Cap 7 — Convolutia si teorema convolutiei

← inapoi la cuprins · Cursul profesorului: cap. 6.3 si 8.1–8.2 · Notitele colegilor: p. 25–27, 30 · Inainte: Cap 6 — DFT

Un termometru masoara ceva din ora in ora. Sapte citiri la rand arata asa:

$$1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 3,\ 2,\ 1$$

Valoarea 10 e suspecta: e un varf brusc, cel mai probabil o eroare de masurare. Vrei sa “netezesti” lista, ca varful sa nu mai sara in ochi.

Cea mai simpla idee: in loc de fiecare citire, scrii media ultimelor 5 citiri. O valoare gresita se “dilueaza” intre 4 valori bune. Din 10 ramane cam 4 (calculul complet e in sectiunea 3).

Regula “fa media ultimelor 5 valori” este un filtru digital. Operatia matematica din spatele ei se numeste convolutie.

Dupa esantionare (Cap 4) un semnal nu mai e o curba. E o lista de numere, numite esantioane. Un filtru digital este o regula care:

• primeste o lista de numere (intrarea),
• scoate o alta lista de numere (iesirea),
• calculeaza fiecare numar de la iesire ca suma ponderata a celor mai recente numere de la intrare.

“Suma ponderata” inseamna: inmultesti fiecare numar cu o pondere (un coeficient) si aduni rezultatele. La media a 5 valori, toate ponderile sunt $\frac15$. La alte filtre ponderile sunt diferite intre ele.

Incepem cu cel mai mic exemplu posibil. Formula vine abia la 2.5.

• intrarea: $x = [1, 2, 3]$, adica $x(0) = 1$, $x(1) = 2$, $x(2) = 3$
• filtrul: $h = [1, 1]$, adica $h(0) = 1$, $h(1) = 1$

Filtrul are doi coeficienti, deci se uita la doua valori de la intrare: cea de acum si cea de la pasul dinainte.

Aici $x(n)$ este intrarea de la pasul $n$ (“de acum”), iar $x(n-1)$ este intrarea de la pasul $n - 1$ (“cu un pas in urma”).

O singura conventie: daca regula cere o valoare care nu exista (inainte de primul numar sau dupa ultimul), punem 0 in locul ei.

Rezultat: $y = [1, 3, 5, 3]$.

Tocmai ai facut o convolutie. Se scrie $y = h * x$ si se citeste “h convolutie cu x”.

Ce vezi in desen: randul albastru este intrarea $x$ si sta pe loc. Randul portocaliu este filtrul $h$, scris intors ($h(1)$ in stanga, $h(0)$ in dreapta). La fiecare pas il muti cu o casuta la dreapta. Casutele care ajung una sub alta se inmultesc (liniile verzi), apoi produsele se aduna. Casutele gri, punctate, au iesit in afara lui $x$: acolo e 0, nu contribuie.

Daca filtrul are $M$ coeficienti in loc de 2, regula se lungeste: te uiti la ultimele $M$ valori de la intrare.

$$y(n) = h(0)\,x(n) + h(1)\,x(n-1) + h(2)\,x(n-2) + \dots + h(M-1)\,x(n-M+1)$$

Ca sa nu scrii toata suma, se foloseste semnul $\sum$ (“sigma” = aduna toti termenii):

$$\boxed{\,y(n) = (h * x)(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k)\cdot x(n-k)\,}$$

Cum o citesti, bucata cu bucata:

• $k$ ia pe rand valorile $0, 1, 2, \dots, M-1$ — cate una pentru fiecare coeficient al filtrului;
• $h(k)$ = coeficientul numarul $k$;
• $x(n-k)$ = intrarea de acum $k$ pasi. Pentru $k = 0$ e intrarea de acum. Pentru $k = 1$ e cea de la pasul dinainte. Si tot asa;
• $\sum$ = aduni toate produsele $h(k)\cdot x(n-k)$.

Verificare pe exemplul nostru ($M = 2$, deci $k$ ia valorile 0 si 1): $y(n) = h(0)\,x(n-0) + h(1)\,x(n-1)$. Exact regula din 2.2.

Aceasta este definitia convolutiei din curs. $M$ = numarul de esantioane din $h(n)$.

In exemplu: $x$ are $P = 3$ numere, $h$ are $M = 2$ numere, iar $y$ a iesit cu 4 numere.

$$\text{lungimea lui } y = M + P - 1 = 2 + 3 - 1 = 4$$

Acelasi $x = [1, 2, 3]$, dar $h = [2, 1]$, adica $h(0) = 2$, $h(1) = 1$. Regula: $y(n) = 2\cdot x(n) + 1\cdot x(n-1)$.

Rezultat: $y = [2, 5, 8, 3]$. Observa: coeficientul $h(0) = 2$ a inmultit mereu valoarea cea mai noua.

Acesta e exemplul profesorului, dat si ca test la curs. Sunt numerele din povestea cu termometrul.

• intrarea: $x = [1, 2, 3, 10, 3, 2, 1]$ → $P = 7$ numere
• filtrul: $h = [\frac15, \frac15, \frac15, \frac15, \frac15]$ → $M = 5$ coeficienti, toti egali cu $\frac15$
• se cere: $y = h * x$

Cate numere va avea $y$: $M + P - 1 = 5 + 7 - 1 = 11$.

Scriem formula din 2.5 pentru $M = 5$:

$$y(n) = \tfrac15 x(n) + \tfrac15 x(n-1) + \tfrac15 x(n-2) + \tfrac15 x(n-3) + \tfrac15 x(n-4)$$

Toti coeficientii sunt $\frac15$, deci il scoatem in fata:

$$y(n) = \frac{x(n) + x(n-1) + x(n-2) + x(n-3) + x(n-4)}{5}$$

Aduni ultimele 5 valori si imparti la 5. Este media ultimelor 5 intrari. De aici numele: medie alunecatoare (Moving Average) — fereastra de 5 valori “aluneca” peste semnal.

Valorile care nu exista (inainte de $x(0)$ sau dupa $x(6)$) sunt 0 si nu le mai scriem.

Cum citesti un rand, de exemplu $n = 4$: fereastra prinde $x(4), x(3), x(2), x(1), x(0)$, adica 3, 10, 3, 2, 1. Suma e 19. Impartit la 5 da $\frac{19}{5}$.

Cum citesti randul $n = 7$: fereastra ar prinde $x(7), x(6), x(5), x(4), x(3)$. Dar $x(7)$ nu exista (e 0). Raman 1, 2, 3, 10. Suma e 16.

Ce vezi in desen: in stanga intrarea, cu varful de 10 la $n = 3$. In dreapta iesirea, desenata la aceeasi scara: varful a scazut la 4 si s-a latit. Pe axa orizontala e numarul esantionului $n$, pe cea verticala valoarea lui.

• Varful brusc de 10 a fost turtit la 4 si intins pe mai multe esantioane.
• Iesirea urca si coboara lin, fara salturi mari.

Este cel mai simplu semnal posibil: un singur 1, la $n = 0$, si in rest doar zerouri.

$$\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases} \qquad\text{adica}\qquad \delta = [1, 0, 0, 0, \dots]$$

$\delta$ se citeste “delta”. Il mai gasesti sub numele: impuls, semnal Delta, Kronecker Delta.

Impulsul intarziat: $\delta(n - 2)$ este acelasi 1, dar mutat la $n = 2$: $[0, 0, 1, 0, \dots]$. In general $\delta(n - d)$ are 1-ul la pozitia $n = d$.

Luam filtrul $h = [1, 1]$ din sectiunea 2 si ii dam la intrare $x = \delta = [1, 0, 0, \dots]$. Regula e aceeasi: $y(n) = h(0)\cdot x(n) + h(1)\cdot x(n-1)$.

A iesit $y = [h(0), h(1)] = [1, 1]$. Exact coeficientii filtrului.

Nu e o coincidenta. Singurul 1 de la intrare “trece” pe rand prin dreptul fiecarui coeficient si il scoate la iesire, unul cate unul. Merge la fel pentru orice filtru:

$$\boxed{\,x(n) = \delta(n) \;\Rightarrow\; y(n) = (h * \delta)(n) = h(n)\,}$$

Ce vezi in desen: in stanga impulsul $\delta(n)$: un singur bat de inaltime 1, la $n = 0$. In dreapta ce scoate filtrul “media a 5 valori” din sectiunea 3: cinci bete de inaltime $\frac15$, adica exact $h(n)$.

De aceea lista $h(n)$ are doua nume care inseamna acelasi lucru:

• coeficientii filtrului (ponderile din suma),
• raspunsul la impuls (ce “raspunde” filtrul cand il lovesti cu un impuls).

Intrebarea fireasca: am aflat ce face filtrul cu un singur impuls. De unde stim ce face cu orice alt semnal?

Raspunsul: orice semnal este o suma de impulsuri, fiecare mutat la locul lui si inmultit cu valoarea de acolo. Pentru $x = [1, 2, 3]$:

$$[1, 2, 3] = \underbrace{[1, 0, 0]}_{1\cdot\delta(n)} + \underbrace{[0, 2, 0]}_{2\cdot\delta(n-1)} + \underbrace{[0, 0, 3]}_{3\cdot\delta(n-2)}$$

Acum folosim cele doua proprietati ale unui sistem LTI (liniar si invariant in timp, Cap 0 §2):

• invariant in timp: daca intrarea vine mai tarziu cu 1 pas, iesirea e aceeasi, doar mai tarziu cu 1 pas. Deci la $\delta(n-1)$ filtrul raspunde cu $h(n-1)$ — lista $h$ mutata cu o pozitie la dreapta.
• liniar: daca intrarea e de 2 ori mai mare, iesirea e de 2 ori mai mare. Iar la o suma de intrari, iesirea e suma iesirilor.

Aplicam pe fiecare bucata, cu $h = [1, 1]$:

A iesit $[1, 3, 5, 3]$ — acelasi rezultat ca in sectiunea 2. Deci convolutia este, privita altfel: fiecare valoare de la intrare lasa in urma ei o copie a lui $h$ (inmultita cu valoarea respectiva), iar copiile se aduna.

Ce vezi in desen: pe coloana din stanga, intrarea desfacuta in 3 impulsuri (albastru) si suma lor (mov, jos). Pe coloana din dreapta, raspunsul filtrului la fiecare impuls (rosu): cate o copie a lui $h = [1, 1]$, mutata si inmultita. Jos (verde) suma raspunsurilor: $y = [1, 3, 5, 3]$.

Intrebarea: ai un sistem la care ai acces doar la intrare si la iesire. Nu stii ce e inauntru. Cum ii afli functia de transfer?

Raspunsul, in 3 pasi:

1. Pui la intrare un impuls $\delta(n)$.
2. Notezi ce iese. Iesirea este chiar $h(n)$, raspunsul la impuls.
3. Calculezi DFT-ul lui $h(n)$ (Cap 6). Rezultatul $H(k)$ este functia de transfer: iti spune cu cat inmulteste sistemul fiecare frecventa.

De ce pasul 3 da functia de transfer: vezi teorema convolutiei, sectiunea 6.

Alte doua variante corecte: (a) bagi pe rand cate o sinusoida de fiecare frecventa si masori de cate ori s-a schimbat amplitudinea la iesire — asa e definita functia de transfer in Cap 1 §3; (b) bagi orice semnal cunoscut $x(n)$, masori $y(n)$ si calculezi $H(k) = Y(k)/X(k)$ (unde $X(k) \neq 0$).

Fiecare proprietate, cu un exemplu mic pe care il poti verifica de mana.

$h * x = x * h$. Nu conteaza care lista e “filtrul” si care e “semnalul”. Rezultatul e acelasi.

Exemplu: stim ca $[1, 1] * [1, 2, 3] = [1, 3, 5, 3]$. Schimbam rolurile: filtrul e $h = [1, 2, 3]$ ($M = 3$), intrarea e $x = [1, 1]$. Regula: $y(n) = 1\cdot x(n) + 2\cdot x(n-1) + 3\cdot x(n-2)$.

• $y(0) = 1\cdot 1 = 1$
• $y(1) = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 = 3$
• $y(2) = 1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 = 5$
• $y(3) = 2\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3$

Tot $[1, 3, 5, 3]$ ✓

La ce ajuta: la examen alegi ca “filtru” lista mai scurta. Ai mai putini termeni de adunat la fiecare pas.

Doua lucruri:

• inmultire cu un numar: daca dublezi intrarea, se dubleaza iesirea. $[1, 1] * [2, 4, 6] = [2, 6, 10, 6]$, adica de 2 ori $[1, 3, 5, 3]$.
• suma: convolutia unei sume = suma convolutiilor.

Exemplu pentru suma, cu $h = [1, 1]$, $a = [1, 2, 3]$, $b = [0, 1, 0]$:

• $h * a = [1, 3, 5, 3]$
• $h * b = [0, 1, 1, 0]$
• suma lor: $[1, 4, 6, 3]$
• direct: $a + b = [1, 3, 3]$ si $h * [1, 3, 3] = [1,\ 3 + 1,\ 3 + 3,\ 3] = [1, 4, 6, 3]$ ✓

La ce ajuta: daca semnalul e o suma de sinusoide, poti trece fiecare sinusoida separat prin filtru si aduni la sfarsit. Exact ce faceai in Cap 1 §5.

• $x * \delta = x$. Impulsul $[1]$ lasa semnalul neschimbat: $[1] * [1, 2, 3] = [1, 2, 3]$.
• $x * \delta(n - d)$ = semnalul $x$ intarziat cu $d$ pozitii.

Exemplu: $\delta(n-2) = [0, 0, 1]$.

$$[0, 0, 1] * [1, 2, 3] = [0, 0, 1, 2, 3]$$

Verificare cu ideea din 4.3: valoarea 1 de pe pozitia 2 lasa in urma ei o copie a lui $[1, 2, 3]$ care incepe de la pozitia 2. Zerourile nu lasa nimic.

Daca treci semnalul prin filtrul $h_1$ si apoi rezultatul prin filtrul $h_2$, e ca si cum l-ai trece o singura data prin filtrul $h_1 * h_2$.

Exemplu: doua filtre $[1, 1]$ puse unul dupa altul.

• filtrul echivalent: $[1, 1] * [1, 1] = [1,\ 1 + 1,\ 1] = [1, 2, 1]$
• pe rand: $[1, 2, 3]$ → primul filtru → $[1, 3, 5, 3]$ → al doilea filtru → $[1, 4, 8, 8, 3]$
• direct cu $[1, 2, 1]$: $[1, 2, 1] * [1, 2, 3] = [1, 4, 8, 8, 3]$ ✓

(Filtrul $h = [1, 2, 1]$ apare intr-o problema de examen din 2026 — vezi Cap 9.)

Pana aici am lucrat doar in timp: liste de esantioane. Acum ne uitam la aceeasi operatie in frecventa: ce se intampla cu spectrul.

• DFT-ul ia o lista de $N$ esantioane $x(n)$ si scoate o lista de $N$ numere $X(k)$ — spectrul. $X(k)$ spune “cat din frecventa numarul $k$ este in semnal” (frecventa reala este $k\cdot f_s/N$, unde $f_s$ e frecventa de esantionare).
• Formula: $X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j2\pi kn/N}$.
• Pentru $N = 4$ factorul $e^{-j2\pi kn/4}$ ia doar valorile $1, -j, -1, j$ (aceleasi ca la IQ, Cap 4 §6). Asa ca DFT-ul pe 4 puncte se face de mana:

Notam cu litere mari spectrele: $X(k)$ pentru intrare, $H(k)$ pentru filtru, $Y(k)$ pentru iesire.

Luam exemplul din sectiunea 2: $x = [1, 2, 3]$, $h = [1, 1]$, $y = h * x = [1, 3, 5, 3]$.

Pas 1 — aducem cele trei liste la aceeasi lungime, $N = 4$, punand zerouri la coada:

• $x = [1, 2, 3, 0]$
• $h = [1, 1, 0, 0]$
• $y = [1, 3, 5, 3]$

Pas 2 — calculam spectrul fiecarei liste cu tabelul din 6.1.

Pentru $x = [1, 2, 3, 0]$:

• $X(0) = 1 + 2 + 3 + 0 = 6$
• $X(1) = 1\cdot 1 + 2\cdot(-j) + 3\cdot(-1) + 0\cdot j = 1 - 2j - 3 = -2 - 2j$
• $X(2) = 1 - 2 + 3 - 0 = 2$
• $X(3) = 1 + 2j - 3 - 0 = -2 + 2j$

Pentru $h = [1, 1, 0, 0]$:

• $H(0) = 1 + 1 = 2$
• $H(1) = 1 - j$
• $H(2) = 1 - 1 = 0$
• $H(3) = 1 + j$

Pentru $y = [1, 3, 5, 3]$:

• $Y(0) = 1 + 3 + 5 + 3 = 12$
• $Y(1) = 1 - 3j - 5 + 3j = -4$
• $Y(2) = 1 - 3 + 5 - 3 = 0$
• $Y(3) = 1 + 3j - 5 - 3j = -4$

Pas 3 — inmultim $H(k)$ cu $X(k)$, linie cu linie, si comparam cu $Y(k)$:

Calculul de la $k = 1$, desfacand parantezele (si $j^2 = -1$, Cap 0 §3):

$$(1 - j)(-2 - 2j) = -2 - 2j + 2j + 2j^2 = -2 + 2\cdot(-1) = -4$$

Concluzie: spectrul iesirii este produsul dintre spectrul filtrului si spectrul intrarii, la fiecare $k$. In timp am facut o convolutie (complicata). In frecventa aceeasi operatie e o simpla inmultire.

$$(h * x)(n) \;\longleftrightarrow\; H(k)\cdot X(k) \qquad\qquad h(n)\cdot x(n) \;\longleftrightarrow\; (H * X)(k)$$

Sageata dubla $\longleftrightarrow$ inseamna “ii corespunde in celalalt domeniu” (stanga: timp, dreapta: frecventa).

(Detaliu pentru cine verifica numeric: la a doua forma, cu formulele DFT din curs, mai apare un factor constant $\frac1N$. El nu schimba forma spectrului. In curs teorema se enunta fara el, asa cum e scrisa mai sus.)

Asta e poanta capitolului. Pune cap la cap ce stii deja:

• In Cap 0 §6.5 ai filtrat un semnal pe spectru: desenai liniile, desenai “fereastra” filtrului si taiai ce era in afara ei. Adica inmulteai fiecare linie cu 1 (trece) sau cu 0 (taiata).
• In Cap 1 §5 fereastra era “moale”: fiecare linie se inmultea cu $|H(f)|$, un numar intre 0 si 1.
• Acum: $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$. Este exact acelasi lucru, scris pentru semnale digitale. $H(k)$ este fereastra filtrului (functia de transfer), $X(k)$ sunt liniile semnalului.

Teorema spune ce trebuie facut cu esantioanele ca sa obtii aceasta inmultire in frecventa: o convolutie cu $h(n)$.

Ce vezi in desen: randul de sus e in frecventa, cel de jos in timp. Intrarea (albastru) este suma dintre un cosinus lent (linia de la $k = 2$) si unul rapid (linia de la $k = 16$). Filtrul (portocaliu) este media ultimelor 8 valori; spectrul lui e aproape 1 la frecvente mici si exact 0 la $k = 16$. Sus: inmultind linie cu linie, linia de la $k = 2$ ramane aproape intreaga ($32\cdot 0.9 = 28.8$), iar cea de la $k = 16$ dispare ($25.6\cdot 0 = 0$). Jos: aceeasi filtrare facuta prin convolutie — din semnalul “zimtat” ramane doar cosinusul lent.

Din 6.2 avem $H(k) = [2,\ 1 - j,\ 0,\ 1 + j]$. Ne intereseaza marimea (modulul, Cap 0 §3): $|1 - j| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.41$.

Frecventele joase trec, cea mai inalta e taiata → $h = [1, 1]$ este un filtru trece-jos. Normal: $[1, 1]$ aduna doua valori vecine, deci e (de 2 ori) media lor.

Ai intalnit-o deja, fara sa-i spunem pe nume:

• Modulatia AM (Cap 3 §4): inmulteai mesajul cu $\cos(2\pi f_c t)$ in timp. Spectrul cosinusului are doua linii (doua “delta”) la $\pm f_c$. In frecventa rezulta convolutia spectrului mesajului cu aceste doua linii. Iar convolutia cu un delta mutat inseamna “muta acolo” (5.3). De aceea spectrul mesajului aparea copiat la $+f_c$ si la $-f_c$.
• Scurgerea spectrala (Cap 8): cand iei doar $N$ esantioane dintr-un semnal lung, de fapt il inmultesti in timp cu o fereastra dreptunghiulara. In frecventa, spectrul lui se convolutioneaza cu spectrul ferestrei.

Ce se cere: lungimea lui $y$.

Ce stim: $x$ are $P = 4$ valori, $h$ are $M = 3$ valori.

Pas 1. Formula din 2.6: lungimea = $M + P - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$.

Raspuns a): $y$ are 6 valori: $y(0), y(1), \dots, y(5)$.

Ce se cere: cele 6 valori.

Ce stim: $x(0) = 2$, $x(1) = 0$, $x(2) = 4$, $x(3) = 6$; $h(0) = 1$, $h(1) = 2$, $h(2) = 1$.

Pas 1 — scriem regula (formula din 2.5 cu $M = 3$):

$$y(n) = 1\cdot x(n) + 2\cdot x(n-1) + 1\cdot x(n-2)$$

In cuvinte: valoarea de acum, plus de 2 ori cea dinainte, plus cea de acum 2 pasi.

Pas 2 — calculam pe rand (ce nu exista e 0):

Raspuns b): $y = [2, 4, 6, 14, 16, 6]$.

Ce se cere: o verificare.

Pas 1 — numarul de valori: am obtinut 6, cat am prezis la a) ✓

Pas 2 — regula sumelor (2.7): suma lui $x$ este $2 + 0 + 4 + 6 = 12$. Suma lui $h$ este $1 + 2 + 1 = 4$. Produsul: $12\cdot 4 = 48$. Suma lui $y$: $2 + 4 + 6 + 14 + 16 + 6 = 48$ ✓

Raspuns c): rezultatul trece ambele verificari.

Regula filtrului (pentru toate punctele): $y(n) = \frac12 x(n) + \frac12 x(n-1)$ — media dintre valoarea de acum si cea dinainte.

Ce se cere: $y$ pentru intrarea constanta.

Pas 1 — prima valoare: $y(0) = \frac12\cdot 3 + \frac12\cdot 0 = 1.5$ (inainte nu era nimic).

Pas 2 — valorile din mijloc, $n = 1, \dots, 5$: $y(n) = \frac12\cdot 3 + \frac12\cdot 3 = 3$.

Pas 3 — ultima valoare: $y(6) = \frac12\cdot 0 + \frac12\cdot 3 = 1.5$ (semnalul s-a terminat).

Raspuns a): $y = [1.5, 3, 3, 3, 3, 3, 1.5]$. Lasand deoparte cele doua margini, constanta 3 a trecut neschimbata.

Ce se cere: $y$ pentru intrarea alternanta.

Pas 1 — prima valoare: $y(0) = \frac12\cdot 1 + \frac12\cdot 0 = 0.5$.

Pas 2 — valorile din mijloc: doua valori vecine sunt mereu $1$ si $-1$. Media lor: $\frac12\cdot 1 + \frac12\cdot(-1) = 0$. Deci $y(1) = y(2) = \dots = y(5) = 0$.

Pas 3 — ultima valoare: $y(6) = \frac12\cdot 0 + \frac12\cdot(-1) = -0.5$.

Raspuns b): $y = [0.5, 0, 0, 0, 0, 0, -0.5]$. Lasand deoparte marginile, alternanta a fost stearsa complet.

Ce vezi in desen: sus, semnalul constant intra (albastru) si iese (rosu) tot 3. Jos, semnalul alternant intra si iese 0. La capete ($n = 0$ si $n = 6$) sunt valorile de margine.

Ce se cere: tipul filtrului.

Pas 1 — ce frecventa are semnalul constant: nu se schimba deloc, deci are frecventa 0 — cea mai joasa posibila (Cap 0 §6: constanta = linie la $f = 0$).

Pas 2 — ce frecventa are semnalul alternant: isi schimba semnul la fiecare esantion. Mai repede de atat un semnal esantionat nu se poate schimba. Este un cosinus cu frecventa $f_s/2$: $\cos(\pi n) = 1, -1, 1, -1, \dots$ — cea mai mare frecventa care exista dupa esantionare (Cap 4).

Pas 3 — punem cap la cap: frecventa cea mai joasa trece, frecventa cea mai inalta e taiata.

Raspuns c): este un filtru trece-jos. Explicatia in cuvinte: media a doua valori vecine netezeste schimbarile rapide si lasa neatinse zonele unde semnalul sta pe loc.

Ce se cere: acelasi lucru pentru $h = [\frac12, -\frac12]$.

Pas 1 — regula noua: $y(n) = \frac12 x(n) - \frac12 x(n-1)$ — jumatate din diferenta dintre valoarea de acum si cea dinainte.

Pas 2 — semnalul constant: in mijloc, $\frac12\cdot 3 - \frac12\cdot 3 = 0$. Iese $[1.5, 0, 0, 0, 0, 0, -1.5]$ → constanta e stearsa.

Pas 3 — semnalul alternant: in mijloc, de exemplu la $n = 1$: $\frac12\cdot(-1) - \frac12\cdot 1 = -1$; la $n = 2$: $\frac12\cdot 1 - \frac12\cdot(-1) = 1$. Iese $[0.5, -1, 1, -1, 1, -1, 0.5]$ → alternanta trece neschimbata.

Raspuns d): acum e un filtru trece-sus. O diferenta intre vecini e 0 unde semnalul sta pe loc si mare unde se schimba repede. (Un singur semn schimbat a transformat trece-jos in trece-sus — ideea e reluata in Cap 9.)

Intai, ce semnal e la intrare (din Cap 6): un cosinus de amplitudine $A$ care cade exact pe linia $m$ da doua linii de inaltime $A\cdot N/2$: una la $k = m$ si oglinda ei la $k = N - m$.

• liniile de la $k = 1$ si $k = 7$ (adica $8 - 1$): un cosinus de 1000 Hz. Inaltimea 8 = $A\cdot 8/2$ → $A = 2$.
• liniile de la $k = 3$ si $k = 5$ (adica $8 - 3$): un cosinus de 3000 Hz, tot cu $A = 2$.

Deci $x$ = esantioanele lui $2\cos(2\pi\cdot 1000\,t) + 2\cos(2\pi\cdot 3000\,t)$.

Ce se cere: $|Y(k)|$ dupa filtrul ideal si semnalul ramas.

Ce stim: teorema convolutiei: $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$, deci $|Y(k)| = |H(k)|\cdot|X(k)|$ — inmultim linie cu linie.

Pas 1 — inmultirea:

Pas 2 — ce semnal e asta: au ramas liniile de la $k = 1$ si $k = 7$, de inaltime 8 → cosinusul de 1000 Hz, cu amplitudinea $8/(N/2) = 8/4 = 2$.

Raspuns a): $|Y(k)| = [0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 8]$. A ramas doar $2\cos(2\pi\cdot 1000\,t)$; cosinusul de 3000 Hz a fost eliminat.

Ce se cere: $|Y(k)|$ dupa filtrul real $h = [\frac12, \frac12]$.

Ce stim: tot $|Y(k)| = |H(k)|\cdot|X(k)|$, cu valorile lui $|H(k)|$ din enunt. (Ele vin din DFT-ul pe 8 puncte al lui $h$ completat cu zerouri — nu trebuie calculate aici.)

Pas 1 — inmultirea:

(Cu valorile nerotunjite, $0.9239$ si $0.3827$: $8\cdot 0.9239 = 7.39$ si $8\cdot 0.3827 = 3.06$.)

Raspuns b): $|Y(k)| = [0,\ 7.39,\ 0,\ 3.06,\ 0,\ 3.06,\ 0,\ 7.39]$. Linia de 1000 Hz a ramas aproape intreaga. Linia de 3000 Hz a scazut la mai putin de jumatate, dar nu a disparut: filtrul real nu taie brusc, ca cel ideal.

Ce vezi in desen: randul de sus e punctul a), cel de jos punctul b). In fiecare rand: spectrul intrarii (albastru) × spectrul filtrului (portocaliu) = spectrul iesirii (rosu). Pe axa orizontala e indicele $k$; linia $k$ inseamna frecventa $k\cdot 1000$ Hz.

Ce se cere: amplitudinile cosinusurilor la iesire.

Ce stim: o linie de inaltime $L$ (impreuna cu oglinda ei) inseamna un cosinus de amplitudine $A = L/(N/2) = L/4$.

Pas 1 — 1000 Hz: $A = 7.39/4 \approx 1.85$ (la intrare era 2).

Pas 2 — 3000 Hz: $A = 3.06/4 \approx 0.77$ (la intrare era 2).

Raspuns c): la iesire avem aproximativ $1.85\cos(2\pi\cdot 1000\,t) + 0.77\cos(2\pi\cdot 3000\,t)$ (fiecare cu o mica intarziere, care nu se vede in $|Y(k)|$). Se vede direct regula din Cap 1: amplitudinea de la iesire = amplitudinea de la intrare × $|H|$ la frecventa respectiva ($2\cdot 0.92$ si $2\cdot 0.38$).

(Nota: rezultatul e valabil dupa primul esantion, cand filtrul are deja ambele valori de care are nevoie — fara efectul de margine din Problema 2.)

Ce se cere: $h(n)$.

Pas 1. Din 4.2: ce iese cand intra $\delta(n)$ este chiar raspunsul la impuls.

Raspuns a): $h = [1, 2, 1]$.

Ce se cere: $y = h * x$ pentru $x = [1, 0, -1]$.

Ce stim: $M = 3$, $P = 3$ → $y$ are $3 + 3 - 1 = 5$ valori. Regula: $y(n) = 1\cdot x(n) + 2\cdot x(n-1) + 1\cdot x(n-2)$.

Pas 1 — calculul:

Pas 2 — verificare: suma lui $x$ este $1 + 0 - 1 = 0$, deci suma lui $y$ trebuie sa fie $0\cdot 4 = 0$. Si este: $1 + 2 + 0 - 2 - 1 = 0$ ✓

Raspuns b): $y = [1, 2, 0, -2, -1]$.

• Convolutia: $y(n) = (h * x)(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k)\,x(n-k)$; $M$ = numarul de coeficienti din $h$
• in cuvinte: fiecare iesire = suma ponderata a ultimelor $M$ intrari; $h(0)$ merge cu valoarea cea mai noua; ce nu exista e 0
• lungimea rezultatului: $M + P - 1$ ($P$ = lungimea lui $x$)
• verificare: suma lui $y$ = (suma lui $x$) × (suma lui $h$)
• Moving Average: $h = [\frac1M, \dots, \frac1M]$ → media ultimelor $M$ valori → trece-jos (netezeste)
• exemplul din curs: $[1,2,3,10,3,2,1] * [\frac15]\times 5 = \frac15[1, 3, 6, 16, 19, 20, 19, 16, 6, 3, 1]$
• impulsul: $\delta(n) = 1$ la $n = 0$, 0 in rest; $h * \delta = h$ → $h(n)$ = raspunsul la impuls = coeficientii filtrului
• $h(n)$ caracterizeaza complet un sistem LTI; cutie neagra: bagi $\delta(n)$, citesti $h(n)$, DFT → $H(k)$ = functia de transfer
• proprietati: comutativa, liniara; $x * \delta(n-d)$ = $x$ intarziat cu $d$; doua filtre in serie = un filtru $h_1 * h_2$
• Teorema convolutiei: $(h * x)(n) \leftrightarrow H(k)\cdot X(k)$ si $h(n)\cdot x(n) \leftrightarrow (H * X)(k)$ — convolutie intr-un domeniu = inmultire in celalalt
• filtrarea: in timp convolutie cu $h(n)$, in frecventa inmultire cu $H(k)$ (“fereastra” filtrului)

Incearca-le fara sa te uiti la raspunsuri (sunt imediat dupa, in 9.1).

G1. Semnalul $x$ are 7 esantioane, filtrul $h$ are 5 coeficienti. Cate esantioane are $y = h * x$?

1. A. 7
2. B. 11
3. C. 12
4. D. 35

G2. Cat este $[1, 2] * [1, 1, 1]$?

1. A. $[1, 2, 0]$
2. B. $[1, 3, 2]$
3. C. $[1, 3, 3, 2]$
4. D. $[3, 3]$

G3. La intrarea unui filtru cu coeficientii $h(n)$ punem impulsul $\delta(n)$. La iesire obtinem:

1. A. tot $\delta(n)$
2. B. $h(n)$
3. C. suma coeficientilor lui $h$
4. D. zero

G4. Convolutiei a doua semnale in timp ii corespunde, in frecventa:

1. A. adunarea spectrelor
2. B. convolutia spectrelor
3. C. inmultirea spectrelor
4. D. impartirea spectrelor

G5. Filtrul cu $h = [\frac13, \frac13, \frac13]$ este:

1. A. trece-jos
2. B. trece-sus
3. C. trece-banda
4. D. nu schimba semnalul

G6. Inmultim doua semnale in timp, esantion cu esantion: $y(n) = h(n)\cdot x(n)$. Spectrul lui $y$ este:

1. A. $H(k)\cdot X(k)$
2. B. $H(k) + X(k)$
3. C. $(H * X)(k)$
4. D. acelasi cu al lui $x$

G7. Cat este $x * \delta(n - 3)$?

1. A. semnalul $x$ inmultit cu 3
2. B. semnalul $x$ intarziat cu 3 esantioane
3. C. semnalul $x$ devansat cu 3 esantioane
4. D. primele 3 esantioane din $x$

G8. La o anumita frecventa $k$ avem $|X(k)| = 6$ si $|H(k)| = 0.5$. Cat este $|Y(k)|$ la iesirea filtrului?

1. A. 6.5
2. B. 12
3. C. 3
4. D. 5.5

Raspunsurile sunt scrise asa cum le-ai pune pe foaie: scurt, cu formula si cu o propozitie de explicatie.

T1. Ce este convolutia? Dati definitia si o aplicatie. (examen 2023, 2026)

T2. Enuntati teorema convolutiei. La ce foloseste? (examen 2023, 2026)

T3. Ce este raspunsul la impuls al unui sistem?

T4. Cum aflati functia de transfer a unui sistem la care aveti acces doar la intrare si la iesire? (examen 2024)

T5. De ce filtrul “Moving Average” este un filtru trece-jos?

T6. Care este legatura dintre $h(n)$ si $H(k)$?

Urmatorul capitol: Cap 8 — Scurgerea spectrala (DFT leakage), zero-padding si ferestre.