Med Java

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
====== Cap 10 — Transformata Z, poli si zerouri, filtre IIR ======

[[ps:start|← inapoi la cuprins]] · Materie pentru EXAMEN (dupa partial) · Notitele colegilor: Cursul 15 din numerotarea de anul trecut (p. 35–36) · Inainte: [[ps:cap9-fir|Cap 9 — Filtre FIR]]

<note tip>
**Ideea capitolului, in 4 propozitii:**
  - Un filtru **IIR** foloseste la calcul si **iesirile lui mai vechi** (nu doar intrarile, ca un FIR). De aceea raspunsul lui la un singur impuls nu se mai termina niciodata.
  - **Transformata Z** e o unealta de contabilitate: "intarziat cu un esantion" se scrie "inmultit cu $z^{-1}$". Cu ea, ecuatia filtrului devine o **fractie**, numita $H(z)$.
  - Fractia are **zerouri** (unde se anuleaza partea de sus) si **poli** (unde se anuleaza partea de jos). Ii desenezi ca puncte pe un plan, langa un cerc de raza 1.
  - Din desen citesti tot: **ce frecvente trec** (dupa cat de aproape sunt polii si zerourile de cerc) si **daca filtrul e stabil** (toti polii in interiorul cercului).
</note>

**Ce cade:** problema de examen din 2021 si 2023 C (ecuatia $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$: schema, functia de transfer, zerouri si poli, raspunsul in frecventa) — rezolvata la 9.1; problema din 2026 cu filtrul FIR $h = [1, 2, 1]$ — la 9.2; problema din ianuarie 2025 si 2026 cu un IIR dat prin zerouri si poli si un semnal din 3 cosinusuri — la 9.3; teorie: "FIR vs IIR" (2023 C, 2024 B, 2026) — raspuns model in sectiunea 12.

**Cum citesti pagina:** sectiunile 1–2 (ce e un IIR si cum arata schema lui) → 3–4 (transformata Z si cum scoti $H(z)$ din ecuatie) → 5 (zerouri si poli) → 6 (cum citesti frecventele de pe cerc) → 7 (stabilitate) → 8 (FIR vs IIR). Fiecare lucru nou incepe cu un exemplu cu numere. Formula vine abia dupa.

**Ce folosim din capitolele dinainte** (iti reamintesc pe scurt fiecare lucru exact acolo unde apare): esantioanele $x(n)$ ([[ps:cap4-esantionare|Cap 4]]), numerele complexe si formula lui Euler ([[ps:cap0-baze|Cap 0]]), filtrul FIR si impulsul ([[ps:cap9-fir|Cap 9]], [[ps:cap7-convolutie|Cap 7]]).

===== 1. Unde suntem: filtre care isi folosesc propriile iesiri =====

==== 1.1 Ce stim deja: filtrul FIR ====

Un **filtru digital** e o reteta care primeste o lista de numere (esantioanele de la intrare, notate $x(n)$) si scoate alta lista de numere (iesirea, notata $y(n)$). Litera $n$ e numarul de ordine al esantionului: $n = 0$ e primul, $n = 1$ al doilea si asa mai departe.

La un filtru **FIR** ([[ps:cap9-fir|Cap 9]]) reteta foloseste doar **intrari**: cea de acum si cateva mai vechi. De exemplu:

$$ y(n) = x(n) + 2\,x(n-1) + x(n-2) $$

  * $x(n)$ = intrarea de acum
  * $x(n-1)$ = intrarea de la pasul dinainte (cu un esantion in urma)
  * $x(n-2)$ = intrarea de acum doi pasi

==== 1.2 Ideea noua: reactia (feedback) ====

La un filtru **IIR** reteta foloseste si **iesiri mai vechi**. Adica rezultatul de la pasul dinainte intra din nou in calcul. Asta se numeste **reactie** (in engleza //feedback//).

**Analogie — ecoul.** Bati o data din palme intr-o sala mare. Auzi bataia, apoi ecoul ei (mai slab), apoi ecoul ecoului (si mai slab) si tot asa. Fiecare ecou e facut din sunetul de dinainte. Ai produs un singur sunet, dar "iesirea" continua mult timp dupa el.

==== 1.3 Exemplu cu numere: fiecare ecou e jumatate din cel dinainte ====

Luam cel mai simplu filtru cu reactie:

$$ y(n) = x(n) + 0.5\cdot y(n-1) $$

In cuvinte: iesirea de acum = intrarea de acum + jumatate din iesirea de la pasul dinainte.

La intrare punem un **impuls**: un singur 1, urmat numai de zerouri. Adica $x = [1, 0, 0, 0, 0, \dots]$. Impulsul e "bataia din palme". Inainte de primul esantion nu exista nimic, deci iesirea "de dinainte" e 0.

^ $n$ ^ intrarea $x(n)$ ^ iesirea dinainte $y(n-1)$ ^ calculul ^ iesirea $y(n)$ ^
| 0 | 1 | 0 (nu exista inca) | $1 + 0.5\cdot 0$ | **1** |
| 1 | 0 | 1 | $0 + 0.5\cdot 1$ | **0.5** |
| 2 | 0 | 0.5 | $0 + 0.5\cdot 0.5$ | **0.25** |
| 3 | 0 | 0.25 | $0 + 0.5\cdot 0.25$ | **0.125** |
| 4 | 0 | 0.125 | $0 + 0.5\cdot 0.125$ | **0.0625** |
| ... | 0 | ... | ... | tot mai mic, dar niciodata exact 0 |

Iesirea este $1,\ 0.5,\ 0.25,\ 0.125,\ 0.0625,\ \dots$ Se injumatateste la fiecare pas. **Nu se termina niciodata**: jumatatea unui numar mai mare ca 0 e tot mai mare ca 0.

<note tip>
**De ce nu se termina?** Pentru ca intrarea a disparut dupa primul pas (e numai 0), dar filtrul "se hraneste" din propria iesire. Cat timp iesirea dinainte nu e exact 0, nici cea de acum nu e 0.

La FIR-ul de la 1.1, acelasi impuls da iesirea $1,\ 2,\ 1,\ 0,\ 0,\ 0,\ \dots$ Dupa 3 valori s-a terminat, pentru ca FIR-ul se uita doar la intrari, iar intrarile sunt 0.
</note>

==== 1.4 Acelasi filtru, cu 1.5 in loc de 0.5 ====

Schimbam un singur numar:

$$ y(n) = x(n) + 1.5\cdot y(n-1) $$

Acelasi impuls la intrare:

^ $n$ ^ intrarea $x(n)$ ^ iesirea dinainte $y(n-1)$ ^ calculul ^ iesirea $y(n)$ ^
| 0 | 1 | 0 | $1 + 1.5\cdot 0$ | **1** |
| 1 | 0 | 1 | $0 + 1.5\cdot 1$ | **1.5** |
| 2 | 0 | 1.5 | $0 + 1.5\cdot 1.5$ | **2.25** |
| 3 | 0 | 2.25 | $0 + 1.5\cdot 2.25$ | **3.375** |
| 4 | 0 | 3.375 | $0 + 1.5\cdot 3.375$ | **5.0625** |

Iesirea **creste fara oprire**, desi la intrare nu mai vine nimic. Un astfel de filtru e **instabil** si nu se poate folosi.

**Analogie:** microfonul pus prea aproape de boxa. Sunetul iese din boxa, intra iar in microfon, iese mai tare si tot asa, pana tiuie. E tot o reactie, dar una care amplifica in loc sa stinga.

{{ps:cap10:raspuns_impuls.png?1000|Raspunsul la impuls pentru un FIR si pentru doua filtre IIR}}

**Ce vezi in desen:** pe orizontala e numarul esantionului $n$, pe verticala iesirea $y(n)$ cand la intrare punem un singur 1. Stanga (verde): FIR-ul de la 1.1, iesirea se termina dupa 3 valori. Mijloc (albastru): filtrul cu 0.5, iesirea scade mereu, dar nu ajunge la 0. Dreapta (rosu): filtrul cu 1.5, iesirea creste tot mai repede.

<note important>
**Ce retii din sectiunea 1:**
  * Iesirea unui filtru cand la intrare pui un impuls se numeste **raspuns la impuls** si se noteaza $h(n)$ ([[ps:cap7-convolutie|Cap 7]]).
  * **FIR** = //Finite Impulse Response// = raspuns la impuls **finit** (se termina).
  * **IIR** = //Infinite Impulse Response// = raspuns la impuls **infinit** (nu se termina). Apare cand filtrul are reactie.
  * Un singur numar din reactie (0.5 sau 1.5) hotaraste daca filtrul se linisteste sau explodeaza. In sectiunea 7 vedem regula exacta.
</note>

==== 1.5 Forma generala, cu notatiile din curs ====

Exemplele de mai sus aveau un singur termen de reactie. In general pot fi mai multi. In curs ecuatia unui IIR se scrie asa:

$$ y(n) = \underbrace{b_0\,x(n) + b_1\,x(n-1) + b_2\,x(n-2) + \dots}_{\text{partea cu intrari, ca la FIR}} + \underbrace{a_1\,y(n-1) + a_2\,y(n-2) + \dots}_{\text{reactia (feedback)}} $$

  * $b_0, b_1, b_2, \dots$ = numerele cu care inmultesti **intrarile**. La un FIR ele sunt chiar $h(0), h(1), h(2), \dots$
  * $a_1, a_2, \dots$ = numerele cu care inmultesti **iesirile mai vechi**. La un FIR toate sunt 0.
  * O ecuatie de felul acesta, care leaga esantionul de acum de cele dinainte, se numeste **ecuatie cu diferente**.

**Exemplu:** in $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$ avem $b_0 = 1$ si $a_1 = 0.5$. In ecuatia de examen $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$ avem $b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$, $a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$.

===== 2. Schema Direct Form I pentru IIR =====

La examen se cere des: "desenati diagrama Direct Form I". E doar ecuatia, desenata cu trei feluri de piese.

==== 2.1 Cele trei piese ====

^ Piesa ^ Cum arata in desen ^ Ce face ^
| **DELAY** (intarziere) | un dreptunghi pe care scrie DELAY (sau $z^{-1}$, vezi sectiunea 3) | tine minte valoarea un pas: ce intra acum iese la pasul urmator. Daca intra $x(n)$, iese $x(n-1)$. |
| **multiplicator** | un cerc cu × si un numar langa el | inmulteste valoarea care trece cu numarul scris langa el |
| **sumator** | un cerc cu + | aduna tot ce intra in el |

==== 2.2 Schema celui mai simplu IIR ====

{{ps:cap10:schema_simpla.png?900|Schema pentru y(n) = x(n) + 0.5 y(n-1)}}

**Ce vezi in desen:** semnalul merge de la stanga la dreapta. In stanga (chenar albastru) intra $x(n)$ si e inmultit cu $b_0 = 1$. In dreapta (chenar rosu) e reactia: din iesirea $y(n)$ pleaca in jos o ramura, trece prin DELAY si devine $y(n-1)$, e inmultita cu $a_1 = 0.5$ si se intoarce (sageata rosie) in sumator.

**Cum citesti ecuatia din schema:** te uiti ce intra in sumatoare. Intra $1\cdot x(n)$ si $0.5\cdot y(n-1)$. Din ele iese $y(n)$. Deci $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$. Exact ecuatia de la 1.3.

==== 2.3 Schema generala (doua jumatati) ====

{{ps:cap10:schema_df1_general.png?1000|Direct Form I, cazul general cu 3 coeficienti b si 2 coeficienti a}}

**Ce vezi in desen:** doua jumatati.
  * **Stanga (albastru) — partea de intrare.** $x(n)$ coboara printr-un lant de piese DELAY. Dupa primul DELAY ai $x(n-1)$, dupa al doilea $x(n-2)$. Fiecare e inmultit cu $b$-ul lui si toate ajung in primul sumator. Aceasta jumatate, singura, e un filtru FIR.
  * **Dreapta (rosu) — reactia.** Iesirea $y(n)$ coboara printr-un alt lant de piese DELAY: $y(n-1)$, $y(n-2)$. Fiecare e inmultit cu $a$-ul lui si se intoarce in al doilea sumator.

In desen sunt doua sumatoare, unul dupa altul. Impreuna fac o singura adunare: tot ce intra in oricare dintre ele ajunge in $y(n)$.

Numele **Direct Form I** inseamna doar ca schema e desenata **direct** dupa ecuatie: cate un DELAY si cate un multiplicator pentru fiecare termen.

==== 2.4 Reteta: de la ecuatie la schema ====

Pe ecuatia de examen, $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$:

  - Numara termenii cu $x$: sunt 3 ($x(n)$, $x(n-1)$, $x(n-2)$). Deci in stanga desenezi **2 piese DELAY** (una pentru fiecare intarziere) si **3 multiplicatoare**.
  - Scrie langa multiplicatoare numerele din fata termenilor cu $x$: $b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$.
  - Numara termenii cu $y$ din dreapta egalului: sunt 2 ($y(n-1)$, $y(n-2)$). Deci in dreapta desenezi **2 piese DELAY** si **2 multiplicatoare**.
  - Scrie langa ele numerele din fata termenilor cu $y$, **cu semnul lor**: $a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$.
  - Leaga totul in sumatoare si scrie $x(n)$ la intrare si $y(n)$ la iesire.

{{ps:cap10:schema_df1_examen.png?1000|Direct Form I pentru ecuatia de examen}}

**Ce vezi in desen:** aceeasi schema ca la 2.3, cu numerele din problema de examen in locul literelor.

<note warning>
**Atentie la semnul lui $a_2$.** In ecuatie scrie "$- 0.61\,y(n-2)$". Sumatorul doar aduna, deci minusul trebuie sa stea in numar: $a_2 = -0.61$. Daca scrii $0.61$ pe schema, ai desenat alt filtru.
</note>

===== 3. De ce ne trebuie transformata Z =====

==== 3.1 Problema ====

Vrem sa stim ce face filtrul cu fiecare **frecventa**: pe care le lasa sa treaca si pe care le taie. Asta se numeste **raspunsul in frecventa**.

La un FIR era simplu: aveai lista scurta de coeficienti $h(n)$ si ii calculai spectrul ([[ps:cap9-fir|Cap 9]]). La un IIR lista $h(n)$ e **infinit de lunga** (1, 0.5, 0.25, ... fara sfarsit). Nu ai ce lista sa pui pe foaie.

Ne trebuie o unealta care pleaca **direct de la ecuatie**. Ecuatia e scurta. Singurul lucru incomod din ea sunt intarzierile: $x(n-1)$, $y(n-2)$ si celelalte. Unealta trebuie sa transforme "intarziat cu un esantion" in ceva cu care se poate face algebra obisnuita. Unealta se numeste **transformata Z**.

==== 3.2 Ideea, pe un exemplu: eticheta "cu un pas mai tarziu" ====

Luam lista $x = [1, 2, 1]$. Adica $x(0) = 1$, $x(1) = 2$, $x(2) = 1$.

O scriem ca o suma, punand langa fiecare numar o eticheta care spune **pe ce pozitie sta**:
  * numarul de pe pozitia 0 nu primeste eticheta
  * numarul de pe pozitia 1 primeste eticheta $z^{-1}$
  * numarul de pe pozitia 2 primeste eticheta $z^{-2}$

$$ [1, 2, 1] \quad\longleftrightarrow\quad 1 + 2z^{-1} + 1z^{-2} $$

Suma din dreapta se noteaza $X(z)$ si se numeste **transformata Z a lui $x$**. Nu am calculat nimic. Am scris aceeasi lista altfel.

<note tip>
**Ce e $z^{-1}$?** $z$ e o litera, ca $x$ in algebra de la scoala. Exponentul negativ inseamna "1 supra": $z^{-1} = \frac{1}{z}$ si $z^{-2} = \frac{1}{z^2}$. Regula de care avem nevoie: cand inmultesti, exponentii se aduna. De exemplu $z^{-1}\cdot z^{-1} = z^{-2}$ si $z^{-1}\cdot z^{-2} = z^{-3}$.

Ce valori poate lua $z$ vedem la 3.5 si in sectiunea 6. Deocamdata e doar o eticheta de pozitie.
</note>

==== 3.3 De ce ajuta: intarzierea devine o inmultire ====

Intarziem lista cu un esantion. Fiecare numar se muta cu o pozitie mai tarziu, iar in fata apare un 0:

$$ [1, 2, 1] \quad\longrightarrow\quad [0, 1, 2, 1] $$

Scriem noua lista cu etichete. Acum 1 sta pe pozitia 1, 2 pe pozitia 2, 1 pe pozitia 3:

$$ [0, 1, 2, 1] \quad\longleftrightarrow\quad 1z^{-1} + 2z^{-2} + 1z^{-3} $$

Comparam cu ce aveam inainte. Daca inmultim suma veche cu $z^{-1}$:

$$ z^{-1}\cdot\left(1 + 2z^{-1} + 1z^{-2}\right) = 1z^{-1} + 2z^{-2} + 1z^{-3} $$

Este exact suma listei intarziate. Deci:

$$ \boxed{\text{intarziere cu un esantion} \quad\longleftrightarrow\quad \text{inmultire cu } z^{-1}} $$

Cu simbolurile din curs:

^ In timp (liste de esantioane) ^ Cu transformata Z ^
| $x(n)$ | $X(z)$ |
| $x(n-1)$ (intarziat cu 1) | $z^{-1}\cdot X(z)$ |
| $x(n-2)$ (intarziat cu 2) | $z^{-2}\cdot X(z)$ |
| $y(n)$ | $Y(z)$ |
| $y(n-1)$ | $z^{-1}\cdot Y(z)$ |
| $y(n-2)$ | $z^{-2}\cdot Y(z)$ |

<note tip>
**De ce pe schema piesa DELAY se noteaza si $z^{-1}$?** Tocmai din cauza acestei reguli: piesa intarzie cu un esantion, iar "intarzie cu un esantion" se scrie "inmulteste cu $z^{-1}$". In multe carti si la unele subiecte, in dreptunghi scrie direct $z^{-1}$ in loc de DELAY. E aceeasi piesa.
</note>

==== 3.4 Definitia (acelasi lucru, scris cu litere) ====

$$ X(z) = \sum_{n} x(n)\cdot z^{-n} $$

  * $x(n)$ = esantionul de pe pozitia $n$
  * $z^{-n}$ = eticheta pozitiei $n$
  * $\sum_n$ = "aduna pentru toate pozitiile $n$"

Pentru lista noastra: $X(z) = x(0)\,z^{0} + x(1)\,z^{-1} + x(2)\,z^{-2} = 1 + 2z^{-1} + z^{-2}$ (orice numar la puterea 0 este 1, deci $z^0 = 1$).

==== 3.5 Ce numar este z si ce legatura are cu Fourier ====

$z$ poate fi orice **numar complex**. Un numar complex e un punct intr-un plan ([[ps:cap0-baze|Cap 0]]). Un punct din plan se poate da prin doua lucruri: **cat de departe** e de centru (se noteaza $r$) si **in ce directie** (un unghi, notat $\omega$, litera greceasca "omega"). In curs se scrie:

$$ z = r\,e^{j\omega} $$

  * $r$ = distanta de la centru pana la punct
  * $\omega$ = unghiul directiei, masurat de la axa orizontala
  * $e^{j\omega}$ = punctul aflat la distanta 1 de centru, in directia $\omega$ (formula lui Euler, [[ps:cap0-baze|Cap 0]])

**Legatura cu Fourier:** daca alegem $r = 1$, adica punctele aflate **pe cercul de raza 1**, atunci $z = e^{j\omega}$ si definitia de la 3.4 devine

$$ X(e^{j\omega}) = \sum_n x(n)\,e^{-j\omega n} $$

Aceasta este chiar transformata Fourier a unui semnal discret ([[ps:cap6-dft|Cap 6]]), adica **spectrul**. Deci transformata Z **contine** spectrul: il gasesti pe cercul de raza 1. Folosim asta in sectiunea 6.

===== 4. Functia de transfer H(z) din ecuatia cu diferente =====

Acum folosim tabelul de la 3.3 ca sa scapam de intarzieri.

==== 4.1 Exemplul mic ====

Ecuatia: $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$.

**Pas 1 — inlocuim fiecare termen dupa tabel.** $y(n)$ devine $Y(z)$. $x(n)$ devine $X(z)$. $y(n-1)$ devine $z^{-1}Y(z)$.

$$ Y(z) = X(z) + 0.5\,z^{-1}\,Y(z) $$

**Pas 2 — mutam in stanga tot ce contine $Y$.** Termenul $0.5\,z^{-1}Y(z)$ trece in stanga egalului. Cand un termen trece de partea cealalta a egalului, isi schimba semnul.

$$ Y(z) - 0.5\,z^{-1}\,Y(z) = X(z) $$

**Pas 3 — dam factor comun pe $Y(z)$.**

$$ Y(z)\cdot\left(1 - 0.5\,z^{-1}\right) = X(z) $$

**Pas 4 — impartim iesirea la intrare.**

$$ \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - 0.5\,z^{-1}} $$

Raportul iesire supra intrare se noteaza $H(z)$ si se numeste **functia de transfer** a filtrului:

$$ H(z) = \frac{1}{1 - 0.5\,z^{-1}} $$

==== 4.2 Ecuatia de examen, pas cu pas ====

Ecuatia: $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2\,y(n-1) - 0.61\,y(n-2)$.

**Pas 1 — inlocuim dupa tabel.**

$$ Y(z) = X(z) + 2z^{-1}X(z) + z^{-2}X(z) + 1.2\,z^{-1}Y(z) - 0.61\,z^{-2}Y(z) $$

**Pas 2 — mutam in stanga termenii cu $Y$** (isi schimba semnul: $+1.2$ devine $-1.2$, iar $-0.61$ devine $+0.61$).

$$ Y(z) - 1.2\,z^{-1}Y(z) + 0.61\,z^{-2}Y(z) = X(z) + 2z^{-1}X(z) + z^{-2}X(z) $$

**Pas 3 — factor comun: $Y(z)$ in stanga, $X(z)$ in dreapta.**

$$ Y(z)\cdot\left(1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}\right) = X(z)\cdot\left(1 + 2z^{-1} + z^{-2}\right) $$

**Pas 4 — impartim.**

$$ \boxed{H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}} $$

Este exact functia de transfer din testul de la curs.

==== 4.3 Reteta, scrisa cu litere ====

Daca faci aceiasi 4 pasi pe ecuatia generala de la 1.5, obtii:

$$ H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \dots}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2} - \dots} $$

**Scurtatura pentru examen** (dupa ce ai inteles pasii):
  * **sus (numaratorul):** coeficientii intrarilor, asa cum sunt: $b_0$, apoi $b_1$ cu $z^{-1}$, apoi $b_2$ cu $z^{-2}$
  * **jos (numitorul):** incepe cu 1, apoi coeficientii iesirilor **cu semnul schimbat**: $-a_1$ cu $z^{-1}$, $-a_2$ cu $z^{-2}$

<note tip>
**De ce se schimba semnul jos?** Pentru ca termenii cu $y$ au trecut de partea cealalta a egalului (pasul 2). Nu e o regula de tinut minte separat. E mutarea de la scoala: din $Y = X + 1.2\,(\dots)$ rezulta $Y - 1.2\,(\dots) = X$.

**De ce jos incepe cu 1?** Acel 1 este $Y(z)$ insusi, cel din stanga egalului, care are coeficientul 1.

**Verificare pe problema de examen:** $a_1 = 1.2$ → jos apare $-1.2\,z^{-1}$ ✓. $a_2 = -0.61$ → jos apare $-(-0.61)\,z^{-2} = +0.61\,z^{-2}$ ✓.
</note>

<note warning>
**Capcana:** unele carti si unele programe scriu ecuatia cu toti termenii cu $y$ in stanga de la inceput, iar atunci semnele lui $a$ ies invers. Nu invata semnul pe de rost. Fa de fiecare data pasul 2 (muta termenii cu $y$ in stanga) si nu ai cum sa gresesti.
</note>

==== 4.4 Ce inseamna H(z) ====

Din pasul 4 rezulta $Y(z) = H(z)\cdot X(z)$. In cuvinte: **iesirea = intrarea inmultita cu functia de transfer**.

E aceeasi idee ca la filtrele analogice din [[ps:cap1-filtre|Cap 1]], unde iesirea era intrarea inmultita cu $H(f)$. Acolo $H$ spunea cu cat e inmultita fiecare frecventa. Aici $H(z)$ contine aceeasi informatie, iar in sectiunea 6 o scoatem din el.

$H(z)$ depinde doar de coeficientii filtrului ($b$-urile si $a$-urile), nu de semnalul de la intrare. E "buletinul" filtrului.

<note tip>
**Cazul FIR.** Daca nu exista reactie (toti $a$ sunt 0), jos ramane doar 1 si $H(z)$ nu mai e fractie. Pentru FIR-ul $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2)$: $H(z) = 1 + 2z^{-1} + z^{-2}$. Este chiar transformata Z a listei de coeficienti $h = [1, 2, 1]$, cea de la 3.2.
</note>

===== 5. Zerouri si poli =====

==== 5.1 Ce sunt ====

$H(z)$ e o fractie. Pentru fiecare valoare pe care o dam lui $z$, fractia da un numar. Doua feluri de valori ale lui $z$ sunt speciale:

  * **Zerourile** = valorile lui $z$ pentru care **partea de sus** (numaratorul) e 0. Acolo $H(z) = 0$.
  * **Polii** = valorile lui $z$ pentru care **partea de jos** (numitorul) e 0. Acolo ar trebui sa imparti la 0, deci $H(z)$ devine urias ("infinit").

**Analogie — cortul.** Imagineaza-ti planul numerelor complexe ca pe o podea. Deasupra fiecarui punct $z$ de pe podea ridici o panza la inaltimea $|H(z)|$ (marimea lui $H$ in acel punct). Rezulta un cort:
  * la fiecare **pol** e un **stalp** care impinge panza in sus (de aici si numele: //pole// = stalp)
  * la fiecare **zerou** e un **tarus** care tine panza prinsa de podea

Forma intregului cort e hotarata de locul stalpilor si al tarusilor. De aceea, daca stii zerourile si polii, stii filtrul.

==== 5.2 Pregatire: scapam de puterile negative ====

Ca sa gasim unde se anuleaza sus si jos, vrem ecuatii obisnuite, cu $z^2$ si $z$, nu cu $z^{-1}$ si $z^{-2}$. Inmultim fractia si sus si jos cu $z^2$. O fractie nu se schimba daca o inmultesti sus si jos cu acelasi lucru ($\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$).

Avem nevoie de: $z^2\cdot 1 = z^2$, apoi $z^2\cdot z^{-1} = z$, apoi $z^2\cdot z^{-2} = 1$ (exponentii se aduna: $2 - 1 = 1$ si $2 - 2 = 0$).

$$ H(z) = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}\cdot\frac{z^2}{z^2} = \frac{z^2 + 2z + 1}{z^2 - 1.2\,z + 0.61} $$

<note tip>
**De ce tocmai $z^2$?** Pentru ca cea mai mare intarziere din ecuatie e 2 (apare $z^{-2}$). Daca cea mai mare intarziere ar fi 3, ai inmulti cu $z^3$.
</note>

==== 5.3 Reamintire: ecuatia de gradul 2 ====

Si sus, si jos avem cate o expresie de forma $A z^2 + B z + C$. Valorile lui $z$ pentru care ea da 0 se gasesc cu formula de la scoala:

$$ D = B^2 - 4AC \qquad\qquad z_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} $$

  * $A$ = numarul din fata lui $z^2$, $B$ = numarul din fata lui $z$, $C$ = numarul fara $z$
  * $D$ se numeste **discriminant** (la scoala se nota cu litera greceasca delta, $\Delta$)
  * semnul $\pm$ inseamna ca iei o data cu plus si o data cu minus, deci ies **doua** solutii

Trei cazuri:
  * $D > 0$: doua solutii reale diferite
  * $D = 0$: cele doua solutii sunt egale (o solutie **dubla**)
  * $D < 0$: radical dintr-un numar negativ. In numere reale nu exista. In numere complexe exista: $\sqrt{-1} = j$ ([[ps:cap0-baze|Cap 0]]). Ies doua solutii **complexe**, una cu $+j$ si una cu $-j$.

<note>
Am scris $A$, $B$, $C$ cu litere mari ca sa nu le incurci cu coeficientii $a_1$, $b_1$ ai filtrului. Nu au nicio legatura cu ei.
</note>

==== 5.4 Zerourile din problema de examen ====

Sus avem $z^2 + 2z + 1$. Deci $A = 1$, $B = 2$, $C = 1$.

  - $D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 4 - 4 = 0$ → solutie dubla.
  - $z = \frac{-2 \pm 0}{2\cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

**Zerourile:** $z_1 = z_2 = -1$ (un **zerou dublu** in $-1$).

**Mai rapid, daca vezi formula:** $z^2 + 2z + 1 = (z + 1)^2$, care e 0 cand $z = -1$.

==== 5.5 Polii din problema de examen ====

Jos avem $z^2 - 1.2\,z + 0.61$. Deci $A = 1$, $B = -1.2$, $C = 0.61$.

  - $D = (-1.2)^2 - 4\cdot 1\cdot 0.61 = 1.44 - 2.44 = -1$ → negativ, deci solutii complexe.
  - $\sqrt{D} = \sqrt{-1} = j$.
  - $p_{1,2} = \frac{-(-1.2) \pm j}{2\cdot 1} = \frac{1.2 \pm j}{2} = 0.6 \pm 0.5j$.

**Polii:** $p_1 = 0.6 + 0.5j$ si $p_2 = 0.6 - 0.5j$.

<note tip>
**De ce ies polii "pereche", unul cu $+0.5j$ si unul cu $-0.5j$?** Din cauza semnului $\pm$ din formula. Doua numere complexe care difera doar prin semnul partii cu $j$ se numesc **conjugate**. La orice filtru cu coeficienti reali (toate filtrele de la curs), polii si zerourile complexe apar mereu in perechi conjugate. Pe desen: unul deasupra axei orizontale, celalalt dedesubt, in oglinda.

**Verificare:** $(z - 0.6 - 0.5j)(z - 0.6 + 0.5j) = (z - 0.6)^2 + 0.5^2 = z^2 - 1.2z + 0.36 + 0.25 = z^2 - 1.2z + 0.61$ ✓.
</note>

==== 5.6 Desenul in planul z ====

**Reamintire** ([[ps:cap0-baze|Cap 0]]): un numar complex $a + bj$ se deseneaza ca un punct: $a$ (partea reala) pe orizontala, $b$ (partea imaginara) pe verticala. Distanta de la centru pana la punct se numeste **modul** si se calculeaza cu Pitagora: $\sqrt{a^2 + b^2}$.

  * zeroul $-1$ = punctul $(-1, 0)$
  * polul $0.6 + 0.5j$ = punctul $(0.6,\ 0.5)$
  * polul $0.6 - 0.5j$ = punctul $(0.6,\ -0.5)$

Conventia de desen: **zerourile cu cerculet (o), polii cu x (×)**. Mereu se deseneaza si **cercul de raza 1** cu centrul in origine, numit **cercul unitate**. De ce e nevoie de el vezi in sectiunile 6 si 7.

{{ps:cap10:poli_zerouri_examen.png?600|Zerourile si polii din problema de examen}}

**Ce vezi in desen:** pe orizontala e partea reala a lui $z$, pe verticala partea imaginara. Cercul gri e cercul unitate. Cerculetul albastru din stanga, chiar pe cerc, e zeroul dublu $z = -1$. Cele doua × rosii sunt polii $0.6 \pm 0.5j$, in interiorul cercului, in oglinda fata de axa orizontala. Liniile rosii punctate arata distanta lor pana la centru si unghiul $\omega_1$.

**Doua numere pe care le citim de pe desen si de care avem nevoie mai jos:**
  * **modulul polilor** (cat de departe sunt de centru): $\sqrt{0.6^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.36 + 0.25} = \sqrt{0.61} \approx 0.78$. E mai mic decat 1, deci polii sunt **in interiorul** cercului.
  * **unghiul polilor:** $\omega_1 = \tan^{-1}\frac{0.5}{0.6} \approx 0.69$ radiani $\approx 40^\circ$ (partea verticala impartita la cea orizontala, apoi tasta $\tan^{-1}$ a calculatorului).

==== 5.7 Forma cu zerouri si poli ====

Stiind zerourile si polii, $H(z)$ se poate scrie ca produs de paranteze, cate una pentru fiecare:

$$ H(z) = \frac{(z - z_1)(z - z_2)}{(z - p_1)(z - p_2)} = \frac{(z + 1)(z + 1)}{(z - 0.6 - 0.5j)(z - 0.6 + 0.5j)} $$

Cand $z$ e egal cu un zerou, paranteza lui de sus devine 0 si $H = 0$. Cand $z$ e egal cu un pol, paranteza lui de jos devine 0.

Uneori la examen filtrul e dat **direct in aceasta forma** (problema din ianuarie 2025, la 9.3). Atunci citesti zerourile si polii din paranteze, **cu semnul schimbat**: din $(z + 1)$ zeroul e $-1$; din $(z - 0.6 - 0.5j)$ polul e $0.6 + 0.5j$.

===== 6. Legatura cu frecventa: cercul unitate =====

Am ajuns la intrebarea de la 3.1: ce face filtrul cu fiecare frecventa?

==== 6.1 Fiecare frecventa e un punct pe cerc ====

La 3.5 am vazut ca spectrul se gaseste pe cercul de raza 1, adica in punctele $z = e^{j\omega}$. Unghiul $\omega$ e legat de frecventa $f$ asa:

$$ \omega = 2\pi\cdot\frac{f}{f_s} \ \text{(in radiani)} \qquad\text{sau}\qquad \text{unghiul in grade} = 360^\circ\cdot\frac{f}{f_s} $$

  * $f$ = frecventa care ne intereseaza
  * $f_s$ = frecventa de esantionare ([[ps:cap4-esantionare|Cap 4]])
  * $f/f_s$ = frecventa normalizata ([[ps:cap6-dft|Cap 6]]): ce fractiune din $f_s$ reprezinta $f$

^ Frecventa $f$ ^ $f/f_s$ ^ Unghiul ^ Punctul $z$ de pe cerc ^
| $0$ | 0 | $0^\circ$ | $1$ (dreapta) |
| $f_s/8$ | 0.125 | $45^\circ$ | $0.707 + 0.707j$ |
| $f_s/4$ | 0.25 | $90^\circ$ | $j$ (sus) |
| $3f_s/8$ | 0.375 | $135^\circ$ | $-0.707 + 0.707j$ |
| $f_s/2$ | 0.5 | $180^\circ$ | $-1$ (stanga) |

{{ps:cap10:cerc_frecvente.png?600|Frecventele asezate pe cercul unitate}}

**Ce vezi in desen:** cercul unitate. Punctele verzi sunt frecventele de la 0 la $f_s/2$: pornesti din dreapta ($z = 1$, frecventa 0) si mergi pe jumatatea de sus a cercului, in sens invers acelor de ceasornic, pana in stanga ($z = -1$, frecventa $f_s/2$). Punctele portocalii de pe jumatatea de jos sunt frecventele negative, oglinda celor pozitive.

<note tip>
**De ce ne oprim la $f_s/2$?** Dupa esantionare, frecventele utile sunt doar cele pana la $f_s/2$ ([[ps:cap4-esantionare|Cap 4]], Nyquist). Dincolo de $f_s/2$ incepe jumatatea de jos a cercului, adica frecventele negative, care sunt oglinda celor pozitive. Dupa un tur complet ($f = f_s$, $360^\circ$) ajungi iar in $z = 1$: de aceea spectrul unui semnal esantionat se repeta la fiecare $f_s$.

**De ce tocmai pe cerc?** O oscilatie de frecventa $f$, esantionata, este $e^{j\omega n}$. O intarziem cu un esantion: $e^{j\omega(n-1)} = e^{j\omega n}\cdot e^{-j\omega}$. Deci, pentru aceasta oscilatie, "intarziere cu un esantion" inseamna "inmultire cu $e^{-j\omega}$". La 3.3 intarzierea era "inmultire cu $z^{-1}$". Cele doua coincid exact cand $z = e^{j\omega}$. Asadar, daca pui $z = e^{j\omega}$ in $H(z)$, afli ce face filtrul cu oscilatia de frecventa $f$.
</note>

**Raspunsul in frecventa** este $H(z)$ calculat in punctele de pe cerc. Marimea lui, $|H|$, spune **de cate ori e inmultita amplitudinea** unui cosinus de frecventa $f$ care trece prin filtru (exact ca $|H(f)|$ din [[ps:cap1-filtre|Cap 1]]).

==== 6.2 Calcul direct in trei puncte ====

Luam $H(z) = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}$ si inlocuim $z$.

**La $f = 0$, adica $z = 1$.** Atunci $z^{-1} = 1$ si $z^{-2} = 1$.

$$ H = \frac{1 + 2 + 1}{1 - 1.2 + 0.61} = \frac{4}{0.41} \approx 9.76 $$

Un semnal constant (frecventa 0) iese de aproximativ 9.76 ori mai mare.

**La $f = f_s/2$, adica $z = -1$.** Atunci $z^{-1} = \frac{1}{-1} = -1$ si $z^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.

$$ H = \frac{1 + 2\cdot(-1) + 1}{1 - 1.2\cdot(-1) + 0.61} = \frac{1 - 2 + 1}{1 + 1.2 + 0.61} = \frac{0}{2.81} = 0 $$

Frecventa $f_s/2$ e **stearsa complet**. Nu e o intamplare: $z = -1$ e chiar zeroul filtrului.

**La $f = f_s/4$, adica $z = j$.** Atunci $z^{-1} = \frac{1}{j} = -j$ si $z^{-2} = \frac{1}{j^2} = \frac{1}{-1} = -1$.

<note tip>
**De ce $\frac{1}{j} = -j$?** Verifica inmultind: $j\cdot(-j) = -j^2 = -(-1) = 1$. Deci $-j$ e numarul care, inmultit cu $j$, da 1.
</note>

  * sus: $1 + 2\cdot(-j) + (-1) = -2j$. Modulul lui: $2$.
  * jos: $1 - 1.2\cdot(-j) + 0.61\cdot(-1) = 1 + 1.2j - 0.61 = 0.39 + 1.2j$. Modulul lui: $\sqrt{0.39^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.1521 + 1.44} = \sqrt{1.5921} \approx 1.26$.
  * modulul unei fractii = modulul de sus impartit la modulul de jos: $|H| = \frac{2}{1.26} \approx 1.59$.

Frecventa $f_s/4$ iese de 1.59 ori mai mare. Mult mai putin decat frecventa 0 (de 9.76 ori).

==== 6.3 Aceleasi rezultate, din desen: regula distantelor ====

Exista un mod de a citi $|H|$ direct de pe desenul cu poli si zerouri, cu rigla.

Plecam de la forma de la 5.7: $H(z) = \frac{(z - z_1)(z - z_2)}{(z - p_1)(z - p_2)}$. Marimea unei paranteze, $|z - z_1|$, este **distanta** dintre punctul $z$ si punctul $z_1$ (asa se masoara distanta dintre doua puncte din planul complex). Deci:

$$ \boxed{|H| \text{ la frecventa } f = \frac{\text{produsul distantelor de la punctul frecventei pana la ZEROURI}}{\text{produsul distantelor de la punctul frecventei pana la POLI}}} $$

"Punctul frecventei" e punctul de pe cerc de la 6.1.

**La $f = 0$** (punctul $z = 1$, adica $(1, 0)$):
  * pana la zeroul $(-1, 0)$: distanta $2$. Zeroul e dublu, deci o luam de doua ori: $2\cdot 2 = 4$.
  * pana la polul $(0.6,\ 0.5)$: $\sqrt{(1 - 0.6)^2 + (0 - 0.5)^2} = \sqrt{0.16 + 0.25} = \sqrt{0.41} \approx 0.64$. Pana la polul $(0.6,\ -0.5)$: la fel, $0.64$. Produsul: $0.64\cdot 0.64 = 0.41$.
  * $|H| = \frac{4}{0.41} \approx 9.76$ ✓ (ca la 6.2).

**La $f = f_s/4$** (punctul $z = j$, adica $(0, 1)$):
  * pana la zeroul $(-1, 0)$: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. De doua ori: $1.41\cdot 1.41 = 2$.
  * pana la polul $(0.6,\ 0.5)$: $\sqrt{0.6^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.61} \approx 0.78$. Pana la polul $(0.6,\ -0.5)$: $\sqrt{0.6^2 + 1.5^2} = \sqrt{2.61} \approx 1.62$. Produsul: $0.78\cdot 1.62 \approx 1.26$.
  * $|H| = \frac{2}{1.26} \approx 1.59$ ✓.

**La $f = f_s/2$** (punctul $z = -1$): distanta pana la zeroul din $-1$ este $0$. Produsul de sus e 0, deci $|H| = 0$ ✓.

{{ps:cap10:distante.png?1000|Regula distantelor la f = 0 si la f = fs/4}}

**Ce vezi in desen:** punctul verde e frecventa la care calculam (stanga: $f = 0$; dreapta: $f = f_s/4$). Segmentele albastre merg pana la zerouri, cele rosii pana la poli, fiecare cu lungimea scrisa pe el. Inmultesti lungimile albastre, inmultesti lungimile rosii si le imparti.

==== 6.4 Regulile de buzunar ====

Din regula distantelor ies doua reguli pe care le folosesti ca sa **schitezi** raspunsul fara calcule:

<note important>
  * **Un zerou aflat PE cerc sterge frecventa din dreptul lui.** Distanta pana la el e 0, deci $|H| = 0$. Un zerou aproape de cerc doar o slabeste mult.
  * **Un pol aflat APROAPE de cerc ridica frecventele din dreptul lui.** Distanta pana la el e mica si sta la numitor. Cand imparti la un numar mic, iese un numar mare. Cu cat polul e mai aproape de cerc, cu atat varful e mai inalt si mai ingust.
  * "Din dreptul lui" inseamna: frecventa al carei punct de pe cerc are **acelasi unghi** ca polul sau zeroul.
</note>

**Aplicat pe problema de examen:**
  * zeroul dublu e in $z = -1$, pe cerc, la unghiul $180^\circ$ → frecventa $f_s/2$ e stearsa.
  * polii au unghiul $\omega_1 \approx 40^\circ$ (5.6). Frecventa din dreptul lor: $\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot f_s \approx 0.11\,f_s$. Acolo ne asteptam la un **varf**.

**Cat de inalt e varful? Calcul in dreptul polului.** Punctul de pe cerc cu unghiul de $40^\circ$ este $(0.77,\ 0.64)$.
  * pana la polul $p_1$: polul e pe aceeasi raza, la distanta $0.78$ de centru, iar punctul de pe cerc e la distanta $1$. Deci intre ei sunt $1 - 0.78 = 0.22$.
  * pana la polul $p_2 = (0.6,\ -0.5)$: $\sqrt{(0.77 - 0.6)^2 + (0.64 + 0.5)^2} = \sqrt{0.03 + 1.30} \approx 1.15$.
  * pana la zeroul $(-1, 0)$: $\sqrt{(0.77 + 1)^2 + 0.64^2} = \sqrt{3.13 + 0.41} \approx 1.88$. De doua ori: $1.88\cdot 1.88 \approx 3.54$.
  * $|H| \approx \frac{3.54}{0.22\cdot 1.15} = \frac{3.54}{0.25} \approx 14$.

Deci in dreptul polilor $|H| \approx 14$, mai mult decat la frecventa 0 (unde era 9.76).

==== 6.5 Curba completa si ce fel de filtru este ====

{{ps:cap10:raspuns_frecventa_examen.png?950|Raspunsul in frecventa al filtrului din problema de examen}}

**Ce vezi in desen:** pe orizontala e frecventa, de la 0 la $f_s/2$. Pe verticala e $|H(f)|$, adica de cate ori e inmultita amplitudinea. Punctele rosii sunt valorile calculate: 9.76 la $f = 0$, varful de aproximativ 14.4 langa $0.1\,f_s$, 12.1 la $f_s/8$, 1.59 la $f_s/4$, 0.25 la $3f_s/8$ si 0 la $f_s/2$. Linia mov punctata arata unghiul polilor ($0.11\,f_s$).

<note tip>
**De ce varful nu e exact in dreptul polului?** Varful adevarat e la aproximativ $0.10\,f_s$ si are valoarea 14.4, iar in dreptul polului ($0.11\,f_s$) am calculat 14.0. Diferenta e mica. Apare pentru ca, pe langa polul apropiat, si celelalte distante (pana la celalalt pol si pana la zerouri) se schimba putin cand te misti pe cerc. La examen e suficient sa spui: "varful e aproximativ in dreptul unghiului polilor".
</note>

**Ce fel de filtru e:** frecventele joase (de la 0 pana pe la $0.15\,f_s$) sunt amplificate de 10–14 ori. Frecventele inalte sunt slabite tot mai mult si $f_s/2$ e stearsa. Deci e un **filtru trece-jos**, cu un varf (o "rezonanta") in dreptul polilor.

<note>
**Cum arata desenul din curs:** acolo axa orizontala merge de la $-\pi$ la $\pi$ (adica de la $-f_s/2$ la $f_s/2$, cu frecventele negative incluse). Curba e 0 la capete ($\pm\pi$) si are doua varfuri, la $-\omega_1$ si la $+\omega_1$, cu o mica adancitura intre ele. E aceeasi curba ca a noastra, desenata si in oglinda pentru frecventele negative.
</note>

===== 7. Stabilitatea =====

==== 7.1 Ce inseamna "stabil" ====

Un filtru e **stabil** daca, atunci cand intrarea ramane intre niste limite, si iesirea ramane intre niste limite. Pe scurt: nu "explodeaza". Testul cel mai simplu: ii dai un impuls si te uiti daca raspunsul **se stinge**.

La 1.3 si 1.4 am vazut doua filtre aproape identice: cel cu 0.5 se stingea, cel cu 1.5 exploda. Acum putem spune de ce, cu poli.

==== 7.2 Polul filtrului din sectiunea 1 ====

Pentru $y(n) = x(n) + 0.5\,y(n-1)$ am gasit la 4.1: $H(z) = \frac{1}{1 - 0.5\,z^{-1}}$. Inmultim sus si jos cu $z$ (cea mai mare intarziere e 1):

$$ H(z) = \frac{z}{z - 0.5} $$

Partea de jos e 0 cand $z = 0.5$. Deci **polul este $0.5$**, chiar numarul din reactie. Raspunsul la impuls era $1,\ 0.5,\ 0.25,\ 0.125,\ \dots$, adica $0.5^n$: **puterile polului**.

Pentru filtrul cu 1.5 polul este $1.5$, iar raspunsul era $1,\ 1.5,\ 2.25,\ \dots$, adica $1.5^n$.

  * Un numar mai mic decat 1, ridicat la puteri tot mai mari, se face tot mai mic ($0.5^{10} \approx 0.001$).
  * Un numar mai mare decat 1, ridicat la puteri tot mai mari, creste fara limita ($1.5^{10} \approx 58$).

Granita e 1. Iar "mai mic decat 1" inseamna, pe desen, **in interiorul cercului unitate**.

==== 7.3 Regula ====

<note important>
**Un filtru e stabil daca TOTI polii lui sunt strict in interiorul cercului unitate** (modulul fiecarui pol e mai mic decat 1).
  * toti polii in interior → raspunsul la impuls se stinge → **STABIL**
  * un pol chiar pe cerc → raspunsul nu se mai stinge niciodata (ramane constant sau oscileaza la nesfarsit) → la limita, practic nefolosibil
  * macar un pol in exterior → raspunsul creste fara oprire → **INSTABIL**

Zerourile **nu** conteaza pentru stabilitate. Pot fi oriunde.
</note>

Tabelul din curs:

^ Unde sunt polii ^ Cum arata raspunsul la impuls ^ Stabilitate ^
| reali, in interiorul cercului ($\lvert p\rvert < 1$) | scade lin spre 0 | **STABIL** |
| complecsi (pereche), in interiorul cercului ($\lvert p\rvert < 1$) | oscileaza si se stinge | **STABIL** |
| reali, in afara cercului ($\lvert p\rvert > 1$) | creste fara oprire | **INSTABIL** |
| complecsi (pereche), in afara cercului ($\lvert p\rvert > 1$) | oscileaza tot mai tare | **INSTABIL** |

{{ps:cap10:stabilitate.png?1100|Pozitia polilor si raspunsul la impuls}}

**Ce vezi in desen:** sus, cinci filtre, fiecare cu polii lui desenati langa cercul unitate. Jos, sub fiecare, raspunsul lui la un impuls (pe orizontala numarul esantionului, pe verticala iesirea). Verde: polii in interior, raspunsul se stinge. Portocaliu: pol chiar pe cerc, raspunsul ramane la 1 pentru totdeauna. Rosu: polii in exterior, raspunsul creste.

<note tip>
**De ce polii complecsi dau o oscilatie?** Un pol complex are un modul (distanta pana la centru) si un unghi. Modulul hotaraste **cat de repede se stinge sau creste** raspunsul: la fiecare pas e inmultit cu modulul. Unghiul hotaraste **cat de repede oscileaza**. La problema de examen polii au modulul $0.78$, deci raspunsul e o oscilatie care scade cam cu $22\%$ la fiecare esantion.
</note>

**Verdict pentru problema de examen:** polii sunt $0.6 \pm 0.5j$, cu modulul $\sqrt{0.61} \approx 0.78 < 1$. Sunt in interiorul cercului, deci filtrul e **stabil**.

==== 7.4 De ce un FIR e intotdeauna stabil ====

Luam FIR-ul $H(z) = 1 + 2z^{-1} + z^{-2}$. Inmultim cu $\frac{z^2}{z^2}$, ca la 5.2:

$$ H(z) = \frac{z^2 + 2z + 1}{z^2} $$

Partea de jos, $z^2$, e 0 doar cand $z = 0$. Deci singurii poli ai unui FIR sunt in **$z = 0$**, chiar in centrul cercului. Centrul e mereu in interior, deci un FIR nu are cum sa fie instabil.

**Fara formule:** iesirea unui FIR e o suma de cateva intrari inmultite cu niste numere. Daca intrarile sunt marginite, si suma e marginita. Nu exista reactie care sa se "hraneasca" singura.

===== 8. FIR vs IIR =====

Este intrebare de teorie care a aparut la trei examene. Tabelul de mai jos e raspunsul.

^ ^ FIR ^ IIR ^
| **Ecuatia** | foloseste doar intrari: $y(n) = \sum b_i\,x(n-i)$ | foloseste intrari si iesiri mai vechi: $y(n) = \sum b_i\,x(n-i) + \sum a_i\,y(n-i)$ |
| **Arhitectura (schema)** | fara reactie: un singur lant de intarzieri | cu reactie (feedback): inca un lant de intarzieri, de la iesire inapoi |
| **Raspunsul la impuls** | finit: se termina dupa atatea valori cati coeficienti sunt | infinit: nu se termina |
| **Functia de transfer** | fara numitor: are doar zerouri (polii sunt toti in $z = 0$) | fractie: are si zerouri, si poli |
| **Stabilitate** | **mereu stabil** | stabil doar daca toti polii sunt in interiorul cercului unitate; trebuie verificat |
| **Faza** | poate fi **liniara** (coeficienti simetrici): toate frecventele intarzie la fel, deci forma semnalului se pastreaza ([[ps:cap9-fir|Cap 9]]) | neliniara: frecventele intarzie diferit, forma semnalului se deformeaza |
| **Cati coeficienti pentru aceeasi taiere abrupta** | multi (zeci, sute) | putini (cativa) |
| **Cost de calcul, memorie, intarziere** | mai mari | mai mici |
| **Metode de proiectare** | metoda ferestrei ([[ps:cap9-fir|Cap 9]]) | pornind de la filtre analogice cunoscute (Butterworth, Cebisev), transformate in digital; sau asezand direct polii si zerourile |

**Pe scurt, cand alegi fiecare:**
  * **FIR** cand vrei siguranta (nu poate fi instabil) si cand forma semnalului conteaza (faza liniara). Platesti cu mai multe calcule.
  * **IIR** cand vrei un filtru abrupt cu putine calcule si iti permiti sa verifici stabilitatea si sa accepti deformarea de faza.

<note>
Metodele de proiectare pentru IIR nu sunt detaliate in notitele de curs pe care le avem. Cele din tabel sunt cele standard din practica. Pentru examen ajunge sa le numesti.
</note>

===== 9. Probleme rezolvate pe puncte =====

==== 9.1 Problema de examen (2021, 2023 C): sistemul cu ecuatia data ====

<note important>
**Enunt:** Aveti sistemul liniar definit de ecuatia
$$ y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2\,y(n-1) - 0.61\,y(n-2) $$
  - **a)** Desenati diagrama Direct Form I a sistemului.
  - **b)** Aflati functia de transfer.
  - **c)** Aflati zerourile si polii si desenati-i.
  - **d)** Cum arata raspunsul in frecventa? Ce fel de filtru este?
</note>

=== Punctul a) ===

**Ce se cere:** schema cu piese DELAY, multiplicatoare si sumatoare.

**Ce stim:** ecuatia. Citim coeficientii: $b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$ (numerele din fata lui $x$) si $a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$ (numerele din fata lui $y$ din dreapta, cu semnul lor).

**Pasi** (reteta de la 2.4):
  - In stanga: lantul de intrare cu 2 piese DELAY, care da $x(n)$, $x(n-1)$, $x(n-2)$. Fiecare trece printr-un multiplicator: $1$, $2$, $1$.
  - In dreapta: lantul de reactie cu 2 piese DELAY, care da $y(n-1)$, $y(n-2)$. Fiecare trece printr-un multiplicator: $1.2$ si $-0.61$.
  - Toate cele 5 ramuri se aduna. Rezultatul este $y(n)$.

**Raspuns a):**

{{ps:cap10:schema_df1_examen.png?950|Direct Form I pentru problema de examen}}

**Ce vezi in desen:** in chenarul albastru sunt cele 3 ramuri de intrare ($b_0 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 1$). In chenarul rosu sunt cele 2 ramuri de reactie ($a_1 = 1.2$, $a_2 = -0.61$), care pleaca din iesire si se intorc in sumator.

=== Punctul b) ===

**Ce se cere:** $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$.

**Ce stim:** regula "intarziere cu $k$ esantioane ↔ inmultire cu $z^{-k}$" (3.3).

**Pasi** (cei 4 pasi de la 4.2):
  - Inlocuim: $Y = X + 2z^{-1}X + z^{-2}X + 1.2\,z^{-1}Y - 0.61\,z^{-2}Y$.
  - Mutam termenii cu $Y$ in stanga: $Y - 1.2\,z^{-1}Y + 0.61\,z^{-2}Y = X + 2z^{-1}X + z^{-2}X$.
  - Factor comun: $Y\,(1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}) = X\,(1 + 2z^{-1} + z^{-2})$.
  - Impartim.

**Raspuns b):** $H(z) = \dfrac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2\,z^{-1} + 0.61\,z^{-2}}$

=== Punctul c) ===

**Ce se cere:** valorile lui $z$ unde se anuleaza numaratorul (zerouri) si numitorul (poli), plus desenul.

**Ce stim:** $H(z)$ de la b).

**Pasi:**
  - Inmultim sus si jos cu $z^2$: $H(z) = \dfrac{z^2 + 2z + 1}{z^2 - 1.2\,z + 0.61}$.
  - Zerouri: $z^2 + 2z + 1 = (z + 1)^2 = 0$ → $z_1 = z_2 = -1$.
  - Poli: $z^2 - 1.2z + 0.61 = 0$. $D = 1.44 - 2.44 = -1$, $\sqrt{D} = j$, deci $p_{1,2} = \frac{1.2 \pm j}{2} = 0.6 \pm 0.5j$.
  - Modulul polilor: $\sqrt{0.36 + 0.25} = \sqrt{0.61} \approx 0.78$. Unghiul: $\tan^{-1}\frac{0.5}{0.6} \approx 40^\circ$.

**Raspuns c):** zerou **dublu in $z = -1$**; poli **$0.6 + 0.5j$ si $0.6 - 0.5j$** (in interiorul cercului unitate, deci filtrul e stabil).

{{ps:cap10:poli_zerouri_examen.png?520|Zerourile si polii}}

**Ce vezi in desen:** cercul unitate, zeroul dublu (o) in $-1$, pe cerc, si polii (×) in $(0.6,\ \pm 0.5)$, in interior.

=== Punctul d) ===

**Ce se cere:** forma lui $|H|$ in functie de frecventa si tipul filtrului.

**Ce stim:** pozitia zerourilor si a polilor; regulile de la 6.4.

**Pasi:**
  - La $f = 0$ ($z = 1$): $H = \frac{1 + 2 + 1}{1 - 1.2 + 0.61} = \frac{4}{0.41} \approx 9.76$.
  - La $f = f_s/2$ ($z = -1$): numaratorul e $1 - 2 + 1 = 0$, deci $H = 0$ (zeroul e pe cerc, exact acolo).
  - Polii au unghiul de $40^\circ$, adica frecventa $\frac{40}{360}f_s \approx 0.11\,f_s$, si sunt destul de aproape de cerc (la $0.78$ din $1$). In dreptul lor e un varf, de aproximativ 14 (calculul e la 6.4).
  - Intre varf si $f_s/2$ curba coboara spre 0. De exemplu la $f_s/4$: $|H| \approx 1.59$ (6.2).

**Raspuns d):** $|H(f)|$ porneste de la **9.76** la $f = 0$, urca la un **varf de aproximativ 14 langa $0.1\,f_s$**, apoi coboara si ajunge la **0 la $f_s/2$**. Este un **filtru trece-jos** (cu un varf de rezonanta in dreptul polilor), de tip **IIR**, **stabil**.

{{ps:cap10:raspuns_frecventa_examen.png?900|Raspunsul in frecventa}}

**Ce vezi in desen:** curba $|H(f)|$ de la 0 la $f_s/2$, cu valorile de mai sus marcate cu rosu.

==== 9.2 Problema de examen (2026): filtrul FIR cu h = [1, 2, 1] ====

<note important>
**Enunt:** Se da un filtru FIR prin schema lui, cu trei coeficienti $h(0)$, $h(1)$, $h(2)$.
  - **a)** Scrieti ecuatia cu diferente.
  - **b)** Aflati $H(z)$.
  - **c)** Pentru $h = [1, 2, 1]$, aflati zerourile si polii.
  - **d)** Cum arata raspunsul in frecventa?
</note>

{{ps:cap10:schema_fir_121.png?650|Schema FIR cu trei coeficienti}}

**Ce vezi in desen:** schema unui FIR cu 3 coeficienti. E doar jumatatea de intrare a unui IIR: $x(n)$ coboara prin doua piese DELAY, fiecare valoare e inmultita cu un coeficient si toate se aduna. Nu exista nicio ramura care sa plece din iesire inapoi.

=== Punctul a) ===

**Ce se cere:** ecuatia care leaga $y(n)$ de intrari.

**Ce stim:** schema. In sumator intra trei ramuri: $h(0)\cdot x(n)$, $h(1)\cdot x(n-1)$, $h(2)\cdot x(n-2)$.

**Raspuns a):** $y(n) = h(0)\,x(n) + h(1)\,x(n-1) + h(2)\,x(n-2)$. Cu numerele de la c): $y(n) = x(n) + 2\,x(n-1) + x(n-2)$.

=== Punctul b) ===

**Ce se cere:** $H(z)$.

**Pasi:**
  - Inlocuim dupa tabelul de la 3.3: $Y = h(0)\,X + h(1)\,z^{-1}X + h(2)\,z^{-2}X$.
  - Nu exista termeni cu $Y$ in dreapta, deci nu avem ce muta. Factor comun: $Y = X\,(h(0) + h(1)\,z^{-1} + h(2)\,z^{-2})$.
  - Impartim la $X$.

**Raspuns b):** $H(z) = h(0) + h(1)\,z^{-1} + h(2)\,z^{-2}$. Cu numerele: $H(z) = 1 + 2z^{-1} + z^{-2}$.

=== Punctul c) ===

**Ce se cere:** zerourile si polii pentru $h = [1, 2, 1]$.

**Pasi:**
  - Inmultim cu $\frac{z^2}{z^2}$: $H(z) = \dfrac{z^2 + 2z + 1}{z^2} = \dfrac{(z + 1)^2}{z^2}$.
  - Sus: $(z + 1)^2 = 0$ → $z = -1$, de doua ori.
  - Jos: $z^2 = 0$ → $z = 0$, de doua ori.

**Raspuns c):** **zerou dublu in $z = -1$**, **pol dublu in $z = 0$** (in centrul cercului; filtrul e stabil, ca orice FIR).

=== Punctul d) ===

**Ce se cere:** $|H|$ in functie de frecventa.

**Pasi, cu regula distantelor (6.3):**
  - Polii sunt in centru. De la orice punct de pe cerc pana la centru distanta e $1$. Deci polii nu schimba nimic: jos avem $1\cdot 1 = 1$.
  - Ramane sus: (distanta pana la $-1$) la patrat.
  - La $f = 0$ ($z = 1$): distanta pana la $-1$ e $2$ → $|H| = 2^2 = 4$.
  - La $f = f_s/4$ ($z = j$): distanta e $\sqrt{2}$ → $|H| = 2$.
  - La $f = f_s/2$ ($z = -1$): distanta e $0$ → $|H| = 0$.

**Verificare prin calcul direct:** la $z = 1$: $1 + 2 + 1 = 4$ ✓. La $z = -1$: $1 - 2 + 1 = 0$ ✓. La $z = j$: $1 - 2j - 1 = -2j$, de modul 2 ✓.

**Formula pentru toata curba** (daca se cere): punem $z = e^{j\omega}$ si scoatem $e^{-j\omega}$ in fata:

$$ H = 1 + 2e^{-j\omega} + e^{-2j\omega} = e^{-j\omega}\left(e^{j\omega} + 2 + e^{-j\omega}\right) = e^{-j\omega}\,(2 + 2\cos\omega) $$

Am folosit $e^{j\omega} + e^{-j\omega} = 2\cos\omega$ (Euler, [[ps:cap0-baze|Cap 0]]). Factorul $e^{-j\omega}$ are modulul 1, deci $|H| = 2 + 2\cos\omega$, cu $\omega = 2\pi f/f_s$.

**Raspuns d):** $|H(f)| = 2 + 2\cos(2\pi f/f_s)$: **4 la $f = 0$**, scade lin, **2 la $f_s/4$**, **0 la $f_s/2$**. Este un **filtru trece-jos**.

{{ps:cap10:fir_121.png?1000|Zerourile, polii si raspunsul in frecventa pentru h = [1, 2, 1]}}

**Ce vezi in desen:** stanga — zeroul dublu (o) in $-1$ si polul dublu (×) in centru. Dreapta — $|H(f)|$ de la 0 la $f_s/2$, cu valorile 4, 3.41, 2, 0.59 si 0 marcate.

<note tip>
**Compara cu 9.1.** Cele doua filtre au **aceleasi zerouri** (dublu in $-1$), deci amandoua sterg $f_s/2$. Difera polii: FIR-ul ii are in centru, unde nu influenteaza nimic. IIR-ul ii are la $0.6 \pm 0.5j$, aproape de cerc, si de aceea are varful de 14 si coboara mult mai abrupt. Asta e puterea polilor: cu doar doi coeficienti in plus, filtrul devine mult mai selectiv.
</note>

==== 9.3 Problema de examen (ianuarie 2025, 2026): IIR dat prin zerouri si poli + 3 cosinusuri ====

<note important>
**Enunt:** Fie un filtru IIR cu functia de transfer
$$ H(z) = \frac{(z + 1)^2\,(z + 0.6 + 0.6j)(z + 0.6 - 0.6j)}{(z - 0.25 + 0.75j)(z - 0.25 - 0.75j)(z - 0.75 + 0.25j)(z - 0.75 - 0.25j)} $$
  - **a)** Cum arata spectrul filtrului, $|H(f)|$, in functie de $f_s$?
  - **b)** Fie $s(n) = s_1(n) + s_2(n) + s_3(n)$, cu $s_i(n) = \cos\left(2\pi\frac{f_i}{f_s}n\right)$ si $f_1 = \frac{f_s}{8}$, $f_2 = \frac{f_s}{4}$, $f_3 = \frac{3f_s}{8}$. Fie $y(n) = (h * s)(n)$ iesirea filtrului. Cum arata $|Y(f)|$?
  - **c)** Cum putem exprima $y(n)$ in functie de $s_1(n)$, $s_2(n)$, $s_3(n)$?
  - **d)** Cum arata $|Y(k)|$ obtinut cu DFT pe $N = 64$ esantioane? Dar daca adaugam inca 64 de zerouri?
</note>

<note>
In poza subiectului, ultimele doua paranteze de la numitor par scrise identic. Le-am luat ca pereche conjugata ($0.75 \pm 0.25j$), singura varianta care da un filtru cu coeficienti reali.
</note>

=== Punctul a) ===

**Ce se cere:** forma lui $|H|$ de la $f = 0$ la $f_s/2$.

**Ce stim:** $H(z)$ e dat direct in forma cu paranteze (5.7), deci citim zerourile si polii **cu semnul schimbat**.

**Pasi:**
  - Zerouri: din $(z + 1)^2$ → $-1$ (dublu). Din $(z + 0.6 + 0.6j)$ si $(z + 0.6 - 0.6j)$ → $-0.6 - 0.6j$ si $-0.6 + 0.6j$.
  - Poli: $0.25 \pm 0.75j$ si $0.75 \pm 0.25j$.
  - Unde sunt fata de cerc? Modulul zerourilor complexe: $\sqrt{0.6^2 + 0.6^2} = \sqrt{0.72} \approx 0.85$. Unghiul lor: sunt pe diagonala din stanga-sus, deci $135^\circ$, adica in dreptul frecventei $\frac{135}{360}f_s = \frac{3f_s}{8}$. Modulul polilor: $\sqrt{0.25^2 + 0.75^2} = \sqrt{0.625} \approx 0.79$ (la fel pentru cealalta pereche). Toti polii sunt in interiorul cercului, deci filtrul e stabil.
  - Regulile de buzunar (6.4): zeroul dublu din $-1$ e pe cerc → $f_s/2$ e stearsa. Zerourile de la $135^\circ$ sunt aproape de cerc → frecventele din jurul lui $3f_s/8$ sunt slabite foarte mult. Polii sunt toti in partea dreapta (unghiuri de aproximativ $18^\circ$ si $72^\circ$), deci frecventele joase sunt ridicate.
  - Valori, cu regula distantelor. La $f = 0$ (punctul $(1, 0)$): pana la zerouri $2,\ 2,\ 1.71,\ 1.71$; pana la poli $1.06,\ 1.06,\ 0.354,\ 0.354$. $|H| = \frac{2\cdot 2\cdot 1.71\cdot 1.71}{1.06\cdot 1.06\cdot 0.354\cdot 0.354} = \frac{11.7}{0.141} \approx 83$.

**Raspuns a):** $|H(f)|$ e **mare la frecvente joase** (aproximativ 83 la $f = 0$, cu un varf mic, de aproximativ 88, imediat dupa), **scade repede**, e **aproape 0 de la $3f_s/8$** si **exact 0 la $f_s/2$**. Este un **filtru trece-jos**.

{{ps:cap10:examen2025_h.png?1050|Zerourile, polii si raspunsul in frecventa pentru problema din ianuarie 2025}}

**Ce vezi in desen:** stanga — zerourile (o), polii (×) si, cu verde, punctele de pe cerc ale celor trei frecvente din semnal. Observa ca punctul $3f_s/8$ e lipit de un zerou. Dreapta — $|H(f)|$ de la 0 la $f_s/2$, cu valorile la $0$, $f_s/8$, $f_s/4$, $3f_s/8$ si $f_s/2$.

=== Punctul b) ===

**Ce se cere:** spectrul iesirii.

**Ce stim:**
  * spectrul intrarii: fiecare cosinus de amplitudine 1 da doua linii de inaltime $\frac12$, la $+f_i$ si la $-f_i$ ([[ps:cap0-baze|Cap 0]]). Trei cosinusuri → 6 linii.
  * $y = h * s$ este o convolutie, iar convolutia in timp inseamna **inmultire** in frecventa ([[ps:cap7-convolutie|Cap 7]], teorema convolutiei): $Y(f) = H(f)\cdot S(f)$. Deci fiecare linie e inmultita cu $|H|$ **de la frecventa ei**.

**Pasi:**
  - Calculam $|H|$ la cele trei frecvente (cu regula distantelor, ca la a), din punctele verzi de pe desen):

^ Frecventa ^ Punctul de pe cerc ^ $\lvert H\rvert$ ^ Linia de la intrare ^ Linia de la iesire ^
| $f_1 = f_s/8$ | $45^\circ$ | $\approx 26.8$ | $\frac12$ | $\frac12\cdot 26.8 \approx 13.4$ |
| $f_2 = f_s/4$ | $90^\circ$ | $\approx 2.55$ | $\frac12$ | $\frac12\cdot 2.55 \approx 1.28$ |
| $f_3 = 3f_s/8$ | $135^\circ$ | $\approx 0.026$ | $\frac12$ | $\frac12\cdot 0.026 \approx 0.013$ |

  - Exemplu de calcul pentru $f_s/4$ (punctul $(0, 1)$): pana la zerouri $1.41,\ 1.41,\ 1.71,\ 0.72$; pana la poli $1.77,\ 0.354,\ 1.46,\ 1.06$. $|H| = \frac{1.41\cdot 1.41\cdot 1.71\cdot 0.72}{1.77\cdot 0.354\cdot 1.46\cdot 1.06} = \frac{2.46}{0.966} \approx 2.55$.

**Raspuns b):** $|Y(f)|$ are tot 6 linii, la aceleasi frecvente, dar de inaltimi diferite: **13.4 la $\pm f_s/8$**, **1.28 la $\pm f_s/4$**, **0.013 la $\pm 3f_s/8$** (practic disparuta).

{{ps:cap10:examen2025_spectre.png?950|Spectrul de la intrare si spectrul de la iesire}}

**Ce vezi in desen:** sus — spectrul intrarii, 6 linii egale de inaltime $\frac12$. Jos — spectrul iesirii: linia de la $f_s/8$ a crescut mult, cea de la $f_s/4$ putin, cea de la $3f_s/8$ aproape a disparut.

<note tip>
**La examen, fara calculator,** nu trebuie sa obtii 26.8 sau 0.026 cu zecimale. Trebuie sa arati metoda si ordinea de marime: "linia de la $f_s/8$ e amplificata mult, cea de la $f_s/4$ putin, iar cea de la $3f_s/8$ e aproape stearsa, pentru ca are un zerou chiar langa ea". Desenul se face cu trei inaltimi clar diferite.
</note>

=== Punctul c) ===

**Ce se cere:** formula lui $y(n)$.

**Ce stim:** un cosinus care trece printr-un filtru liniar ramane cosinus de **aceeasi frecventa**. I se schimba doar amplitudinea (inmultita cu $|H|$) si e decalat in timp (faza lui $H$, notata aici $\varphi$) — la fel ca la filtrele din [[ps:cap1-filtre|Cap 1]].

**Raspuns c):**
$$ y(n) = |H(f_1)|\cos\left(2\pi\tfrac{f_1}{f_s}n + \varphi_1\right) + |H(f_2)|\cos\left(2\pi\tfrac{f_2}{f_s}n + \varphi_2\right) + |H(f_3)|\cos\left(2\pi\tfrac{f_3}{f_s}n + \varphi_3\right) $$
Cu numere: $y(n) \approx 26.8\cos\left(\frac{2\pi}{8}n + \varphi_1\right) + 2.55\cos\left(\frac{2\pi}{4}n + \varphi_2\right) + 0.026\cos\left(\frac{6\pi}{8}n + \varphi_3\right)$. Adica $y$ e format din **aceleasi trei cosinusuri**, fiecare inmultit cu castigul filtrului la frecventa lui si decalat. Practic ramane aproape numai $s_1$, amplificat.

=== Punctul d) ===

**Ce se cere:** spectrul vazut cu DFT.

Acest punct tine de [[ps:cap6-dft|Cap 6]] (DFT) si de [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8]] (zero-padding), unde e explicat pe larg. Pe scurt:
  * cu $N = 64$, frecventa $f$ cade in casuta $k = \frac{f}{f_s}\cdot N$: $f_s/8$ → $k = 8$, $f_s/4$ → $k = 16$, $3f_s/8$ → $k = 24$ (si oglinzile lor $k = 56,\ 48,\ 40$). Toate sunt numere intregi, deci liniile cad exact pe casute. Inaltimea unei linii in DFT este amplitudinea cosinusului inmultita cu $\frac{N}{2} = 32$: aproximativ $859$, $82$ si $0.84$.
  * daca adaugam 64 de zerouri ($N = 128$), casutele se indesesc de doua ori: valorile din casutele vechi se regasesc, neschimbate, la $k = 16,\ 32,\ 48$ (si la oglinzile lor), iar in casutele noi dintre ele apar valori diferite de zero. De ce apar si cum arata e explicat in [[ps:cap8-leakage-ferestre|Cap 8]].

===== 10. Fisa de 1 minut =====

  * **IIR** = filtru cu reactie: $y(n) = \sum b_i\,x(n-i) + \sum a_i\,y(n-i)$. Raspunsul la impuls nu se termina.
  * **Direct Form I:** lant de DELAY-uri pe intrare (cu $b_i$) + lant de DELAY-uri pe iesire (cu $a_i$), totul adunat.
  * **Transformata Z:** $X(z) = \sum x(n)\,z^{-n}$. Intarziere cu 1 esantion ↔ inmultire cu $z^{-1}$.
  * **Functia de transfer:** $H(z) = \dfrac{Y(z)}{X(z)} = \dfrac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 - a_1 z^{-1} - a_2 z^{-2}}$ (jos: semnele lui $a$ schimbate).
  * **Zerouri** = unde se anuleaza numaratorul (se deseneaza cu o). **Poli** = unde se anuleaza numitorul (cu ×). Se gasesc dupa ce inmultesti sus si jos cu $z^2$ si rezolvi ecuatiile de gradul 2.
  * **Frecventa pe cerc:** $z = e^{j2\pi f/f_s}$. $f = 0$ → $z = 1$; $f_s/4$ → $z = j$; $f_s/2$ → $z = -1$. Unghiul in grade $= 360\cdot f/f_s$.
  * **$|H|$ la o frecventa** = produsul distantelor pana la zerouri : produsul distantelor pana la poli.
  * **Zerou pe cerc** → sterge frecventa aceea. **Pol aproape de cerc** → varf la frecventa aceea.
  * **Stabil** ↔ toti polii strict **in interiorul** cercului unitate. FIR: polii sunt in $z = 0$ → mereu stabil.
  * **Problema de examen:** $H(z) = \frac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2z^{-1} + 0.61z^{-2}}$ → zerou dublu in $-1$, poli $0.6 \pm 0.5j$ (modul $0.78$, unghi $40^\circ$) → trece-jos, $H(1) = 9.76$, varf $\approx 14$ la $0.1\,f_s$, $0$ la $f_s/2$, stabil.
  * **FIR vs IIR:** FIR = fara reactie, mereu stabil, faza liniara, multi coeficienti. IIR = cu reactie, putini coeficienti, poate fi instabil, faza neliniara.

===== 11. Grile de verificare =====

==== 11.1 Grilele ====

Raspunsurile, cu explicatie pentru fiecare varianta, sunt la 11.3.

**G1.** Care dintre ecuatii descrie un filtru IIR?
  - A. $y(n) = x(n) + x(n-1)$
  - B. $y(n) = 0.5\,x(n) - 0.5\,x(n-2)$
  - C. $y(n) = x(n) + 0.9\,y(n-1)$
  - D. $y(n) = 3\,x(n)$

**G2.** In transformata Z, inmultirea cu $z^{-1}$ inseamna:
  - A. amplificare de 2 ori
  - B. intarziere cu un esantion
  - C. schimbarea semnului
  - D. inmultire cu frecventa de esantionare

**G3.** Pentru $y(n) = x(n) - x(n-1) + 0.9\,y(n-1)$, functia de transfer este:
  - A. $\dfrac{1 - z^{-1}}{1 + 0.9\,z^{-1}}$
  - B. $\dfrac{1 - z^{-1}}{1 - 0.9\,z^{-1}}$
  - C. $\dfrac{1 - 0.9\,z^{-1}}{1 - z^{-1}}$
  - D. $1 - z^{-1} + 0.9\,z^{-1}$

**G4.** Un filtru are polii $0.5 + 0.5j$ si $0.5 - 0.5j$. Filtrul este:
  - A. stabil, pentru ca modulul polilor ($\approx 0.71$) e mai mic decat 1
  - B. instabil, pentru ca polii sunt complecsi
  - C. instabil, pentru ca partea reala e pozitiva
  - D. nu se poate spune fara zerouri

**G5.** Un filtru are un zerou in $z = -1$. Asta inseamna ca:
  - A. filtrul e instabil
  - B. frecventa 0 (semnalul constant) e stearsa
  - C. frecventa $f_s/2$ e stearsa
  - D. frecventa $f_s/4$ e amplificata

**G6.** Frecventei $f = f_s/4$ ii corespunde, pe cercul unitate, punctul:
  - A. $z = 1$
  - B. $z = j$
  - C. $z = -1$
  - D. $z = 0.25$

**G7.** Unde sunt polii unui filtru FIR?
  - A. pe cercul unitate
  - B. in afara cercului unitate
  - C. toti in $z = 0$
  - D. un FIR nu are nici zerouri, nici poli

**G8.** Un filtru are o pereche de poli foarte aproape de cerc, la unghiul de $90^\circ$, si niciun zerou pe cerc. Raspunsul lui in frecventa are:
  - A. un varf langa $f_s/4$
  - B. un zero la $f_s/4$
  - C. un varf la $f = 0$
  - D. aceeasi valoare la toate frecventele

**G9.** Filtrul $y(n) = x(n) + 1.2\,y(n-1)$ este:
  - A. stabil, pentru ca are un singur pol
  - B. instabil, pentru ca polul ($1.2$) e in afara cercului unitate
  - C. un FIR
  - D. stabil, pentru ca nu are zerouri pe cerc

**G10.** Care afirmatie e adevarata?
  - A. Un IIR are mereu faza liniara
  - B. Un FIR poate deveni instabil daca are multi coeficienti
  - C. Pentru aceeasi taiere abrupta, un IIR are nevoie de mai putini coeficienti decat un FIR
  - D. Un IIR nu are reactie

==== 11.2 Exercitiu de facut singur ====

Pentru filtrul $y(n) = x(n) - x(n-1) + 0.8\,y(n-1)$:
  - a) Scrie $H(z)$.
  - b) Afla zeroul si polul. E stabil?
  - c) Calculeaza $|H|$ la $f = 0$, la $f_s/4$ si la $f_s/2$.
  - d) Ce fel de filtru e?

==== 11.3 Raspunsuri ====

^ Grila ^ Raspuns ^ De ce e corect ^ De ce sunt gresite celelalte ^
| G1 | **C** | apare $y(n-1)$ in dreapta: filtrul isi foloseste iesirea veche (reactie) | A, B, D: folosesc doar intrari ($x$), deci sunt FIR. |
| G2 | **B** | regula de la 3.3: $x(n-1) \leftrightarrow z^{-1}X(z)$ | A, C, D: $z^{-1}$ nu schimba marimea sau semnul, doar pozitia in timp. |
| G3 | **B** | sus coeficientii lui $x$: $1 - z^{-1}$; jos $1$ si coeficientul lui $y$ cu semn schimbat: $1 - 0.9z^{-1}$ | A: a uitat sa schimbe semnul. C: a pus sus si jos invers. D: nu a mutat termenul cu $Y$ in stanga, deci nu e fractie. |
| G4 | **A** | $\sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.71 < 1$: polii sunt in interiorul cercului | B: polii complecsi nu inseamna instabil; conteaza modulul. C: conteaza distanta pana la centru, nu semnul partii reale. D: zerourile nu influenteaza stabilitatea. |
| G5 | **C** | $z = -1$ e punctul frecventei $f_s/2$; un zerou pe cerc da $H = 0$ acolo | A: zerourile nu au legatura cu stabilitatea. B: frecventa 0 e in $z = 1$, nu in $-1$. D: $f_s/4$ e in $z = j$. |
| G6 | **B** | unghiul $= 360^\circ\cdot\frac14 = 90^\circ$, adica punctul de sus al cercului, $z = j$ | A: $z = 1$ e frecventa 0. C: $z = -1$ e $f_s/2$. D: 0.25 nu e pe cerc. |
| G7 | **C** | $H(z) = \frac{\text{polinom in } z}{z^{M}}$: numitorul e 0 doar in $z = 0$ (7.4) | A, B: atunci ar putea fi instabil, dar un FIR nu poate. D: un FIR are zerouri (ele ii dau forma raspunsului). |
| G8 | **A** | pol aproape de cerc → varf la frecventa din dreptul lui: $\frac{90}{360}f_s = f_s/4$ | B: zero ar da un zerou pe cerc, nu un pol. C: pentru varf la 0, polul ar fi langa $z = 1$. D: asta ar insemna ca nu exista poli sau zerouri langa cerc. |
| G9 | **B** | $H(z) = \frac{1}{1 - 1.2z^{-1}} = \frac{z}{z - 1.2}$: polul e $1.2 > 1$; raspunsul la impuls e $1.2^n$, care creste | A: numarul polilor nu conteaza, ci pozitia lor. C: are $y(n-1)$, deci e IIR. D: zerourile nu hotarasc stabilitatea. |
| G10 | **C** | polii aproape de cerc dau taieri abrupte cu putini coeficienti (9.2, comparatia) | A: faza liniara e avantajul FIR-ului. B: un FIR e mereu stabil. D: reactia e tocmai ce defineste un IIR. |

**Exercitiul de la 11.2, pe puncte:**

**Punctul a)**
  * **Ce se cere:** $H(z)$.
  * **Pasi:** inlocuim: $Y = X - z^{-1}X + 0.8\,z^{-1}Y$. Mutam termenul cu $Y$: $Y - 0.8\,z^{-1}Y = X - z^{-1}X$. Factor comun si impartim.
  * **Raspuns:** $H(z) = \dfrac{1 - z^{-1}}{1 - 0.8\,z^{-1}}$.

**Punctul b)**
  * **Ce se cere:** zeroul, polul, stabilitatea.
  * **Pasi:** cea mai mare intarziere e 1, deci inmultim sus si jos cu $z$: $H(z) = \dfrac{z - 1}{z - 0.8}$. Sus e 0 cand $z = 1$. Jos e 0 cand $z = 0.8$.
  * **Raspuns:** zerou in **$z = 1$**, pol in **$z = 0.8$**. $0.8 < 1$, deci polul e in interiorul cercului: filtrul e **stabil**.

**Punctul c)**
  * **Ce se cere:** $|H|$ in trei puncte de pe cerc.
  * **Pasi** (regula distantelor): la $f = 0$ ($z = 1$): distanta pana la zerou e $0$ → $|H| = 0$. La $f_s/2$ ($z = -1$): pana la zerou $2$, pana la pol $1.8$ → $|H| = \frac{2}{1.8} \approx 1.11$. La $f_s/4$ ($z = j$): pana la zerou $\sqrt{1 + 1} \approx 1.41$, pana la pol $\sqrt{1 + 0.64} \approx 1.28$ → $|H| \approx \frac{1.41}{1.28} \approx 1.10$.
  * **Raspuns:** **0** la $f = 0$; **$\approx 1.10$** la $f_s/4$; **$\approx 1.11$** la $f_s/2$.

**Punctul d)**
  * **Ce se cere:** tipul filtrului.
  * **Pasi:** frecventa 0 e stearsa (zeroul e pe cerc, in $z = 1$). Frecventele mai mari trec aproape neschimbate ($|H| \approx 1.1$).
  * **Raspuns:** **filtru trece-sus** (taie componenta constanta si frecventele foarte joase).

===== 12. Intrebari de teorie ca la examen =====

La examen, teoria e cu raspuns scris de tine, in cateva randuri. Mai jos sunt intrebarile din acest capitol (lista completa: [[ps:subiecte-reale|Subiecte reale §2]]), fiecare cu un raspuns model. Incearca intai sa raspunzi singur pe foaie, apoi compara.

**T1. (examene 2023 C, 2024 B, 2026) FIR vs IIR: arhitectura, performanta, avantaje, metode de design.**

<note>
**Raspuns model:**
  * **Arhitectura:** FIR foloseste doar intrarea curenta si intrari mai vechi, $y(n) = \sum b_i\,x(n-i)$, fara reactie. IIR foloseste si iesiri mai vechi, $y(n) = \sum b_i\,x(n-i) + \sum a_i\,y(n-i)$, deci are reactie (feedback). Raspunsul la impuls e finit la FIR si infinit la IIR.
  * **Performanta:** pentru aceeasi taiere abrupta, IIR are nevoie de mult mai putini coeficienti (calcule si memorie mai putine, intarziere mai mica).
  * **Avantaje FIR:** mereu stabil (polii sunt in $z = 0$); poate avea faza liniara, deci pastreaza forma semnalului. **Avantaje IIR:** eficienta. **Dezavantaje IIR:** poate fi instabil (trebuie ca polii sa fie in interiorul cercului unitate) si are faza neliniara.
  * **Design:** FIR — metoda ferestrei (FTJ ideal → raspuns la impuls de tip sinc → trunchiere cu o fereastra). IIR — pornind de la filtre analogice (Butterworth, Cebisev) transformate in digital, sau prin plasarea polilor si a zerourilor.
</note>

**T2. (intrebare de antrenament, nu e luata dintr-un examen) Ce este transformata Z si ce legatura are cu transformata Fourier?**

<note>
**Raspuns model:** Transformata Z a unui semnal discret $x(n)$ este $X(z) = \sum_n x(n)\,z^{-n}$, cu $z$ numar complex, $z = r\,e^{j\omega}$. Proprietatea principala: o intarziere cu un esantion devine inmultire cu $z^{-1}$, adica $x(n-1) \leftrightarrow z^{-1}X(z)$. Asa, ecuatia cu diferente a unui filtru devine o ecuatie algebrica, din care rezulta functia de transfer $H(z) = Y(z)/X(z)$. Pentru $r = 1$ (pe cercul unitate, $z = e^{j\omega}$) transformata Z devine transformata Fourier a semnalului discret; deci $H(e^{j\omega})$ este raspunsul in frecventa al filtrului.
</note>

**T3. (intrebare de antrenament) Ce sunt zerourile si polii unei functii de transfer si ce efect au asupra raspunsului in frecventa?**

<note>
**Raspuns model:** Zerourile sunt valorile lui $z$ pentru care numaratorul lui $H(z)$ e 0 (acolo $H = 0$). Polii sunt valorile pentru care numitorul e 0 (acolo $H$ tinde la infinit). Raspunsul in frecventa se citeste pe cercul unitate: $|H|$ la o frecventa este produsul distantelor de la punctul ei de pe cerc pana la zerouri, impartit la produsul distantelor pana la poli. Un zerou pe cerc anuleaza frecventa din dreptul lui. Un pol aproape de cerc produce un varf la frecventa din dreptul lui.
</note>

**T4. (intrebare de antrenament) Cand este stabil un filtru IIR? De ce un filtru FIR este intotdeauna stabil?**

<note>
**Raspuns model:** Un filtru e stabil daca toti polii functiei de transfer sunt strict in interiorul cercului unitate ($|p_i| < 1$); atunci raspunsul la impuls se stinge. Daca un pol e in afara cercului, raspunsul la impuls creste nelimitat (instabil). Exemplu: $y(n) = x(n) + a\,y(n-1)$ are polul $a$ si raspunsul la impuls $a^n$, care scade doar daca $|a| < 1$. Un FIR are $H(z)$ fara numitor; scris cu puteri pozitive, toti polii lui sunt in $z = 0$, in centrul cercului, deci e mereu stabil.
</note>

**T5. (din problema de examen 2021, 2023 C) Cum se obtine functia de transfer dintr-o ecuatie cu diferente? Exemplificati.**

<note>
**Raspuns model:** Se aplica transformata Z ecuatiei, inlocuind $x(n-k)$ cu $z^{-k}X(z)$ si $y(n-k)$ cu $z^{-k}Y(z)$. Se trec termenii cu $Y$ in stanga, se da factor comun si se face raportul $H(z) = Y(z)/X(z)$. Pentru $y(n) = \sum b_i\,x(n-i) + \sum a_i\,y(n-i)$ rezulta $H(z) = \dfrac{\sum b_i z^{-i}}{1 - \sum a_i z^{-i}}$. Exemplu: $y(n) = x(n) + 2x(n-1) + x(n-2) + 1.2y(n-1) - 0.61y(n-2)$ da $H(z) = \dfrac{1 + 2z^{-1} + z^{-2}}{1 - 1.2z^{-1} + 0.61z^{-2}}$.
</note>

----
**Inainte:** [[ps:cap9-fir|Cap 9 — Filtre FIR]] · **Urmatorul:** [[ps:cap11-fft|Cap 11 — FFT]] · [[ps:subiecte-reale|Subiecte reale]] · [[ps:start|Cuprins]].