Problema-tip de partial: AM + esantionare + reducerea ratei

← inapoi la cuprins · Teoria: Cap 3 §4–5, Cap 4 §2–8

Asta e familia de probleme cea mai probabila la partial (la examenul din 2026 era marcata “recuperare punctaj la partial”). Mai jos: Problema 1 rezolvata punct cu punct (a, b, c), cu desen la fiecare pas, apoi Problema 2 pentru tine.

Culori in toate desenele: albastru = copia partii pozitive a spectrului, portocaliu = copia partii negative, sageata rosie = purtatoarea (linia de ½).

Observa: la a) nu avem numere — raspunsul se da cu litere ($W$, $f_c$). Numerele apar abia la b).

Ce avem: mesajul $s(t)$, cu spectrul intre $-W/2$ si $W/2$. $W$ e latimea totala (jumatate la stanga lui 0, jumatate la dreapta).

Pas 1 — desfacem paranteza in doua bucati:

$$ y(t) = \underbrace{\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1}} + \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2}} $$

Pas 2 — spectrul fiecarei bucati:

• bucata 1 e un cosinus simplu, de amplitudine 1 → ca in Cap 0: doua linii de ½ la $+f_c$ si $-f_c$ (sagetile rosii; se numeste purtatoarea)
• bucata 2: inmultirea cu $\cos(2\pi f_c t)$ copiaza spectrul mesajului in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$, fiecare copie la jumatate din inaltime (Cap 3 §4 — aceeasi idee ca la cosinus, unde $A$ devenea $A/2$ la $\pm f$)

Pas 3 — unde sunt capetele copiilor: copia de la $f_c$ se intinde cu $W/2$ in stanga si $W/2$ in dreapta: de la $f_c - W/2$ la $f_c + W/2$. La fel in partea negativa.

Ce e pe axa verticala:

• la mesaj: $|S(f)|$ — varful trapezului il notam A (in enunt nu se da un numar)
• la $y$: $|Y(f)|$ — sagetile au inaltimea ½, trapezele au inaltimea A/2 (jumatate din varful mesajului)

Pe FIECARE parte (si la $+f_c$, si la $-f_c$) desenezi amandoua, in acelasi loc: sageata de ½ (din bucata 1) si trapezul de A/2 (din bucata 2), centrat sub sageata. Stanga e oglinda dreptei. (Stanga/dreapta nu vine din cele doua bucati — vine din faptul ca orice cosinus are o componenta la $+f_c$ si una la $-f_c$.)

$W = 2$ MHz → $W/2 = 1$ MHz. $f_c = 100$ MHz. Deci:

• copia pozitiva: de la $100 - 1 = $ 99 la $100 + 1 = $ 101 MHz
• copia negativa: de la −101 la −99 MHz

Frecventa maxima e 101 MHz → Nyquist clasic ar cere $f_s \geq 2\cdot 101 = 202$ MHz. Convertorul merge doar pana la 20 MHz. → folosim bandpass sampling (Cap 4 §5): profitam ca banda e ingusta (doar 2 MHz).

Esantionarea cu $f_s$ copiaza spectrul la fiecare $f_s$. Banda de la 100 apare si la $100 - f_s$, $100 - 2f_s$, … Exemplu cu $f_s = 16$:

Se opreste la restul impartirii $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → $r = 4$. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = [3, 5] MHz. (Copia negativa, de la −100, ajunge la −4.)

Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. Banda trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini — altfel se suprapune cu copia portocalie.

Banda are 2 MHz. Un semnal real cu banda de 2 MHz ar avea nevoie de $f_s \geq 2\cdot 2 = 4$ MHz — noi vrem doar 2. Trucul: facem semnalul complex (IQ). Un semnal complex de latime $B$ are nevoie doar de $f_s \geq B$ = 2 MHz ✓.

Inmultim esantioanele cu sirul $[1, -j, -1, j, 1, -j, \dots]$ (adica $e^{-j\pi n/2}$) → tot spectrul se muta cu 4 MHz la stanga. De ce 4? Pentru ca acolo e banda dupa esantionare ($r = 4$).

Apoi un filtru trece-jos digital cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz (mesajul) si arunca copia portocalie:

Pastram un esantion din 8 ($M = 16/2 = 8$): $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → se ating, dar nu se suprapun:

Cuvintele din enunt, pe scurt:

• banda B = 1 MHz, centrat la 45 MHz = semnalul util ocupa frecventele de la $45 - 0.5 = 44.5$ la $45 + 0.5 = 45.5$ MHz (o “felie” lata de 1 MHz, cu mijlocul la 45)
• zgomot in jur = alte semnale nedorite, la frecvente apropiate (mai jos si mai sus de banda noastra)
• convertor A/D = aparatul care ia esantioane din semnal (il transforma in numere); $f_s$ = cate esantioane ia pe secunda
• filtru analog trece-banda = lasa sa treaca doar o “fereastra” de frecvente (aici, de maxim 5 MHz latime), oriunde o pozitionam

Pe toate desenele: axa orizontala = frecventa $f$ (in MHz); axa verticala = $|X(f)|$ = cat de “tare” e semnalul la fiecare frecventa. Varful benzii utile il notam A (enuntul nu da un numar). Albastru = semnalul (partea pozitiva), portocaliu = oglinda lui (partea negativa), gri = zgomot.

• in dreapta (frecvente pozitive): semnalul util la 45 MHz, cu zgomot de o parte si de alta
• in stanga: oglinda lui la −45 MHz (orice semnal real are spectrul simetric — Cap 0)

De ce: la esantionare, tot ce e in semnal se copiaza (vezi a.4). Daca lasam zgomotul, copiile lui ar cadea peste copia semnalului util si l-ar strica. Si dupa esantionare nu mai poti separa zgomotul de semnal.

Ce facem: punem filtrul analog trece-banda cu fereastra centrata in 45 MHz, de exemplu de la 43 la 47 MHz (4 MHz latime ≤ 5 ✓). Banda utila [44.5, 45.5] e inauntru, zgomotul e afara.

Acum avem doar semnalul util, pe [44.5, 45.5] MHz (si oglinda lui pe [−45.5, −44.5]).

Regula Nyquist (Cap 4): ca sa nu pierzi nimic, $f_s \geq 2 \times$ frecventa maxima $= 2 \cdot 45.5 = 91$ MHz. Convertorul merge doar pana la 8 MHz. → Folosim bandpass sampling: profitam de faptul ca semnalul e ingust (doar 1 MHz).

Conditia minima: $f_s \geq 2B = 2 \cdot 1 = 2$ MHz. Toate valorile pe care le incercam (4, 5, 6, 8) o respecta. Dar nu e suficienta — trebuie verificat si unde ajunge banda (a.4–a.5).

Cand esantionezi cu $f_s$, spectrul se copiaza la fiecare $f_s$. Banda de la 45 apare si la $45 - f_s$, $45 - 2f_s$, … Cu $f_s = 4$:

Ultima copie inainte de 0 e la restul impartirii $45 : 4$: $45 = 11\cdot 4 + \mathbf{1}$ → $r = 1$. Deci banda utila ajunge la $1 \pm 0.5$ = [0.5, 1.5] MHz. Oglinda ei (de la −45) ajunge, la fel, la [−1.5, −0.5].

Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $+f_s/2$ (zona galbena din desene). Regula: banda albastra trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga 0 sau $f_s/2$. Daca atinge, se loveste de cea portocalie → se amesteca → informatie pierduta.

Toate incercarile, in tabel (r = restul lui $45 : f_s$; banda = $[r - 0.5,\ r + 0.5]$):

Acum avem esantioane la 4 MHz. Vrem 1 MHz. Problema: semnalul are latimea 1 MHz. Un semnal real cu latimea $B$ are nevoie de $f_s \geq 2B = 2$ MHz — deci 1 MHz nu ajunge.

Trucul (IQ): facem semnalul complex si il mutam in jurul lui 0. Un semnal complex nu mai are oglinda (nu mai trebuie “loc” si pentru partea portocalie), asa ca ii ajunge $f_s \geq B = 1$ MHz ✓.

Semnalul e acum la 1 MHz ($r = 1$). Ca sa-l aducem la 0, mutam tot spectrul cu 1 MHz la stanga. Asta se face inmultind fiecare esantion cu un numar din sirul:

$$ e^{-j2\pi\cdot\frac{1\ \mathrm{MHz}}{4\ \mathrm{MHz}}\cdot n} = e^{-j\pi n/2} = [\,1,\ -j,\ -1,\ j,\ 1,\ -j,\ -1,\ j,\ \dots\,] $$

(adica: esantionul 0 inmultit cu 1, esantionul 1 cu $-j$, esantionul 2 cu $-1$, esantionul 3 cu $j$, apoi se repeta). E simplu pentru ca $r = f_s/4$ — de asta am ales $f_s = 4$.

Dupa mutare, semnalul (albastru) e pe [−0.5, 0.5]. Oglinda (portocalie) a ajuns la −2 (si copii la ±2, ±4…). Un filtru trece-jos digital cu taierea la 0.5 MHz pastreaza doar [−0.5, 0.5] si arunca restul:

Decimare = pastram doar un esantion din M. Vrem de la 4 MHz la 1 MHz → $M = 4/1 = 4$ (pastram un esantion din 4). Copiile spectrului ajung acum la fiecare 1 MHz — exact cat latimea semnalului → se ating, dar nu se suprapun: