====== Cap 0 — Kit de supravietuire: semnale, sisteme, numere complexe, spectru ======

[[ps:start|← inapoi la cuprins]] · Curs 2 (partea de inceput) · Carte: cap. 2 · Notite: p. 2–3

<note tip>
**De ce capitolul asta?** Tot ce urmeaza (filtre, Fourier, esantionare) foloseste **4 idei** de aici:
  - un sistem **liniar** se poate analiza bucata cu bucata (superpozitie);
  - un numar complex = **lungime + unghi**;
  - **Euler**: $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$, deci un cosinus = **doua** exponentiale complexe;
  - **spectrul** = "ce frecvente are semnalul si cat de tare".
Daca intelegi astea 4, restul materiei devine mult mai usor.
</note>

===== 1. Semnal si sistem =====

**Semnal** = o functie (de timp, de spatiu...) care poarta **putere** si **informatie**.
  * **analog** = functie de o variabila continua: $x(t)$, $t \in \mathbb{R}$
  * **digital** = functie de o variabila discreta (numere intregi): $x(n)$, $n \in \mathbb{Z}$, ex. ''[84, 104, 105, 115, ...]''
  * **imagine** = functie de doua variabile discrete $s(x, y)$

**Informatia** se pune in semnal modificandu-i structura. Pentru o sinusoida $s(t) = A\sin(2\pi f_0 t + \varphi)$ putem modifica **amplitudinea** $A$, **frecventa** $f_0$ sau **faza** $\varphi$ (asa functioneaza AM, FM, PM).

**Sistem** = "cutie" care primeste un semnal si scoate alt semnal: $x(t) \rightarrow$ [ Sistem ] $\rightarrow y(t)$. Exemple: amplificator, filtru, intarziere.

Sisteme se pot lega **in serie** (cascada), **in paralel** sau **cu feedback** (reactie).

===== 2. Sisteme liniare si invariante in timp (LTI) =====

==== 2.1 Liniar ====

Un sistem $S$ e **liniar** daca respecta **principiul superpozitiei**:

$$ S[a_1 x_1(t) + a_2 x_2(t)] = a_1 S[x_1(t)] + a_2 S[x_2(t)] $$

**In cuvinte:** daca bagi o suma, iese suma iesirilor. Daca dublezi intrarea, se dubleaza iesirea.

<note important>
**Test rapid:** un sistem liniar are obligatoriu $S[0] = 0$ (intrare zero → iesire zero). E o conditie **necesara, nu suficienta**: daca $S[0] \ne 0$ sigur NU e liniar; daca $S[0] = 0$ inca trebuie verificat.
</note>

==== 2.2 Invariant in timp ====

Un sistem e **invariant in timp** daca nu conteaza **cand** bagi semnalul: daca $x(t) \rightarrow y(t)$, atunci $x(t - \tau) \rightarrow y(t - \tau)$.

**In cuvinte:** daca intarzii intrarea cu $\tau$, iesirea e aceeasi, doar intarziata si ea cu $\tau$. Sistemul nu are "ceas" in interiorul lui.

==== 2.3 LTI = liniar + invariant in timp ====

Tabelul din carte (de stiut pe de rost, apare la grile):

^ Sistem ^ Liniar? ^ Invariant in timp? ^ De ce ^
| $y(t) = G\,x(t)$ (amplificator) | **DA** | **DA** | inmulteste cu o constanta |
| $y(t) = x(t - \tau)$ (intarziere) | **DA** | **DA** | doar muta semnalul in timp |
| $y(t) = x^2(t)$ | **NU** | **DA** | $(x_1 + x_2)^2 \ne x_1^2 + x_2^2$ (apare $2x_1x_2$) |
| $y(t) = x(t)\cos(2\pi f_c t)$ (modulator) | **DA** | **NU** | inmulteste cu ceva care **depinde de timp** |
| $y(t) = x(t) + 1$ | **NU** | **DA** | $S[0] = 1 \ne 0$ |

**De ce $x(t)\cos(2\pi f_c t)$ nu e invariant:** intarzii intrarea → $x(t-\tau)\cos(2\pi f_c t)$. Dar iesirea intarziata ar fi $x(t-\tau)\cos(2\pi f_c (t - \tau))$. Nu sunt egale, pentru ca cosinusul "nu s-a intarziat".

<note tip>
**De ce ne pasa de LTI?** Pentru un sistem LTI: **o sinusoida intra → o sinusoida de ACEEASI frecventa iese**, doar cu alta amplitudine si alta faza. Plus, prin superpozitie, un semnal compus din mai multe sinusoide se analizeaza **fiecare sinusoida separat**. Asta e baza pentru filtre (Cap 1) si Fourier (Cap 2).
</note>

===== 3. Numere complexe — recapitulare rapida =====

{{ps:cap0:complex_plane.png?420|Planul complex}}

Un numar complex: $z = a + jb$, unde $a$ = partea reala, $b$ = partea imaginara, $j = \sqrt{-1}$ (la ingineri e **j**, nu i, pentru ca i e curentul).

==== 3.1 Doua forme ====

^ Forma ^ Scriere ^ Buna pentru ^
| **carteziana** | $z = a + jb$ | adunare / scadere |
| **polara** | $z = r\,e^{j\theta}$ | inmultire / impartire |

Trecerea dintre ele:

$$ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{b}{a}, \qquad a = r\cos\theta, \qquad b = r\sin\theta $$

  * $r$ = **modulul** (lungimea sagetii) — la semnale o sa insemne **amplitudine**
  * $\theta$ = **faza** (unghiul) — la semnale o sa insemne **defazaj / intarziere**

==== 3.2 Operatii ====

  * adunare: $(a_1 + jb_1) + (a_2 + jb_2) = (a_1 + a_2) + j(b_1 + b_2)$
  * inmultire in polar: $r_1 e^{j\theta_1} \cdot r_2 e^{j\theta_2} = r_1 r_2\, e^{j(\theta_1 + \theta_2)}$ → **modulele se inmultesc, unghiurile se aduna**
  * impartire: $\dfrac{1}{r e^{j\theta}} = \dfrac{1}{r} e^{-j\theta}$ → modulul se inverseaza, unghiul isi schimba semnul
  * **conjugat**: $z^* = a - jb = r e^{-j\theta}$ (oglindire fata de axa reala)

Relatii cu conjugatul (le folosim la filtrul RC):

$$ |z|^2 = z \cdot z^* = a^2 + b^2, \qquad z + z^* = 2\,\mathrm{Re}[z], \qquad z - z^* = 2j\,\mathrm{Im}[z] $$

**Exemplu:** $z = 3 + 4j$ → $|z| = \sqrt{9 + 16} = 5$, $\theta = \tan^{-1}(4/3) \approx 53^\circ$, deci $z = 5e^{j\,53^\circ}$.

**Exemplu (modulul unei fractii, foarte util la Cap 1):**

$$ \left|\frac{1}{1 + j}\right| = \frac{1}{|1 + j|} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt 2} \approx 0.707 $$

===== 4. Formula lui Euler =====

{{ps:cap0:euler.png?400|Euler pe cercul unitate}}

$$ \boxed{e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta} \qquad e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta $$

$e^{j\theta}$ e un punct pe cercul de raza 1, la unghiul $\theta$. Proiectia pe axa reala e $\cos\theta$, pe axa imaginara $\sin\theta$.

Valori de stiut:

^ $\theta$ ^ $0$ ^ $\pi/2$ ^ $\pi$ ^ $3\pi/2$ ^ $2\pi$ ^
| $e^{j\theta}$ | $1$ | $j$ | $-1$ | $-j$ | $1$ |

==== 4.1 Fazorul care se roteste ====

Daca punem $\theta = 2\pi f t$ (unghiul creste in timp):

$$ e^{j2\pi f t} = \cos(2\pi f t) + j\sin(2\pi f t) $$

E o sageata de lungime 1 care **se invarte** in jurul originii de $f$ ori pe secunda (in sens trigonometric). $e^{-j2\pi f t}$ se invarte **invers**. Asta e "exponentiala complexa" sau "fazorul".

==== 4.2 Cosinus si sinus din exponentiale (CEL MAI IMPORTANT) ====

Adunand si scazand cele doua formule Euler:

$$ \boxed{\cos(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} + e^{-j2\pi f t}}{2}} \qquad \boxed{\sin(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} - e^{-j2\pi f t}}{2j}} $$

**Intuitie:** doua sageti care se rotesc in sensuri opuse, cu aceeasi viteza. Partile imaginare se anuleaza, ramane doar partea reala care oscileaza → un cosinus real.

**Consecinta:** un cosinus de frecventa $f_0$ "contine" **doua** frecvente: $+f_0$ si $-f_0$, fiecare cu **jumatate** din amplitudine. De aici vin frecventele negative din spectru.

===== 5. Sinusoida =====

{{ps:cap0:sinusoida.png?650|Sinusoida}}

$$ x(t) = A\cos(2\pi f_0 t + \varphi) $$

^ Simbol ^ Nume ^ Unitate ^ Ce inseamna ^
| $A$ | amplitudine | V, A, ... | cat de "inalta" e unda |
| $f_0$ | frecventa | Hz = 1/s | cate oscilatii pe secunda |
| $T = 1/f_0$ | perioada | s | cat dureaza o oscilatie |
| $\omega = 2\pi f_0$ | pulsatie | rad/s | aceeasi informatie ca $f_0$ |
| $\varphi$ | faza | rad | cat e "decalata" unda |

Ex: $\cos(2\pi \cdot 50 t)$ → $f_0 = 50$ Hz, $T = 1/50 = 20$ ms (curentul din priza).

**Faza = intarziere:** $\cos(2\pi f_0 (t - \tau)) = \cos(2\pi f_0 t - 2\pi f_0 \tau)$ → o intarziere $\tau$ in timp inseamna o faza $\varphi = -2\pi f_0 \tau$.

Si **sinus = cosinus intarziat** cu un sfert de perioada: $\sin(2\pi f t) = \cos(2\pi f t - \pi/2)$.

===== 6. Spectrul — ideea centrala a materiei =====

**Spectrul** unui semnal = desenul care arata **ce frecvente contine semnalul si cu ce amplitudine**. Pe axa orizontala avem frecventa $f$, pe verticala amplitudinea.

==== 6.1 Spectrul unui cosinus ====

{{ps:cap0:spectru_cos.png?700|Spectrul unui cosinus}}

Din Euler: $A\cos(2\pi f_0 t) = \frac{A}{2}e^{j2\pi f_0 t} + \frac{A}{2}e^{-j2\pi f_0 t}$, deci in spectru avem:
  * o linie la $+f_0$, de inaltime $A/2$
  * o linie la $-f_0$, de inaltime $A/2$

<note important>
**Capcane clasice:**
  * inaltimea liniei e **$A/2$, nu $A$** (amplitudinea se imparte intre $+f_0$ si $-f_0$);
  * o **constanta** $C$ (componenta continua, DC) da **o singura** linie la $f = 0$, de inaltime $C$ (**nu** se injumatateste);
  * pentru un semnal **real**, spectrul de amplitudine e **simetric**: $|X(-f)| = |X(f)|$. Partea negativa e oglinda celei pozitive.
</note>

==== 6.2 Sinus vs cosinus ====

$$ A\sin(2\pi f_0 t) = \frac{A}{2j}e^{j2\pi f_0 t} - \frac{A}{2j}e^{-j2\pi f_0 t} = \frac{A}{2}e^{-j\pi/2}\,e^{j2\pi f_0 t} + \frac{A}{2}e^{j\pi/2}\,e^{-j2\pi f_0 t} $$

  * **spectrul de amplitudine** $|X(f)|$: **identic** cu al cosinusului (linii $A/2$ la $\pm f_0$)
  * **spectrul de faza**: la cosinus faza e $0$; la sinus e $-90^\circ$ la $+f_0$ si $+90^\circ$ la $-f_0$

Deci daca te intreaba doar de $|X(f)|$, sinusul si cosinusul arata la fel.

==== 6.3 Suma de sinusoide → suma de linii ====

{{ps:cap0:timp_vs_frecventa.png?750|Timp vs frecventa}}

In timp, suma $2\cos(2\pi \cdot 1 t) + \cos(2\pi \cdot 5 t)$ arata "ciudat". In frecventa se vede imediat: doua perechi de linii, la $\pm1$ Hz (inaltime 1) si $\pm5$ Hz (inaltime 0.5). **De asta lucram in frecventa.**

==== 6.4 Exemplul de la partialul de anul trecut ====

$s(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\sin(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$, cu $f_1 < f_2 < f_3$.

{{ps:cap0:spectru_partial.png?750|Spectrul exemplului de la partial}}

**Raspuns:** 6 linii, cate o pereche pentru fiecare termen: $A_1/2$ la $\pm f_1$, $A_2/2$ la $\pm f_2$, $A_3/2$ la $\pm f_3$. Faptul ca termenul 2 e sinus **nu schimba** spectrul de amplitudine.

**Si daca il trecem printr-un filtru trece-banda** care lasa sa treaca doar frecventele dintre $f_{start}$ si $f_{stop}$, cu $f_1 < f_{start} < f_2 < f_{stop} < f_3$? Raman doar liniile de la $\pm f_2$, deci la iesire avem **$A_2\sin(2\pi f_2 t)$** (asta a fost raspunsul corect la grila). Spectrul rezultat: doar doua linii $A_2/2$ la $\pm f_2$.

===== 7. Ce trebuie sa stii din Cap 0 (fisa de 1 minut) =====

  * **liniar** = superpozitie; test rapid $S[0] = 0$
  * **invariant in timp** = intarzii intrarea → iesirea se intarzie la fel
  * $x^2$ → neliniar; $x(t)\cos(2\pi f_c t)$ → liniar dar **variant** in timp; $Gx(t)$, $x(t-\tau)$ → LTI
  * $z = a + jb = re^{j\theta}$, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\theta = \tan^{-1}(b/a)$; in polar modulele se inmultesc si unghiurile se aduna
  * $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$
  * $\cos(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} + e^{-j2\pi f t}}{2}$, $\sin(2\pi f t) = \frac{e^{j2\pi f t} - e^{-j2\pi f t}}{2j}$
  * $A\cos(2\pi f_0 t)$ → linii de **$A/2$** la **$\pm f_0$**; constanta $C$ → o linie $C$ la $f=0$
  * sinus si cosinus au acelasi spectru de **amplitudine**, difera doar faza
  * semnal real → spectru de amplitudine **simetric**

===== 8. Grile de antrenament =====

Incearca singur, apoi verifica la sectiunea 10.

**G1.** Sistemul $y(t) = 5x(t - 2)$ este:
  - A. liniar, dar nu invariant in timp
  - B. liniar si invariant in timp
  - C. neliniar, dar invariant in timp
  - D. nici liniar, nici invariant in timp

**G2.** Sistemul $y(t) = x(t) + 3$ este:
  - A. liniar si invariant in timp
  - B. liniar, dar nu invariant in timp
  - C. neliniar, dar invariant in timp
  - D. neliniar si variant in timp

**G3.** Sistemul $y(t) = x(t)\cos(2\pi f_c t)$ (un modulator AM) este:
  - A. LTI
  - B. liniar, dar nu invariant in timp
  - C. neliniar, dar invariant in timp
  - D. neliniar si variant in timp

**G4.** Cat este $|4 - 3j|$?
  - A. 1
  - B. 5
  - C. 7
  - D. 25

**G5.** Cat este $e^{j\pi}$?
  - A. 1
  - B. j
  - C. -1
  - D. -j

**G6.** Cat este $2e^{j\pi/6} \cdot 3e^{j\pi/3}$?
  - A. $5e^{j\pi/2}$
  - B. $6e^{j\pi/18}$
  - C. $6j$
  - D. $6$

**G7.** Spectrul de amplitudine al semnalului $x(t) = 4\cos(2\pi \cdot 100\, t)$ are:
  - A. o linie de inaltime 4 la 100 Hz
  - B. doua linii de inaltime 4 la $\pm100$ Hz
  - C. doua linii de inaltime 2 la $\pm100$ Hz
  - D. doua linii de inaltime 2 la $\pm 2\pi\cdot100$ Hz

**G8.** Semnalele $3\cos(2\pi f_0 t)$ si $3\sin(2\pi f_0 t)$ au:
  - A. acelasi spectru de amplitudine, faze diferite
  - B. spectre de amplitudine diferite
  - C. sinusul nu are componenta la $-f_0$
  - D. spectre complet identice (amplitudine si faza)

**G9.** Perioada semnalului $\cos(2\pi \cdot 250\, t)$ este:
  - A. 250 s
  - B. 4 ms
  - C. 2.5 ms
  - D. $1/(2\pi \cdot 250)$ s

**G10.** Semnalul $s(t) = 2 + 6\cos(2\pi \cdot 10\, t)$ are in spectru:
  - A. linii de 1 la $f = 0$ si 3 la $\pm10$ Hz
  - B. linii de 2 la $f = 0$ si 3 la $\pm10$ Hz
  - C. linii de 2 la $f = 0$ si 6 la $\pm10$ Hz
  - D. doar doua linii de 3 la $\pm10$ Hz

**G11 (tip partial).** $s(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\sin(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$, $f_1 < f_2 < f_3$, trece printr-un **filtru trece-jos** cu frecventa de taiere intre $f_1$ si $f_2$. La iesire (ideal) obtinem:
  - A. $A_1\cos(2\pi f_1 t)$
  - B. $A_2\sin(2\pi f_2 t)$
  - C. $A_2\sin(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$
  - D. semnalul nemodificat

**G12 (bonus, exam 2024).** Sistemul de acumulare $y(n) = \sum_{k=-\infty}^{n} x(k)$ este:
  - A. liniar si invariant in timp
  - B. liniar, dar nu invariant in timp
  - C. neliniar
  - D. nu se poate spune

===== 9. Mini-problema =====

Fie $s(t) = 1 + 2\cos(2\pi \cdot 10\, t) + 6\sin(2\pi \cdot 30\, t)$.
  - a) Desenati spectrul de amplitudine $|S(f)|$.
  - b) Semnalul trece printr-un sistem $y(t) = 3\,s(t)$. Cum arata $|Y(f)|$?
  - c) Semnalul trece printr-un filtru trece-jos ideal cu $f_c = 20$ Hz. Ce semnal obtinem si cum arata spectrul lui?

===== 10. Raspunsuri =====

^ Grila ^ Raspuns ^ Explicatie ^
| G1 | **B** | inmultire cu constanta + intarziere: ambele LTI |
| G2 | **C** | $S[0] = 3 \ne 0$ → nu e liniar; constanta 3 nu depinde de timp → invariant |
| G3 | **B** | inmultirea cu $\cos(2\pi f_c t)$ pastreaza superpozitia, dar depinde de momentul $t$ |
| G4 | **B** | $\sqrt{16 + 9} = 5$ |
| G5 | **C** | $\cos\pi + j\sin\pi = -1$ |
| G6 | **C** | modulele: $2\cdot3 = 6$; unghiurile: $\pi/6 + \pi/3 = \pi/2$ → $6e^{j\pi/2} = 6j$ |
| G7 | **C** | $A/2 = 2$, la $\pm f_0 = \pm100$ Hz (frecventa in Hz, fara $2\pi$) |
| G8 | **A** | sinusul e cosinus intarziat: modulul identic, doar faza difera |
| G9 | **B** | $T = 1/250 = 0.004$ s = 4 ms |
| G10 | **B** | constanta 2 → linie de 2 la $f=0$ (nu se injumatateste); $6\cos$ → $3$ la $\pm10$ Hz |
| G11 | **A** | trece-jos lasa doar frecventele mici: ramane doar $f_1$ |
| G12 | **A** | suma e liniara; cu limita de jos $-\infty$ nu exista un "moment de start" fix, deci intarzierea intrarii intarzie la fel iesirea. **Atentie:** daca suma porneste de la $k = 0$, sistemul **nu** mai e strict invariant in timp (are un moment de start fix), decat daca semnalul e cauzal ($x(n)=0$ pentru $n<0$). La examen: argumenteaza exact asa. |

**Mini-problema — rezolvare:**
  * a) $|S(f)|$: linie de **1** la $f = 0$; linii de **1** la $\pm10$ Hz (pentru ca $2/2 = 1$); linii de **3** la $\pm30$ Hz (pentru ca $6/2 = 3$; sinusul are acelasi modul ca un cosinus).
  * b) Sistemul e liniar: toate liniile se inmultesc cu 3 → **3** la 0 Hz, **3** la $\pm10$ Hz, **9** la $\pm30$ Hz. Frecventele **nu se schimba** (sistem LTI!).
  * c) Trec doar frecventele sub 20 Hz: $f = 0$ si $\pm10$ Hz → $y(t) = 1 + 2\cos(2\pi \cdot 10\, t)$. Spectrul: 1 la 0 Hz si 1 la $\pm10$ Hz; liniile de la $\pm30$ Hz dispar.

----
**Urmatorul capitol:** [[ps:cap1-filtre|Cap 1 — Functia de transfer si filtre]] (circuitul RC, $H(f)$, frecventa de taiere).