Med Java

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
====== Teoria de examen — intrebari si raspunsuri model ======

[[ps:start|← inapoi la cuprins]] · [[ps:subiecte-reale|Subiecte reale 2021–2026]] · [[ps:foaie-formule|Foaia de formule]]

Toate intrebarile de teorie din toate capitolele, intr-un singur loc. La examen teoria e cu **raspuns scris de tine**, in cateva randuri. Aceleasi intrebari revin de la an la an.

<note tip>
**Cum folosesti pagina:**
  - Citesti doar **intrebarea**. Acoperi raspunsul (cu mana sau cu o foaie).
  - Raspunzi **cu voce tare sau pe foaie**, in 2–5 randuri. Nu in gand: in gand ti se pare ca stii.
  - Descoperi raspunsul model si compari. Cauti **cuvintele-cheie** (tabelul de la sfarsit): daca le-ai spus, raspunsul e bun, chiar daca ai folosit alte cuvinte.
  - Daca nu ai stiut sau nu intelegi raspunsul: mergi la linkul "Daca vrei explicatia". Acolo e explicat de la zero, cu numere.
  - Pui un semn la intrebarile gresite si le reiei a doua zi.
</note>

<note important>
**Cum e organizata pagina:**
  * **Partea A** — intrebari care **s-au dat efectiv** la examene (2023, 2024, 2026). Sunt puse in ordinea in care au revenit: cele date de mai multe ori sunt primele. **Incepe cu ele.**
  * **Partea B** — intrebari **posibile**, in acelasi stil, din aceeasi materie. Sunt grupate pe capitole, de la Cap 0 la Cap 11.
  * Raspunsurile sunt cele din capitole, scurtate. Un raspuns model nu trebuie invatat pe de rost: trebuie sa-i poti spune ideile.
</note>

===== Partea A — intrebari date efectiv la examene =====

==== Date de 3 ori ====

**A1. (examene 2023 C, 2024 B, 2026) FIR versus IIR: arhitectura, performanta, avantaje, metode de design.**

<note>
**Raspuns model:**
  * **Arhitectura:** un filtru FIR foloseste doar intrarea curenta si intrari mai vechi: $y(n) = \sum_i b_i\,x(n-i)$. Nu are reactie (feedback). Un filtru IIR foloseste si iesiri mai vechi: $y(n) = \sum_i b_i\,x(n-i) + \sum_i a_i\,y(n-i)$, deci are reactie. Raspunsul la impuls e finit la FIR si infinit la IIR.
  * **Performanta:** pentru aceeasi taiere abrupta, IIR are nevoie de mult mai putini coeficienti (mai putine calcule, mai putina memorie, intarziere mai mica).
  * **Avantaje FIR:** e mereu stabil (toti polii sunt in $z = 0$); cu coeficienti simetrici are faza liniara, deci pastreaza forma semnalului. **Avantaj IIR:** eficienta. **Dezavantaje IIR:** poate fi instabil (polii trebuie sa fie in interiorul cercului unitate) si are faza neliniara.
  * **Design:** FIR — metoda ferestrei. IIR — pornind de la filtre analogice (Butterworth, Cebisev) transformate in digital, sau prin plasarea polilor si a zerourilor.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §8]] (tabelul comparativ), [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §7]] (stabilitatea), [[ps:cap9-fir|Cap 9 §5]] (faza liniara).

**A2. (examene 2023 B, 2024 B, 2026) Cum obtineti dintr-un filtru trece-jos digital (FIR) un filtru trece-sus?**

<note>
**Raspuns model:** Se inmultesc coeficientii $h(n)$ cu $\cos\left(2\pi\frac{f_c}{f_s}n\right)$ pentru $f_c = f_s/2$, adica cu $\cos(\pi n) = (-1)^n = 1, -1, 1, -1, \dots$ Practic: **se schimba semnul fiecarui al doilea coeficient**. Motivul: o inmultire cu un cosinus in timp muta spectrul in frecventa, deci banda de trecere se muta de la frecventa 0 la $f_s/2$. Cu $f_c$ intre 0 si $f_s/2$ se obtine un filtru trece-banda centrat pe $f_c$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap9-fir|Cap 9 §7]].

==== Date de 2 ori ====

**A3. (examene 2023 B, 2026) Enumerati 3 proprietati ale transformatei Fourier.**

<note>
**Raspuns model:**
  - **Deplasarea in timp:** $s(t - \tau) \leftrightarrow S(f)\,e^{-j2\pi f\tau}$. Intarzierea semnalului schimba doar faza spectrului. Modulul $\lvert S(f)\rvert$ ramane acelasi.
  - **Deplasarea in frecventa (modulatia):** $s(t)\,e^{j2\pi f_0 t} \leftrightarrow S(f - f_0)$. Inmultirea cu o exponentiala muta spectrul cu $f_0$. Pentru cosinus: $s(t)\cos(2\pi f_c t) \leftrightarrow \frac12 S(f - f_c) + \frac12 S(f + f_c)$.
  - **Semnal real:** $S(-f) = S^*(f)$, deci modulul spectrului e simetric fata de $f = 0$.
Se mai pot da: liniaritatea; Parseval (energia calculata in timp e egala cu cea calculata in frecventa); $S(0)$ = componenta continua. Pentru semnale periodice scrii aceleasi proprietati cu $c_k$ in loc de $S(f)$, de exemplu $s(t - \tau) \leftrightarrow c_k\,e^{-j2\pi k\tau/T}$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §2]], [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §4]].

**A4. (examene 2023 A, 2026) Ce este convolutia? Dati definitia si o aplicatie.**

<note>
**Raspuns model:** Convolutia a doua semnale discrete $x(n)$ si $h(n)$ este semnalul $y(n) = (h * x)(n) = \sum_{k=0}^{M-1} h(k)\,x(n-k)$, unde $M$ este numarul de esantioane din $h$. Fiecare esantion de la iesire este o suma ponderata a ultimelor $M$ esantioane de la intrare, cu ponderile $h(k)$. Daca $x$ are $P$ esantioane, rezultatul are $M + P - 1$.

**Aplicatie:** filtrarea digitala. Filtrarea unui semnal $x(n)$ cu un filtru de coeficienti $h(n)$ se face prin convolutie. Exemplu: $h = [\frac15, \frac15, \frac15, \frac15, \frac15]$ (media alunecatoare) face media ultimelor 5 valori si netezeste semnalul (filtru trece-jos).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap7-convolutie|Cap 7 §2]] (pas cu pas), [[ps:cap7-convolutie|Cap 7 §3]] (exemplul din curs).

**A5. (examene 2023 A, 2026) Enuntati teorema convolutiei. La ce foloseste?**

<note>
**Raspuns model:** Daca $x(n)$ si $h(n)$ au spectrele $X(k)$ si $H(k)$, atunci semnalului $y(n) = (h * x)(n)$ ii corespunde spectrul $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$. Invers, semnalului $y(n) = h(n)\cdot x(n)$ ii corespunde spectrul $Y(k) = (H * X)(k)$. Pe scurt: **convolutia intr-un domeniu (timp sau frecventa) inseamna inmultire in celalalt.**

**La ce foloseste:** arata ca filtrarea, care in frecventa este inmultirea spectrului cu functia de transfer $H(k)$, se realizeaza in timp prin convolutia cu coeficientii $h(n)$. A doua forma explica modulatia (inmultirea cu un cosinus muta spectrul) si scurgerea spectrala (DFT leakage).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap7-convolutie|Cap 7 §6]].

**A6. (examene 2023 A, 2026) Despre DFT: ce interval de frecvente analizeaza, care e legatura dintre $k$ si frecventele reale, ce proprietati are?**

<note>
**Raspuns model:**
  * **Interval:** DFT pe $N$ esantioane da $N$ valori $X(k)$, $k = 0 \dots N-1$, care acopera frecventele de la 0 pana la $f_s$ (fara $f_s$), in pasi de $f_s/N$. Echivalent, intervalul $[-f_s/2, f_s/2]$: valorile cu $k > N/2$ sunt frecventele negative ($k - N$).
  * **Legatura $k$ ↔ Hz:** $f_k = k\cdot f_s/N$. Exemplu: $N = 8$, $f_s = 8000$ Hz, $k = 3$ → 3000 Hz. Rezolutia este $f_s/N$.
  * **Proprietati:** liniaritate; spectru periodic cu perioada $N$, $X(k+N) = X(k)$; simetrie pentru semnale reale, $\lvert X(N-k)\rvert = \lvert X(k)\rvert$; intarzierea in timp schimba doar faza; inmultirea cu $e^{j2\pi mn/N}$ deplaseaza spectrul cu $m$ pozitii.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap6-dft|Cap 6 §5]] (de la $k$ la Hz, intervalul), [[ps:cap6-dft|Cap 6 §6]] (frecventele negative), [[ps:cap6-dft|Cap 6 §8]] (proprietatile).

**A7. (examene 2023 A, 2026) Comparati DFT cu FFT.**

<note>
**Raspuns model:**
  * DFT este **transformata**: $X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j2\pi nk/N}$, $k = 0, \dots, N-1$. FFT este un **algoritm rapid** care calculeaza **exact aceleasi valori** $X(k)$.
  * Calculul direct al DFT cere $N$ inmultiri pentru fiecare din cele $N$ valori, deci aproximativ $N^2$ operatii, $O(N^2)$. FFT cere aproximativ $N\log_2 N$, adica $O(N\log N)$.
  * FFT (radix-2, Cooley si Tukey, 1965) cere ca $N$ sa fie putere a lui 2. Altfel semnalul se completeaza cu zerouri.
  * Fiind aceleasi valori, toate proprietatile DFT (legatura $k$ ↔ frecventa, simetria, leakage) sunt valabile si pentru rezultatul FFT.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap11-fft|Cap 11 §6]].

**A8. (examen 2026; ceruta si in 2023 A impreuna cu A7) Care este complexitatea Fast Fourier Transform?**

<note>
**Raspuns model:** FFT calculeaza DFT-ul unui semnal cu $N$ esantioane in $O(N\log N)$ operatii, fata de $O(N^2)$ cat cere calculul direct din formula DFT. Schema radix-2 are $\log_2 N$ etaje, fiecare cu $N/2$ operatii de tip "fluture" (o inmultire, o adunare, o scadere). Exemplu: pentru $N = 1024$, cam 10 000 de operatii in loc de cam 1 000 000.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap11-fft|Cap 11 §5]] (numararea operatiilor), [[ps:cap11-fft|Cap 11 §1]] (ce inseamna $\log_2$).

**A9. (examene 2023 B, 2026) Descrieti metoda ferestrei pentru obtinerea unui filtru FIR: etape, coeficienti, exemple de ferestre.**

<note>
**Raspuns model:**
  * **Etape:** (1) se alege raspunsul ideal in frecventa, de exemplu trece-jos: $\lvert H(k)\rvert = 1$ pana la frecventa de taiere si 0 in rest; (2) se aplica transformata inversa (IFFT) → coeficientii ideali $h(n)$, un **sinc** infinit de lung; (3) se pastreaza doar $M$ coeficienti din mijloc, adica se inmulteste cu o **fereastra dreptunghiulara**: $h_r = h\cdot r$, deci in frecventa $H_r = H * R$ → apar ondulatii (riplu) si lobi laterali; (4) se inmulteste in schimb cu o fereastra care scade lin spre capete: $h_w = h\cdot w$ → ondulatii mult mai mici, cu pretul unei zone de tranzitie mai late.
  * **Coeficientii** filtrului sunt valorile $h_w(n)$: sinc-ul trunchiat inmultit cu fereastra. Sunt simetrici, deci filtrul are faza liniara.
  * **Exemple de ferestre:** dreptunghiulara, Hanning (Hann), Hamming, Blackman.
(Daca intrebarea continua cu "din trece-jos in trece-sus": vezi A2.)
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap9-fir|Cap 9 §6]].

==== Date o data ====

**A10. (examen 2026) Explicati termenul $c_k$.**

<note>
**Raspuns model:** $c_k$ este coeficientul Fourier de ordin $k$ al unui semnal periodic $s(t)$ cu perioada $T$. Arata cat din frecventa $k/T$ (armonica $k$) contine semnalul: $\lvert c_k\rvert$ este amplitudinea componentei, iar $\angle c_k$ faza ei. Se calculeaza cu $c_k = \frac{1}{T}\int_0^T s(t)\,e^{-j2\pi kt/T}dt$, iar semnalul se reface cu $s(t) = \sum_k c_k\,e^{j2\pi kt/T}$. $c_0$ este media semnalului. Graficul lui $\lvert c_k\rvert$ in functie de $k$ este spectrul semnalului.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §1]].

**A11. (examen 2023 A) Despre functia de transfer: 1. definitie; 2. de ce parametri depinde; 3. pentru un filtru trece-jos, legatura dintre functia de transfer si frecventa de taiere.**

<note>
**Raspuns model:**
  - Functia de transfer $H(f)$ este raportul dintre amplitudinea complexa a semnalului de la iesire si cea a semnalului de la intrare, pentru fiecare frecventa: $H(f) = V_{out}/V_{in}$. Modulul $\lvert H(f)\rvert$ arata de cate ori se inmulteste amplitudinea unei sinusoide de frecventa $f$, iar faza $\angle H(f)$ arata cu cat se decaleaza.
  - Depinde de frecventa $f$ si de componentele sistemului (la circuitul RC: de $R$ si $C$). Nu depinde de semnalul de intrare.
  - Frecventa de taiere $f_c$ este frecventa la care $\lvert H(f_c)\rvert = \frac{\max\lvert H\rvert}{\sqrt2}$, adica puterea de la iesire scade la jumatate (−3 dB). La RC trece-jos, $\lvert H(f)\rvert = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi fRC)^2}}$, de unde $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$. Sub $f_c$ semnalul trece aproape intreg, peste $f_c$ e atenuat tot mai mult.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §3]] (functia de transfer), [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §4]] (frecventa de taiere).

**A12. (examen 2023 A) Care sunt doua probleme principale la conversia din analog in digital? Detaliati.**

<note>
**Raspuns model:** Conversia are doi pasi si fiecare aduce o problema.
  * **Aliasing-ul**, de la **esantionare**: daca $f_s < 2 f_{max}$, copiile spectrului se suprapun si frecventele mari apar ca frecvente mici, false. Informatia se pierde. Se evita cu $f_s \geq 2 f_{max}$ (Nyquist) si cu un filtru analog trece-jos (anti-aliasing) inaintea convertorului.
  * **Eroarea de cuantizare**, de la **cuantizare**: fiecare esantion e rotunjit la unul din $2^B$ niveluri. Eroarea e ireversibila. Se poate doar micsora, marind numarul de biti $B$ ($\mathrm{SNR}_{ADC} \approx 6B + 2$ dB).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §1]] (lantul de conversie), [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §4]] (aliasing), [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 §2]] (eroarea de cuantizare).

**A13. (examen 2023 B) Despre aliasing: cand apare? cum il putem evita?**

<note>
**Raspuns model:** Aliasing-ul apare la esantionare, cand frecventa de esantionare e prea mica: $f_s < 2 f_{max}$. Esantionarea copiaza spectrul la fiecare $f_s$. Daca $f_s$ e prea mica, copiile se suprapun, iar o frecventa $f > f_s/2$ apare ca o frecventa mai mica, $f - m f_s$. Exemplu: 800 Hz esantionat la 1000 Hz arata ca 200 Hz. Il evitam alegand $f_s \geq 2 f_{max}$ si punand **inainte** de convertor un filtru analog trece-jos (anti-aliasing) care taie tot ce e peste $f_s/2$. Dupa esantionare nu mai poate fi reparat.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §4]], [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3]] (Nyquist si filtrul anti-aliasing).

**A14. (examen 2023 B) Despre DFT Leakage: ce este, de ce apare, cum il atenuam?**

<note>
**Raspuns model:**
  * **Ce este:** fenomenul prin care o componenta a semnalului a carei frecventa nu coincide cu una dintre frecventele DFT ($k\cdot f_s/N$) apare in spectru imprastiata peste toate componentele $k$, nu ca o singura linie. Poate acoperi componente vecine de amplitudine mai mica.
  * **De ce apare:** secventa de $N$ esantioane este un semnal infinit inmultit cu o fereastra dreptunghiulara: $s(n) = s^{\infty}(n)\cdot r(n)$. Inmultirea in timp inseamna convolutie in frecventa: $S(k) = (S^{\infty} * R)(k)$, unde $R(k)$ este un dsinc (lob principal + lobi laterali). Cand frecventa e exact pe o frecventa DFT, celelalte valori cad pe zerourile dsinc-ului si efectul nu se vede.
  * **Cum il atenuam:** inmultim semnalul cu o fereastra cu lobi laterali mai mici (Hamming, Hanning, Blackman) si/sau folosim mai multe esantioane $N$. Zero-padding-ul **nu** il atenueaza.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8 §2]] (ce este), [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8 §3]] (de ce apare), [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8 §7]] (cum il atenuam).

**A15. (examen 2023 C) Despre decibeli: a. definitie; b. interpretare (aplicatii); c. daca SNR = 60 dB, de cate ori e puterea semnalului mai mare decat a zgomotului?**

<note>
**Raspuns model:**
  * **a.** Decibelul (dB) e o unitate logaritmica pentru un **raport de puteri**: $\mathrm{dB} = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$.
  * **b.** Arata de cate ori e o putere mai mare decat alta: castigul unui amplificator, atenuarea unui cablu sau a unui filtru, SNR-ul. Se foloseste pentru ca rapoartele foarte mari devin numere mici si pentru ca inmultirile devin adunari (castigurile in dB se aduna). $10X$ dB inseamna de $10^X$ ori; 3 dB inseamna dublu.
  * **c.** 60 dB → $10^{60/10} = 10^6$: semnalul e de **un milion de ori** mai puternic decat zgomotul.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 §4]] (incepe cu ce e un logaritm).

**A16. (examen 2023 C) Conversia A/D: a. dupa esantionare se mai poate recupera semnalul analog? b. sub ce conditii? c. exista limitari/degradare? d. ce parametri influenteaza cel mai mult degradarea?**

<note>
**Raspuns model:**
  * **a, b.** Da, exact, daca semnalul e limitat in banda (nu are frecvente peste $f_{max}$) si a fost esantionat cu $f_s \geq 2 f_{max}$ (Nyquist). Atunci copiile spectrului nu se suprapun si semnalul se recupereaza cu un filtru trece-jos cu taierea la $f_{max}$.
  * **c.** Limitari: filtrele reale nu sunt ideale, deci in practica se ia $f_s$ ceva mai mare. Degradarea vine de la **cuantizare**: eroarea de rotunjire nu se mai poate elimina. Daca $f_s < 2 f_{max}$ apare in plus aliasing.
  * **d.** **Frecventa de esantionare** $f_s$ (hotaraste daca apare aliasing) si **numarul de biti** $B$ (hotaraste marimea erorii de cuantizare).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3]] (teorema de recuperare), [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 §2]] (eroarea de cuantizare).

**A17. (examen 2024 B) Ce este un sistem liniar si invariant in timp? Ce presupun aceste proprietati?**

<note>
**Raspuns model:** Un sistem e **liniar** daca respecta principiul superpozitiei: la o suma de intrari raspunde cu suma iesirilor, iar daca intrarea e inmultita cu o constanta, iesirea se inmulteste cu aceeasi constanta: $S[a_1x_1 + a_2x_2] = a_1S[x_1] + a_2S[x_2]$. E **invariant in timp** daca o intarziere a intrarii produce aceeasi intarziere a iesirii: $x(t - \tau) \rightarrow y(t - \tau)$. Un sistem cu ambele proprietati (LTI) raspunde la o sinusoida cu o sinusoida de aceeasi frecventa, careia ii schimba doar amplitudinea si faza. De aceea poate fi descris complet prin functia de transfer.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap0-baze|Cap 0 §2]].

**A18. (examen 2024 B, continuarea lui A17) Ce puteti spune despre proprietatile sistemului de acumulare $y(n) = \sum_{k=-\infty}^{n} x(k)$? Argumentati.**

<note>
**Raspuns model:** Este liniar si invariant in timp (LTI). **Liniar:** iesirea e o suma de valori ale intrarii, iar suma e o operatie liniara (pentru intrarea $a_1x_1 + a_2x_2$ obtinem $a_1y_1 + a_2y_2$). **Invariant in timp:** daca intarziem intrarea cu $n_0$, toti termenii sumei se muta cu $n_0$ si obtinem $y(n - n_0)$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap0-baze|Cap 0 §10]] (raspunsul la grila G12, cu exemplul contului bancar).

**A19. (examen 2024 B) Ce tipuri de filtre cunoasteti? Desenati raspunsul in frecventa.**

<note>
**Raspuns model:** patru tipuri, dupa frecventele lasate sa treaca:
  * **trece-jos**: trec frecventele sub $f_c$; $\lvert H\rvert$ e 1 langa $f = 0$ si scade spre 0;
  * **trece-sus**: trec frecventele peste $f_c$; $\lvert H\rvert$ e 0 la $f = 0$ si urca spre 1;
  * **trece-banda**: trec doar frecventele dintre $f_{start}$ si $f_{stop}$; $\lvert H\rvert$ e o "cocoasa";
  * **opreste-banda**: trec toate, mai putin cele dintre $f_{start}$ si $f_{stop}$; $\lvert H\rvert$ e 1 cu o "groapa".
**Ce desenezi:** patru grafice mici. Pe orizontala $f$, pe verticala $\lvert H(f)\rvert$, cu $f_c$ (sau $f_{start}$ si $f_{stop}$) marcate pe axa. Un filtru ideal are trecere brusca (dreptunghi); unul real are o zona de tranzitie (margini inclinate).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §6]].

**A20. (examen 2024 B) Cum aflati functia de transfer a unui sistem la care aveti acces doar la intrare si la iesire?**

<note>
**Raspuns model:** Presupunem ca sistemul e liniar si invariant in timp. Doua metode:
  * **Cu un impuls** (sisteme digitale): aplicam la intrare impulsul $\delta(n)$ si masuram iesirea. Ea este raspunsul la impuls $h(n)$. Functia de transfer este spectrul lui: $H(k)$ = DFT-ul (FFT-ul) lui $h(n)$.
  * **Cu sinusoide:** aplicam pe rand sinusoide de amplitudine cunoscuta si de frecvente diferite. Pentru fiecare frecventa masuram amplitudinea si decalajul sinusoidei de la iesire. Raportul amplitudinilor da $\lvert H(f)\rvert$, decalajul da $\angle H(f)$. Metoda merge pentru ca un sistem LTI nu schimba frecventa sinusoidei.
Echivalent, pentru orice intrare cunoscuta: $H(k) = Y(k)/X(k)$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap7-convolutie|Cap 7 §4]] (impulsul si "cutia neagra"), [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §2]] (experimentul cu sinusoide).

**A21. (examen 2024 B) Daca avem un semnal de puls (neperiodic) $x(t)$ si il inmultim cu o sinusoida de frecventa purtatoare $f_c$, ce spectru are semnalul rezultat? La ce se poate folosi acest procedeu? Am putea sa-l imbunatatim?**

<note>
**Raspuns model:**
  * Pulsul de latime $\Delta$ are spectrul in forma de sinc: $\lvert X(f)\rvert = \Delta\lvert\mathrm{sinc}(\pi f\Delta)\rvert$, centrat in 0, cu zerouri la multiplii lui $1/\Delta$.
  * Inmultirea cu $\cos(2\pi f_c t)$ da $\frac12 X(f - f_c) + \frac12 X(f + f_c)$: **doua copii ale sinc-ului**, centrate in $+f_c$ si $-f_c$, la jumatate din inaltime. In jurul lui 0 nu mai ramane nimic.
  * **La ce foloseste:** modulatie. Mutam informatia la frecventa purtatoare $f_c$ ca s-o putem transmite radio (antena de dimensiuni rezonabile, fiecare emitator pe frecventa lui). La receptie inmultim din nou cu $\cos(2\pi f_c t)$ si aplicam un filtru trece-jos.
  * **Imbunatatiri:** (1) adaugam purtatoarea, $(1 + x(t))\cos(2\pi f_c t)$ (AM), ca receptorul sa se poata sincroniza; (2) sinc-ul are valuri laterale lungi, deci ocupa banda mare; un puls cu margini mai line ocupa mai putina banda si nu deranjeaza canalele vecine.
**Ce desenezi:** axa $f$, doua "dealuri" in forma de sinc, unul centrat in $-f_c$ si unul in $+f_c$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §1]] (spectrul pulsului), [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §4]] (inmultirea cu un cosinus), [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §5]] (AM).

**A22. (examen 2024 B) Ce probleme apar in procesul de cuantizare din conversia A/D? Se poate recupera un semnal analog dintr-unul cuantizat? In ce conditii? Ce putem face sa minimizam erorile?**

<note>
**Raspuns model:**
  * Cuantizarea rotunjeste fiecare esantion la unul din $2^B$ niveluri. Apare **eroarea de cuantizare**, intre $-\Delta/2$ si $\Delta/2$, cu valoarea efectiva $\Delta/\sqrt{12}$, unde $\Delta = 2A/2^B$. Ea se comporta ca un zgomot adaugat peste semnal.
  * Semnalul **nu se mai poate recupera exact**: toate valorile dintr-o treapta devin acelasi numar, deci informatia e pierduta. S-ar recupera exact doar daca esantioanele ar fi fost de la inceput chiar pe niveluri, ceea ce practic nu se intampla. Se recupereaza doar o aproximare.
  * Minimizam eroarea cu: **mai multi biti** (fiecare bit in plus aduce aproximativ 6 dB la SNR), reconstructie la **mijlocul treptei** si un semnal care **ocupa tot intervalul** convertorului.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 §1]] (cuantizarea), [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 §2]] (eroarea).

**A23. (partial 2026; varianta cu sinus si filtru trece-banda s-a dat la partialul 2025) $s(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cos(2\pi f_2 t) + A_3\cos(2\pi f_3 t)$, $f_1 < f_2 < f_3$. Desenati spectrul. Ce obtinem dupa un filtru trece-jos ideal cu taierea intre $f_2$ si $f_3$?**

<note>
**Raspuns model:** Spectrul are 6 linii: $A_1/2$ la $\pm f_1$, $A_2/2$ la $\pm f_2$, $A_3/2$ la $\pm f_3$ (fiecare cosinus da doua linii, de jumatate din amplitudine). Filtrul trece-jos pastreaza componentele cu frecventa sub cea de taiere ($f_1$ si $f_2$) si o elimina pe $f_3$. La iesire: $y(t) = A_1\cos(2\pi f_1 t) + A_2\cos(2\pi f_2 t)$, cu spectrul format din 4 linii: $A_1/2$ la $\pm f_1$ si $A_2/2$ la $\pm f_2$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap0-baze|Cap 0 §6]] (spectrul si filtrarea lui), desenul complet in [[ps:subiecte-reale|Subiecte reale]].

===== Partea B — intrebari posibile, in acelasi stil =====

Nu s-au dat (inca) in forma asta, dar sunt din aceeasi materie si in acelasi stil. Unele sunt bucati din problemele de examen.

==== Cap 0 — Baze ====

**B1. Dati un exemplu de sistem neliniar si un exemplu de sistem liniar care nu e invariant in timp. Justificati.**

<note>
**Raspuns model:** $y(t) = x^2(t)$ e neliniar: $(x_1 + x_2)^2 \neq x_1^2 + x_2^2$ (apare termenul $2x_1x_2$). $y(t) = x(t)\cos(2\pi f_c t)$ (modulatorul) e liniar, pentru ca inmultirea cu un factor respecta superpozitia, dar nu e invariant in timp: factorul depinde de $t$, deci aceeasi intrare aplicata mai tarziu e inmultita cu altceva.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap0-baze|Cap 0 §2]].

**B2. Ce este spectrul unui semnal? Cum arata spectrul semnalului $A\cos(2\pi f_0 t)$ si de ce?**

<note>
**Raspuns model:** Spectrul arata ce frecvente contine semnalul, cu ce amplitudine (spectrul de amplitudine $\lvert X(f)\rvert$) si cu ce faza (spectrul de faza). Din formula lui Euler, $A\cos(2\pi f_0 t) = \frac{A}{2}e^{j2\pi f_0 t} + \frac{A}{2}e^{-j2\pi f_0 t}$, deci spectrul are doua linii de inaltime $A/2$, la $+f_0$ si la $-f_0$. Pentru un semnal real, spectrul de amplitudine e simetric fata de $f = 0$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap0-baze|Cap 0 §6]] (spectrul), [[ps:cap0-baze|Cap 0 §4]] (de unde vine $A/2$).

==== Cap 1 — Functia de transfer si filtre ====

**B3. Ce se intampla cu o sinusoida care trece printr-un sistem liniar si invariant in timp?**

<note>
**Raspuns model:** Iese tot o sinusoida, de **aceeasi frecventa**. Se schimba doar amplitudinea, care se inmulteste cu $\lvert H(f_0)\rvert$, si faza, la care se aduna $\angle H(f_0)$: $A\cos(2\pi f_0 t + \varphi) \to \lvert H(f_0)\rvert A\cos(2\pi f_0 t + \varphi + \angle H(f_0))$. Sistemul nu creeaza frecvente noi. Pentru o suma de sinusoide, fiecare trece separat (superpozitie).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §3]], [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §5]] (exemplu cu numere).

**B4. Ce este frecventa de taiere si de ce apare $\sqrt2$ in definitie?**

<note>
**Raspuns model:** Este frecventa la care modulul functiei de transfer scade la $\frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$ din valoarea maxima. Puterea e proportionala cu patratul amplitudinii, deci acolo puterea semnalului de la iesire e **jumatate** din cea maxima ($(1/\sqrt2)^2 = 1/2$), adica −3 dB. Ea marcheaza, prin conventie, granita dintre banda de trecere si banda de oprire a unui filtru real. La circuitul RC: $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §4]].

==== Cap 2 — Seria Fourier ====

**B5. Ce este seria Fourier? Pentru ce fel de semnale se foloseste si cum arata spectrul lor?**

<note>
**Raspuns model:** Seria Fourier este scrierea unui semnal **periodic** de perioada $T$ ca suma de exponentiale complexe (sinusoide) cu frecventele $k/T$, multipli ai frecventei fundamentale $1/T$: $s(t) = \sum_k c_k\,e^{j2\pi kt/T}$. Se foloseste doar pentru semnale periodice. Spectrul lor este **discret**: linii la frecventele $k/T$, de inaltime $\lvert c_k\rvert$. Pentru semnale aperiodice se foloseste transformata Fourier, iar spectrul devine continuu.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §0]] (ce e un semnal periodic), [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §1]] (formulele).

**B6. Ce legatura este intre latimea unui puls si latimea spectrului sau?**

<note>
**Raspuns model:** Sunt invers proportionale: un puls ingust in timp are spectru lat in frecventa, si invers. Pentru pulsul periodic de latime $\Delta$, coeficientii sunt $c_k = A\frac{\Delta}{T}e^{-j\pi k\Delta/T}\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi k\Delta}{T}\right)$, iar primul zero al spectrului este la $k = T/\Delta$, adica la frecventa $1/\Delta$. Daca $\Delta$ scade, primul zero se muta la frecvente mai mari. Explicatia: schimbarile rapide in timp au nevoie de frecvente inalte.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §3]].

**B7. Ce spune teorema lui Parseval? Ce este THD?**

<note>
**Raspuns model:** Parseval: puterea unui semnal periodic, $P = \frac{1}{T}\int_0^T s^2(t)dt$, este egala cu suma patratelor modulelor coeficientilor Fourier, $\sum_k\lvert c_k\rvert^2$. Deci puterea se poate calcula si din spectru, fiecare armonica avand puterea ei. THD (distorsiunea armonica totala) este raportul dintre puterea armonicilor $k \ge 2$ si puterea totala fara componenta continua: $\mathrm{THD} = \frac{\sum_{k\ge2}\lvert c_k\rvert^2}{\sum_{k\ge1}\lvert c_k\rvert^2}$. Arata cat de mult deformeaza un sistem o sinusoida; ideal este 0.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §4]] (subsectiunile 4.1 si 4.2).

==== Cap 3 — Transformata Fourier si AM ====

**B8. Ce este modulatia in amplitudine si de ce se foloseste? Cum arata spectrul semnalului modulat?** //(este si punctul a) al problemei de examen din 2024–2026)//

<note>
**Raspuns model:** Modulatia in amplitudine inseamna inmultirea mesajului cu o purtatoare de frecventa mare: $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$. Mesajul modifica amplitudinea purtatoarei. Se foloseste ca sa mutam mesajul (frecvente mici) la o frecventa mare $f_c$, potrivita pentru transmisia radio, si ca sa putem pune mai multe emitatoare pe frecvente diferite. Spectrul: $Y(f) = \frac12\delta(f - f_c) + \frac12\delta(f + f_c) + \frac12 S(f - f_c) + \frac12 S(f + f_c)$, adica doua linii de $\frac12$ la $\pm f_c$ (purtatoarea) si doua copii ale spectrului mesajului, la jumatate din inaltime, centrate in $\pm f_c$. Mesajul se recupereaza inmultind din nou cu purtatoarea si filtrand trece-jos.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §5]], rezolvare cu desene in [[ps:problema-tip|Problema de esantionare, punctul a)]].

**B9. Care e diferenta dintre spectrul unui semnal periodic si spectrul unui semnal aperiodic?**

<note>
**Raspuns model:** Un semnal periodic, de perioada $T$, are spectru **discret**: linii doar la multiplii frecventei fundamentale, $f = k/T$, cu inaltimile date de coeficientii seriei Fourier $c_k$. Un semnal aperiodic are spectru **continuu**, dat de transformata Fourier $S(f) = \int s(t)\,e^{-j2\pi ft}dt$, definit pentru orice frecventa. Legatura: un semnal aperiodic e limita unui semnal periodic cu $T \to \infty$; liniile, aflate la distanta $1/T$, se apropie pana formeaza o curba continua.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §1]].

**B10. Ce se intampla cu spectrul unui semnal daca il intarziem cu $\tau$?** //(apare si la problema cu pulsul din 2021, punctul c)//

<note>
**Raspuns model:** $s(t - \tau) \leftrightarrow S(f)\,e^{-j2\pi f\tau}$. Spectrul se inmulteste cu un factor de modul 1, deci **modulul $\lvert S(f)\rvert$ nu se schimba**. Se schimba doar faza, care scade cu $2\pi f\tau$ (proportional cu frecventa). Desenul lui $\lvert S(f)\rvert$ ramane identic. Exemplu: $\sin(2\pi f_0 t)$ este un cosinus intarziat cu un sfert de perioada; are acelasi spectru de amplitudine ca si cosinusul si difera doar prin faza.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §2]] (subsectiunea 2.2), [[ps:cap0-baze|Cap 0 §5]] (faza, cu desen).

==== Cap 4 — Esantionarea ====

**B11. Enuntati criteriul lui Nyquist (teorema esantionarii). Ce este frecventa Nyquist?**

<note>
**Raspuns model:** Un semnal limitat in banda, cu frecventa maxima $f_{max}$ (in curs notata $W$), poate fi esantionat fara pierdere de informatie daca $f_s \geq 2 f_{max}$. Explicatia: esantionarea copiaza spectrul la fiecare $f_s$, iar pentru $f_s \geq 2 f_{max}$ copiile nu se suprapun. Frecventa Nyquist este $f_s/2$: cea mai mare frecventa care poate fi reprezentata corect la frecventa de esantionare $f_s$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3]].

**B12. Ce se intampla cu spectrul unui semnal cand il esantionam?**

<note>
**Raspuns model:** Spectrul semnalului esantionat este format din copii (replici) ale spectrului original, asezate la fiecare multiplu de $f_s$: $X(f) = \sum_k c_k\,S(f - k f_s)$. De aceea, dupa esantionare e de ajuns sa privim intervalul de la $-f_s/2$ la $f_s/2$; restul sunt copii.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §2]].

**B13. Ce este bandpass sampling? Cand il folosim si ce conditii trebuie respectate?**

<note>
**Raspuns model:** Este esantionarea unui semnal de banda ingusta $B$, aflat la o frecventa mare $f_c$, cu o frecventa de esantionare mai mica decat cea ceruta de Nyquist ($f_s < 2 f_{max}$). Se bazeaza pe faptul ca esantionarea produce copii la fiecare $f_s$: alegem $f_s$ astfel incat o copie a benzii sa ajunga aproape de 0, fara sa se suprapuna cu copia partii negative. Pasi si conditii: (1) intai un filtru analog trece-banda in jurul lui $f_c$, ca sa eliminam zgomotul; (2) $f_s \geq 2B$; (3) copiile sa nu se suprapuna — banda de dupa esantionare, centrata in $r = f_c \bmod f_s$, trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$ (sau intre $f_s/2$ si $f_s$, caz in care spectrul iese inversat si se corecteaza inmultind cu $(-1)^n$). Il folosim cand convertorul nu poate esantiona la $2 f_{max}$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §5]], probleme rezolvate in [[ps:problema-tip|Problema de esantionare]].

**B14. Ce este IQ downconversion si ce avantaj are?**

<note>
**Raspuns model:** Este mutarea benzii unui semnal din jurul lui $f_c$ in jurul frecventei 0 (in banda de baza), prin inmultire cu $e^{-j2\pi f_c t}$. Rezulta un semnal complex $x = i + jq$, cu $i = s\cos(2\pi f_c t)$ (in faza) si $q = -s\sin(2\pi f_c t)$ (in cuadratura). In practica se face digital: daca banda e la $f_s/4$, inmultirea e cu sirul $[1, -j, -1, j, \dots]$, deci fara calcule. Urmeaza un filtru trece-jos si decimarea. Avantaj: semnalul complex de banda $B$ centrat in 0 poate fi esantionat cu doar $f_s \geq B$ (nu $2B$), deci se poate prelucra cu dispozitive lente, in timp real.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §6]].

**B15. Ce este decimarea? De ce e nevoie de un filtru inaintea ei?**

<note>
**Raspuns model:** Decimarea cu factorul $M$ pastreaza un esantion din $M$: $s_M(n) = s(nM)$. Frecventa de esantionare scade la $f_s' = f_s/M$. In spectru, copiile ajung la fiecare $f_s'$, mai dese. Daca semnalul are componente in afara intervalului $[-f_s'/2, f_s'/2]$, ele se suprapun peste banda utila (aliasing). De aceea, inainte de decimare se aplica un filtru trece-jos digital care pastreaza doar banda utila.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §7]].

**B16. De ce filtrul anti-aliasing trebuie sa fie analog si pus inaintea convertorului?**

<note>
**Raspuns model:** Pentru ca aliasing-ul se produce chiar in momentul esantionarii si dupa aceea nu mai poate fi reparat: o frecventa mare ajunsa peste una mica nu mai poate fi deosebita de ea. Un filtru digital lucreaza pe esantioane, deci dupa ce raul s-a facut. Singura solutie e sa eliminam frecventele de peste $f_s/2$ cat semnalul e inca analog.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3]] (subsectiunea 3.3).

==== Cap 5 — Cuantizare, SNR, decibeli ====

**B17. Ce este SNR-ul si cat este el pentru un convertor A/D pe $B$ biti?**

<note>
**Raspuns model:** SNR e raportul dintre puterea semnalului si puterea zgomotului, $\mathrm{SNR} = P_{semnal}/P_{zgomot}$. La un convertor A/D zgomotul e eroarea de cuantizare, de putere $\Delta^2/12$. Pentru o sinusoida care ocupa tot intervalul, $P_{semnal} = A^2/2$, deci $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac32\cdot 2^{2B}$, adica aproximativ $6B + 2$ dB. Exemple: 8 biti → 50 dB, 16 biti (CD) → 98 dB.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 §3]], [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 §4]] (subsectiunea 4.4).

==== Cap 6 — DFT ====

**B18. De ce folosim DFT si nu DTFT?**

<note>
**Raspuns model:** DTFT, $X(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\,e^{-j2\pi fn}$, cere o infinitate de esantioane si da un spectru continuu (o infinitate de valori ale lui $f$). Niciuna nu se poate face pe calculator. DFT foloseste un numar finit $N$ de esantioane si calculeaza spectrul doar la $N$ frecvente, $f = k/N$. De aceea DFT (calculata rapid cu FFT) este varianta practica.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap6-dft|Cap 6 §3]].

**B19. Ce este frecventa normalizata si in ce interval ia valori?**

<note>
**Raspuns model:** Este raportul dintre frecventa semnalului si frecventa de esantionare: $f = f_c/f_s$. Nu are unitate de masura. Apare cand inlocuim $t = nT_s$: $\cos(2\pi f_c nT_s) = \cos(2\pi fn)$. Pentru ca $e^{j2\pi(f+1)n} = e^{j2\pi fn}$, spectrul se repeta la fiecare 1, deci ne intereseaza doar $f \in [-1/2, 1/2]$ (sau $[0, 1]$), adica $f_c \in [-f_s/2, f_s/2]$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap6-dft|Cap 6 §2]].

**B20. Cum arata spectrul DFT al semnalului $A\cos\left(2\pi\frac{m}{N}n\right)$? Dar al unei constante?**

<note>
**Raspuns model:** Cosinusul se scrie $\frac{A}{2}\left(e^{j2\pi mn/N} + e^{-j2\pi mn/N}\right)$. Fiecare exponentiala da $N$ pe pozitia ei si 0 in rest. Rezulta $X(k) = \frac{NA}{2}\left(\delta(k-m) + \delta(k+m)\right)$: doua linii de inaltime $NA/2$, la $k = m$ si $k = N - m$. O constanta $c$ da o singura linie, $X(0) = Nc$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap6-dft|Cap 6 §7]].

**B21. Ce este rezolutia in frecventa a DFT si cum o putem imbunatati?**

<note>
**Raspuns model:** Este distanta dintre doua frecvente DFT vecine: $f_s/N$ (in Hz), adica 1 impartit la durata inregistrarii. O imbunatatim marind numarul de esantioane $N$ (inregistram mai mult timp) la acelasi $f_s$. Daca marim doar $f_s$, pastrand $N$, rezolutia se inrautateste.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap6-dft|Cap 6 §5]] (subsectiunea 5.3).

**B22. Scrieti formulele DFT si IDFT si explicati termenii.**

<note>
**Raspuns model:** $X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j2\pi kn/N}$ si $x(n) = \frac1N\sum_{k=0}^{N-1} X(k)\,e^{j2\pi kn/N}$. $x(n)$ = esantioanele semnalului; $N$ = numarul lor; $k$ = indicele componentei de frecventa (corespunde frecventei $k f_s/N$); $X(k)$ = numar complex al carui modul arata cat din acea frecventa este in semnal, iar faza arata intarzierea ei. IDFT reface exact semnalul din spectru.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap6-dft|Cap 6 §4]] (DFT calculata de mana), [[ps:cap6-dft|Cap 6 §8]] (IDFT).

==== Cap 7 — Convolutia ====

**B23. Ce este raspunsul la impuls al unui sistem?**

<note>
**Raspuns model:** Este semnalul de la iesirea sistemului atunci cand la intrare punem impulsul $\delta(n)$ ($\delta(n) = 1$ pentru $n = 0$ si 0 in rest). Pentru un filtru cu coeficientii $h(n)$: $y(n) = (h * \delta)(n) = h(n)$, adica raspunsul la impuls este chiar lista coeficientilor filtrului. El caracterizeaza complet un sistem liniar si invariant in timp: iesirea pentru orice intrare este $y = h * x$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap7-convolutie|Cap 7 §4]].

**B24. De ce filtrul "Moving Average" (media alunecatoare) este un filtru trece-jos?**

<note>
**Raspuns model:** Coeficientii lui sunt $h(n) = [\frac1M, \dots, \frac1M]$, deci fiecare iesire este media ultimelor $M$ intrari. Un semnal constant (frecventa 0) trece neschimbat, pentru ca media unor valori egale este aceeasi valoare. Variatiile rapide (frecvente inalte) se anuleaza in medie — de exemplu $1, -1, 1, -1$ are media 0. In frecventa: $\lvert H(k)\rvert$ este maxim la $k = 0$ si scade spre frecventele inalte, iar $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap7-convolutie|Cap 7 §3]], [[ps:cap9-fir|Cap 9 §2]].

**B25. Care este legatura dintre $h(n)$ si $H(k)$?**

<note>
**Raspuns model:** Sunt aceeasi informatie despre filtru, vazuta in cele doua domenii. $h(n)$ = coeficientii filtrului = raspunsul la impuls (domeniul timp). $H(k)$ = DFT-ul lui $h(n)$ = functia de transfer (domeniul frecventa): arata cu cat este inmultita fiecare componenta de frecventa. Din $H(k)$ se revine la $h(n)$ cu DFT-ul invers (IDFT).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap7-convolutie|Cap 7 §6]] (subsectiunea 6.4).

==== Cap 8 — Leakage, zero-padding, ferestre ====

**B26. Ce este zero-padding? La ce foloseste si ce nu poate face?**

<note>
**Raspuns model:** Zero-padding = adaugarea de esantioane cu valoarea 0 la sfarsitul semnalului inainte de DFT. Numarul de puncte ale spectrului creste (frecventele DFT devin mai dese, la $f_s/N'$), deci vedem mai multe puncte din acelasi spectru, inclusiv forma dsinc dintre punctele initiale. Nu adauga informatie: nu reduce leakage-ul si nu imbunatateste separarea a doua frecvente apropiate. Pentru asta trebuie mai multe esantioane reale sau alta fereastra.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8 §5]].

**B27. Ce este o fereastra? Dati exemple. Ce se castiga si ce se pierde?**

<note>
**Raspuns model:** O fereastra este o secventa $w(n)$ cu care inmultim esantioanele semnalului inainte de DFT: $s(n)\cdot w(n)$. Implicit folosim fereastra dreptunghiulara (1 pe cele $N$ esantioane). Exemple: Hamming, Hanning (Hann), Blackman — coboara lin spre 0 la capete. Castig: lobi laterali mult mai mici in frecventa, deci leakage redus si componentele slabe nu mai sunt acoperite. Pierdere: lob principal mai lat (rezolutie mai slaba intre frecvente apropiate) si amplitudine mai mica a varfului.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8 §6]].

**B28. Fereastra dreptunghiulara exista intotdeauna. De ce exista totusi cazuri in care nu vedem leakage?**

<note>
**Raspuns model:** Pentru ca in acele cazuri frecventa semnalului corespunde exact unui index $k$ al DFT, iar dsinc-ul adus de convolutie are zerouri exact pe toate celelalte pozitii $k$. DFT-ul citeste varful intr-o singura pozitie si zerouri in rest. Conditia: in cele $N$ esantioane sa incapa un numar intreg de perioade ($f\cdot N/f_s$ intreg). Daca facem zero-padding, pozitiile nu mai cad toate pe zerouri si forma dsinc devine vizibila.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8 §4]] (subsectiunea 4.4).

==== Cap 9 — Filtre FIR ====

**B29. Ce este raspunsul in frecventa al unui filtru FIR si cum il obtineti din coeficienti?**

<note>
**Raspuns model:** Raspunsul in frecventa $H(f)$ arata, pentru fiecare frecventa, de cate ori e inmultita amplitudinea unei sinusoide care trece prin filtru (modulul) si cu cat e decalata (faza). Se obtine ca transformata Fourier a coeficientilor: $H(f) = \sum_n h(n)\,e^{-j2\pi\frac{f}{f_s}n}$; in practica, FFT-ul coeficientilor. Verificari rapide: $H(0)$ = suma coeficientilor, $H(f_s/2)$ = suma cu semne alternate. Exemplu: $h = [1, 2, 1]$ → 4 la frecventa 0 si 0 la $f_s/2$ → trece-jos.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap9-fir|Cap 9 §4]].

**B30. Ce inseamna ca un filtru FIR are faza liniara si de ce e important?**

<note>
**Raspuns model:** Faza raspunsului in frecventa scade proportional cu frecventa, ceea ce inseamna ca toate frecventele sunt intarziate cu acelasi numar de esantioane, $\frac{M-1}{2}$ pentru $M$ coeficienti simetrici. Componentele semnalului raman aliniate intre ele, deci semnalul din banda de trecere iese cu aceeasi forma, doar intarziat. E important la semnale la care forma conteaza (audio, impulsuri de date). Filtrele analogice si IIR nu au, in general, aceasta proprietate.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap9-fir|Cap 9 §5]].

==== Cap 10 — Transformata Z, poli si zerouri, IIR ====

**B31. Ce este transformata Z si ce legatura are cu transformata Fourier?**

<note>
**Raspuns model:** Transformata Z a unui semnal discret $x(n)$ este $X(z) = \sum_n x(n)\,z^{-n}$, cu $z$ numar complex, $z = r\,e^{j\omega}$. Proprietatea principala: o intarziere cu un esantion devine inmultire cu $z^{-1}$, adica $x(n-1) \leftrightarrow z^{-1}X(z)$. Asa, ecuatia cu diferente a unui filtru devine o ecuatie algebrica, din care rezulta functia de transfer $H(z) = Y(z)/X(z)$. Pentru $r = 1$ (pe cercul unitate, $z = e^{j\omega}$) transformata Z devine transformata Fourier a semnalului discret; deci $H(e^{j\omega})$ este raspunsul in frecventa al filtrului.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §3]].

**B32. Ce sunt zerourile si polii unei functii de transfer si ce efect au asupra raspunsului in frecventa?**

<note>
**Raspuns model:** Zerourile sunt valorile lui $z$ pentru care numaratorul lui $H(z)$ e 0 (acolo $H = 0$). Polii sunt valorile pentru care numitorul e 0 (acolo $H$ tinde la infinit). Raspunsul in frecventa se citeste pe cercul unitate: $\lvert H\rvert$ la o frecventa este produsul distantelor de la punctul ei de pe cerc pana la zerouri, impartit la produsul distantelor pana la poli. Un zerou pe cerc anuleaza frecventa din dreptul lui. Un pol aproape de cerc produce un varf la frecventa din dreptul lui.

**Ce desenezi:** planul $z$ cu axele Re si Im, cercul de raza 1, zerourile cu "o" si polii cu "×". Frecventa 0 e punctul $z = 1$, iar $f_s/2$ e punctul $z = -1$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §5]] (zerouri si poli), [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §6]] (cercul unitate).

**B33. Cand este stabil un filtru IIR? De ce un filtru FIR este intotdeauna stabil?**

<note>
**Raspuns model:** Un filtru e stabil daca toti polii functiei de transfer sunt strict in interiorul cercului unitate ($\lvert p_i\rvert < 1$); atunci raspunsul la impuls se stinge. Daca un pol e in afara cercului, raspunsul la impuls creste nelimitat (instabil). Exemplu: $y(n) = x(n) + a\,y(n-1)$ are polul $a$ si raspunsul la impuls $a^n$, care scade doar daca $\lvert a\rvert < 1$. Un FIR are $H(z)$ fara numitor; scris cu puteri pozitive, toti polii lui sunt in $z = 0$, in centrul cercului, deci e mereu stabil.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §7]].

**B34. Cum se obtine functia de transfer dintr-o ecuatie cu diferente? Exemplificati.** //(pas din problema de examen 2021, 2023 C)//

<note>
**Raspuns model:** Se aplica transformata Z ecuatiei, inlocuind $x(n-k)$ cu $z^{-k}X(z)$ si $y(n-k)$ cu $z^{-k}Y(z)$. Se trec termenii cu $Y$ in stanga, se da factor comun si se face raportul $H(z) = Y(z)/X(z)$. Pentru $y(n) = \sum b_i\,x(n-i) + \sum a_i\,y(n-i)$ rezulta $H(z) = \dfrac{\sum b_i z^{-i}}{1 - \sum a_i z^{-i}}$. Exemplu: $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$ da $H(z) = \dfrac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2z^{-1} + 0.61z^{-2}}$.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §4]], problema intreaga in [[ps:cap10-z-iir|Cap 10 §9]].

==== Cap 11 — FFT ====

**B35. Explicati pe scurt ideea algoritmului FFT.**

<note>
**Raspuns model:** Semnalul se imparte in esantioanele cu indice par si cele cu indice impar. Se calculeaza DFT (cu $N/2$ puncte) pe fiecare jumatate, $X_1(k)$ si $X_2(k)$, apoi rezultatele se combina: $X(k) = X_1(k) + w_N^k X_2(k)$ si $X(k + N/2) = X_1(k) - w_N^k X_2(k)$, unde $w_N = e^{-j2\pi/N}$. Se foloseste faptul ca $w_N^{k+N/2} = -w_N^k$ si ca DFT-urile pe jumatati sunt periodice cu $N/2$, deci aceleasi produse se refolosesc pentru doua iesiri. Impartirea se repeta pana la liste de un esantion; rezulta $\log_2 N$ etaje a cate $N/2$ fluturi.
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap11-fft|Cap 11 §2]] (ideea, cu numere), [[ps:cap11-fft|Cap 11 §3]] (de ce merge), [[ps:cap11-fft|Cap 11 §4]] (schema).

**B36. De ce cere FFT ca numarul de esantioane sa fie putere a lui 2 si ce facem daca nu este?**

<note>
**Raspuns model:** Algoritmul radix-2 injumatateste lista in mod repetat, pana la liste de un singur esantion, deci $N$ trebuie sa se imparta la 2 de fiecare data, adica $N = 2^m$. Daca nu este, adaugam zerouri la sfarsitul semnalului pana la urmatoarea putere a lui 2 (zero-padding). Zerourile nu adauga informatie; spectrul este acelasi, doar calculat in mai multe puncte (frecventele DFT sunt mai dese, la $f_s/N$ cu noul $N$).
</note>

Daca vrei explicatia: [[ps:cap11-fft|Cap 11 §6]], [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8 §5]] (zero-padding).

===== Cuvinte-cheie de pus neaparat in raspuns =====

Dupa ce ai raspuns, verifica daca ai folosit cuvintele din dreapta. Ele sunt cele pe care le cauta cine corecteaza.

==== Partea A (date la examene) ====

^ Intrebarea ^ Cuvinte-cheie ^
| A1 FIR vs IIR | fara reactie / cu reactie (feedback); raspuns la impuls finit / infinit; mereu stabil si faza liniara (FIR); mai putini coeficienti, poate fi instabil (IIR); metoda ferestrei / filtre analogice |
| A2 trece-jos → trece-sus | inmultire cu $(-1)^n$; schimb semnul fiecarui al doilea coeficient; spectrul se muta cu $f_s/2$ |
| A3 proprietati TF | intarziere → doar faza; inmultire cu exponentiala (cosinus) → spectrul se muta; semnal real → modul simetric |
| A4 convolutia | formula $\sum h(k)\,x(n-k)$; suma ponderata; lungime $M + P - 1$; aplicatie: filtrarea |
| A5 teorema convolutiei | convolutie in timp = inmultire in frecventa; $Y(k) = H(k)\cdot X(k)$; si invers; filtrare, modulatie, leakage |
| A6 DFT | $N$ valori; de la 0 la $f_s$ (sau de la $-f_s/2$ la $f_s/2$); $f_k = k\cdot f_s/N$; rezolutia $f_s/N$; periodica cu $N$; simetrica pentru semnal real |
| A7 DFT vs FFT | aceleasi valori; transformata / algoritm rapid; $N^2$ fata de $N\log_2 N$; $N$ putere a lui 2 |
| A8 complexitatea FFT | $O(N\log N)$ fata de $O(N^2)$; $\log_2 N$ etaje; $N/2$ fluturi pe etaj |
| A9 metoda ferestrei | filtru ideal in frecventa; IFFT → sinc; trunchiere = fereastra dreptunghiulara → ondulatii; alta fereastra (Hamming, Hann, Blackman); coeficienti simetrici |
| A10 $c_k$ | coeficient Fourier; semnal periodic; cat din frecventa $k/T$; modul = amplitudine, unghi = faza; $c_0$ = media |
| A11 functia de transfer | raport iesire / intrare pentru fiecare frecventa; modul si faza; depinde de $f$ si de componente ($R$, $C$); $f_c$ unde modulul e maxim impartit la $\sqrt2$; $f_c = 1/(2\pi RC)$ |
| A12 doua probleme A/D | aliasing (esantionare); eroare de cuantizare (cuantizare); Nyquist + filtru anti-aliasing; mai multi biti; ireversibila |
| A13 aliasing | $f_s < 2 f_{max}$; copiile se suprapun; frecventa mare apare ca frecventa mica; $f_s \geq 2 f_{max}$; filtru analog trece-jos inainte de convertor |
| A14 leakage | frecventa nu e pe o frecventa DFT; se imprastie pe toate valorile $k$; fereastra dreptunghiulara; inmultire in timp = convolutie in frecventa; dsinc; ferestre + mai multe esantioane; nu zero-padding |
| A15 decibeli | $10\log_{10}$ din raport de puteri; castig, atenuare, SNR; dB-urile se aduna; 60 dB = $10^6$ |
| A16 recuperare dupa esantionare | da, exact; banda limitata; $f_s \geq 2 f_{max}$; filtru trece-jos; cuantizarea e ireversibila; $f_s$ si $B$ |
| A17 LTI | superpozitie; intarziere la intrare = aceeasi intarziere la iesire; aceeasi frecventa la iesire; functia de transfer |
| A18 acumulatorul | este LTI; suma e liniara; intarzierea muta toti termenii |
| A19 tipuri de filtre | trece-jos, trece-sus, trece-banda, opreste-banda; 4 desene cu modulul lui $H$ in functie de $f$; ideal / real |
| A20 functia de transfer din intrare si iesire | impuls la intrare; iesirea = raspunsul la impuls $h(n)$; FFT → $H(k)$; sau sinusoide pe rand; $H = Y/X$ |
| A21 puls × sinusoida | sinc; doua copii la $\pm f_c$, la jumatate; modulatie; demodulare; adaug purtatoarea (AM); puls mai neted |
| A22 probleme la cuantizare | rotunjire la $2^B$ niveluri; eroare intre $-\Delta/2$ si $\Delta/2$; nu se recupereaza exact; mai multi biti (6 dB pe bit) |
| A23 trei cosinusuri + filtru | 6 linii, $A_k/2$ la $\pm f_k$; filtrul sterge $f_3$; raman 4 linii |

==== Partea B (posibile) ====

^ Intrebarea ^ Cuvinte-cheie ^
| B1 exemple de sisteme | $x^2$ neliniar (apare $2x_1x_2$); modulatorul liniar, dar variant in timp |
| B2 spectrul | ce frecvente, cu ce amplitudine si faza; Euler; doua linii $A/2$ la $\pm f_0$ |
| B3 sinusoida prin LTI | aceeasi frecventa; amplitudinea se inmulteste cu modulul lui $H(f_0)$; faza se aduna |
| B4 frecventa de taiere | $1/\sqrt2$ din maxim; putere la jumatate; −3 dB |
| B5 seria Fourier | semnal periodic; suma de sinusoide la $k/T$; spectru discret |
| B6 latime puls / spectru | invers proportionale; primul zero la $1/\Delta$ |
| B7 Parseval, THD | puterea in timp = suma patratelor modulelor $c_k$; puterea armonicilor $k \ge 2$ raportata la total |
| B8 AM | $(1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$; linii de 1/2 la $\pm f_c$; copii ale mesajului la jumatate; transmisie radio |
| B9 periodic / aperiodic | spectru discret (linii la $k/T$) / spectru continuu; $T \to \infty$ |
| B10 intarzierea | modulul nu se schimba; doar faza, cu $-2\pi f\tau$ |
| B11 Nyquist | $f_s \geq 2 f_{max}$; copiile nu se suprapun; frecventa Nyquist = $f_s/2$ |
| B12 spectrul esantionat | copii la fiecare $f_s$; ajunge intervalul de la $-f_s/2$ la $f_s/2$ |
| B13 bandpass sampling | banda ingusta la $f_c$ mare; filtru analog trece-banda; $f_s \geq 2B$; $r = f_c \bmod f_s$; copiile sa nu se suprapuna; inversare → $(-1)^n$ |
| B14 IQ | inmultire cu $e^{-j2\pi f_c t}$; banda ajunge in 0; semnal complex $i + jq$; sirul $[1, -j, -1, j]$; ajunge $f_s \geq B$ |
| B15 decimarea | un esantion din $M$; $f_s' = f_s/M$; filtru trece-jos inainte; altfel aliasing |
| B16 filtrul anti-aliasing | aliasing-ul nu se mai repara dupa esantionare; trebuie filtrat cat e analog |
| B17 SNR | raport de puteri semnal / zgomot; $\Delta^2/12$; aproximativ $6B + 2$ dB |
| B18 DFT, nu DTFT | DTFT: infinit de esantioane, $f$ continuu; DFT: $N$ esantioane, $N$ frecvente |
| B19 frecventa normalizata | $f = f_c/f_s$; fara unitate; intre $-1/2$ si $1/2$ |
| B20 DFT a unui cosinus | doua linii de $NA/2$; la $k = m$ si $k = N - m$; constanta → $Nc$ la $k = 0$ |
| B21 rezolutia | $f_s/N$; mai multe esantioane la acelasi $f_s$ |
| B22 formulele DFT / IDFT | suma cu $e^{-j2\pi kn/N}$; $1/N$ si semnul plus la IDFT |
| B23 raspunsul la impuls | iesirea cand intrarea e $\delta(n)$; egal cu coeficientii $h(n)$; descrie complet sistemul LTI |
| B24 media alunecatoare | medie; constanta trece; alternanta rapida se anuleaza; trece-jos |
| B25 $h(n)$ si $H(k)$ | timp / frecventa; $H(k)$ = DFT-ul lui $h(n)$; IDFT inapoi |
| B26 zero-padding | adaug zerouri; mai multe puncte din acelasi spectru; nu adauga informatie; nu reduce leakage |
| B27 ferestre | inmultesc esantioanele cu $w(n)$; Hamming, Hann, Blackman; lobi laterali mai mici; lob principal mai lat |
| B28 fara leakage | frecventa exact pe un index $k$; numar intreg de perioade; zerourile dsinc-ului |
| B29 raspunsul in frecventa (FIR) | transformata Fourier a coeficientilor; suma coeficientilor la $f = 0$; suma cu semne alternate la $f_s/2$ |
| B30 faza liniara | coeficienti simetrici; aceeasi intarziere pentru toate frecventele; forma semnalului se pastreaza |
| B31 transformata Z | $\sum x(n) z^{-n}$; intarziere = inmultire cu $z^{-1}$; pe cercul unitate devine Fourier |
| B32 zerouri si poli | numarator zero / numitor zero; cercul unitate; zerou pe cerc anuleaza; pol aproape de cerc → varf |
| B33 stabilitatea | toti polii in interiorul cercului unitate; FIR: polii in $z = 0$ |
| B34 $H(z)$ din ecuatie | $x(n-k) \to z^{-k}X(z)$; termenii cu $Y$ in stanga; $b_i$ sus, $1 - \sum a_i z^{-i}$ jos |
| B35 ideea FFT | par / impar; doua DFT de $N/2$; $w_N^{k+N/2} = -w_N^k$; $\log_2 N$ etaje |
| B36 putere a lui 2 | injumatatire repetata; completez cu zerouri |

----
**Mai departe:** [[ps:subiecte-reale|Subiecte reale 2021–2026]] (cu problemele) · [[ps:foaie-formule|Foaia de formule]] · [[ps:start|Cuprins]].