Cap 0 — Kit de supravietuire: semnale, sisteme, numere complexe, spectru

← inapoi la cuprins · Curs 2 (partea de inceput) · Carte: cap. 2 · Notite: p. 2–3

Semnal = o functie (de timp, de spatiu…) care poarta putere si informatie.

• analog = functie de o variabila continua: $x(t)$, $t \in \mathbb{R}$
• digital = functie de o variabila discreta (numere intregi): $x(n)$, $n \in \mathbb{Z}$, ex. [84, 104, 105, 115, …]
• imagine = functie de doua variabile discrete $s(x, y)$

Informatia se pune in semnal modificandu-i structura. Pentru o sinusoida $s(t) = A\sin(2\pi f_0 t + \varphi)$ putem modifica amplitudinea $A$, frecventa $f_0$ sau faza $\varphi$ (asa functioneaza AM, FM, PM).

Sistem = “cutie” care primeste un semnal si scoate alt semnal: $x(t) \rightarrow$ [ Sistem ] $\rightarrow y(t)$. Exemple: amplificator, filtru, intarziere.

Sisteme se pot lega in serie (cascada), in paralel sau cu feedback (reactie).

Un sistem $S$ e liniar daca respecta principiul superpozitiei:

$$ S[a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)] = a_1 S[x_1(t)] + a_2 S[x_2(t)] $$

In cuvinte: daca bagi o suma, iese suma iesirilor. Daca dublezi intrarea, se dubleaza iesirea.

Un sistem e invariant in timp daca nu conteaza cand bagi semnalul: daca $x(t) \rightarrow y(t)$, atunci $x(t - \tau) \rightarrow y(t - \tau)$.

In cuvinte: daca intarzii intrarea cu $\tau$, iesirea e aceeasi, doar intarziata si ea cu $\tau$. Sistemul nu are “ceas” in interiorul lui.

Tabelul din carte (de stiut pe de rost, apare la grile):

De ce $x(t)\cos(2\pi f_c t)$ nu e invariant: intarzii intrarea → $x(t-\tau)\cos(2\pi f_c t)$. Dar iesirea intarziata ar fi $x(t-\tau)\cos(2\pi f_c (t - \tau))$. Nu sunt egale, pentru ca cosinusul “nu s-a intarziat”.

Un numar complex: $z = a + jb$, unde $a$ = partea reala, $b$ = partea imaginara, $j = \sqrt{-1}$ (la ingineri e j, nu i, pentru ca i e curentul).

Trecerea dintre ele:

$$ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{b}{a}, \qquad a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta $$

• $r$ = modulul (lungimea sagetii) — la semnale o sa insemne amplitudine
• $\theta$ = faza (unghiul) — la semnale o sa insemne defazaj / intarziere

• adunare: $(a_1 + jb_1) + (a_2 + jb_2) = (a_1 + a_2) + j(b_1 + b_2)$
• inmultire in polar: $r_1 e^{j\theta_1} \cdot r_2 e^{j\theta_2} = r_1 r_2\, e^{j(\theta_1 + \theta_2)}$ → modulele se inmultesc, unghiurile se aduna
• impartire: $\dfrac{1}{r e^{j\theta}} = \dfrac{1}{r} e^{-j\theta}$ → modulul se inverseaza, unghiul isi schimba semnul
• conjugat: $z^* = a - jb = r e^{-j\theta}$ (oglindire fata de axa reala)

Relatii cu conjugatul (le folosim la filtrul RC):

$$ |z|^2 = z \cdot z^* = a^2 + b^2, \qquad z + z^* = 2\,\mathrm{Re}[z], \qquad z - z^* = 2j\,\mathrm{Im}[z] $$

Exemplu: $z = 3 + 4j$ → $|z| = \sqrt{9 + 16} = 5$, $\theta = \tan^{-1}(4/3) \approx 53^\circ$, deci $z = 5e^{j\,53^\circ}$.

Exemplu (modulul unei fractii, foarte util la Cap 1):

$$ \left|\frac{1}{1 + j}\right| = \frac{1}{|1 + j|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt 2} \approx 0.707 $$

$$ \boxed{e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta} \qquad e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta $$

$e^{j\theta}$ e un punct pe cercul de raza 1, la unghiul $\theta$. Proiectia pe axa reala e $\cos\theta$, pe axa imaginara $\sin\theta$.

Valori de stiut:

Daca punem $\theta = 2\pi f t$ (unghiul creste in timp):

$$ e^{j2\pi f t} = \cos(2\pi f t) + j\sin(2\pi f t) $$

E o sageata de lungime 1 care se invarte in jurul originii de $f$ ori pe secunda (in sens trigonometric). $e^{-j2\pi f t}$ se invarte invers. Asta e “exponentiala complexa” sau “fazorul”.

Adunand si scazand cele doua formule Euler:

$$ \boxed{\cos(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} + e^{-j2\pi f t}}{2}} \qquad \boxed{\sin(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} - e^{-j2\pi f t}}{2j}} $$

Intuitie: doua sageti care se rotesc in sensuri opuse, cu aceeasi viteza. Partile imaginare se anuleaza, ramane doar partea reala care oscileaza → un cosinus real.

Consecinta: un cosinus de frecventa $f_0$ “contine” doua frecvente: $+f_0$ si $-f_0$, fiecare cu jumatate din amplitudine. De aici vin frecventele negative din spectru.

$$ x(t) = A\cos(2\pi f_0 t + \varphi) $$

Ex: $\cos(2\pi \cdot 50 t)$ → $f_0 = 50$ Hz, $T = 1/50 = 20$ ms (curentul din priza).

Faza = intarziere: $\cos(2\pi f_0 (t - \tau)) = \cos(2\pi f_0 t - 2\pi f_0 \tau)$ → o intarziere $\tau$ in timp inseamna o faza $\varphi = -2\pi f_0 \tau$.

Si sinus = cosinus intarziat cu un sfert de perioada: $\sin(2\pi f t) = \cos(2\pi f t - \pi/2)$.

Spectrul unui semnal = desenul care arata ce frecvente contine semnalul si cu ce amplitudine. Pe axa orizontala avem frecventa $f$, pe verticala amplitudinea.

Din Euler: $A\cos(2\pi f_0 t) = \frac{A}{2}e^{j2\pi f_0 t} + \frac{A}{2}e^{-j2\pi f_0 t}$, deci in spectru avem:

• o linie la $+f_0$, de inaltime $A/2$
• o linie la $-f_0$, de inaltime $A/2$

$$ A\sin(2\pi f_0 t) = \frac{A}{2j}e^{j2\pi f_0 t} - \frac{A}{2j}e^{-j2\pi f_0 t} = \frac{A}{2}e^{-j\pi/2}\,e^{j2\pi f_0 t} + \frac{A}{2}e^{j\pi/2}\,e^{-j2\pi f_0 t} $$

• spectrul de amplitudine $|X(f)|$: identic cu al cosinusului (linii $A/2$ la $\pm f_0$)
• spectrul de faza: la cosinus faza e $0$; la sinus e $-90^\circ$ la $+f_0$ si $+90^\circ$ la $-f_0$

Deci daca te intreaba doar de $|X(f)|$, sinusul si cosinusul arata la fel.

In timp, suma $2\cos(2\pi \cdot 1 t) + \cos(2\pi \cdot 5 t)$ arata “ciudat”. In frecventa se vede imediat: doua perechi de linii, la $\pm1$ Hz (inaltime 1) si $\pm5$ Hz (inaltime 0.5). De asta lucram in frecventa.

$s(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\sin(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$, cu $f_1 < f_2 < f_3$.

Raspuns: 6 linii, cate o pereche pentru fiecare termen: $A_1/2$ la $\pm f_1$, $A_2/2$ la $\pm f_2$, $A_3/2$ la $\pm f_3$. Faptul ca termenul 2 e sinus nu schimba spectrul de amplitudine.

Si daca il trecem printr-un filtru trece-banda care lasa sa treaca doar frecventele dintre $f_{start}$ si $f_{stop}$, cu $f_1 < f_{start} < f_2 < f_{stop} < f_3$? Raman doar liniile de la $\pm f_2$, deci la iesire avem $A_2\sin(2\pi f_2 t)$ (asta a fost raspunsul corect la grila). Spectrul rezultat: doar doua linii $A_2/2$ la $\pm f_2$.

• liniar = superpozitie; test rapid $S[0] = 0$
• invariant in timp = intarzii intrarea → iesirea se intarzie la fel
• $x^2$ → neliniar; $x(t)\cos(2\pi f_c t)$ → liniar dar variant in timp; $Gx(t)$, $x(t-\tau)$ → LTI
• $z = a + jb = re^{j\theta}$, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\theta = \tan^{-1}(b/a)$; in polar modulele se inmultesc si unghiurile se aduna
• $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$
• $\cos(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} + e^{-j2\pi f t}}{2}$, $\sin(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} - e^{-j2\pi f t}}{2j}$
• $A\cos(2\pi f_0 t)$ → linii de $A/2$ la $\pm f_0$; constanta $C$ → o linie $C$ la $f=0$
• sinus si cosinus au acelasi spectru de amplitudine, difera doar faza
• semnal real → spectru de amplitudine simetric

Incearca singur, apoi verifica la sectiunea 10.

G1. Sistemul $y(t) = 5x(t - 2)$ este:

1. A. liniar, dar nu invariant in timp
2. B. liniar si invariant in timp
3. C. neliniar, dar invariant in timp
4. D. nici liniar, nici invariant in timp

G2. Sistemul $y(t) = x(t) + 3$ este:

1. A. liniar si invariant in timp
2. B. liniar, dar nu invariant in timp
3. C. neliniar, dar invariant in timp
4. D. neliniar si variant in timp

G3. Sistemul $y(t) = x(t)\cos(2\pi f_c t)$ (un modulator AM) este:

1. A. LTI
2. B. liniar, dar nu invariant in timp
3. C. neliniar, dar invariant in timp
4. D. neliniar si variant in timp

G4. Cat este $|4 - 3j|$?

1. A. 1
2. B. 5
3. C. 7
4. D. 25

G5. Cat este $e^{j\pi}$?

1. A. 1
2. B. j
3. C. -1
4. D. -j

G6. Cat este $2e^{j\pi/6} \cdot 3e^{j\pi/3}$?

1. A. $5e^{j\pi/2}$
2. B. $6e^{j\pi/18}$
3. C. $6j$
4. D. $6$

G7. Spectrul de amplitudine al semnalului $x(t) = 4\cos(2\pi \cdot 100\, t)$ are:

1. A. o linie de inaltime 4 la 100 Hz
2. B. doua linii de inaltime 4 la $\pm100$ Hz
3. C. doua linii de inaltime 2 la $\pm100$ Hz
4. D. doua linii de inaltime 2 la $\pm 2\pi\cdot100$ Hz

G8. Semnalele $3\cos(2\pi f_0 t)$ si $3\sin(2\pi f_0 t)$ au:

1. A. acelasi spectru de amplitudine, faze diferite
2. B. spectre de amplitudine diferite
3. C. sinusul nu are componenta la $-f_0$
4. D. spectre complet identice (amplitudine si faza)

G9. Perioada semnalului $\cos(2\pi \cdot 250\, t)$ este:

1. A. 250 s
2. B. 4 ms
3. C. 2.5 ms
4. D. $1/(2\pi \cdot 250)$ s

G10. Semnalul $s(t) = 2 + 6\cos(2\pi \cdot 10\, t)$ are in spectru:

1. A. linii de 1 la $f = 0$ si 3 la $\pm10$ Hz
2. B. linii de 2 la $f = 0$ si 3 la $\pm10$ Hz
3. C. linii de 2 la $f = 0$ si 6 la $\pm10$ Hz
4. D. doar doua linii de 3 la $\pm10$ Hz

G11 (tip partial). $s(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\sin(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$, $f_1 < f_2 < f_3$, trece printr-un filtru trece-jos cu frecventa de taiere intre $f_1$ si $f_2$. La iesire (ideal) obtinem:

1. A. $A_1\cos(2\pi f_1 t)$
2. B. $A_2\sin(2\pi f_2 t)$
3. C. $A_2\sin(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$
4. D. semnalul nemodificat

G12 (bonus, exam 2024). Sistemul de acumulare $y(n) = \sum_{k=-\infty}^{n} x(k)$ este:

1. A. liniar si invariant in timp
2. B. liniar, dar nu invariant in timp
3. C. neliniar
4. D. nu se poate spune

Fie $s(t) = 1 + 2\cos(2\pi \cdot 10\, t) + 6\sin(2\pi \cdot 30\, t)$.

1. a) Desenati spectrul de amplitudine $|S(f)|$.
2. b) Semnalul trece printr-un sistem $y(t) = 3\,s(t)$. Cum arata $|Y(f)|$?
3. c) Semnalul trece printr-un filtru trece-jos ideal cu $f_c = 20$ Hz. Ce semnal obtinem si cum arata spectrul lui?

Mini-problema — rezolvare:

• a) $|S(f)|$: linie de 1 la $f = 0$; linii de 1 la $\pm10$ Hz (pentru ca $2/2 = 1$); linii de 3 la $\pm30$ Hz (pentru ca $6/2 = 3$; sinusul are acelasi modul ca un cosinus).
• b) Sistemul e liniar: toate liniile se inmultesc cu 3 → 3 la 0 Hz, 3 la $\pm10$ Hz, 9 la $\pm30$ Hz. Frecventele nu se schimba (sistem LTI!).
• c) Trec doar frecventele sub 20 Hz: $f = 0$ si $\pm10$ Hz → $y(t) = 1 + 2\cos(2\pi \cdot 10\, t)$. Spectrul: 1 la 0 Hz si 1 la $\pm10$ Hz; liniile de la $\pm30$ Hz dispar.

Urmatorul capitol: Cap 1 — Functia de transfer si filtre (circuitul RC, $H(f)$, frecventa de taiere).