}\left[\frac{A e^{j2\pi f t}}{1 + j2\pi f RC} + \frac{A e^{-j2\pi f t}}{1 - j2\pi f RC}\right] $$

Pasul 3 — cei doi termeni sunt conjugati ($z + z^* = 2\,\mathrm{Re}[z]$):

$$ v_{out}(t) = \mathrm{Re}\left[\frac{1}{1 + j2\pi f RC}\, A e^{j2\pi f t}\right] $$

Pasul 4 — scriem fractia in forma polara ($\frac{1}{re^{j\theta}} = \frac{1}{r}e^{-j\theta}$):

$$ \frac{1}{1 + j2\pi f RC} = \frac{1}{\sqrt{1 + 4\pi^2 f^2 R^2 C^2}}\, e^{-j\arctan(2\pi f RC)} $$

Pasul 5 — partea reala a unei exponentiale e un cosinus:

$$ \boxed{v_{out}(t) = \frac{A}{\sqrt{1 + 4\pi^2 f^2 R^2 C^2}}\cos\big(2\pi f t - \arctan(2\pi f RC)\big)} $$

$$ \boxed{H(f) = \frac{V_{out}}{V_{in}}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad V_{out} = H(f)\,V_{in} $$

Functia de transfer = raportul dintre amplitudinea (complexa) a iesirii si amplitudinea (complexa) a intrarii, ca functie de frecventa.

De ce parametri depinde? (intrebare de examen) Depinde de frecventa $f$ si de componentele sistemului (aici $R$ si $C$). NU depinde de semnalul de intrare (amplitudinea sau faza lui). E “buletinul” sistemului.

Scriem $H(f) = |H(f)|\,e^{j\angle H(f)}$ si $V_{in} = |V_{in}|\,e^{j\angle V_{in}}$. Atunci:

$$ V_{out} = |H(f)|\,|V_{in}|\; e^{j(\angle H(f) + \angle V_{in})} $$

• amplitudinile se inmultesc: $|V_{out}| = |H(f)|\cdot|V_{in}|$
• fazele se aduna: $\angle V_{out} = \angle H(f) + \angle V_{in}$

Deci, pentru un semnal real:

$$ \boxed{A\cos(2\pi f_0 t + \varphi) \;\xrightarrow{\;H\;}\; |H(f_0)|\,A\cos\big(2\pi f_0 t + \varphi + \angle H(f_0)\big)} $$

$$ H(f) = \frac{1}{1 + j2\pi f RC}, \qquad |H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi f RC)^2}}, \qquad \angle H(f) = -\arctan(2\pi f RC) $$

Valori de stiut:

Simetrie (pentru orice sistem real): $|H(-f)| = |H(f)|$ (modulul e par, oglinda) si $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ (faza e impara). De aceea de multe ori desenam doar $f > 0$.

$$ \boxed{|H(f_c)| = \frac{\max|H(f)|}{\sqrt 2}} $$

De ce $\sqrt 2$? Puterea e proportionala cu patratul amplitudinii: $|V_{out}|^2 = |H(f)|^2|V_{in}|^2$. La $f_c$, $|H|^2 = \frac{\max|H|^2}{2}$ → puterea semnalului de iesire scade la jumatate fata de maxim. (In decibeli: $10\log_{10}\frac{1}{2} \approx -3$ dB, de aceea se mai numeste “frecventa de -3 dB” — detalii in Cap 5.)

$\max|H(f)| = 1$ (la $f = 0$), deci:

$$ \frac{1}{\sqrt{1 + 4\pi^2 f_c^2 R^2 C^2}} = \frac{1}{\sqrt 2} \;\Rightarrow\; 1 + 4\pi^2 f_c^2 R^2 C^2 = 2 \;\Rightarrow\; 2\pi f_c RC = 1 \;\Rightarrow\; \boxed{f_c = \frac{1}{2\pi RC}} $$

Exemplu numeric: $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$, $C = 1\ \mu\mathrm{F}$ → $RC = 10^3 \cdot 10^{-6} = 10^{-3}$ s → $f_c = \frac{1}{2\pi\cdot 10^{-3}} \approx 159$ Hz.

Sistemul e LTI → superpozitie: fiecare sinusoida trece separat, cu propriul $H$, si la final adunam.

$$ v_{in}(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cos(2\pi f_2 t) $$ $$ \Downarrow $$ $$ v_{out}(t) = |H(f_1)|A_1\cos\big(2\pi f_1 t + \angle H(f_1)\big) + |H(f_2)|A_2\cos\big(2\pi f_2 t + \angle H(f_2)\big) $$

Cine trece de un filtru trece-jos (tabelul 3.1 din carte):

Exemplu numeric (RC cu $f_c = 100$ Hz), $v_{in}(t) = 2\cos(2\pi\cdot 50\, t) + 2\cos(2\pi\cdot 400\, t)$:

• la $f_1 = 50$ Hz: $2\pi f_1 RC = f_1/f_c = 0.5$ → $|H| = \frac{1}{\sqrt{1.25}} \approx 0.89$, $\angle H = -\arctan 0.5 \approx -27^\circ$
• la $f_2 = 400$ Hz: $f_2/f_c = 4$ → $|H| = \frac{1}{\sqrt{17}} \approx 0.24$, $\angle H = -\arctan 4 \approx -76^\circ$

$$ v_{out}(t) \approx 1.79\cos(2\pi\cdot 50\, t - 27^\circ) + 0.49\cos(2\pi\cdot 400\, t - 76^\circ) $$

Observa: pe spectru, iesirea = intrarea inmultita punct cu punct cu $|H(f)|$: $|V_{out}(f)| = |H(f)|\cdot|V_{in}(f)|$. Componenta de 400 Hz nu dispare complet (filtrul RC e “moale”, nu ideal), dar scade de ~4 ori.

• banda de trecere (pass band) = frecventele lasate sa treaca ($|H| \approx 1$)
• banda de oprire (stop band) = frecventele taiate ($|H| \approx 0$)
• un filtru ideal are trecere brusca (dreptunghi); unul real are o zona de tranzitie (curba)

Cum recunosti filtrul dupa desen (grila de la partial): te uiti unde e $|H|$ mare:

• mare langa $f = 0$, mic departe → trece-jos
• zero la $f = 0$, mare departe → trece-sus
• zero la $f = 0$ si zero departe, mare doar intr-o “cocoasa” → trece-banda
• mare peste tot, cu o “groapa” → opreste-banda

RC trece-sus (circuitul din dreapta, iesirea pe rezistor):

$$ H(f) = \frac{Z_R}{Z_R + Z_C} = \frac{j2\pi f RC}{1 + j2\pi f RC}, \qquad |H(f)| = \frac{2\pi f RC}{\sqrt{1 + (2\pi f RC)^2}}, \qquad f_c = \frac{1}{2\pi RC} $$

La $f = 0$: $|H| = 0$ (condensatorul blocheaza curentul continuu); la $f \to \infty$: $|H| \to 1$.

$s(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\sin(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$, $f_1 < f_2 < f_3$, trece printr-un FTB cu $f_1 < f_{start} < f_2 < f_{stop} < f_3$.

• a) spectrul lui $s$: 6 linii, $A_k/2$ la $\pm f_k$ (Cap 0)
• b) dupa FTB ramane doar componenta din banda: $A_2\sin(2\pi f_2 t)$ (varianta B)
• c) spectrul rezultat: doua linii de $A_2/2$ la $\pm f_2$

Pregatire: notam constanta $a = 2\pi RC$ ca sa scriem mai simplu:

$$ H(f) = \underbrace{\frac{f}{\sqrt{f^2 + a^2}}}_{\text{modul}}\; e^{\,j\overbrace{\tan^{-1}(a/f)}^{\text{faza}}} $$

Forma e deja polara ($r\,e^{j\theta}$), deci modulul si faza se citesc direct.

(a) Desenul. Calculam cateva puncte:

Modulul e par (pentru $f < 0$ folosim $|f|$, oglinda), faza e impara:

(b) Frecventa de taiere. $\max|H(f)| = 1$ (atins cand $f \to \infty$). Punem conditia:

$$ |H(f_c)| = \frac{1}{\sqrt 2} \;\Rightarrow\; \frac{f_c^2}{f_c^2 + a^2} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; 2f_c^2 = f_c^2 + a^2 \;\Rightarrow\; f_c^2 = a^2 \;\Rightarrow\; \boxed{f_c = a = 2\pi RC} $$

(La $f_c$, faza e $\pi/4 = 45^\circ$.)

© Ce fel de sistem: este un filtru trece-sus (high-pass): $|H(0)| = 0$ — frecventele joase (inclusiv curentul continuu) sunt blocate; $|H(f)| \to 1$ pentru frecvente mari — acestea trec. Reprezinta circuitul RC cu iesirea luata pe rezistor (condensatorul in serie), adica circuitul din dreapta din sectiunea 1.

• $Z_R = R$, $Z_C = \frac{1}{j2\pi f C}$; divizor: $V_{out} = \frac{Z_{iesire}}{Z_R + Z_C} V_{in}$
• RC trece-jos: $H(f) = \frac{1}{1 + j2\pi f RC}$; trece-sus: $H(f) = \frac{j2\pi f RC}{1 + j2\pi f RC}$; ambele au $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$
• $H(f) = \frac{V_{out}}{V_{in}}$; depinde de frecventa si de componentele sistemului, nu de intrare
• sistem LTI: sinusoida de frecventa $f_0$ → sinusoida de aceeasi frecventa, amplitudine $\times|H(f_0)|$, faza $+\angle H(f_0)$
• $|H(f_c)| = \frac{\max|H|}{\sqrt 2}$ ⇔ puterea scade la jumatate ⇔ -3 dB
• semnal cu mai multe sinusoide → fiecare separat (superpozitie), apoi aduni
• pe spectru: $|V_{out}(f)| = |H(f)|\cdot|V_{in}(f)|$
• $|H|$ par, $\angle H$ impar (sisteme reale)
• FTJ / FTS / FTB / FOB — recunoaste-le dupa unde e $|H|$ mare

G1. Functia de transfer a unui sistem este definita ca:

1. A. $V_{in}/V_{out}$
2. B. $V_{out}/V_{in}$, ca functie de frecventa
3. C. $V_{out} - V_{in}$
4. D. puterea semnalului de iesire

G2. Functia de transfer a unui circuit RC depinde de:

1. A. amplitudinea semnalului de intrare
2. B. faza semnalului de intrare
3. C. frecventa si valorile R, C
4. D. doar de R

G3. La frecventa de taiere a unui filtru trece-jos, puterea semnalului de iesire este:

1. A. zero
2. B. jumatate din puterea maxima
3. C. $1/\sqrt2$ din puterea maxima
4. D. egala cu puterea maxima

G4. Un circuit RC trece-jos are $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ si $C = 1\ \mu\mathrm{F}$. Frecventa de taiere este aproximativ:

1. A. 1 kHz
2. B. 159 Hz
3. C. 6.28 kHz
4. D. 1 MHz

G5. Prin sistemul LTI cu $H(f_0) = 0.5\,e^{-j\pi/3}$ trece semnalul $4\cos(2\pi f_0 t)$. Iesirea este:

1. A. $2\cos(2\pi f_0 t - \pi/3)$
2. B. $4.5\cos(2\pi f_0 t - \pi/3)$
3. C. $2\cos(2\pi \cdot 0.5 f_0 t)$
4. D. $2\cos(2\pi f_0 t + \pi/3)$

G6. Faza functiei de transfer a filtrului RC trece-jos la frecventa de taiere este:

1. A. $0$
2. B. $-45^\circ$
3. C. $-90^\circ$
4. D. $+45^\circ$

G7. Un filtru are $|H(f)| \approx 0$ la $f = 0$ si la frecvente foarte mari, si $|H(f)| \approx 1$ intre 10 si 20 kHz. Este un filtru:

1. A. trece-jos
2. B. trece-sus
3. C. trece-banda
4. D. opreste-banda

G8. Vrem sa eliminam brumul de 50 Hz dintr-o inregistrare audio, pastrand restul. Folosim un filtru:

1. A. trece-jos cu $f_c = 50$ Hz
2. B. trece-sus cu $f_c = 50$ Hz
3. C. trece-banda in jurul a 50 Hz
4. D. opreste-banda (notch) in jurul a 50 Hz

G9. In circuitul RC, iesirea e luata pe rezistor. Sistemul este un filtru:

1. A. trece-jos
2. B. trece-sus
3. C. trece-banda
4. D. nu e filtru

G10. La intrarea unui sistem LTI avem o sinusoida de 1 kHz. La iesire putem gasi:

1. A. doar componenta de 1 kHz (eventual atenuata si defazata)
2. B. componente la 1 kHz si 2 kHz
3. C. orice frecventa
4. D. doar componenta continua

G11. $v_{in}(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cos(2\pi f_2 t)$, cu $f_1 < f_c < f_2$, trece printr-un filtru trece-jos (aproape ideal). La iesire avem aproximativ:

1. A. $A_2\cos(2\pi f_2 t)$
2. B. $A_1\cos(2\pi f_1 t)$ (atenuat/defazat putin)
3. C. nimic
4. D. semnalul nemodificat

G12. Pentru un filtru RC trece-jos, la $f = 10 f_c$, $|H(f)|$ este aproximativ:

1. A. 0.707
2. B. 0.5
3. C. 0.1
4. D. 0.01

G13. Pentru un sistem real, modulul functiei de transfer $|H(f)|$ este:

1. A. o functie impara de $f$
2. B. o functie para de $f$ (simetric fata de 0)
3. C. intotdeauna constant
4. D. definit doar pentru $f > 0$

G14. Functia de transfer $H(f) = \frac{f}{\sqrt{f^2 + a^2}}e^{j\tan^{-1}(a/f)}$ reprezinta un filtru:

1. A. trece-jos cu $f_c = a$
2. B. trece-sus cu $f_c = a$
3. C. trece-sus cu $f_c = a/\sqrt 2$
4. D. trece-banda

Un circuit RC trece-jos are $f_c = 1$ kHz. La intrare avem $v_{in}(t) = 3 + 4\cos(2\pi\cdot 1000\, t) + 2\cos(2\pi \cdot 3000\, t)$.

1. a) Desenati spectrul $|V_{in}(f)|$.
2. b) Calculati $|H(f)|$ si $\angle H(f)$ pentru fiecare componenta.
3. c) Scrieti $v_{out}(t)$ si desenati $|V_{out}(f)|$.
4. d) Daca inlocuim filtrul cu un trece-sus RC cu aceeasi $f_c$, ce se intampla cu componenta continua (constanta 3)?

Problema — rezolvare:

• a) $|V_{in}(f)|$: 3 la $f = 0$; 2 la $\pm1$ kHz; 1 la $\pm3$ kHz.
• b) folosim $|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}$, $\angle H(f) = -\arctan(f/f_c)$:
  • $f = 0$: $|H| = 1$, $\angle H = 0$
  • $f = 1$ kHz $= f_c$: $|H| = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$, $\angle H = -45^\circ$
  • $f = 3$ kHz: $|H| = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316$, $\angle H = -\arctan 3 \approx -71.6^\circ$
• c) $v_{out}(t) = 3 + 2.83\cos(2\pi\cdot 1000\, t - 45^\circ) + 0.63\cos(2\pi\cdot 3000\, t - 71.6^\circ)$. Spectrul: 3 la 0; 1.41 la $\pm1$ kHz; 0.32 la $\pm3$ kHz.
• d) Trece-sus are $|H(0)| = 0$ → constanta 3 dispare complet (de aceea FTS se foloseste ca sa scoti componenta continua).

Urmatorul capitol: Cap 2 — Seria Fourier (orice semnal periodic = suma de sinusoide; $c_k$, unda patrata, pulsul si sinc).