Med Java

User Tools

Site Tools

Trace: • problema-tip
ps:problema-tip

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
ps:problema-tip [2026/11/11 06:53] – PS: problema 2 rezolvata complet apacheps:problema-tip [2026/11/11 07:16] (current) – PS: intervale in pasii problemelor apache
Line 19: Line 19:
  
 ---- ----
 +
 +<note>
 +**Regula pentru TOATE intervalele din problema:** o banda se scrie **[centru − latime/2, centru + latime/2]**. **Latimea** o da enuntul si **nu se schimba niciodata**. Doar **centrul** se muta de la un pas la altul: $f_c$ → $r$ → $0$. La fiecare pas de mai jos scrie in caseta verde cum am ales intervalul.
 +</note>
  
 ===== PUNCTUL a) — spectrul lui y(t) (cu litere) ===== ===== PUNCTUL a) — spectrul lui y(t) (cu litere) =====
Line 35: Line 39:
  
 **Pas 3 — unde sunt capetele copiilor:** copia de la $f_c$ se intinde cu $W/2$ in stanga si $W/2$ in dreapta: de la **$f_c - W/2$** la **$f_c + W/2$**. La fel in partea negativa. **Pas 3 — unde sunt capetele copiilor:** copia de la $f_c$ se intinde cu $W/2$ in stanga si $W/2$ in dreapta: de la **$f_c - W/2$** la **$f_c + W/2$**. La fel in partea negativa.
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** centrul = $f_c$ (acolo a fost mutat mesajul), latimea = $W$ → **[$f_c - W/2$, $f_c + W/2$]**. In stanga e oglinda: centrul $-f_c$ → [$-f_c - W/2$, $-f_c + W/2$].
 +</note>
  
 {{ps:tip:a2_y_litere.png?950|Raspuns a), cu litere}} {{ps:tip:a2_y_litere.png?950|Raspuns a), cu litere}}
Line 61: Line 69:
   * copia pozitiva: de la $100 - 1 = $ **99** la $100 + 1 = $ **101** MHz   * copia pozitiva: de la $100 - 1 = $ **99** la $100 + 1 = $ **101** MHz
   * copia negativa: de la **−101** la **−99** MHz   * copia negativa: de la **−101** la **−99** MHz
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** e intervalul de la a), cu numere: centrul $f_c = 100$, latimea $W = 2$ → [100 − 1, 100 + 1] = **[99, 101]**. //De ce acolo:// inmultirea cu cos(2π·100·t) muta fiecare frecventa $f$ a mesajului la $100 \pm f$; cea mai mare frecventa a mesajului e 1 MHz → ajunge la 99 si 101.
 +</note>
  
 {{ps:tip:p2_y.png?950|Spectrul lui y(t) cu numere}} {{ps:tip:p2_y.png?950|Spectrul lui y(t) cu numere}}
Line 75: Line 87:
  
 Se opreste la **restul impartirii** $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → **$r = 4$**. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = **[3, 5] MHz**. (Copia negativa, de la −100, ajunge la −4.) Se opreste la **restul impartirii** $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → **$r = 4$**. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = **[3, 5] MHz**. (Copia negativa, de la −100, ajunge la −4.)
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** centrul devine $r = 4$ (restul lui 100 : 16), latimea ramane $W = 2$ → [4 − 1, 4 + 1] = **[3, 5]**.
 +</note>
 +
  
 ==== b.4 Cand e f_s bun ==== ==== b.4 Cand e f_s bun ====
  
 Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. **Banda trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini** — altfel se suprapune cu copia portocalie. Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. **Banda trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini** — altfel se suprapune cu copia portocalie.
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** zona permisa e **(0, $f_s/2$)** = (0, 8) pentru $f_s = 16$. //De ce:// dupa esantionare totul se repeta la fiecare $f_s$, asa ca te uiti doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$; acolo banda (albastra, la +) si oglinda ei (portocalie, la −) trebuie sa aiba fiecare jumatatea ei: banda in (0, 8), oglinda in (−8, 0). **Verificare:** [3, 5] in (0, 8)? 3 > 0 si 5 < 8 → DA.
 +</note>
 +
  
 {{ps:tip:p4_bun_vs_rau.png?950|fs = 16 bun, fs = 20 rau}} {{ps:tip:p4_bun_vs_rau.png?950|fs = 16 bun, fs = 20 rau}}
Line 108: Line 130:
  
 Apoi un **filtru trece-jos digital** cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz (mesajul) si arunca copia portocalie: Apoi un **filtru trece-jos digital** cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz (mesajul) si arunca copia portocalie:
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** dupa IQ centrul devine **0**, latimea ramane 2 → [0 − 1, 0 + 1] = **[−1, 1]**. Filtrul trece-jos taie exact la marginea benzii: **$W/2 = 1$ MHz**.
 +</note>
 +
 +
  
 {{ps:tip:p5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}} {{ps:tip:p5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}}
Line 114: Line 142:
  
 Pastram **un esantion din 8** ($M = 16/2 = 8$): $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → se ating, dar nu se suprapun: Pastram **un esantion din 8** ($M = 16/2 = 8$): $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → se ating, dar nu se suprapun:
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** noua zona permisa e [$-f_s'/2$, $f_s'/2$] = [−1, 1] (cu $f_s' = 2$). Banda e tot [−1, 1] → incape fix. De aceea $f_s' = 2$ e minimul posibil (= latimea benzii).
 +</note>
 +
 +
  
 {{ps:tip:p6_decimare.png?950|Decimare cu M = 8}} {{ps:tip:p6_decimare.png?950|Decimare cu M = 8}}
Line 142: Line 176:
  
 ---- ----
 +
 +<note>
 +**Regula pentru TOATE intervalele din problema:** o banda se scrie **[centru − latime/2, centru + latime/2]**. **Latimea** o da enuntul si **nu se schimba niciodata**. Doar **centrul** se muta de la un pas la altul: $f_c$ → $r$ → $0$. La fiecare pas de mai jos scrie in caseta verde cum am ales intervalul.
 +</note>
  
 ===== PUNCTUL a) — cum esantionam ===== ===== PUNCTUL a) — cum esantionam =====
Line 157: Line 195:
  
 **Ce facem:** punem **filtrul analog trece-banda** cu fereastra **centrata in 45 MHz**, de exemplu de la **43 la 47 MHz** (4 MHz latime ≤ 5 ✓). Banda utila [44.5, 45.5] e inauntru, zgomotul e afara. **Ce facem:** punem **filtrul analog trece-banda** cu fereastra **centrata in 45 MHz**, de exemplu de la **43 la 47 MHz** (4 MHz latime ≤ 5 ✓). Banda utila [44.5, 45.5] e inauntru, zgomotul e afara.
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** **semnalul**: centrul $f_c = 45$, latimea $B = 1$ → [45 − 0.5, 45 + 0.5] = **[44.5, 45.5]**. **Fereastra filtrului**: tot centrata in 45, trebuie sa **cuprinda** [44.5, 45.5], sa **nu** prinda zgomotul si sa aiba latimea ≤ 5. Am luat latimea 4 → [45 − 2, 45 + 2] = **[43, 47]**. (Orice latime intre 1 si 5 care nu ajunge la zgomot e buna.)
 +</note>
 +
  
 {{ps:tip:q2_dupa_ftb.png?950|Dupa filtrul trece-banda}} {{ps:tip:q2_dupa_ftb.png?950|Dupa filtrul trece-banda}}
Line 164: Line 207:
 ==== a.3 De ce nu putem esantiona "normal" ==== ==== a.3 De ce nu putem esantiona "normal" ====
  
-Regula Nyquist (Cap 4): ca sa nu pierzi nimic, $f_s \geq 2  imes$ frecventa maxima $= 2 \cdot 45.5 = 91$ MHz. Convertorul merge doar pana la **8 MHz**. → Folosim **bandpass sampling**: profitam de faptul ca semnalul e ingust (doar 1 MHz).+Regula Nyquist (Cap 4): ca sa nu pierzi nimic, $f_s \geq 2 \times$ frecventa maxima $= 2 \cdot 45.5 = 91$ MHz. Convertorul merge doar pana la **8 MHz**. → Folosim **bandpass sampling**: profitam de faptul ca semnalul e ingust (doar 1 MHz).
  
 Conditia minima: $f_s \geq 2B = 2 \cdot 1 = 2$ MHz. Toate valorile pe care le incercam (4, 5, 6, 8) o respecta. Dar nu e suficienta — trebuie verificat si **unde ajunge banda** (a.4–a.5). Conditia minima: $f_s \geq 2B = 2 \cdot 1 = 2$ MHz. Toate valorile pe care le incercam (4, 5, 6, 8) o respecta. Dar nu e suficienta — trebuie verificat si **unde ajunge banda** (a.4–a.5).
Line 175: Line 218:
  
 Ultima copie inainte de 0 e la **restul impartirii** $45 : 4$: $45 = 11\cdot 4 + \mathbf{1}$ → **$r = 1$**. Deci banda utila ajunge la $1 \pm 0.5$ = **[0.5, 1.5] MHz**. Oglinda ei (de la −45) ajunge, la fel, la **[−1.5, −0.5]**. Ultima copie inainte de 0 e la **restul impartirii** $45 : 4$: $45 = 11\cdot 4 + \mathbf{1}$ → **$r = 1$**. Deci banda utila ajunge la $1 \pm 0.5$ = **[0.5, 1.5] MHz**. Oglinda ei (de la −45) ajunge, la fel, la **[−1.5, −0.5]**.
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** centrul devine $r = 1$ (restul lui 45 : 4), latimea ramane $B = 1$ → [1 − 0.5, 1 + 0.5] = **[0.5, 1.5]**.
 +</note>
 +
  
 ==== a.5 Cand e f_s bun ==== ==== a.5 Cand e f_s bun ====
  
 Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $+f_s/2$ (zona galbena din desene). **Regula:** banda albastra trebuie sa stea **intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga 0 sau $f_s/2$**. Daca atinge, se loveste de cea portocalie → se amesteca → informatie pierduta. Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $+f_s/2$ (zona galbena din desene). **Regula:** banda albastra trebuie sa stea **intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga 0 sau $f_s/2$**. Daca atinge, se loveste de cea portocalie → se amesteca → informatie pierduta.
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** zona permisa e **(0, $f_s/2$)** = (0, 2) pentru $f_s = 4$. **Verificare:** [0.5, 1.5] in (0, 2)? 0.5 > 0 si 1.5 < 2 → DA.
 +</note>
 +
  
 {{ps:tip:q4_fs_bun_rau.png?950|fs = 4 bun, fs = 5 si 6 rele}} {{ps:tip:q4_fs_bun_rau.png?950|fs = 4 bun, fs = 5 si 6 rele}}
Line 212: Line 265:
 Semnalul e acum la 1 MHz ($r = 1$). Ca sa-l aducem la 0, mutam **tot spectrul cu 1 MHz la stanga**. Asta se face inmultind fiecare esantion cu un numar din sirul: Semnalul e acum la 1 MHz ($r = 1$). Ca sa-l aducem la 0, mutam **tot spectrul cu 1 MHz la stanga**. Asta se face inmultind fiecare esantion cu un numar din sirul:
  
-$$ e^{-j2\pi\cdot rac{1\ \mathrm{MHz}}{4\ \mathrm{MHz}}\cdot n} = e^{-j\pi n/2} = [\,1,\ -j,\ -1,\ j,\ 1,\ -j,\ -1,\ j,\ \dots\,] $$+$$ e^{-j2\pi\cdot\frac{1\ \mathrm{MHz}}{4\ \mathrm{MHz}}\cdot n} = e^{-j\pi n/2} = [\,1,\ -j,\ -1,\ j,\ 1,\ -j,\ -1,\ j,\ \dots\,] $$
  
 (adica: esantionul 0 inmultit cu 1, esantionul 1 cu $-j$, esantionul 2 cu $-1$, esantionul 3 cu $j$, apoi se repeta). E simplu pentru ca $r = f_s/4$ — de asta am ales $f_s = 4$. (adica: esantionul 0 inmultit cu 1, esantionul 1 cu $-j$, esantionul 2 cu $-1$, esantionul 3 cu $j$, apoi se repeta). E simplu pentru ca $r = f_s/4$ — de asta am ales $f_s = 4$.
Line 219: Line 272:
  
 Dupa mutare, semnalul (albastru) e pe **[−0.5, 0.5]**. Oglinda (portocalie) a ajuns la −2 (si copii la ±2, ±4...). Un **filtru trece-jos digital** cu taierea la **0.5 MHz** pastreaza doar [−0.5, 0.5] si arunca restul: Dupa mutare, semnalul (albastru) e pe **[−0.5, 0.5]**. Oglinda (portocalie) a ajuns la −2 (si copii la ±2, ±4...). Un **filtru trece-jos digital** cu taierea la **0.5 MHz** pastreaza doar [−0.5, 0.5] si arunca restul:
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** dupa IQ centrul devine **0**, latimea ramane 1 → [0 − 0.5, 0 + 0.5] = **[−0.5, 0.5]**. Filtrul taie la marginea benzii: **$B/2 = 0.5$ MHz**.
 +</note>
 +
 +
  
 {{ps:tip:q5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}} {{ps:tip:q5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}}
Line 225: Line 284:
  
 **Decimare** = pastram doar **un esantion din M**. Vrem de la 4 MHz la 1 MHz → **$M = 4/1 = 4$** (pastram un esantion din 4). Copiile spectrului ajung acum la fiecare 1 MHz — exact cat latimea semnalului → **se ating, dar nu se suprapun**: **Decimare** = pastram doar **un esantion din M**. Vrem de la 4 MHz la 1 MHz → **$M = 4/1 = 4$** (pastram un esantion din 4). Copiile spectrului ajung acum la fiecare 1 MHz — exact cat latimea semnalului → **se ating, dar nu se suprapun**:
 +
 +<note tip>
 +**Cum am ales intervalul:** noua zona permisa e [$-f_s'/2$, $f_s'/2$] = [−0.5, 0.5] (cu $f_s' = 1$) — exact cat banda → incape fix.
 +</note>
 +
 +
  
 {{ps:tip:q6_decimare.png?950|Decimare cu M = 4}} {{ps:tip:q6_decimare.png?950|Decimare cu M = 4}}
ps/problema-tip.1794380026.txt.gz · Last modified: by apache