Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- ps:problema-tip [2026/11/11 06:25] – PS: problema-tip pas cu pas apache
+++ ps:problema-tip [2026/11/11 07:16] (current) – PS: intervale in pasii problemelor apache
@@ Line 3: / Line 3: @@
 [[ps:start|← inapoi la cuprins]] · Teoria: [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §4–5]], [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §2–8]]
-Asta e familia de probleme cea mai probabila la partial (la examenul din 2026 era marcata **"recuperare punctaj la partial"**). Mai jos: **Problema 1 rezolvata pas cu pas, cu desen la fiecare pas**, apoi **Problema 2 pentru tine**.
+Asta e familia de probleme cea mai probabila la partial (la examenul din 2026 era marcata **"recuperare punctaj la partial"**). Mai jos: **Problema 1 rezolvata punct cu punct (a, b, c), cu desen la fiecare pas**, apoi **Problema 2 pentru tine**.
 **Culori in toate desenele:** **albastru** = copia partii **pozitive** a spectrului, **portocaliu** = copia partii **negative**, **sageata rosie** = purtatoarea (linia de ½).
-===== Problema 1 (examen 2026) =====
+===== Problema 1 (examen 2026) — enuntul =====
 <note important>
-$s(t)$ e un mesaj cu spectrul intre $-W/2$ si $W/2$. Generam $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$.
+$s(t)$ e un mesaj al carui spectru ocupa frecventele de la $-W/2$ la $W/2$. Generam $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$, cu $f_c > W$.
   - **a)** Cum arata $|Y(f)|$?
-  - **b)** $W = 2$ MHz, $f_c = 100$ MHz, convertor A/D cu $f_s \in [5, 20]$ MHz. Ce $f_s$ alegem?
+  - **b)** Fie $W = 2$ MHz si $f_c = 100$ MHz. Avem un convertor A/D cu $f_s \in [5, 20]$ MHz. Ce $f_s$ alegem si cum arata spectrul dupa esantionare?
   - **c)** Procesorul lucreaza la 2 MHz. Cum ajungem la un semnal esantionat la 2 MHz fara sa pierdem informatie?
 </note>
-==== Pas 1 — ce avem: mesajul ====
+**Observa:** la **a)** nu avem numere — raspunsul se da **cu litere** ($W$, $f_c$). Numerele apar abia la **b)**.
-{{ps:tip:p1_mesaj.png?650|Mesajul}}
+----
-Mesajul ocupa frecventele de la −1 la 1 MHz (latime totala $W = 2$ MHz). Forma (trapezul) nu conteaza — conteaza **unde** e si **cat de lat** e.
+<note>
+**Regula pentru TOATE intervalele din problema:** o banda se scrie **[centru − latime/2, centru + latime/2]**. **Latimea** o da enuntul si **nu se schimba niciodata**. Doar **centrul** se muta de la un pas la altul: $f_c$ → $r$ → $0$. La fiecare pas de mai jos scrie in caseta verde cum am ales intervalul.
+</note>
-==== Pas 2 — a): spectrul lui y(t) ====
+===== PUNCTUL a) — spectrul lui y(t) (cu litere) =====
-Desfacem paranteza: $y(t) = \underbrace{\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1}} + \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2}}$.
+**Ce avem:** mesajul $s(t)$, cu spectrul intre $-W/2$ si $W/2$. $W$ e **latimea totala** (jumatate la stanga lui 0, jumatate la dreapta).
-  * **bucata 1** e un cosinus simplu → ca in Cap 0: **linii de ½ la ±100 MHz** (sagetile rosii, "purtatoarea")
-  * **bucata 2**: inmultirea cu cos **copiaza mesajul** in jurul lui +100 si −100 MHz, la **jumatate** din inaltime (Cap 3 §4)
-{{ps:tip:p2_Y.png?950|Spectrul lui y(t)}}
+{{ps:tip:a1_mesaj_litere.png?650|Mesajul, cu litere}}
-**Raspuns a):** sageti de ½ la ±100 MHz + copiile trapezului (inaltime ½) pe [99, 101] si [−101, −99] MHz. In jurul lui 0 nu mai e nimic.
+**Pas 1 — desfacem paranteza** in doua bucati:
-==== Pas 3 — b): ce face esantionarea ====
+$$ y(t) = \underbrace{\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 1}} + \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{\text{bucata 2}} $$
-**Problema:** semnalul e la ~100 MHz, Nyquist clasic ar cere $f_s \geq 2\cdot 101 = 202$ MHz, dar convertorul merge doar pana la 20 MHz.
+**Pas 2 — spectrul fiecarei bucati:**
+  * **bucata 1** e un cosinus simplu, de amplitudine 1 → ca in Cap 0: **doua linii de ½ la $+f_c$ si $-f_c$** (sagetile rosii; se numeste **purtatoarea**)
+  * **bucata 2**: inmultirea cu $\cos(2\pi f_c t)$ **copiaza spectrul mesajului** in jurul lui $+f_c$ si in jurul lui $-f_c$, fiecare copie la **jumatate** din inaltime (Cap 3 §4 — aceeasi idee ca la cosinus, unde $A$ devenea $A/2$ la $\pm f$)
-**Ce face esantionarea cu $f_s$:** copiaza spectrul **la fiecare $f_s$** — adica banda de la 100 apare si la $100 - f_s$, $100 - 2f_s$, ... (si la $+f_s$, ...). Cu $f_s = 16$, banda "coboara" in pasi de 16 pana ajunge aproape de 0:
+**Pas 3 — unde sunt capetele copiilor:** copia de la $f_c$ se intinde cu $W/2$ in stanga si $W/2$ in dreapta: de la **$f_c - W/2$** la **$f_c + W/2$**. La fel in partea negativa.
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** centrul = $f_c$ (acolo a fost mutat mesajul), latimea = $W$ → **[$f_c - W/2$, $f_c + W/2$]**. In stanga e oglinda: centrul $-f_c$ → [$-f_c - W/2$, $-f_c + W/2$].
+</note>
+{{ps:tip:a2_y_litere.png?950|Raspuns a), cu litere}}
+**Ce e pe axa verticala:**
+  * la mesaj: **$|S(f)|$** — varful trapezului il notam **A** (in enunt nu se da un numar)
+  * la $y$: **$|Y(f)|$** — sagetile au inaltimea **½**, trapezele au inaltimea **A/2** (jumatate din varful mesajului)
+**Pe FIECARE parte** (si la $+f_c$, si la $-f_c$) desenezi **amandoua, in acelasi loc**: sageata de ½ (din bucata 1) **si** trapezul de A/2 (din bucata 2), centrat sub sageata. Stanga e oglinda dreptei. (Stanga/dreapta nu vine din cele doua bucati — vine din faptul ca orice cosinus are o componenta la $+f_c$ si una la $-f_c$.)
+<note tip>
+**Raspuns a)** (ce scrii si desenezi pe foaie):
+  * sageti de **½ la $\pm f_c$** (purtatoarea)
+  * copiile lui $|S(f)|$, la **jumatate** din inaltime, pe $[f_c - W/2,\ f_c + W/2]$ si $[-f_c - W/2,\ -f_c + W/2]$
+  * in jurul lui 0 nu mai e nimic (mesajul a fost mutat)
+  * pentru ca $f_c > W$, copiile nu se ating intre ele si nu ajung la 0
+</note>
+----
+===== PUNCTUL b) — alegem f_s (acum apar numerele) =====
+==== b.1 Inlocuim numerele in raspunsul de la a) ====
+$W = 2$ MHz → $W/2 = 1$ MHz. $f_c = 100$ MHz. Deci:
+  * copia pozitiva: de la $100 - 1 = $ **99** la $100 + 1 = $ **101** MHz
+  * copia negativa: de la **−101** la **−99** MHz
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** e intervalul de la a), cu numere: centrul $f_c = 100$, latimea $W = 2$ → [100 − 1, 100 + 1] = **[99, 101]**. //De ce acolo:// inmultirea cu cos(2π·100·t) muta fiecare frecventa $f$ a mesajului la $100 \pm f$; cea mai mare frecventa a mesajului e 1 MHz → ajunge la 99 si 101.
+</note>
+{{ps:tip:p2_y.png?950|Spectrul lui y(t) cu numere}}
+==== b.2 De ce nu merge Nyquist clasic ====
+Frecventa maxima e 101 MHz → Nyquist clasic ar cere $f_s \geq 2\cdot 101 = 202$ MHz. Convertorul merge doar pana la 20 MHz. → folosim **bandpass sampling** (Cap 4 §5): profitam ca banda e ingusta (doar 2 MHz).
+==== b.3 Ce face esantionarea: banda "coboara" in pasi de f_s ====
+Esantionarea cu $f_s$ **copiaza spectrul la fiecare $f_s$**. Banda de la 100 apare si la $100 - f_s$, $100 - 2f_s$, ... Exemplu cu $f_s = 16$:
 {{ps:tip:p3_coborare.png?950|Banda coboara in pasi de fs}}
-Unde se opreste? La **restul impartirii** $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → **$r = 4$**. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = **[3, 5] MHz**. (La fel, copia negativa de la −100 ajunge la −4.)
+Se opreste la **restul impartirii** $100 : 16$: $100 = 6\cdot 16 + \mathbf{4}$ → **$r = 4$**. Deci dupa esantionare banda ajunge la $4 \pm 1$ = **[3, 5] MHz**. (Copia negativa, de la −100, ajunge la −4.)
-==== Pas 4 — b): verificam daca fs e bun ====
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** centrul devine $r = 4$ (restul lui 100 : 16), latimea ramane $W = 2$ → [4 − 1, 4 + 1] = **[3, 5]**.
+</note>
+==== b.4 Cand e f_s bun ====
+Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. **Banda trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini** — altfel se suprapune cu copia portocalie.
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** zona permisa e **(0, $f_s/2$)** = (0, 8) pentru $f_s = 16$. //De ce:// dupa esantionare totul se repeta la fiecare $f_s$, asa ca te uiti doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$; acolo banda (albastra, la +) si oglinda ei (portocalie, la −) trebuie sa aiba fiecare jumatatea ei: banda in (0, 8), oglinda in (−8, 0). **Verificare:** [3, 5] in (0, 8)? 3 > 0 si 5 < 8 → DA.
+</note>
-**Regula:** dupa esantionare, ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. Banda trebuie sa stea **intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga vreuna dintre margini** — altfel se suprapune cu copia portocalie.
 {{ps:tip:p4_bun_vs_rau.png?950|fs = 16 bun, fs = 20 rau}}
-Tabelul cu toate incercarile:
+==== b.5 Incercam mai multe valori ====
 ^ $f_s$ ^ $100 = ? \cdot f_s + r$ ^ $r$ ^ banda $[r-1, r+1]$ ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
@@ Line 56: / Line 112: @@
 | **16** | $6\cdot 16 + 4$ | **4** | **[3, 5]** | **8** | **DA** ✓ (desenul de sus) |
-**Raspuns b):** $f_s = 16$ MHz. (Atentie: 20 MHz, cea mai mare, **nu** merge!) Bonus: $r = 4 = f_s/4$ → banda e fix la mijloc intre 0 si 8 — cea mai mare marja.
+<note tip>
+**Raspuns b):** $f_s = 16$ MHz. Dupa esantionare, intre −8 si 8 MHz: purtatoarea (½) la ±4 MHz si copiile mesajului pe [3, 5] si [−5, −3] MHz (desenul de sus de la b.4).
+**Capcana:** 20 MHz, cea mai mare valoare permisa, **nu** merge!
+</note>
-==== Pas 5 — c): mutam mesajul la 0 (IQ) ====
+----
+===== PUNCTUL c) — reducem la 2 MHz =====
+==== c.1 De ce avem nevoie de un truc ====
+Banda are 2 MHz. Un semnal **real** cu banda de 2 MHz ar avea nevoie de $f_s \geq 2\cdot 2 = 4$ MHz — noi vrem doar 2. Trucul: facem semnalul **complex** (IQ). Un semnal complex de latime $B$ are nevoie doar de $f_s \geq B$ = **2 MHz** ✓.
+==== c.2 Mutam mesajul la 0 (IQ) ====
+Inmultim esantioanele cu sirul $[1, -j, -1, j, 1, -j, \dots]$ (adica $e^{-j\pi n/2}$) → **tot spectrul se muta cu 4 MHz la stanga**. De ce 4? Pentru ca acolo e banda dupa esantionare ($r = 4$).
+Apoi un **filtru trece-jos digital** cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz (mesajul) si arunca copia portocalie:
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** dupa IQ centrul devine **0**, latimea ramane 2 → [0 − 1, 0 + 1] = **[−1, 1]**. Filtrul trece-jos taie exact la marginea benzii: **$W/2 = 1$ MHz**.
+</note>
-**Problema:** vrem 2 MHz. Banda are 2 MHz → ca semnal **real** ar trebui $2\cdot 2 = 4$ MHz. Solutia: facem semnalul **complex** — un semnal complex de latime $B$ are nevoie doar de $f_s \geq B$ = 2 MHz ✓.
-**5a.** Inmultim esantioanele cu $e^{-j\pi n/2}$ = sirul $[1, -j, -1, j, 1, -j, \dots]$ → **tot spectrul se muta cu 4 MHz la stanga** (de ce 4: e locul unde e banda, $r = 4$):
 {{ps:tip:p5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}}
-**5b.** Banda albastra (mesajul) e acum la 0. Un **filtru trece-jos digital** cu taierea la 1 MHz pastreaza doar [−1, 1] MHz si arunca copia portocalie (ajunsa la −8).
+==== c.3 Decimam ====
+Pastram **un esantion din 8** ($M = 16/2 = 8$): $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → se ating, dar nu se suprapun:
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** noua zona permisa e [$-f_s'/2$, $f_s'/2$] = [−1, 1] (cu $f_s' = 2$). Banda e tot [−1, 1] → incape fix. De aceea $f_s' = 2$ e minimul posibil (= latimea benzii).
+</note>
-==== Pas 6 — c): decimarea ====
-Pastram **un esantion din 8**: $f_s = 16/8 = 2$ MHz. Copiile ajung la distanta 2 MHz — exact cat latimea benzii → **se ating, dar nu se suprapun**:
 {{ps:tip:p6_decimare.png?950|Decimare cu M = 8}}
-**Raspuns c):** esantionam la 16 MHz → inmultim cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ → filtru trece-jos digital la 1 MHz → pastram 1 din 8 esantioane → semnal complex la **2 MHz**, cu toata informatia.
+<note tip>
+**Raspuns c):** esantionam la 16 MHz → inmultim cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ (mutam banda la 0) → filtru trece-jos digital la 1 MHz → pastram 1 din 8 esantioane → semnal complex la **2 MHz**, cu toata informatia.
+</note>
-===== Problema 2 — o rezolvi tu =====
+----
+===== Problema 2 — rezolvata complet =====
 <note important>
-Un semnal util are banda **B = 1 MHz**, centrat la **$f_c$ = 45 MHz**, cu zgomot in jur. Ai la dispozitie:
+**Enunt:** Un semnal util are banda **B = 1 MHz**, centrat la **$f_c$ = 45 MHz**, cu zgomot in jur. Ai la dispozitie:
-  * un filtru analog trece-banda de latime maxima 5 MHz
+  * un **filtru analog trece-banda** de latime maxima 5 MHz
-  * un convertor A/D cu **$f_s$ de maximum 8 MHz**
+  * un **convertor A/D** cu **$f_s$ de maximum 8 MHz**
-  - **a)** Cum esantionezi? Alege $f_s$ si verifica-l cu restul $r$ (incearca 8, 6, 5, 4).
+  - **a)** Cum esantionezi semnalul? Ce $f_s$ alegi?
-  - **b)** Cum ajungi la **1 MHz** fara sa pierzi informatie?
+  - **b)** Cum ajungi la o frecventa de esantionare de **1 MHz** fara sa pierzi informatie?
 </note>
-**Pasii, ca la Problema 1:** (1) ce faci cu zgomotul **inainte** de convertor? (2) pentru fiecare $f_s$: restul $r$ din $45 : f_s$, banda $[r - 0.5, r + 0.5]$, e intre 0 si $f_s/2$? (3) IQ: cu ce inmultesti? filtru trece-jos la cat? decimare cu cat?
+**Cuvintele din enunt, pe scurt:**
+  * **banda B = 1 MHz, centrat la 45 MHz** = semnalul util ocupa frecventele de la $45 - 0.5 = 44.5$ la $45 + 0.5 = 45.5$ MHz (o "felie" lata de 1 MHz, cu mijlocul la 45)
+  * **zgomot in jur** = alte semnale nedorite, la frecvente apropiate (mai jos si mai sus de banda noastra)
+  * **convertor A/D** = aparatul care ia esantioane din semnal (il transforma in numere); **$f_s$** = cate esantioane ia pe secunda
+  * **filtru analog trece-banda** = lasa sa treaca doar o "fereastra" de frecvente (aici, de maxim 5 MHz latime), oriunde o pozitionam
+**Pe toate desenele:** axa orizontala = frecventa $f$ (in MHz); axa verticala = **$|X(f)|$** = cat de "tare" e semnalul la fiecare frecventa. Varful benzii utile il notam **A** (enuntul nu da un numar). Albastru = semnalul (partea pozitiva), portocaliu = oglinda lui (partea negativa), gri = zgomot.
-\\
-\\
-\\
 ----
-====== STOP — rezolvarea Problemei 2 mai jos ======
+<note>
+**Regula pentru TOATE intervalele din problema:** o banda se scrie **[centru − latime/2, centru + latime/2]**. **Latimea** o da enuntul si **nu se schimba niciodata**. Doar **centrul** se muta de la un pas la altul: $f_c$ → $r$ → $0$. La fiecare pas de mai jos scrie in caseta verde cum am ales intervalul.
+</note>
+===== PUNCTUL a) — cum esantionam =====
+==== a.1 Ce avem ====
+{{ps:tip:q1_initial.png?950|Spectrul initial}}
+  * in dreapta (frecvente pozitive): semnalul util la 45 MHz, cu zgomot de o parte si de alta
+  * in stanga: **oglinda** lui la −45 MHz (orice semnal real are spectrul simetric — Cap 0)
+==== a.2 Primul pas: scapam de zgomot (INAINTE de convertor) ====
+**De ce:** la esantionare, **tot** ce e in semnal se copiaza (vezi a.4). Daca lasam zgomotul, copiile lui ar cadea peste copia semnalului util si l-ar strica. Si dupa esantionare nu mai poti separa zgomotul de semnal.
+**Ce facem:** punem **filtrul analog trece-banda** cu fereastra **centrata in 45 MHz**, de exemplu de la **43 la 47 MHz** (4 MHz latime ≤ 5 ✓). Banda utila [44.5, 45.5] e inauntru, zgomotul e afara.
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** **semnalul**: centrul $f_c = 45$, latimea $B = 1$ → [45 − 0.5, 45 + 0.5] = **[44.5, 45.5]**. **Fereastra filtrului**: tot centrata in 45, trebuie sa **cuprinda** [44.5, 45.5], sa **nu** prinda zgomotul si sa aiba latimea ≤ 5. Am luat latimea 4 → [45 − 2, 45 + 2] = **[43, 47]**. (Orice latime intre 1 si 5 care nu ajunge la zgomot e buna.)
+</note>
+{{ps:tip:q2_dupa_ftb.png?950|Dupa filtrul trece-banda}}
+Acum avem **doar** semnalul util, pe [44.5, 45.5] MHz (si oglinda lui pe [−45.5, −44.5]).
+==== a.3 De ce nu putem esantiona "normal" ====
+Regula Nyquist (Cap 4): ca sa nu pierzi nimic, $f_s \geq 2 \times$ frecventa maxima $= 2 \cdot 45.5 = 91$ MHz. Convertorul merge doar pana la **8 MHz**. → Folosim **bandpass sampling**: profitam de faptul ca semnalul e ingust (doar 1 MHz).
+Conditia minima: $f_s \geq 2B = 2 \cdot 1 = 2$ MHz. Toate valorile pe care le incercam (4, 5, 6, 8) o respecta. Dar nu e suficienta — trebuie verificat si **unde ajunge banda** (a.4–a.5).
+==== a.4 Ce face esantionarea: banda "coboara" in pasi de f_s ====
+Cand esantionezi cu $f_s$, spectrul se **copiaza la fiecare $f_s$**. Banda de la 45 apare si la $45 - f_s$, $45 - 2f_s$, ... Cu $f_s = 4$:
+{{ps:tip:q3_coborare.png?950|Banda coboara in pasi de 4}}
+Ultima copie inainte de 0 e la **restul impartirii** $45 : 4$: $45 = 11\cdot 4 + \mathbf{1}$ → **$r = 1$**. Deci banda utila ajunge la $1 \pm 0.5$ = **[0.5, 1.5] MHz**. Oglinda ei (de la −45) ajunge, la fel, la **[−1.5, −0.5]**.
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** centrul devine $r = 1$ (restul lui 45 : 4), latimea ramane $B = 1$ → [1 − 0.5, 1 + 0.5] = **[0.5, 1.5]**.
+</note>
+==== a.5 Cand e f_s bun ====
+Dupa esantionare ne uitam doar intre $-f_s/2$ si $+f_s/2$ (zona galbena din desene). **Regula:** banda albastra trebuie sa stea **intre 0 si $f_s/2$, fara sa atinga 0 sau $f_s/2$**. Daca atinge, se loveste de cea portocalie → se amesteca → informatie pierduta.
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** zona permisa e **(0, $f_s/2$)** = (0, 2) pentru $f_s = 4$. **Verificare:** [0.5, 1.5] in (0, 2)? 0.5 > 0 si 1.5 < 2 → DA.
+</note>
+{{ps:tip:q4_fs_bun_rau.png?950|fs = 4 bun, fs = 5 si 6 rele}}
+**Toate incercarile, in tabel** (r = restul lui $45 : f_s$; banda = $[r - 0.5,\ r + 0.5]$):
+^ $f_s$ ^ calcul ^ $r$ ^ banda ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
+| 8 | $45 = 5\cdot 8 + 5$ | 5 | [4.5, 5.5] | 4 | merge, dar banda e **peste** $f_s/2$ → apare **inversata** (oglindita) la $8 - 5 = 3$; se poate repara, dar e mai complicat |
+| 6 | $45 = 7\cdot 6 + 3$ | 3 | [2.5, 3.5] | 3 | **NU** — banda trece fix peste $f_s/2 = 3$ (desenul 3) |
+| 5 | $45 = 9\cdot 5 + 0$ | 0 | [−0.5, 0.5] | 2.5 | **NU** — banda cade pe 0, peste oglinda ei (desenul 2) |
+| **4** | $45 = 11\cdot 4 + 1$ | **1** | **[0.5, 1.5]** | **2** | **DA** ✓ — intre 0 si 2, nu atinge nimic (desenul 1) |
+<note tip>
+**Raspuns a):**
+  - **filtru analog trece-banda** centrat in 45 MHz (ex. 43–47 MHz) → scoatem zgomotul
+  - **esantionam cu $f_s = 4$ MHz** (bandpass sampling)
+  - dupa esantionare, semnalul apare pe **[0.5, 1.5] MHz** (si oglinda pe [−1.5, −0.5]), fara suprapuneri
+  - bonus: $r = 1 = f_s/4$ → banda e **fix la mijloc** intre 0 si $f_s/2$ = cea mai mare marja de siguranta
+</note>
 ----
-\\
-\\
-\\
-**a)**
+===== PUNCTUL b) — reducem la 1 MHz =====
-  * **Intai** filtrul analog trece-banda, centrat in 45 MHz (de ex. de la 43 la 47 MHz) → scoate zgomotul (altfel la esantionare s-ar copia peste semnal).
-  * Incercari ($f_s \geq 2B = 2$ ✓ pentru toate):
-^ $f_s$ ^ $45 = ? \cdot f_s + r$ ^ $r$ ^ banda $[r - 0.5, r + 0.5]$ ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
+==== b.1 De ce nu putem direct ====
-| 8 | $5\cdot 8 + 5$ | 5 | [4.5, 5.5] | 4 | DA, dar **inversata** (e intre $f_s/2$ si $f_s$) |
-| 6 | $7\cdot 6 + 3$ | 3 | [2.5, 3.5] | 3 | **NU** — trece peste $f_s/2$ |
-| 5 | $9\cdot 5 + 0$ | 0 | [−0.5, 0.5] | 2.5 | **NU** — atinge 0 |
-| **4** | $11\cdot 4 + 1$ | **1** | **[0.5, 1.5]** | **2** | **DA** ✓, si $r = 1 = f_s/4$ (fix la mijloc) |
-  * **Alegem $f_s = 4$ MHz.**
+Acum avem esantioane la 4 MHz. Vrem **1 MHz**. Problema: semnalul are latimea 1 MHz. Un semnal **real** cu latimea $B$ are nevoie de $f_s \geq 2B = 2$ MHz — deci 1 MHz nu ajunge.
-**b)** banda are 1 MHz; vrem 1 MHz → semnal **complex** (IQ):
+**Trucul (IQ):** facem semnalul **complex** si il mutam **in jurul lui 0**. Un semnal complex nu mai are oglinda (nu mai trebuie "loc" si pentru partea portocalie), asa ca ii ajunge **$f_s \geq B = 1$ MHz** ✓.
-  * inmultim cu $e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$ → mutam cu 1 MHz la stanga → banda ajunge la [−0.5, 0.5]
-  * filtru trece-jos digital la **0.5 MHz**
+==== b.2 Mutam semnalul la 0 ====
-  * decimare cu **$M = 4/1 = 4$** → **1 MHz** ✓
+Semnalul e acum la 1 MHz ($r = 1$). Ca sa-l aducem la 0, mutam **tot spectrul cu 1 MHz la stanga**. Asta se face inmultind fiecare esantion cu un numar din sirul:
+$$ e^{-j2\pi\cdot\frac{1\ \mathrm{MHz}}{4\ \mathrm{MHz}}\cdot n} = e^{-j\pi n/2} = [\,1,\ -j,\ -1,\ j,\ 1,\ -j,\ -1,\ j,\ \dots\,] $$
+(adica: esantionul 0 inmultit cu 1, esantionul 1 cu $-j$, esantionul 2 cu $-1$, esantionul 3 cu $j$, apoi se repeta). E simplu pentru ca $r = f_s/4$ — de asta am ales $f_s = 4$.
+==== b.3 Pastram doar semnalul (filtru trece-jos digital) ====
+Dupa mutare, semnalul (albastru) e pe **[−0.5, 0.5]**. Oglinda (portocalie) a ajuns la −2 (si copii la ±2, ±4...). Un **filtru trece-jos digital** cu taierea la **0.5 MHz** pastreaza doar [−0.5, 0.5] si arunca restul:
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** dupa IQ centrul devine **0**, latimea ramane 1 → [0 − 0.5, 0 + 0.5] = **[−0.5, 0.5]**. Filtrul taie la marginea benzii: **$B/2 = 0.5$ MHz**.
+</note>
+{{ps:tip:q5_iq.png?950|IQ: mutare si filtrare}}
+==== b.4 Decimare ====
+**Decimare** = pastram doar **un esantion din M**. Vrem de la 4 MHz la 1 MHz → **$M = 4/1 = 4$** (pastram un esantion din 4). Copiile spectrului ajung acum la fiecare 1 MHz — exact cat latimea semnalului → **se ating, dar nu se suprapun**:
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** noua zona permisa e [$-f_s'/2$, $f_s'/2$] = [−0.5, 0.5] (cu $f_s' = 1$) — exact cat banda → incape fix.
+</note>
+{{ps:tip:q6_decimare.png?950|Decimare cu M = 4}}
+<note tip>
+**Raspuns b):**
+  - inmultim esantioanele (luate la 4 MHz) cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ → semnalul se muta din 1 MHz in 0 (devine complex: **IQ**)
+  - **filtru trece-jos digital** cu taierea la **0.5 MHz** → ramane doar semnalul, pe [−0.5, 0.5]
+  - **decimare cu M = 4** → **1 MHz**, cu toata informatia (semnal complex de latime 1 MHz, $f_s = 1$ MHz ≥ B ✓)
+</note>