====== Problema-tip de partial: AM + esantionare + reducerea ratei ======
[[ps:start|← inapoi la cuprins]] · Teoria: [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §4–5]], [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §2–8]]
Asta e familia de probleme cea mai probabila la partial (la examenul din 2026 era marcata **"recuperare punctaj la partial"**). Mai jos: **Problema 1 rezolvata punct cu punct (a, b, c), cu desen la fiecare pas**, apoi **Problema 2 pentru tine**.
**Culori in toate desenele:** **albastru** = copia partii **pozitive** a spectrului, **portocaliu** = copia partii **negative**, **sageata rosie** = purtatoarea (linia de ½).
===== Problema 1 (examen 2026) — enuntul =====
$s(t)$ e un mesaj al carui spectru ocupa frecventele de la $-W/2$ la $W/2$. Generam $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$, cu $f_c > W$.
- **a)** Cum arata $|Y(f)|$?
- **b)** Fie $W = 2$ MHz si $f_c = 100$ MHz. Avem un convertor A/D cu $f_s \in [5, 20]$ MHz. Ce $f_s$ alegem si cum arata spectrul dupa esantionare?
- **c)** Procesorul lucreaza la 2 MHz. Cum ajungem la un semnal esantionat la 2 MHz fara sa pierdem informatie?
**Observa:** la **a)** nu avem numere — raspunsul se da **cu litere** ($W$, $f_c$). Numerele apar abia la **b)**.
----
**Regula pentru TOATE intervalele din problema:** o banda se scrie **[centru − latime/2, centru + latime/2]**. **Latimea** o da enuntul si **nu se schimba niciodata**. Doar **centrul** se muta de la un pas la altul: $f_c$ → $r$ → $0$. La fiecare pas de mai jos scrie in caseta verde cum am ales intervalul.
===== PUNCTUL a) — spectrul lui y(t) (cu litere) =====
**Ce avem:** mesajul $s(t)$, cu spectrul intre $-W/2$ si $W/2$. $W$ e **latimea totala** (jumatate la stanga lui 0, jumatate la dreapta).
{{ps:tip:a1_mesaj_litere.png?650|Mesajul, cu litere}}
**Pas 1 — desfacem paranteza** in doua bucati:
$$ y(t) = \underbrace{\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1}} + \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2}} $$
**Pas 2 — spectrul fiecarei bucati:**
* **bucata 1** e un cosinus simplu, de amplitudine 1 → ca in Cap 0: **doua linii de ½ la $+f_c$ si $-f_c$** (sagetile rosii; se numeste **purtatoarea**)
* **bucata 2**: inmultirea cu $\cos(2\pi f_c t)$ **copiaza spectrul mesajului** in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$, fiecare copie la **jumatate** din inaltime (Cap 3 §4 — aceeasi idee ca la cosinus, unde $A$ devenea $A/2$ la $\pm f$)
**Pas 3 — unde sunt capetele copiilor:** copia de la $f_c$ se intinde cu $W/2$ in stanga si $W/2$ in dreapta: de la **$f_c - W/2$** la **$f_c + W/2$**. La fel in partea negativa.
**Cum am ales intervalul:** centrul = $f_c$ (acolo a fost mutat mesajul), latimea = $W$ → **[$f_c - W/2$, $f_c + W/2$]**. In stanga e oglinda: centrul $-f_c$ → [$-f_c - W/2$, $-f_c + W/2$].
{{ps:tip:a2_y_litere.png?950|Raspuns a), cu litere}}
**Ce e pe axa verticala:**
* la mesaj: **$|S(f)|$** — varful trapezului il notam **A** (in enunt nu se da un numar)
* la $y$: **$|Y(f)|$** — sagetile au inaltimea **½**, trapezele au inaltimea **A/2** (jumatate din varful mesajului)
**Pe FIECARE parte** (si la $+f_c$, si la $-f_c$) desenezi **amandoua, in acelasi loc**: sageata de ½ (din bucata 1) **si** trapezul de A/2 (din bucata 2), centrat sub sageata. Stanga e oglinda dreptei. (Stanga/dreapta nu vine din cele doua bucati — vine din faptul ca orice cosinus are o componenta la $+f_c$ si una la $-f_c$.)
**Raspuns a)** (ce scrii si desenezi pe foaie):
* sageti de **½ la $\pm f_c$** (purtatoarea)
* copiile lui $|S(f)|$, la **jumatate** din inaltime, pe $[f_c - W/2,\ f_c + W/2]$ si $[-f_c - W/2,\ -f_c + W/2]$
* in jurul lui 0 nu mai e nimic (mesajul a fost mutat)
* pentru ca $f_c > W$, copiile nu se ating intre ele si nu ajung la 0
----
===== PUNCTUL b) — alegem f_s (acum apar numerele) =====
==== b.1 Inlocuim numerele in raspunsul de la a) ====
$W = 2$ MHz → $W/2 = 1$ MHz. $f_c = 100$ MHz. Deci:
* copia pozitiva: de la $100 - 1 = $ **99** la $100 + 1 = $ **101** MHz
* copia negativa: de la **−101** la **−99** MHz
**Cum am ales intervalul:** e intervalul de la a), cu numere: centrul $f_c = 100$, latimea $W = 2$ → [100 − 1, 100 + 1] = **[99, 101]**. //De ce acolo:// inmultirea cu cos(2π·100·t) muta fiecare frecventa $f$ a mesajului la $100 \pm f$; cea mai mare frecventa a mesajului e 1 MHz → ajunge la 99 si 101.
{{ps:tip:p2_y.png?950|Spectrul lui y(t) cu numere}}
==== b.2 De ce nu merge Nyquist clasic ====
Frecventa maxima e 101 MHz → Nyquist clasic ar cere $f_s \geq 2\cdot 101 = 202$ MHz. Convertorul merge doar pana la 20 MHz. → folosim **bandpass sampling** (Cap 4 §5): profitam ca banda e ingusta (doar 2 MHz).
==== b.3 Ce face esantionarea: banda "coboara" in pasi de f_s ====
Esantionarea cu $f_s$ **copiaza spectrul la fiecare $f_s$**. Banda de la 100 apare si la $100 - f_s$, $100 - 2f_s$, ... Exemplu cu $f_s = 16$:
{{ps:tip:p3_coborare.png?950|Banda coboara in pasi de fs}}
Se opreste la **restul impartirii** $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → **$r = 4$**. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = **[3, 5] MHz**. (Copia negativa, de la −100, ajunge la −4.)
**Cum am ales intervalul:** centrul devine $r = 4$ (restul lui 100 : 16), latimea ramane $W = 2$ → [4 − 1, 4 + 1] = **[3, 5]**.
==== b.4 Cand e f_s bun ====
Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. **Banda trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini** — altfel se suprapune cu copia portocalie.
**Cum am ales intervalul:** zona permisa e **(0, $f_s/2$)** = (0, 8) pentru $f_s = 16$. //De ce:// dupa esantionare totul se repeta la fiecare $f_s$, asa ca te uiti doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$; acolo banda (albastra, la +) si oglinda ei (portocalie, la −) trebuie sa aiba fiecare jumatatea ei: banda in (0, 8), oglinda in (−8, 0). **Verificare:** [3, 5] in (0, 8)? 3 > 0 si 5 < 8 → DA.
{{ps:tip:p4_bun_vs_rau.png?950|fs = 16 bun, fs = 20 rau}}
==== b.5 Incercam mai multe valori ====
^ $f_s$ ^ $100 = ? \cdot f_s + r$ ^ $r$ ^ banda $[r-1, r+1]$ ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
| 20 | $5\cdot 20 + 0$ | 0 | [−1, 1] | 10 | **NU** — atinge 0 (desenul de jos) |
| 10 | $10\cdot 10 + 0$ | 0 | [−1, 1] | 5 | **NU** |
| 8 | $12\cdot 8 + 4$ | 4 | [3, 5] | 4 | **NU** — trece peste $f_s/2 = 4$ |
| **16** | $6\cdot 16 + 4$ | **4** | **[3, 5]** | **8** | **DA** ✓ (desenul de sus) |
**Raspuns b):** $f_s = 16$ MHz. Dupa esantionare, intre −8 si 8 MHz: purtatoarea (½) la ±4 MHz si copiile mesajului pe [3, 5] si [−5, −3] MHz (desenul de sus de la b.4).
**Capcana:** 20 MHz, cea mai mare valoare permisa, **nu** merge!
----
===== PUNCTUL c) — reducem la 2 MHz =====
==== c.1 De ce avem nevoie de un truc ====
Banda are 2 MHz. Un semnal **real** cu banda de 2 MHz ar avea nevoie de $f_s \geq 2\cdot 2 = 4$ MHz — noi vrem doar 2. Trucul: facem semnalul **complex** (IQ). Un semnal complex de latime $B$ are nevoie doar de $f_s \geq B$ = **2 MHz** ✓.
==== c.2 Mutam mesajul la 0 (IQ) ====
Inmultim esantioanele cu sirul $[1, -j, -1, j, 1, -j, \dots]$ (adica $e^{-j\pi n/2}$) → **tot spectrul se muta cu 4 MHz la stanga**. De ce 4? Pentru ca acolo e banda dupa esantionare ($r = 4$).
Apoi un **filtru trece-jos digital** cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz (mesajul) si arunca copia portocalie:
**Cum am ales intervalul:** dupa IQ centrul devine **0**, latimea ramane 2 → [0 − 1, 0 + 1] = **[−1, 1]**. Filtrul trece-jos taie exact la marginea benzii: **$W/2 = 1$ MHz**.
{{ps:tip:p5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}}
==== c.3 Decimam ====
Pastram **un esantion din 8** ($M = 16/2 = 8$): $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → se ating, dar nu se suprapun:
**Cum am ales intervalul:** noua zona permisa e [$-f_s'/2$, $f_s'/2$] = [−1, 1] (cu $f_s' = 2$). Banda e tot [−1, 1] → incape fix. De aceea $f_s' = 2$ e minimul posibil (= latimea benzii).
{{ps:tip:p6_decimare.png?950|Decimare cu M = 8}}
**Raspuns c):** esantionam la 16 MHz → inmultim cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ (mutam banda la 0) → filtru trece-jos digital la 1 MHz → pastram 1 din 8 esantioane → semnal complex la **2 MHz**, cu toata informatia.
----
===== Problema 2 — rezolvata complet =====
**Enunt:** Un semnal util are banda **B = 1 MHz**, centrat la **$f_c$ = 45 MHz**, cu zgomot in jur. Ai la dispozitie:
* un **filtru analog trece-banda** de latime maxima 5 MHz
* un **convertor A/D** cu **$f_s$ de maximum 8 MHz**
- **a)** Cum esantionezi semnalul? Ce $f_s$ alegi?
- **b)** Cum ajungi la o frecventa de esantionare de **1 MHz** fara sa pierzi informatie?
**Cuvintele din enunt, pe scurt:**
* **banda B = 1 MHz, centrat la 45 MHz** = semnalul util ocupa frecventele de la $45 - 0.5 = 44.5$ la $45 + 0.5 = 45.5$ MHz (o "felie" lata de 1 MHz, cu mijlocul la 45)
* **zgomot in jur** = alte semnale nedorite, la frecvente apropiate (mai jos si mai sus de banda noastra)
* **convertor A/D** = aparatul care ia esantioane din semnal (il transforma in numere); **$f_s$** = cate esantioane ia pe secunda
* **filtru analog trece-banda** = lasa sa treaca doar o "fereastra" de frecvente (aici, de maxim 5 MHz latime), oriunde o pozitionam
**Pe toate desenele:** axa orizontala = frecventa $f$ (in MHz); axa verticala = **$|X(f)|$** = cat de "tare" e semnalul la fiecare frecventa. Varful benzii utile il notam **A** (enuntul nu da un numar). Albastru = semnalul (partea pozitiva), portocaliu = oglinda lui (partea negativa), gri = zgomot.
----
**Regula pentru TOATE intervalele din problema:** o banda se scrie **[centru − latime/2, centru + latime/2]**. **Latimea** o da enuntul si **nu se schimba niciodata**. Doar **centrul** se muta de la un pas la altul: $f_c$ → $r$ → $0$. La fiecare pas de mai jos scrie in caseta verde cum am ales intervalul.
===== PUNCTUL a) — cum esantionam =====
==== a.1 Ce avem ====
{{ps:tip:q1_initial.png?950|Spectrul initial}}
* in dreapta (frecvente pozitive): semnalul util la 45 MHz, cu zgomot de o parte si de alta
* in stanga: **oglinda** lui la −45 MHz (orice semnal real are spectrul simetric — Cap 0)
==== a.2 Primul pas: scapam de zgomot (INAINTE de convertor) ====
**De ce:** la esantionare, **tot** ce e in semnal se copiaza (vezi a.4). Daca lasam zgomotul, copiile lui ar cadea peste copia semnalului util si l-ar strica. Si dupa esantionare nu mai poti separa zgomotul de semnal.
**Ce facem:** punem **filtrul analog trece-banda** cu fereastra **centrata in 45 MHz**, de exemplu de la **43 la 47 MHz** (4 MHz latime ≤ 5 ✓). Banda utila [44.5, 45.5] e inauntru, zgomotul e afara.
**Cum am ales intervalul:** **semnalul**: centrul $f_c = 45$, latimea $B = 1$ → [45 − 0.5, 45 + 0.5] = **[44.5, 45.5]**. **Fereastra filtrului**: tot centrata in 45, trebuie sa **cuprinda** [44.5, 45.5], sa **nu** prinda zgomotul si sa aiba latimea ≤ 5. Am luat latimea 4 → [45 − 2, 45 + 2] = **[43, 47]**. (Orice latime intre 1 si 5 care nu ajunge la zgomot e buna.)
{{ps:tip:q2_dupa_ftb.png?950|Dupa filtrul trece-banda}}
Acum avem **doar** semnalul util, pe [44.5, 45.5] MHz (si oglinda lui pe [−45.5, −44.5]).
==== a.3 De ce nu putem esantiona "normal" ====
Regula Nyquist (Cap 4): ca sa nu pierzi nimic, $f_s \geq 2 \times$ frecventa maxima $= 2 \cdot 45.5 = 91$ MHz. Convertorul merge doar pana la **8 MHz**. → Folosim **bandpass sampling**: profitam de faptul ca semnalul e ingust (doar 1 MHz).
Conditia minima: $f_s \geq 2B = 2 \cdot 1 = 2$ MHz. Toate valorile pe care le incercam (4, 5, 6, 8) o respecta. Dar nu e suficienta — trebuie verificat si **unde ajunge banda** (a.4–a.5).
==== a.4 Ce face esantionarea: banda "coboara" in pasi de f_s ====
Cand esantionezi cu $f_s$, spectrul se **copiaza la fiecare $f_s$**. Banda de la 45 apare si la $45 - f_s$, $45 - 2f_s$, ... Cu $f_s = 4$:
{{ps:tip:q3_coborare.png?950|Banda coboara in pasi de 4}}
Ultima copie inainte de 0 e la **restul impartirii** $45 : 4$: $45 = 11\cdot 4 + \mathbf{1}$ → **$r = 1$**. Deci banda utila ajunge la $1 \pm 0.5$ = **[0.5, 1.5] MHz**. Oglinda ei (de la −45) ajunge, la fel, la **[−1.5, −0.5]**.
**Cum am ales intervalul:** centrul devine $r = 1$ (restul lui 45 : 4), latimea ramane $B = 1$ → [1 − 0.5, 1 + 0.5] = **[0.5, 1.5]**.
==== a.5 Cand e f_s bun ====
Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $+f_s/2$ (zona galbena din desene). **Regula:** banda albastra trebuie sa stea **intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga 0 sau $f_s/2$**. Daca atinge, se loveste de cea portocalie → se amesteca → informatie pierduta.
**Cum am ales intervalul:** zona permisa e **(0, $f_s/2$)** = (0, 2) pentru $f_s = 4$. **Verificare:** [0.5, 1.5] in (0, 2)? 0.5 > 0 si 1.5 < 2 → DA.
{{ps:tip:q4_fs_bun_rau.png?950|fs = 4 bun, fs = 5 si 6 rele}}
**Toate incercarile, in tabel** (r = restul lui $45 : f_s$; banda = $[r - 0.5,\ r + 0.5]$):
^ $f_s$ ^ calcul ^ $r$ ^ banda ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
| 8 | $45 = 5\cdot 8 + 5$ | 5 | [4.5, 5.5] | 4 | merge, dar banda e **peste** $f_s/2$ → apare **inversata** (oglindita) la $8 - 5 = 3$; se poate repara, dar e mai complicat |
| 6 | $45 = 7\cdot 6 + 3$ | 3 | [2.5, 3.5] | 3 | **NU** — banda trece fix peste $f_s/2 = 3$ (desenul 3) |
| 5 | $45 = 9\cdot 5 + 0$ | 0 | [−0.5, 0.5] | 2.5 | **NU** — banda cade pe 0, peste oglinda ei (desenul 2) |
| **4** | $45 = 11\cdot 4 + 1$ | **1** | **[0.5, 1.5]** | **2** | **DA** ✓ — intre 0 si 2, nu atinge nimic (desenul 1) |
**Raspuns a):**
- **filtru analog trece-banda** centrat in 45 MHz (ex. 43–47 MHz) → scoatem zgomotul
- **esantionam cu $f_s = 4$ MHz** (bandpass sampling)
- dupa esantionare, semnalul apare pe **[0.5, 1.5] MHz** (si oglinda pe [−1.5, −0.5]), fara suprapuneri
- bonus: $r = 1 = f_s/4$ → banda e **fix la mijloc** intre 0 si $f_s/2$ = cea mai mare marja de siguranta
----
===== PUNCTUL b) — reducem la 1 MHz =====
==== b.1 De ce nu putem direct ====
Acum avem esantioane la 4 MHz. Vrem **1 MHz**. Problema: semnalul are latimea 1 MHz. Un semnal **real** cu latimea $B$ are nevoie de $f_s \geq 2B = 2$ MHz — deci 1 MHz nu ajunge.
**Trucul (IQ):** facem semnalul **complex** si il mutam **in jurul lui 0**. Un semnal complex nu mai are oglinda (nu mai trebuie "loc" si pentru partea portocalie), asa ca ii ajunge **$f_s \geq B = 1$ MHz** ✓.
==== b.2 Mutam semnalul la 0 ====
Semnalul e acum la 1 MHz ($r = 1$). Ca sa-l aducem la 0, mutam **tot spectrul cu 1 MHz la stanga**. Asta se face inmultind fiecare esantion cu un numar din sirul:
$$ e^{-j2\pi\cdot\frac{1\ \mathrm{MHz}}{4\ \mathrm{MHz}}\cdot n} = e^{-j\pi n/2} = [\,1,\ -j,\ -1,\ j,\ 1,\ -j,\ -1,\ j,\ \dots\,] $$
(adica: esantionul 0 inmultit cu 1, esantionul 1 cu $-j$, esantionul 2 cu $-1$, esantionul 3 cu $j$, apoi se repeta). E simplu pentru ca $r = f_s/4$ — de asta am ales $f_s = 4$.
==== b.3 Pastram doar semnalul (filtru trece-jos digital) ====
Dupa mutare, semnalul (albastru) e pe **[−0.5, 0.5]**. Oglinda (portocalie) a ajuns la −2 (si copii la ±2, ±4...). Un **filtru trece-jos digital** cu taierea la **0.5 MHz** pastreaza doar [−0.5, 0.5] si arunca restul:
**Cum am ales intervalul:** dupa IQ centrul devine **0**, latimea ramane 1 → [0 − 0.5, 0 + 0.5] = **[−0.5, 0.5]**. Filtrul taie la marginea benzii: **$B/2 = 0.5$ MHz**.
{{ps:tip:q5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}}
==== b.4 Decimare ====
**Decimare** = pastram doar **un esantion din M**. Vrem de la 4 MHz la 1 MHz → **$M = 4/1 = 4$** (pastram un esantion din 4). Copiile spectrului ajung acum la fiecare 1 MHz — exact cat latimea semnalului → **se ating, dar nu se suprapun**:
**Cum am ales intervalul:** noua zona permisa e [$-f_s'/2$, $f_s'/2$] = [−0.5, 0.5] (cu $f_s' = 1$) — exact cat banda → incape fix.
{{ps:tip:q6_decimare.png?950|Decimare cu M = 4}}
**Raspuns b):**
- inmultim esantioanele (luate la 4 MHz) cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ → semnalul se muta din 1 MHz in 0 (devine complex: **IQ**)
- **filtru trece-jos digital** cu taierea la **0.5 MHz** → ramane doar semnalul, pe [−0.5, 0.5]
- **decimare cu M = 4** → **1 MHz**, cu toata informatia (semnal complex de latime 1 MHz, $f_s = 1$ MHz ≥ B ✓)