Cap 10 — Transformata Z, poli si zerouri, filtre IIR

← inapoi la cuprins · Materie pentru EXAMEN (dupa partial) · Notitele colegilor: Cursul 15 din numerotarea de anul trecut (p. 35–36) · Inainte: Cap 9 — Filtre FIR

Ce cade: problema de examen din 2021 si 2023 C (ecuatia $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$: schema, functia de transfer, zerouri si poli, raspunsul in frecventa) — rezolvata la 9.1; problema din 2026 cu filtrul FIR $h = [1, 2, 1]$ — la 9.2; problema din ianuarie 2025 si 2026 cu un IIR dat prin zerouri si poli si un semnal din 3 cosinusuri — la 9.3; teorie: “FIR vs IIR” (2023 C, 2024 B, 2026) — raspuns model in sectiunea 12.

Cum citesti pagina: sectiunile 1–2 (ce e un IIR si cum arata schema lui) → 3–4 (transformata Z si cum scoti $H(z)$ din ecuatie) → 5 (zerouri si poli) → 6 (cum citesti frecventele de pe cerc) → 7 (stabilitate) → 8 (FIR vs IIR). Fiecare lucru nou incepe cu un exemplu cu numere. Formula vine abia dupa.

Ce folosim din capitolele dinainte (iti reamintesc pe scurt fiecare lucru exact acolo unde apare): esantioanele $x(n)$ (Cap 4), numerele complexe si formula lui Euler (Cap 0), filtrul FIR si impulsul (Cap 9, Cap 7).

Un filtru digital e o reteta care primeste o lista de numere (esantioanele de la intrare, notate $x(n)$) si scoate alta lista de numere (iesirea, notata $y(n)$). Litera $n$ e numarul de ordine al esantionului: $n = 0$ e primul, $n = 1$ al doilea si asa mai departe.

La un filtru FIR (Cap 9) reteta foloseste doar intrari: cea de acum si cateva mai vechi. De exemplu:

$$ y(n) = x(n) + 2\,x(n-1) + x(n-2) $$

• $x(n)$ = intrarea de acum
• $x(n-1)$ = intrarea de la pasul dinainte (cu un esantion in urma)
• $x(n-2)$ = intrarea de acum doi pasi

La un filtru IIR reteta foloseste si iesiri mai vechi. Adica rezultatul de la pasul dinainte intra din nou in calcul. Asta se numeste reactie (in engleza feedback).

Analogie — ecoul. Bati o data din palme intr-o sala mare. Auzi bataia, apoi ecoul ei (mai slab), apoi ecoul ecoului (si mai slab) si tot asa. Fiecare ecou e facut din sunetul de dinainte. Ai produs un singur sunet, dar “iesirea” continua mult timp dupa el.

Luam cel mai simplu filtru cu reactie:

$$ y(n) = x(n) + 0.5\cdot y(n-1) $$

In cuvinte: iesirea de acum = intrarea de acum + jumatate din iesirea de la pasul dinainte.

La intrare punem un impuls: un singur 1, urmat numai de zerouri. Adica $x = [1, 0, 0, 0, 0, \dots]$. Impulsul e “bataia din palme”. Inainte de primul esantion nu exista nimic, deci iesirea “de dinainte” e 0.

Iesirea este $1,\ 0.5,\ 0.25,\ 0.125,\ 0.0625,\ \dots$ Se injumatateste la fiecare pas. Nu se termina niciodata: jumatatea unui numar mai mare ca 0 e tot mai mare ca 0.

Schimbam un singur numar:

$$ y(n) = x(n) + 1.5\cdot y(n-1) $$

Acelasi impuls la intrare:

Iesirea creste fara oprire, desi la intrare nu mai vine nimic. Un astfel de filtru e instabil si nu se poate folosi.

Analogie: microfonul pus prea aproape de boxa. Sunetul iese din boxa, intra iar in microfon, iese mai tare si tot asa, pana tiuie. E tot o reactie, dar una care amplifica in loc sa stinga.

Ce vezi in desen: pe orizontala e numarul esantionului $n$, pe verticala iesirea $y(n)$ cand la intrare punem un singur 1. Stanga (verde): FIR-ul de la 1.1, iesirea se termina dupa 3 valori. Mijloc (albastru): filtrul cu 0.5, iesirea scade mereu, dar nu ajunge la 0. Dreapta (rosu): filtrul cu 1.5, iesirea creste tot mai repede.

Exemplele de mai sus aveau un singur termen de reactie. In general pot fi mai multi. In curs ecuatia unui IIR se scrie asa:

$$ y(n) = \underbrace{b_0\,x(n) + b_1\,x(n-1) + b_2\,x(n-2) + \dots}_{\text{partea cu intrari, ca la FIR}} + \underbrace{a_1\,y(n-1) + a_2\,y(n-2) + \dots}_{\text{reactia (feedback)}} $$

• $b_0, b_1, b_2, \dots$ = numerele cu care inmultesti intrarile. La un FIR ele sunt chiar $h(0), h(1), h(2), \dots$
• $a_1, a_2, \dots$ = numerele cu care inmultesti iesirile mai vechi. La un FIR toate sunt 0.
• O ecuatie de felul acesta, care leaga esantionul de acum de cele dinainte, se numeste ecuatie cu diferente.

Exemplu: in $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$ avem $b_0 = 1$ si $a_1 = 0.5$. In ecuatia de examen $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$ avem $b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$, $a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$.

La examen se cere des: “desenati diagrama Direct Form I”. E doar ecuatia, desenata cu trei feluri de piese.

Ce vezi in desen: semnalul merge de la stanga la dreapta. In stanga (chenar albastru) intra $x(n)$ si e inmultit cu $b_0 = 1$. In dreapta (chenar rosu) e reactia: din iesirea $y(n)$ pleaca in jos o ramura, trece prin DELAY si devine $y(n-1)$, e inmultita cu $a_1 = 0.5$ si se intoarce (sageata rosie) in sumator.

Cum citesti ecuatia din schema: te uiti ce intra in sumatoare. Intra $1\cdot x(n)$ si $0.5\cdot y(n-1)$. Din ele iese $y(n)$. Deci $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$. Exact ecuatia de la 1.3.

Ce vezi in desen: doua jumatati.

• Stanga (albastru) — partea de intrare. $x(n)$ coboara printr-un lant de piese DELAY. Dupa primul DELAY ai $x(n-1)$, dupa al doilea $x(n-2)$. Fiecare e inmultit cu $b$-ul lui si toate ajung in primul sumator. Aceasta jumatate, singura, e un filtru FIR.
• Dreapta (rosu) — reactia. Iesirea $y(n)$ coboara printr-un alt lant de piese DELAY: $y(n-1)$, $y(n-2)$. Fiecare e inmultit cu $a$-ul lui si se intoarce in al doilea sumator.

In desen sunt doua sumatoare, unul dupa altul. Impreuna fac o singura adunare: tot ce intra in oricare dintre ele ajunge in $y(n)$.

Numele Direct Form I inseamna doar ca schema e desenata direct dupa ecuatie: cate un DELAY si cate un multiplicator pentru fiecare termen.

Pe ecuatia de examen, $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$:

1. Numara termenii cu $x$: sunt 3 ($x(n)$, $x(n-1)$, $x(n-2)$). Deci in stanga desenezi 2 piese DELAY (una pentru fiecare intarziere) si 3 multiplicatoare.
2. Scrie langa multiplicatoare numerele din fata termenilor cu $x$: $b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$.
3. Numara termenii cu $y$ din dreapta egalului: sunt 2 ($y(n-1)$, $y(n-2)$). Deci in dreapta desenezi 2 piese DELAY si 2 multiplicatoare.
4. Scrie langa ele numerele din fata termenilor cu $y$, cu semnul lor: $a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$.
5. Leaga totul in sumatoare si scrie $x(n)$ la intrare si $y(n)$ la iesire.

Ce vezi in desen: aceeasi schema ca la 2.3, cu numerele din problema de examen in locul literelor.

Vrem sa stim ce face filtrul cu fiecare frecventa: pe care le lasa sa treaca si pe care le taie. Asta se numeste raspunsul in frecventa.

La un FIR era simplu: aveai lista scurta de coeficienti $h(n)$ si ii calculai spectrul (Cap 9). La un IIR lista $h(n)$ e infinit de lunga (1, 0.5, 0.25, … fara sfarsit). Nu ai ce lista sa pui pe foaie.

Ne trebuie o unealta care pleaca direct de la ecuatie. Ecuatia e scurta. Singurul lucru incomod din ea sunt intarzierile: $x(n-1)$, $y(n-2)$ si celelalte. Unealta trebuie sa transforme “intarziat cu un esantion” in ceva cu care se poate face algebra obisnuita. Unealta se numeste transformata Z.

Luam lista $x = [1, 2, 1]$. Adica $x(0) = 1$, $x(1) = 2$, $x(2) = 1$.

O scriem ca o suma, punand langa fiecare numar o eticheta care spune pe ce pozitie sta:

• numarul de pe pozitia 0 nu primeste eticheta
• numarul de pe pozitia 1 primeste eticheta $z^{-1}$
• numarul de pe pozitia 2 primeste eticheta $z^{-2}$

$$ [1, 2, 1] \quad\longleftrightarrow\quad 1 + 2z^{-1} + 1z^{-2} $$

Suma din dreapta se noteaza $X(z)$ si se numeste transformata Z a lui $x$. Nu am calculat nimic. Am scris aceeasi lista altfel.

Intarziem lista cu un esantion. Fiecare numar se muta cu o pozitie mai tarziu, iar in fata apare un 0:

$$ [1, 2, 1] \quad\longrightarrow\quad [0, 1, 2, 1] $$

Scriem noua lista cu etichete. Acum 1 sta pe pozitia 1, 2 pe pozitia 2, 1 pe pozitia 3:

$$ [0, 1, 2, 1] \quad\longleftrightarrow\quad 1z^{-1} + 2z^{-2} + 1z^{-3} $$

Comparam cu ce aveam inainte. Daca inmultim suma veche cu $z^{-1}$:

$$ z^{-1}\cdot\left(1 + 2z^{-1} + 1z^{-2}\right) = 1z^{-1} + 2z^{-2} + 1z^{-3} $$

Este exact suma listei intarziate. Deci:

$$ \boxed{\text{intarziere cu un esantion} \quad\longleftrightarrow\quad \text{inmultire cu } z^{-1}} $$

Cu simbolurile din curs:

$$ X(z) = \sum_{n} x(n)\cdot z^{-n} $$

• $x(n)$ = esantionul de pe pozitia $n$
• $z^{-n}$ = eticheta pozitiei $n$
• $\sum_n$ = “aduna pentru toate pozitiile $n$”

Pentru lista noastra: $X(z) = x(0)\,z^{0} + x(1)\,z^{-1} + x(2)\,z^{-2} = 1 + 2z^{-1} + z^{-2}$ (orice numar la puterea 0 este 1, deci $z^0 = 1$).

$z$ poate fi orice numar complex. Un numar complex e un punct intr-un plan (Cap 0). Un punct din plan se poate da prin doua lucruri: cat de departe e de centru (se noteaza $r$) si in ce directie (un unghi, notat $\omega$, litera greceasca “omega”). In curs se scrie:

$$ z = r\,e^{j\omega} $$

• $r$ = distanta de la centru pana la punct
• $\omega$ = unghiul directiei, masurat de la axa orizontala
• $e^{j\omega}$ = punctul aflat la distanta 1 de centru, in directia $\omega$ (formula lui Euler, Cap 0)

Legatura cu Fourier: daca alegem $r = 1$, adica punctele aflate pe cercul de raza 1, atunci $z = e^{j\omega}$ si definitia de la 3.4 devine

$$ X(e^{j\omega}) = \sum_n x(n)\,e^{-j\omega n} $$

Aceasta este chiar transformata Fourier a unui semnal discret (Cap 6), adica spectrul. Deci transformata Z contine spectrul: il gasesti pe cercul de raza 1. Folosim asta in sectiunea 6.

Acum folosim tabelul de la 3.3 ca sa scapam de intarzieri.

Ecuatia: $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$.

Pas 1 — inlocuim fiecare termen dupa tabel. $y(n)$ devine $Y(z)$. $x(n)$ devine $X(z)$. $y(n-1)$ devine $z^{-1}Y(z)$.

$$ Y(z) = X(z) + 0.5\,z^{-1}\,Y(z) $$

Pas 2 — mutam in stanga tot ce contine $Y$. Termenul $0.5\,z^{-1}Y(z)$ trece in stanga egalului. Cand un termen trece de partea cealalta a egalului, isi schimba semnul.

$$ Y(z) - 0.5\,z^{-1}\,Y(z) = X(z) $$

Pas 3 — dam factor comun pe $Y(z)$.

$$ Y(z)\cdot\left(1 - 0.5\,z^{-1}\right) = X(z) $$

Pas 4 — impartim iesirea la intrare.

$$ \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - 0.5\,z^{-1}} $$

Raportul iesire supra intrare se noteaza $H(z)$ si se numeste functia de transfer a filtrului:

$$ H(z) = \frac{1}{1 - 0.5\,z^{-1}} $$

Ecuatia: $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2\,y(n-1) - 0.61\,y(n-2)$.

Pas 1 — inlocuim dupa tabel.

$$ Y(z) = X(z) + 2z^{-1}X(z) + z^{-2}X(z) + 1.2\,z^{-1}Y(z) - 0.61\,z^{-2}Y(z) $$

Pas 2 — mutam in stanga termenii cu $Y$ (isi schimba semnul: $+1.2$ devine $-1.2$, iar $-0.61$ devine $+0.61$).

$$ Y(z) - 1.2\,z^{-1}Y(z) + 0.61\,z^{-2}Y(z) = X(z) + 2z^{-1}X(z) + z^{-2}X(z) $$

Pas 3 — factor comun: $Y(z)$ in stanga, $X(z)$ in dreapta.

$$ Y(z)\cdot\left(1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}\right) = X(z)\cdot\left(1 + 2z^{-1} + z^{-2}\right) $$

Pas 4 — impartim.

$$ \boxed{H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}} $$

Este exact functia de transfer din testul de la curs.

Daca faci aceiasi 4 pasi pe ecuatia generala de la 1.5, obtii:

$$ H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \dots}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2} - \dots} $$

Scurtatura pentru examen (dupa ce ai inteles pasii):

• sus (numaratorul): coeficientii intrarilor, asa cum sunt: $b_0$, apoi $b_1$ cu $z^{-1}$, apoi $b_2$ cu $z^{-2}$
• jos (numitorul): incepe cu 1, apoi coeficientii iesirilor cu semnul schimbat: $-a_1$ cu $z^{-1}$, $-a_2$ cu $z^{-2}$

Din pasul 4 rezulta $Y(z) = H(z)\cdot X(z)$. In cuvinte: iesirea = intrarea inmultita cu functia de transfer.

E aceeasi idee ca la filtrele analogice din Cap 1, unde iesirea era intrarea inmultita cu $H(f)$. Acolo $H$ spunea cu cat e inmultita fiecare frecventa. Aici $H(z)$ contine aceeasi informatie, iar in sectiunea 6 o scoatem din el.

$H(z)$ depinde doar de coeficientii filtrului ($b$-urile si $a$-urile), nu de semnalul de la intrare. E “buletinul” filtrului.

$H(z)$ e o fractie. Pentru fiecare valoare pe care o dam lui $z$, fractia da un numar. Doua feluri de valori ale lui $z$ sunt speciale:

• Zerourile = valorile lui $z$ pentru care partea de sus (numaratorul) e 0. Acolo $H(z) = 0$.
• Polii = valorile lui $z$ pentru care partea de jos (numitorul) e 0. Acolo ar trebui sa imparti la 0, deci $H(z)$ devine urias (“infinit”).

Analogie — cortul. Imagineaza-ti planul numerelor complexe ca pe o podea. Deasupra fiecarui punct $z$ de pe podea ridici o panza la inaltimea $|H(z)|$ (marimea lui $H$ in acel punct). Rezulta un cort:

• la fiecare pol e un stalp care impinge panza in sus (de aici si numele: pole = stalp)
• la fiecare zerou e un tarus care tine panza prinsa de podea

Forma intregului cort e hotarata de locul stalpilor si al tarusilor. De aceea, daca stii zerourile si polii, stii filtrul.

Ca sa gasim unde se anuleaza sus si jos, vrem ecuatii obisnuite, cu $z^2$ si $z$, nu cu $z^{-1}$ si $z^{-2}$. Inmultim fractia si sus si jos cu $z^2$. O fractie nu se schimba daca o inmultesti sus si jos cu acelasi lucru ($\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$).

Avem nevoie de: $z^2\cdot 1 = z^2$, apoi $z^2\cdot z^{-1} = z$, apoi $z^2\cdot z^{-2} = 1$ (exponentii se aduna: $2 - 1 = 1$ si $2 - 2 = 0$).

$$ H(z) = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}\cdot\frac{z^2}{z^2} = \frac{z^2 + 2z + 1}{z^2 - 1.2\,z + 0.61} $$

Si sus, si jos avem cate o expresie de forma $A z^2 + B z + C$. Valorile lui $z$ pentru care ea da 0 se gasesc cu formula de la scoala:

$$ D = B^2 - 4AC \qquad\qquad z_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} $$

• $A$ = numarul din fata lui $z^2$, $B$ = numarul din fata lui $z$, $C$ = numarul fara $z$
• $D$ se numeste discriminant (la scoala se nota cu litera greceasca delta, $\Delta$)
• semnul $\pm$ inseamna ca iei o data cu plus si o data cu minus, deci ies doua solutii

Trei cazuri:

• $D > 0$: doua solutii reale diferite
• $D = 0$: cele doua solutii sunt egale (o solutie dubla)
• $D < 0$: radical dintr-un numar negativ. In numere reale nu exista. In numere complexe exista: $\sqrt{-1} = j$ (Cap 0). Ies doua solutii complexe, una cu $+j$ si una cu $-j$.

Sus avem $z^2 + 2z + 1$. Deci $A = 1$, $B = 2$, $C = 1$.

1. $D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 4 - 4 = 0$ → solutie dubla.
2. $z = \frac{-2 \pm 0}{2\cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

Zerourile: $z_1 = z_2 = -1$ (un zerou dublu in $-1$).

Mai rapid, daca vezi formula: $z^2 + 2z + 1 = (z + 1)^2$, care e 0 cand $z = -1$.

Jos avem $z^2 - 1.2\,z + 0.61$. Deci $A = 1$, $B = -1.2$, $C = 0.61$.

1. $D = (-1.2)^2 - 4\cdot 1\cdot 0.61 = 1.44 - 2.44 = -1$ → negativ, deci solutii complexe.
2. $\sqrt{D} = \sqrt{-1} = j$.
3. $p_{1,2} = \frac{-(-1.2) \pm j}{2\cdot 1} = \frac{1.2 \pm j}{2} = 0.6 \pm 0.5j$.

Polii: $p_1 = 0.6 + 0.5j$ si $p_2 = 0.6 - 0.5j$.

Reamintire (Cap 0): un numar complex $a + bj$ se deseneaza ca un punct: $a$ (partea reala) pe orizontala, $b$ (partea imaginara) pe verticala. Distanta de la centru pana la punct se numeste modul si se calculeaza cu Pitagora: $\sqrt{a^2 + b^2}$.

• zeroul $-1$ = punctul $(-1, 0)$
• polul $0.6 + 0.5j$ = punctul $(0.6,\ 0.5)$
• polul $0.6 - 0.5j$ = punctul $(0.6,\ -0.5)$

Conventia de desen: zerourile cu cerculet (o), polii cu x (×). Mereu se deseneaza si cercul de raza 1 cu centrul in origine, numit cercul unitate. De ce e nevoie de el vezi in sectiunile 6 si 7.

Ce vezi in desen: pe orizontala e partea reala a lui $z$, pe verticala partea imaginara. Cercul gri e cercul unitate. Cerculetul albastru din stanga, chiar pe cerc, e zeroul dublu $z = -1$. Cele doua × rosii sunt polii $0.6 \pm 0.5j$, in interiorul cercului, in oglinda fata de axa orizontala. Liniile rosii punctate arata distanta lor pana la centru si unghiul $\omega_1$.

Doua numere pe care le citim de pe desen si de care avem nevoie mai jos:

• modulul polilor (cat de departe sunt de centru): $\sqrt{0.6^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.36 + 0.25} = \sqrt{0.61} \approx 0.78$. E mai mic decat 1, deci polii sunt in interiorul cercului.
• unghiul polilor: $\omega_1 = \tan^{-1}\frac{0.5}{0.6} \approx 0.69$ radiani $\approx 40^\circ$ (partea verticala impartita la cea orizontala, apoi tasta $\tan^{-1}$ a calculatorului).

Stiind zerourile si polii, $H(z)$ se poate scrie ca produs de paranteze, cate una pentru fiecare:

$$ H(z) = \frac{(z - z_1)(z - z_2)}{(z - p_1)(z - p_2)} = \frac{(z + 1)(z + 1)}{(z - 0.6 - 0.5j)(z - 0.6 + 0.5j)} $$

Cand $z$ e egal cu un zerou, paranteza lui de sus devine 0 si $H = 0$. Cand $z$ e egal cu un pol, paranteza lui de jos devine 0.

Uneori la examen filtrul e dat direct in aceasta forma (problema din ianuarie 2025, la 9.3). Atunci citesti zerourile si polii din paranteze, cu semnul schimbat: din $(z + 1)$ zeroul e $-1$; din $(z - 0.6 - 0.5j)$ polul e $0.6 + 0.5j$.

Am ajuns la intrebarea de la 3.1: ce face filtrul cu fiecare frecventa?

La 3.5 am vazut ca spectrul se gaseste pe cercul de raza 1, adica in punctele $z = e^{j\omega}$. Unghiul $\omega$ e legat de frecventa $f$ asa:

$$ \omega = 2\pi\cdot\frac{f}{f_s} \ \text{(in radiani)} \qquad\text{sau}\qquad \text{unghiul in grade} = 360^\circ\cdot\frac{f}{f_s} $$

• $f$ = frecventa care ne intereseaza
• $f_s$ = frecventa de esantionare (Cap 4)
• $f/f_s$ = frecventa normalizata (Cap 6): ce fractiune din $f_s$ reprezinta $f$

Ce vezi in desen: cercul unitate. Punctele verzi sunt frecventele de la 0 la $f_s/2$: pornesti din dreapta ($z = 1$, frecventa 0) si mergi pe jumatatea de sus a cercului, in sens invers acelor de ceasornic, pana in stanga ($z = -1$, frecventa $f_s/2$). Punctele portocalii de pe jumatatea de jos sunt frecventele negative, oglinda celor pozitive.

Raspunsul in frecventa este $H(z)$ calculat in punctele de pe cerc. Marimea lui, $|H|$, spune de cate ori e inmultita amplitudinea unui cosinus de frecventa $f$ care trece prin filtru (exact ca $|H(f)|$ din Cap 1).

Luam $H(z) = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}$ si inlocuim $z$.

La $f = 0$, adica $z = 1$. Atunci $z^{-1} = 1$ si $z^{-2} = 1$.

$$ H = \frac{1 + 2 + 1}{1 - 1.2 + 0.61} = \frac{4}{0.41} \approx 9.76 $$

Un semnal constant (frecventa 0) iese de aproximativ 9.76 ori mai mare.

La $f = f_s/2$, adica $z = -1$. Atunci $z^{-1} = \frac{1}{-1} = -1$ si $z^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.

$$ H = \frac{1 + 2\cdot(-1) + 1}{1 - 1.2\cdot(-1) + 0.61} = \frac{1 - 2 + 1}{1 + 1.2 + 0.61} = \frac{0}{2.81} = 0 $$

Frecventa $f_s/2$ e stearsa complet. Nu e o intamplare: $z = -1$ e chiar zeroul filtrului.

La $f = f_s/4$, adica $z = j$. Atunci $z^{-1} = \frac{1}{j} = -j$ si $z^{-2} = \frac{1}{j^2} = \frac{1}{-1} = -1$.

• sus: $1 + 2\cdot(-j) + (-1) = -2j$. Modulul lui: $2$.
• jos: $1 - 1.2\cdot(-j) + 0.61\cdot(-1) = 1 + 1.2j - 0.61 = 0.39 + 1.2j$. Modulul lui: $\sqrt{0.39^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.1521 + 1.44} = \sqrt{1.5921} \approx 1.26$.
• modulul unei fractii = modulul de sus impartit la modulul de jos: $|H| = \frac{2}{1.26} \approx 1.59$.

Frecventa $f_s/4$ iese de 1.59 ori mai mare. Mult mai putin decat frecventa 0 (de 9.76 ori).

Exista un mod de a citi $|H|$ direct de pe desenul cu poli si zerouri, cu rigla.

Plecam de la forma de la 5.7: $H(z) = \frac{(z - z_1)(z - z_2)}{(z - p_1)(z - p_2)}$. Marimea unei paranteze, $|z - z_1|$, este distanta dintre punctul $z$ si punctul $z_1$ (asa se masoara distanta dintre doua puncte din planul complex). Deci:

$$ \boxed{|H| \text{ la frecventa } f = \frac{\text{produsul distantelor de la punctul frecventei pana la ZEROURI}}{\text{produsul distantelor de la punctul frecventei pana la POLI}}} $$

“Punctul frecventei” e punctul de pe cerc de la 6.1.

La $f = 0$ (punctul $z = 1$, adica $(1, 0)$):

• pana la zeroul $(-1, 0)$: distanta $2$. Zeroul e dublu, deci o luam de doua ori: $2\cdot 2 = 4$.
• pana la polul $(0.6,\ 0.5)$: $\sqrt{(1 - 0.6)^2 + (0 - 0.5)^2} = \sqrt{0.16 + 0.25} = \sqrt{0.41} \approx 0.64$. Pana la polul $(0.6,\ -0.5)$: la fel, $0.64$. Produsul: $0.64\cdot 0.64 = 0.41$.
• $|H| = \frac{4}{0.41} \approx 9.76$ ✓ (ca la 6.2).

La $f = f_s/4$ (punctul $z = j$, adica $(0, 1)$):

• pana la zeroul $(-1, 0)$: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. De doua ori: $1.41\cdot 1.41 = 2$.
• pana la polul $(0.6,\ 0.5)$: $\sqrt{0.6^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.61} \approx 0.78$. Pana la polul $(0.6,\ -0.5)$: $\sqrt{0.6^2 + 1.5^2} = \sqrt{2.61} \approx 1.62$. Produsul: $0.78\cdot 1.62 \approx 1.26$.
• $|H| = \frac{2}{1.26} \approx 1.59$ ✓.

La $f = f_s/2$ (punctul $z = -1$): distanta pana la zeroul din $-1$ este $0$. Produsul de sus e 0, deci $|H| = 0$ ✓.

Ce vezi in desen: punctul verde e frecventa la care calculam (stanga: $f = 0$; dreapta: $f = f_s/4$). Segmentele albastre merg pana la zerouri, cele rosii pana la poli, fiecare cu lungimea scrisa pe el. Inmultesti lungimile albastre, inmultesti lungimile rosii si le imparti.

Din regula distantelor ies doua reguli pe care le folosesti ca sa schitezi raspunsul fara calcule:

Aplicat pe problema de examen:

• zeroul dublu e in $z = -1$, pe cerc, la unghiul $180^\circ$ → frecventa $f_s/2$ e stearsa.
• polii au unghiul $\omega_1 \approx 40^\circ$ (5.6). Frecventa din dreptul lor: $\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot f_s \approx 0.11\,f_s$. Acolo ne asteptam la un varf.

Cat de inalt e varful? Calcul in dreptul polului. Punctul de pe cerc cu unghiul de $40^\circ$ este $(0.77,\ 0.64)$.

• pana la polul $p_1$: polul e pe aceeasi raza, la distanta $0.78$ de centru, iar punctul de pe cerc e la distanta $1$. Deci intre ei sunt $1 - 0.78 = 0.22$.
• pana la polul $p_2 = (0.6,\ -0.5)$: $\sqrt{(0.77 - 0.6)^2 + (0.64 + 0.5)^2} = \sqrt{0.03 + 1.30} \approx 1.15$.
• pana la zeroul $(-1, 0)$: $\sqrt{(0.77 + 1)^2 + 0.64^2} = \sqrt{3.13 + 0.41} \approx 1.88$. De doua ori: $1.88\cdot 1.88 \approx 3.54$.
• $|H| \approx \frac{3.54}{0.22\cdot 1.15} = \frac{3.54}{0.25} \approx 14$.

Deci in dreptul polilor $|H| \approx 14$, mai mult decat la frecventa 0 (unde era 9.76).

Ce vezi in desen: pe orizontala e frecventa, de la 0 la $f_s/2$. Pe verticala e $|H(f)|$, adica de cate ori e inmultita amplitudinea. Punctele rosii sunt valorile calculate: 9.76 la $f = 0$, varful de aproximativ 14.4 langa $0.1\,f_s$, 12.1 la $f_s/8$, 1.59 la $f_s/4$, 0.25 la $3f_s/8$ si 0 la $f_s/2$. Linia mov punctata arata unghiul polilor ($0.11\,f_s$).

Ce fel de filtru e: frecventele joase (de la 0 pana pe la $0.15\,f_s$) sunt amplificate de 10–14 ori. Frecventele inalte sunt slabite tot mai mult si $f_s/2$ e stearsa. Deci e un filtru trece-jos, cu un varf (o “rezonanta”) in dreptul polilor.

Un filtru e stabil daca, atunci cand intrarea ramane intre niste limite, si iesirea ramane intre niste limite. Pe scurt: nu “explodeaza”. Testul cel mai simplu: ii dai un impuls si te uiti daca raspunsul se stinge.

La 1.3 si 1.4 am vazut doua filtre aproape identice: cel cu 0.5 se stingea, cel cu 1.5 exploda. Acum putem spune de ce, cu poli.

Pentru $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$ am gasit la 4.1: $H(z) = \frac{1}{1 - 0.5\,z^{-1}}$. Inmultim sus si jos cu $z$ (cea mai mare intarziere e 1):

$$ H(z) = \frac{z}{z - 0.5} $$

Partea de jos e 0 cand $z = 0.5$. Deci polul este $0.5$, chiar numarul din reactie. Raspunsul la impuls era $1,\ 0.5,\ 0.25,\ 0.125,\ \dots$, adica $0.5^n$: puterile polului.

Pentru filtrul cu 1.5 polul este $1.5$, iar raspunsul era $1,\ 1.5,\ 2.25,\ \dots$, adica $1.5^n$.

• Un numar mai mic decat 1, ridicat la puteri tot mai mari, se face tot mai mic ($0.5^{10} \approx 0.001$).
• Un numar mai mare decat 1, ridicat la puteri tot mai mari, creste fara limita ($1.5^{10} \approx 58$).

Granita e 1. Iar “mai mic decat 1” inseamna, pe desen, in interiorul cercului unitate.

Tabelul din curs:

Ce vezi in desen: sus, cinci filtre, fiecare cu polii lui desenati langa cercul unitate. Jos, sub fiecare, raspunsul lui la un impuls (pe orizontala numarul esantionului, pe verticala iesirea). Verde: polii in interior, raspunsul se stinge. Portocaliu: pol chiar pe cerc, raspunsul ramane la 1 pentru totdeauna. Rosu: polii in exterior, raspunsul creste.

Verdict pentru problema de examen: polii sunt $0.6 \pm 0.5j$, cu modulul $\sqrt{0.61} \approx 0.78 < 1$. Sunt in interiorul cercului, deci filtrul e stabil.

Luam FIR-ul $H(z) = 1 + 2z^{-1} + z^{-2}$. Inmultim cu $\frac{z^2}{z^2}$, ca la 5.2:

$$ H(z) = \frac{z^2 + 2z + 1}{z^2} $$

Partea de jos, $z^2$, e 0 doar cand $z = 0$. Deci singurii poli ai unui FIR sunt in $z = 0$, chiar in centrul cercului. Centrul e mereu in interior, deci un FIR nu are cum sa fie instabil.

Fara formule: iesirea unui FIR e o suma de cateva intrari inmultite cu niste numere. Daca intrarile sunt marginite, si suma e marginita. Nu exista reactie care sa se “hraneasca” singura.

Este intrebare de teorie care a aparut la trei examene. Tabelul de mai jos e raspunsul.

Pe scurt, cand alegi fiecare:

• FIR cand vrei siguranta (nu poate fi instabil) si cand forma semnalului conteaza (faza liniara). Platesti cu mai multe calcule.
• IIR cand vrei un filtru abrupt cu putine calcule si iti permiti sa verifici stabilitatea si sa accepti deformarea de faza.

Ce se cere: schema cu piese DELAY, multiplicatoare si sumatoare.

Ce stim: ecuatia. Citim coeficientii: $b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$ (numerele din fata lui $x$) si $a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$ (numerele din fata lui $y$ din dreapta, cu semnul lor).

Pasi (reteta de la 2.4):

1. In stanga: lantul de intrare cu 2 piese DELAY, care da $x(n)$, $x(n-1)$, $x(n-2)$. Fiecare trece printr-un multiplicator: $1$, $2$, $1$.
2. In dreapta: lantul de reactie cu 2 piese DELAY, care da $y(n-1)$, $y(n-2)$. Fiecare trece printr-un multiplicator: $1.2$ si $-0.61$.
3. Toate cele 5 ramuri se aduna. Rezultatul este $y(n)$.

Raspuns a):

Ce vezi in desen: in chenarul albastru sunt cele 3 ramuri de intrare ($b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$). In chenarul rosu sunt cele 2 ramuri de reactie ($a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$), care pleaca din iesire si se intorc in sumator.

Ce se cere: $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$.

Ce stim: regula “intarziere cu $k$ esantioane ↔ inmultire cu $z^{-k}$” (3.3).

Pasi (cei 4 pasi de la 4.2):

1. Inlocuim: $Y = X + 2z^{-1}X + z^{-2}X + 1.2\,z^{-1}Y - 0.61\,z^{-2}Y$.
2. Mutam termenii cu $Y$ in stanga: $Y - 1.2\,z^{-1}Y + 0.61\,z^{-2}Y = X + 2z^{-1}X + z^{-2}X$.
3. Factor comun: $Y\,(1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}) = X\,(1 + 2z^{-1} + z^{-2})$.
4. Impartim.

Raspuns b): $H(z) = \dfrac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}$

Ce se cere: valorile lui $z$ unde se anuleaza numaratorul (zerouri) si numitorul (poli), plus desenul.

Ce stim: $H(z)$ de la b).

Pasi:

1. Inmultim sus si jos cu $z^2$: $H(z) = \dfrac{z^2 + 2z + 1}{z^2 - 1.2\,z + 0.61}$.
2. Zerouri: $z^2 + 2z + 1 = (z + 1)^2 = 0$ → $z_1 = z_2 = -1$.
3. Poli: $z^2 - 1.2z + 0.61 = 0$. $D = 1.44 - 2.44 = -1$, $\sqrt{D} = j$, deci $p_{1,2} = \frac{1.2 \pm j}{2} = 0.6 \pm 0.5j$.
4. Modulul polilor: $\sqrt{0.36 + 0.25} = \sqrt{0.61} \approx 0.78$. Unghiul: $\tan^{-1}\frac{0.5}{0.6} \approx 40^\circ$.

Raspuns c): zerou dublu in $z = -1$; poli $0.6 + 0.5j$ si $0.6 - 0.5j$ (in interiorul cercului unitate, deci filtrul e stabil).

Ce vezi in desen: cercul unitate, zeroul dublu (o) in $-1$, pe cerc, si polii (×) in $(0.6,\ \pm 0.5)$, in interior.

Ce se cere: forma lui $|H|$ in functie de frecventa si tipul filtrului.

Ce stim: pozitia zerourilor si a polilor; regulile de la 6.4.

Pasi:

1. La $f = 0$ ($z = 1$): $H = \frac{1 + 2 + 1}{1 - 1.2 + 0.61} = \frac{4}{0.41} \approx 9.76$.
2. La $f = f_s/2$ ($z = -1$): numaratorul e $1 - 2 + 1 = 0$, deci $H = 0$ (zeroul e pe cerc, exact acolo).
3. Polii au unghiul de $40^\circ$, adica frecventa $\frac{40}{360}f_s \approx 0.11\,f_s$, si sunt destul de aproape de cerc (la $0.78$ din $1$). In dreptul lor e un varf, de aproximativ 14 (calculul e la 6.4).
4. Intre varf si $f_s/2$ curba coboara spre 0. De exemplu la $f_s/4$: $|H| \approx 1.59$ (6.2).

Raspuns d): $|H(f)|$ porneste de la 9.76 la $f = 0$, urca la un varf de aproximativ 14 langa $0.1\,f_s$, apoi coboara si ajunge la 0 la $f_s/2$. Este un filtru trece-jos (cu un varf de rezonanta in dreptul polilor), de tip IIR, stabil.

Ce vezi in desen: curba $|H(f)|$ de la 0 la $f_s/2$, cu valorile de mai sus marcate cu rosu.

Ce vezi in desen: schema unui FIR cu 3 coeficienti. E doar jumatatea de intrare a unui IIR: $x(n)$ coboara prin doua piese DELAY, fiecare valoare e inmultita cu un coeficient si toate se aduna. Nu exista nicio ramura care sa plece din iesire inapoi.

Ce se cere: ecuatia care leaga $y(n)$ de intrari.

Ce stim: schema. In sumator intra trei ramuri: $h(0)\cdot x(n)$, $h(1)\cdot x(n-1)$, $h(2)\cdot x(n-2)$.

Raspuns a): $y(n) = h(0)\,x(n) + h(1)\,x(n-1) + h(2)\,x(n-2)$. Cu numerele de la c): $y(n) = x(n) + 2\,x(n-1) + x(n-2)$.

Ce se cere: $H(z)$.

Pasi:

1. Inlocuim dupa tabelul de la 3.3: $Y = h(0)\,X + h(1)\,z^{-1}X + h(2)\,z^{-2}X$.
2. Nu exista termeni cu $Y$ in dreapta, deci nu avem ce muta. Factor comun: $Y = X\,(h(0) + h(1)\,z^{-1} + h(2)\,z^{-2})$.
3. Impartim la $X$.

Raspuns b): $H(z) = h(0) + h(1)\,z^{-1} + h(2)\,z^{-2}$. Cu numerele: $H(z) = 1 + 2z^{-1} + z^{-2}$.

Ce se cere: zerourile si polii pentru $h = [1, 2, 1]$.

Pasi:

1. Inmultim cu $\frac{z^2}{z^2}$: $H(z) = \dfrac{z^2 + 2z + 1}{z^2} = \dfrac{(z + 1)^2}{z^2}$.
2. Sus: $(z + 1)^2 = 0$ → $z = -1$, de doua ori.
3. Jos: $z^2 = 0$ → $z = 0$, de doua ori.

Raspuns c): zerou dublu in $z = -1$, pol dublu in $z = 0$ (in centrul cercului; filtrul e stabil, ca orice FIR).

Ce se cere: $|H|$ in functie de frecventa.

Pasi, cu regula distantelor (6.3):

1. Polii sunt in centru. De la orice punct de pe cerc pana la centru distanta e $1$. Deci polii nu schimba nimic: jos avem $1\cdot 1 = 1$.
2. Ramane sus: (distanta pana la $-1$) la patrat.
3. La $f = 0$ ($z = 1$): distanta pana la $-1$ e $2$ → $|H| = 2^2 = 4$.
4. La $f = f_s/4$ ($z = j$): distanta e $\sqrt{2}$ → $|H| = 2$.
5. La $f = f_s/2$ ($z = -1$): distanta e $0$ → $|H| = 0$.

Verificare prin calcul direct: la $z = 1$: $1 + 2 + 1 = 4$ ✓. La $z = -1$: $1 - 2 + 1 = 0$ ✓. La $z = j$: $1 - 2j - 1 = -2j$, de modul 2 ✓.

Formula pentru toata curba (daca se cere): punem $z = e^{j\omega}$ si scoatem $e^{-j\omega}$ in fata:

$$ H = 1 + 2e^{-j\omega} + e^{-2j\omega} = e^{-j\omega}\left(e^{j\omega} + 2 + e^{-j\omega}\right) = e^{-j\omega}\,(2 + 2\cos\omega) $$

Am folosit $e^{j\omega} + e^{-j\omega} = 2\cos\omega$ (Euler, Cap 0). Factorul $e^{-j\omega}$ are modulul 1, deci $|H| = 2 + 2\cos\omega$, cu $\omega = 2\pi f/f_s$.

Raspuns d): $|H(f)| = 2 + 2\cos(2\pi f/f_s)$: 4 la $f = 0$, scade lin, 2 la $f_s/4$, 0 la $f_s/2$. Este un filtru trece-jos.

Ce vezi in desen: stanga — zeroul dublu (o) in $-1$ si polul dublu (×) in centru. Dreapta — $|H(f)|$ de la 0 la $f_s/2$, cu valorile 4, 3.41, 2, 0.59 si 0 marcate.

Ce se cere: forma lui $|H|$ de la $f = 0$ la $f_s/2$.

Ce stim: $H(z)$ e dat direct in forma cu paranteze (5.7), deci citim zerourile si polii cu semnul schimbat.

Pasi:

1. Zerouri: din $(z + 1)^2$ → $-1$ (dublu). Din $(z + 0.6 + 0.6j)$ si $(z + 0.6 - 0.6j)$ → $-0.6 - 0.6j$ si $-0.6 + 0.6j$.
2. Poli: $0.25 \pm 0.75j$ si $0.75 \pm 0.25j$.
3. Unde sunt fata de cerc? Modulul zerourilor complexe: $\sqrt{0.6^2 + 0.6^2} = \sqrt{0.72} \approx 0.85$. Unghiul lor: sunt pe diagonala din stanga-sus, deci $135^\circ$, adica in dreptul frecventei $\frac{135}{360}f_s = \frac{3f_s}{8}$. Modulul polilor: $\sqrt{0.25^2 + 0.75^2} = \sqrt{0.625} \approx 0.79$ (la fel pentru cealalta pereche). Toti polii sunt in interiorul cercului, deci filtrul e stabil.
4. Regulile de buzunar (6.4): zeroul dublu din $-1$ e pe cerc → $f_s/2$ e stearsa. Zerourile de la $135^\circ$ sunt aproape de cerc → frecventele din jurul lui $3f_s/8$ sunt slabite foarte mult. Polii sunt toti in partea dreapta (unghiuri de aproximativ $18^\circ$ si $72^\circ$), deci frecventele joase sunt ridicate.
5. Valori, cu regula distantelor. La $f = 0$ (punctul $(1, 0)$): pana la zerouri $2,\ 2,\ 1.71,\ 1.71$; pana la poli $1.06,\ 1.06,\ 0.354,\ 0.354$. $|H| = \frac{2\cdot 2\cdot 1.71\cdot 1.71}{1.06\cdot 1.06\cdot 0.354\cdot 0.354} = \frac{11.7}{0.141} \approx 83$.

Raspuns a): $|H(f)|$ e mare la frecvente joase (aproximativ 83 la $f = 0$, cu un varf mic, de aproximativ 88, imediat dupa), scade repede, e aproape 0 de la $3f_s/8$ si exact 0 la $f_s/2$. Este un filtru trece-jos.

Ce vezi in desen: stanga — zerourile (o), polii (×) si, cu verde, punctele de pe cerc ale celor trei frecvente din semnal. Observa ca punctul $3f_s/8$ e lipit de un zerou. Dreapta — $|H(f)|$ de la 0 la $f_s/2$, cu valorile la $0$, $f_s/8$, $f_s/4$, $3f_s/8$ si $f_s/2$.

Ce se cere: spectrul iesirii.

Ce stim:

• spectrul intrarii: fiecare cosinus de amplitudine 1 da doua linii de inaltime $\frac12$, la $+f_i$ si la $-f_i$ (Cap 0). Trei cosinusuri → 6 linii.
• $y = h * s$ este o convolutie, iar convolutia in timp inseamna inmultire in frecventa (Cap 7, teorema convolutiei): $Y(f) = H(f)\cdot S(f)$. Deci fiecare linie e inmultita cu $|H|$ de la frecventa ei.

Pasi:

1. Calculam $|H|$ la cele trei frecvente (cu regula distantelor, ca la a), din punctele verzi de pe desen):

1. Exemplu de calcul pentru $f_s/4$ (punctul $(0, 1)$): pana la zerouri $1.41,\ 1.41,\ 1.71,\ 0.72$; pana la poli $1.77,\ 0.354,\ 1.46,\ 1.06$. $|H| = \frac{1.41\cdot 1.41\cdot 1.71\cdot 0.72}{1.77\cdot 0.354\cdot 1.46\cdot 1.06} = \frac{2.46}{0.966} \approx 2.55$.

Raspuns b): $|Y(f)|$ are tot 6 linii, la aceleasi frecvente, dar de inaltimi diferite: 13.4 la $\pm f_s/8$, 1.28 la $\pm f_s/4$, 0.013 la $\pm 3f_s/8$ (practic disparuta).

Ce vezi in desen: sus — spectrul intrarii, 6 linii egale de inaltime $\frac12$. Jos — spectrul iesirii: linia de la $f_s/8$ a crescut mult, cea de la $f_s/4$ putin, cea de la $3f_s/8$ aproape a disparut.

Ce se cere: formula lui $y(n)$.

Ce stim: un cosinus care trece printr-un filtru liniar ramane cosinus de aceeasi frecventa. I se schimba doar amplitudinea (inmultita cu $|H|$) si e decalat in timp (faza lui $H$, notata aici $\varphi$) — la fel ca la filtrele din Cap 1.

Raspuns c): $$ y(n) = |H(f_1)|\cos\left(2\pi\tfrac{f_1}{f_s}n + \varphi_1\right) + |H(f_2)|\cos\left(2\pi\tfrac{f_2}{f_s}n + \varphi_2\right) + |H(f_3)|\cos\left(2\pi\tfrac{f_3}{f_s}n + \varphi_3\right) $$ Cu numere: $y(n) \approx 26.8\cos\left(\frac{2\pi}{8}n + \varphi_1\right) + 2.55\cos\left(\frac{2\pi}{4}n + \varphi_2\right) + 0.026\cos\left(\frac{6\pi}{8}n + \varphi_3\right)$. Adica $y$ e format din aceleasi trei cosinusuri, fiecare inmultit cu castigul filtrului la frecventa lui si decalat. Practic ramane aproape numai $s_1$, amplificat.

Ce se cere: spectrul vazut cu DFT.

Acest punct tine de Cap 6 (DFT) si de Cap 8 (zero-padding), unde e explicat pe larg. Pe scurt:

• cu $N = 64$, frecventa $f$ cade in casuta $k = \frac{f}{f_s}\cdot N$: $f_s/8$ → $k = 8$, $f_s/4$ → $k = 16$, $3f_s/8$ → $k = 24$ (si oglinzile lor $k = 56,\ 48,\ 40$). Toate sunt numere intregi, deci liniile cad exact pe casute. Inaltimea unei linii in DFT este amplitudinea cosinusului inmultita cu $\frac{N}{2} = 32$: aproximativ $859$, $82$ si $0.84$.
• daca adaugam 64 de zerouri ($N = 128$), casutele se indesesc de doua ori: valorile din casutele vechi se regasesc, neschimbate, la $k = 16,\ 32,\ 48$ (si la oglinzile lor), iar in casutele noi dintre ele apar valori diferite de zero. De ce apar si cum arata e explicat in Cap 8.

• IIR = filtru cu reactie: $y(n) = \sum b_i\,x(n-i) + \sum a_i\,y(n-i)$. Raspunsul la impuls nu se termina.
• Direct Form I: lant de DELAY-uri pe intrare (cu $b_i$) + lant de DELAY-uri pe iesire (cu $a_i$), totul adunat.
• Transformata Z: $X(z) = \sum x(n)\,z^{-n}$. Intarziere cu 1 esantion ↔ inmultire cu $z^{-1}$.
• Functia de transfer: $H(z) = \dfrac{Y(z)}{X(z)} = \dfrac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}}$ (jos: semnele lui $a$ schimbate).
• Zerouri = unde se anuleaza numaratorul (se deseneaza cu o). Poli = unde se anuleaza numitorul (cu ×). Se gasesc dupa ce inmultesti sus si jos cu $z^2$ si rezolvi ecuatiile de gradul 2.
• Frecventa pe cerc: $z = e^{j2\pi f/f_s}$. $f = 0$ → $z = 1$; $f_s/4$ → $z = j$; $f_s/2$ → $z = -1$. Unghiul in grade $= 360\cdot f/f_s$.
• $|H|$ la o frecventa = produsul distantelor pana la zerouri : produsul distantelor pana la poli.
• Zerou pe cerc → sterge frecventa aceea. Pol aproape de cerc → varf la frecventa aceea.
• Stabil ↔ toti polii strict in interiorul cercului unitate. FIR: polii sunt in $z = 0$ → mereu stabil.
• Problema de examen: $H(z) = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2z^{-1} + 0.61z^{-2}}$ → zerou dublu in $-1$, poli $0.6 \pm 0.5j$ (modul $0.78$, unghi $40^\circ$) → trece-jos, $H(1) = 9.76$, varf $\approx 14$ la $0.1\,f_s$, $0$ la $f_s/2$, stabil.
• FIR vs IIR: FIR = fara reactie, mereu stabil, faza liniara, multi coeficienti. IIR = cu reactie, putini coeficienti, poate fi instabil, faza neliniara.

Raspunsurile, cu explicatie pentru fiecare varianta, sunt la 11.3.

G1. Care dintre ecuatii descrie un filtru IIR?

1. A. $y(n) = x(n) + x(n-1)$
2. B. $y(n) = 0.5\,x(n) - 0.5\,x(n-2)$
3. C. $y(n) = x(n) + 0.9\,y(n-1)$
4. D. $y(n) = 3\,x(n)$

G2. In transformata Z, inmultirea cu $z^{-1}$ inseamna:

1. A. amplificare de 2 ori
2. B. intarziere cu un esantion
3. C. schimbarea semnului
4. D. inmultire cu frecventa de esantionare

G3. Pentru $y(n) = x(n) - x(n-1) + 0.9\,y(n-1)$, functia de transfer este:

1. A. $\dfrac{1 - z^{-1}}{1 + 0.9\,z^{-1}}$
2. B. $\dfrac{1 - z^{-1}}{1 - 0.9\,z^{-1}}$
3. C. $\dfrac{1 - 0.9\,z^{-1}}{1 - z^{-1}}$
4. D. $1 - z^{-1} + 0.9\,z^{-1}$

G4. Un filtru are polii $0.5 + 0.5j$ si $0.5 - 0.5j$. Filtrul este:

1. A. stabil, pentru ca modulul polilor ($\approx 0.71$) e mai mic decat 1
2. B. instabil, pentru ca polii sunt complecsi
3. C. instabil, pentru ca partea reala e pozitiva
4. D. nu se poate spune fara zerouri

G5. Un filtru are un zerou in $z = -1$. Asta inseamna ca:

1. A. filtrul e instabil
2. B. frecventa 0 (semnalul constant) e stearsa
3. C. frecventa $f_s/2$ e stearsa
4. D. frecventa $f_s/4$ e amplificata

G6. Frecventei $f = f_s/4$ ii corespunde, pe cercul unitate, punctul:

1. A. $z = 1$
2. B. $z = j$
3. C. $z = -1$
4. D. $z = 0.25$

G7. Unde sunt polii unui filtru FIR?

1. A. pe cercul unitate
2. B. in afara cercului unitate
3. C. toti in $z = 0$
4. D. un FIR nu are nici zerouri, nici poli

G8. Un filtru are o pereche de poli foarte aproape de cerc, la unghiul de $90^\circ$, si niciun zerou pe cerc. Raspunsul lui in frecventa are:

1. A. un varf langa $f_s/4$
2. B. un zero la $f_s/4$
3. C. un varf la $f = 0$
4. D. aceeasi valoare la toate frecventele

G9. Filtrul $y(n) = x(n) + 1.2\,y(n-1)$ este:

1. A. stabil, pentru ca are un singur pol
2. B. instabil, pentru ca polul ($1.2$) e in afara cercului unitate
3. C. un FIR
4. D. stabil, pentru ca nu are zerouri pe cerc

G10. Care afirmatie e adevarata?

1. A. Un IIR are mereu faza liniara
2. B. Un FIR poate deveni instabil daca are multi coeficienti
3. C. Pentru aceeasi taiere abrupta, un IIR are nevoie de mai putini coeficienti decat un FIR
4. D. Un IIR nu are reactie

Pentru filtrul $y(n) = x(n) - x(n-1) + 0.8\,y(n-1)$:

1. a) Scrie $H(z)$.
2. b) Afla zeroul si polul. E stabil?
3. c) Calculeaza $|H|$ la $f = 0$, la $f_s/4$ si la $f_s/2$.
4. d) Ce fel de filtru e?

Exercitiul de la 11.2, pe puncte:

Punctul a)

• Ce se cere: $H(z)$.
• Pasi: inlocuim: $Y = X - z^{-1}X + 0.8\,z^{-1}Y$. Mutam termenul cu $Y$: $Y - 0.8\,z^{-1}Y = X - z^{-1}X$. Factor comun si impartim.
• Raspuns: $H(z) = \dfrac{1 - z^{-1}}{1 - 0.8\,z^{-1}}$.

Punctul b)

• Ce se cere: zeroul, polul, stabilitatea.
• Pasi: cea mai mare intarziere e 1, deci inmultim sus si jos cu $z$: $H(z) = \dfrac{z - 1}{z - 0.8}$. Sus e 0 cand $z = 1$. Jos e 0 cand $z = 0.8$.
• Raspuns: zerou in $z = 1$, pol in $z = 0.8$. $0.8 < 1$, deci polul e in interiorul cercului: filtrul e stabil.

Punctul c)

• Ce se cere: $|H|$ in trei puncte de pe cerc.
• Pasi (regula distantelor): la $f = 0$ ($z = 1$): distanta pana la zerou e $0$ → $|H| = 0$. La $f_s/2$ ($z = -1$): pana la zerou $2$, pana la pol $1.8$ → $|H| = \frac{2}{1.8} \approx 1.11$. La $f_s/4$ ($z = j$): pana la zerou $\sqrt{1 + 1} \approx 1.41$, pana la pol $\sqrt{1 + 0.64} \approx 1.28$ → $|H| \approx \frac{1.41}{1.28} \approx 1.10$.
• Raspuns: 0 la $f = 0$; $\approx 1.10$ la $f_s/4$; $\approx 1.11$ la $f_s/2$.

Punctul d)

• Ce se cere: tipul filtrului.
• Pasi: frecventa 0 e stearsa (zeroul e pe cerc, in $z = 1$). Frecventele mai mari trec aproape neschimbate ($|H| \approx 1.1$).
• Raspuns: filtru trece-sus (taie componenta constanta si frecventele foarte joase).

La examen, teoria e cu raspuns scris de tine, in cateva randuri. Mai jos sunt intrebarile din acest capitol (lista completa: Subiecte reale §2), fiecare cu un raspuns model. Incearca intai sa raspunzi singur pe foaie, apoi compara.

T1. (examene 2023 C, 2024 B, 2026) FIR vs IIR: arhitectura, performanta, avantaje, metode de design.

T2. (intrebare de antrenament, nu e luata dintr-un examen) Ce este transformata Z si ce legatura are cu transformata Fourier?

T3. (intrebare de antrenament) Ce sunt zerourile si polii unei functii de transfer si ce efect au asupra raspunsului in frecventa?

T4. (intrebare de antrenament) Cand este stabil un filtru IIR? De ce un filtru FIR este intotdeauna stabil?

T5. (din problema de examen 2021, 2023 C) Cum se obtine functia de transfer dintr-o ecuatie cu diferente? Exemplificati.

Inainte: Cap 9 — Filtre FIR · Urmatorul: Cap 11 — FFT · Subiecte reale · Cuprins.