Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- ps:cap8-leakage-ferestre [2026/11/11 12:41] – Cap 8 nou: DFT leakage, zero-padding, ferestre apache
+++ ps:cap8-leakage-ferestre [2026/11/11 13:47] (current) – Vocabular unificat: casuta (bin) si linie (in spectru) in Cap 6, Cap 8 si foaia de formule apache
@@ Line 11: / Line 11: @@
 <note tip>
 **Ideea capitolului in 3 fraze:**
-  - DFT-ul are "cutii" doar la anumite frecvente. Daca frecventa semnalului cade **intre** doua cutii, ea se **imprastie** peste toate cutiile. Asta e **leakage** (scurgere spectrala).
+  - DFT-ul are "casute" doar la anumite frecvente. Daca frecventa semnalului cade **intre** doua casute, ea se **imprastie** peste toate casutele. Asta e **leakage** (scurgere spectrala).
   - **Zero-padding** (adaugi zerouri la sfarsit) iti arata **mai multe puncte** din acelasi spectru, dar **nu** adauga informatie si **nu** micsoreaza scurgerea.
   - O **fereastra** (Hann, Hamming, Blackman) = inmultesti esantioanele cu o forma care coboara lin la 0 la capete. Scurgerea departe de varf scade mult; pretul: varful devine mai lat.
@@ Line 19: / Line 19: @@
 **Ce trebuie sa stii dinainte** (din [[ps:cap6-dft|Cap 6]]) — doar 4 lucruri:
   - DFT-ul primeste $N$ esantioane $x(0), x(1), \dots, x(N-1)$ si scoate $N$ numere $X(0), X(1), \dots, X(N-1)$. Marimea $|X(k)|$ spune **cat din frecventa numarul $k$ este in semnal**.
-  - Fiecare $k$ este o "cutie" (in engleza //bin//) cu o frecventa fixa: $f_k = k \cdot f_s / N$. Aici $f_s$ este frecventa de esantionare (cate esantioane pe secunda).
+  - Fiecare $k$ este o "casuta" (in engleza //bin//) cu o frecventa fixa: $f_k = k \cdot f_s / N$. Aici $f_s$ este frecventa de esantionare (cate esantioane pe secunda).
-  - Un cosinus de amplitudine $A$ aflat **exact** pe cutia $m$ da doua linii de inaltime $N \cdot A / 2$: una la $k = m$ si una la $k = N - m$. In rest, zero.
+  - Un cosinus de amplitudine $A$ aflat **exact** pe casuta $m$ da doua linii de inaltime $N \cdot A / 2$: una la $k = m$ si una la $k = N - m$. In rest, zero.
-  - Cutiile din jumatatea de sus ($k > N/2$) sunt **oglinda** jumatatii de jos (frecventele negative). Ne uitam mai ales la $k = 0 \dots N/2$.
+  - Casutele din jumatatea de sus ($k > N/2$) sunt **oglinda** jumatatii de jos (frecventele negative). Ne uitam mai ales la $k = 0 \dots N/2$.
 </note>
-===== 1. Problema: ce se intampla cand frecventa cade intre doua cutii =====
+===== 1. Problema: ce se intampla cand frecventa cade intre doua casute =====
-==== 1.1 Pregatirea: unde sunt cutiile ====
+==== 1.1 Pregatirea: unde sunt casutele ====
 Luam exemplul din curs: avem $N = 32$ esantioane.
-Ca sa avem si Hz, alegem $f_s = 3200$ Hz (3200 de esantioane pe secunda). Atunci distanta dintre doua cutii vecine este
+Ca sa avem si Hz, alegem $f_s = 3200$ Hz (3200 de esantioane pe secunda). Atunci distanta dintre doua casute vecine este
 $$ \frac{f_s}{N} = \frac{3200}{32} = 100 \text{ Hz} $$
-Deci cutiile sunt din 100 in 100 Hz:
+Deci casutele sunt din 100 in 100 Hz:
-^ cutia $k$ ^ 0 ^ 1 ^ 2 ^ ... ^ 8 ^ 9 ^ ... ^ 16 ^
+^ casuta $k$ ^ 0 ^ 1 ^ 2 ^ ... ^ 8 ^ 9 ^ ... ^ 16 ^
 | frecventa $f_k = k \cdot 100$ Hz | 0 | 100 | 200 | ... | **800** | **900** | ... | 1600 ($= f_s/2$) |
-**Exista cutie la 800 Hz. Exista cutie la 900 Hz. NU exista cutie la 850 Hz.** De aici vine toata problema.
+**Exista casuta la 800 Hz. Exista casuta la 900 Hz. NU exista casuta la 850 Hz.** De aici vine toata problema.
-==== 1.2 Semnalul A: cosinus la 800 Hz (pe cutie) ====
+==== 1.2 Semnalul A: cosinus la 800 Hz (pe casuta) ====
 $$ x_A(n) = \cos\left(2\pi \cdot \frac{8}{32} \cdot n\right) $$
-**Ce inseamna $8/32$:** cosinusul face **8 perioade complete** in cele 32 de esantioane. Frecventa lui in Hz este $8 \cdot f_s/32 = 8 \cdot 100 = 800$ Hz. Cade exact pe cutia $k = 8$.
+**Ce inseamna $8/32$:** cosinusul face **8 perioade complete** in cele 32 de esantioane. Frecventa lui in Hz este $8 \cdot f_s/32 = 8 \cdot 100 = 800$ Hz. Cade exact pe casuta $k = 8$.
-Rezultatul DFT (regula din Cap 6, cu $N = 32$, $A = 1$): o linie de inaltime $N \cdot A/2 = 32 \cdot 1/2 = 16$ la $k = 8$, oglinda ei la $k = 32 - 8 = 24$, si **zero in toate celelalte cutii**.
+Rezultatul DFT (regula din Cap 6, cu $N = 32$, $A = 1$): o linie de inaltime $N \cdot A/2 = 32 \cdot 1/2 = 16$ la $k = 8$, oglinda ei la $k = 32 - 8 = 24$, si **zero in toate celelalte casute**.
-==== 1.3 Semnalul B: cosinus la 850 Hz (intre cutii) ====
+==== 1.3 Semnalul B: cosinus la 850 Hz (intre casute) ====
 $$ x_B(n) = \cos\left(2\pi \cdot \frac{8.5}{32} \cdot n\right) $$
-Acum cosinusul face **8 perioade si jumatate** in cele 32 de esantioane. Frecventa: $8.5 \cdot 100 = 850$ Hz. Ar trebui sa stea in "cutia 8.5", dar o asemenea cutie nu exista.
+Acum cosinusul face **8 perioade si jumatate** in cele 32 de esantioane. Frecventa: $8.5 \cdot 100 = 850$ Hz. Ar trebui sa stea in "casuta 8.5", dar o asemenea casuta nu exista.
 Am calculat DFT-ul (cu calculatorul). Iata cateva valori, puse langa cele ale semnalului A:
-^ cutia $k$ ^ 0 ^ 5 ^ 6 ^ 7 ^ 8 ^ 9 ^ 10 ^ 11 ^ 12 ^ 16 ^
+^ casuta $k$ ^ 0 ^ 5 ^ 6 ^ 7 ^ 8 ^ 9 ^ 10 ^ 11 ^ 12 ^ 16 ^
-| frecventa cutiei [Hz] | 0 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 | 1600 |
+| frecventa casutei [Hz] | 0 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 | 1600 |
 | A (800 Hz): $\lvert X(k)\rvert$ | 0 | 0 | 0 | 0 | **16** | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
 | B (850 Hz): $\lvert X(k)\rvert$ | 1.00 | 1.62 | 2.17 | 3.49 | **10.25** | **10.15** | 3.40 | 2.07 | 1.53 | 1.00 |
@@ Line 64: / Line 64: @@
 {{ps:cap8:curat_vs_leakage.png?950|Spectrul curat (800 Hz) si spectrul cu leakage (850 Hz)}}
-**Ce vezi in desen:** pe orizontala e numarul cutiei $k$ (de la 0 la 31), pe verticala e $|X(k)|$. Sus (semnalul A): doua linii curate. Jos (semnalul B): nicio cutie nu mai e goala.
+**Ce vezi in desen:** pe orizontala e numarul casutei $k$ (de la 0 la 31), pe verticala e $|X(k)|$. Sus (semnalul A): doua linii curate. Jos (semnalul B): nicio casuta nu mai e goala.
 **Trei lucruri de observat la semnalul B:**
-  - Nu mai avem o singura linie. Cele mai inalte sunt cutiile **8 si 9** (vecinele lui 8.5), cu inaltimi aproape egale: 10.25 si 10.15.
+  - Nu mai avem o singura linie. Cele mai inalte sunt casutele **8 si 9** (vecinele lui 8.5), cu inaltimi aproape egale: 10.25 si 10.15.
   - Niciuna nu ajunge la 16. Inaltimea "s-a impartit".
-  - **Toate** cutiile au ceva in ele, pana si cutia 0 si cutia 16, care sunt departe de 850 Hz.
+  - **Toate** casutele au ceva in ele, pana si casuta 0 si casuta 16, care sunt departe de 850 Hz.
 <note tip>
@@ Line 77: / Line 77: @@
 ===== 2. Ce este leakage =====
-**Definitie in cuvinte simple.** //DFT leakage// (scurgerea spectrala) = fenomenul prin care o frecventa care **nu** cade exact pe o cutie a DFT-ului apare **imprastiata** in toate cutiile: mult in cele doua cutii vecine, din ce in ce mai putin in cele indepartate. Semnalul are o singura frecventa, dar spectrul calculat arata de parca ar avea multe.
+**Definitie in cuvinte simple.** //DFT leakage// (scurgerea spectrala) = fenomenul prin care o frecventa care **nu** cade exact pe o casuta a DFT-ului apare **imprastiata** in toate casutele: mult in cele doua casute vecine, din ce in ce mai putin in cele indepartate. Semnalul are o singura frecventa, dar spectrul calculat arata de parca ar avea multe.
 **Analogie.** Gandeste-te la o tava pentru cuburi de gheata, cu 32 de compartimente in sir. Torni apa dintr-o cana.
@@ Line 86: / Line 86: @@
 <note important>
-**Leakage-ul NU este in semnal.** Cosinusul de 850 Hz e un cosinus perfect, cu o singura frecventa. Scurgerea apare doar din felul in care **ne uitam** la el: prin $N$ esantioane si prin cutiile fixe ale DFT-ului.
+**Leakage-ul NU este in semnal.** Cosinusul de 850 Hz e un cosinus perfect, cu o singura frecventa. Scurgerea apare doar din felul in care **ne uitam** la el: prin $N$ esantioane si prin casutele fixe ale DFT-ului.
 </note>
@@ Line 100: / Line 100: @@
 ==== 3.1 Explicatia in timp: bucata nu se lipeste cu ea insasi ====
-**Pasul 1 — ce "crede" DFT-ul despre semnal.** Cutia $k$ corespunde unui cosinus care face exact $k$ perioade intregi in cele $N$ esantioane (cutia 1: o perioada, cutia 2: doua perioade, ...). Un asemenea cosinus, dupa $N$ esantioane, o ia de la capat **identic**. Orice suma de asemenea cosinusuri face la fel. Deci DFT-ul poate descrie doar semnale care **se repeta identic la fiecare $N$ esantioane**. Cu alte cuvinte: DFT-ul se poarta ca si cum cele $N$ esantioane ale tale ar fi puse cap la cap, la nesfarsit.
+**Pasul 1 — ce "crede" DFT-ul despre semnal.** Casuta $k$ corespunde unui cosinus care face exact $k$ perioade intregi in cele $N$ esantioane (casuta 1: o perioada, casuta 2: doua perioade, ...). Un asemenea cosinus, dupa $N$ esantioane, o ia de la capat **identic**. Orice suma de asemenea cosinusuri face la fel. Deci DFT-ul poate descrie doar semnale care **se repeta identic la fiecare $N$ esantioane**. Cu alte cuvinte: DFT-ul se poarta ca si cum cele $N$ esantioane ale tale ar fi puse cap la cap, la nesfarsit.
 **Pasul 2 — ne uitam cum arata semnalul pus cap la cap.** In desen am folosit un cosinus mai lent (2 si 2.5 perioade in loc de 8 si 8.5), ca sa se vada forma. Fenomenul e acelasi.
@@ Line 112: / Line 112: @@
 La exemplul nostru cu 8.5 perioade e la fel: ultimul esantion este $x(31) = 0.10$. Un cosinus adevarat ar continua cu $-1$. In schimb, copia incepe cu $x(0) = +1$. Salt.
-**Pasul 3 — de ce saltul strica spectrul.** Un salt este o schimbare brusca. Ca sa construiesti o schimbare brusca din cosinusuri ai nevoie de **foarte multe frecvente** (la fel ca la unda patrata din [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2]], care are armonici la nesfarsit din cauza muchiilor). De aceea DFT-ul pune cate ceva in **toate** cutiile.
+**Pasul 3 — de ce saltul strica spectrul.** Un salt este o schimbare brusca. Ca sa construiesti o schimbare brusca din cosinusuri ai nevoie de **foarte multe frecvente** (la fel ca la unda patrata din [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2]], care are armonici la nesfarsit din cauza muchiilor). De aceea DFT-ul pune cate ceva in **toate** casutele.
 <note tip>
@@ Line 166: / Line 166: @@
 $$ |R(k)| = [8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0] $$
-  * $R(0) = 8$: cutia 0 este pur si simplu **suma** esantioanelor: $1 + 1 + \dots + 1 = 8$.
+  * $R(0) = 8$: casuta 0 este pur si simplu **suma** esantioanelor: $1 + 1 + \dots + 1 = 8$.
   * $R(k) = 0$ pentru $k \ne 0$: acolo aduni 8 sageti de lungime 1 raspandite egal pe cerc; se anuleaza intre ele ([[ps:cap6-dft|Cap 6]]).
-Pare ca spectrul ferestrei e o singura linie. Dar noi am citit doar valorile din cutii. **Ce e intre cutii?** Ca sa vedem, calculam DFT-ul in de doua ori mai multe puncte (punem dupa cei 8 de 1 inca 8 zerouri, deci $N = 16$; de ce merge asa: sectiunea 5):
+Pare ca spectrul ferestrei e o singura linie. Dar noi am citit doar valorile din casute. **Ce e intre casute?** Ca sa vedem, calculam DFT-ul in de doua ori mai multe puncte (punem dupa cei 8 de 1 inca 8 zerouri, deci $N = 16$; de ce merge asa: sectiunea 5):
 ^ $k$ (din 16) ^ 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 ^ 6 ^ 7 ^ 8 ^
 | $\lvert R(k)\rvert$ | **8** | 5.13 | 0 | 1.80 | 0 | 1.20 | 0 | 1.02 | 0 |
-Cutiile pare (0, 2, 4, ...) sunt cutiile vechi: 8, apoi zerouri. Cutiile impare sunt punctele **dintre** ele, si acolo **nu** e zero. Intre cutii era ascunsa o curba: un deal mare, apoi dealuri din ce in ce mai mici, cu zerouri intre ele.
+Casutele pare (0, 2, 4, ...) sunt casutele vechi: 8, apoi zerouri. Casutele impare sunt punctele **dintre** ele, si acolo **nu** e zero. Intre casute era ascunsa o curba: un deal mare, apoi dealuri din ce in ce mai mici, cu zerouri intre ele.
 ==== 4.2 Formula din curs ====
@@ Line 205: / Line 205: @@
 $$ k = l \cdot \frac{N}{M}, \qquad l = \pm 1, \pm 2, \dots $$
-**Cazul obisnuit: $M = N$** (fara zero-padding: toate cele $N$ puncte sunt esantioane reale). Atunci $N/M = 1$, deci zerourile sunt la $k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ fata de varf — adica **la fiecare cutie**. Lobul principal se intinde de la $-1$ la $+1$: e **lat de 2 cutii**.
+**Cazul obisnuit: $M = N$** (fara zero-padding: toate cele $N$ puncte sunt esantioane reale). Atunci $N/M = 1$, deci zerourile sunt la $k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ fata de varf — adica **la fiecare casuta**. Lobul principal se intinde de la $-1$ la $+1$: e **lat de 2 casute**.
-==== 4.4 De ce NU se vede nimic cand frecventa e exact pe o cutie ====
+==== 4.4 De ce NU se vede nimic cand frecventa e exact pe o casuta ====
 Aici e cheia intregului capitol. Curba (spectrul ferestrei) este **mereu** acolo, in jurul frecventei semnalului. Dar DFT-ul nu vede curba intreaga. El **citeste curba doar la $k$ intreg**.
-{{ps:cap8:dsinc_pe_cutii.png?950|Curba dsinc citita pe cutii si intre cutii}}
+{{ps:cap8:dsinc_pe_cutii.png?950|Curba dsinc citita pe casute si intre casute}}
-**Ce vezi in desen:** pe orizontala e cutia $k$, pe verticala $|X(k)|$. Portocaliu = curba (spectrul ferestrei, mutat pe frecventa reala; linia rosie punctata arata frecventa reala). Albastru = ce scoate DFT-ul: valoarea curbei doar in dreptul numerelor intregi.
+**Ce vezi in desen:** pe orizontala e casuta $k$, pe verticala $|X(k)|$. Portocaliu = curba (spectrul ferestrei, mutat pe frecventa reala; linia rosie punctata arata frecventa reala). Albastru = ce scoate DFT-ul: valoarea curbei doar in dreptul numerelor intregi.
-  * **Sus (frecventa pe cutia 8):** cutia 8 citeste varful (16). Cutiile 7, 9, 6, 10, ... cad **exact pe zerourile** curbei. Citesc 0. Scurgerea exista, dar nu se vede.
+  * **Sus (frecventa pe casuta 8):** casuta 8 citeste varful (16). Casutele 7, 9, 6, 10, ... cad **exact pe zerourile** curbei. Citesc 0. Scurgerea exista, dar nu se vede.
-  * **Jos (frecventa la 8.5):** curba s-a mutat cu o jumatate de cutie. Acum cutiile cad **pe lobi**: cutiile 8 si 9 pe coastele lobului principal (10.3 si 10.2), cutiile 7 si 10 pe primii lobi laterali (3.5 si 3.4), si asa mai departe.
+  * **Jos (frecventa la 8.5):** curba s-a mutat cu o jumatate de casuta. Acum casutele cad **pe lobi**: casutele 8 si 9 pe coastele lobului principal (10.3 si 10.2), casutele 7 si 10 pe primii lobi laterali (3.5 si 3.4), si asa mai departe.
-**Verificare cu formula.** Cutia 8 e la distanta de 0.5 cutii de frecventa reala (8.5). Cosinusul de amplitudine 1 inseamna doua linii de inaltime $1/2$ ([[ps:cap0-baze|Cap 0]]), deci curba din jurul lui 8.5 este $\frac{1}{2} \cdot$ dsinc. La distanta 0.5, cu $M = N = 32$:
+**Verificare cu formula.** Casuta 8 e la distanta de 0.5 casute de frecventa reala (8.5). Cosinusul de amplitudine 1 inseamna doua linii de inaltime $1/2$ ([[ps:cap0-baze|Cap 0]]), deci curba din jurul lui 8.5 este $\frac{1}{2} \cdot$ dsinc. La distanta 0.5, cu $M = N = 32$:
 $$ \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{\sin(\pi \cdot 0.5)}{\sin(\pi \cdot 0.5 / 32)} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0.0491} = 10.19 $$
-DFT-ul a dat 10.25. (Diferenta mica vine de la copia din oglinda, cea din jurul lui 23.5, care ajunge cu coada ei pana aici.) La distanta 1.5 (cutia 7 sau 10): $\frac{1}{2} \cdot 1/\sin(\pi \cdot 1.5/32) = 3.41$ ✓.
+DFT-ul a dat 10.25. (Diferenta mica vine de la copia din oglinda, cea din jurul lui 23.5, care ajunge cu coada ei pana aici.) La distanta 1.5 (casuta 7 sau 10): $\frac{1}{2} \cdot 1/\sin(\pi \cdot 1.5/32) = 3.41$ ✓.
 <note important>
-**De retinut:** leakage-ul exista **intotdeauna** (fereastra e intotdeauna acolo). Cand frecventa cade exact pe o cutie, el doar **nu se vede**, pentru ca celelalte cutii nimeresc exact in zerourile dsinc-ului.
+**De retinut:** leakage-ul exista **intotdeauna** (fereastra e intotdeauna acolo). Cand frecventa cade exact pe o casuta, el doar **nu se vede**, pentru ca celelalte casute nimeresc exact in zerourile dsinc-ului.
 </note>
@@ Line 248: / Line 248: @@
 | $\lvert X'(k)\rvert$ | 0 | 1.08 | 0 | 2.61 | **4** | 2.61 | 0 | 1.08 | 0 |
-(Cutiile 9...15 sunt oglinda: 1.08, 0, 2.61, **4**, 2.61, 0, 1.08.)
+(Casutele 9...15 sunt oglinda: 1.08, 0, 2.61, **4**, 2.61, 0, 1.08.)
 **Patru lucruri de observat:**
-  - **Varful s-a mutat de la $k = 2$ la $k = 4$.** Frecventa e aceeasi! Inainte: $2 \cdot f_s/8 = f_s/4$. Acum: $4 \cdot f_s/16 = f_s/4$. S-a schimbat doar numerotarea, pentru ca acum cutiile sunt de doua ori mai dese ($f_s/16$ in loc de $f_s/8$).
+  - **Varful s-a mutat de la $k = 2$ la $k = 4$.** Frecventa e aceeasi! Inainte: $2 \cdot f_s/8 = f_s/4$. Acum: $4 \cdot f_s/16 = f_s/4$. S-a schimbat doar numerotarea, pentru ca acum casutele sunt de doua ori mai dese ($f_s/16$ in loc de $f_s/8$).
   - **Inaltimea varfului a ramas 4**, nu a devenit 8. Zerourile adaugate nu aduna nimic la suma. Varful este $M \cdot A/2$, unde $M$ = numarul de esantioane **reale** (8), nu lungimea DFT-ului (16).
-  - **Cutiile pare** (0, 2, 4, 6, 8) sunt exact cutiile vechi (0, 1, 2, 3, 4). Au aceleasi valori ca inainte: 0, 0, 4, 0, 0.
+  - **Casutele pare** (0, 2, 4, 6, 8) sunt exact casutele vechi (0, 1, 2, 3, 4). Au aceleasi valori ca inainte: 0, 0, 4, 0, 0.
-  - **Cutiile impare** sunt noi. Ele cad **intre** cutiile vechi, adica pe lobii curbei din sectiunea 4. De aceea nu sunt zero.
+  - **Casutele impare** sunt noi. Ele cad **intre** casutele vechi, adica pe lobii curbei din sectiunea 4. De aceea nu sunt zero.
 <note tip>
@@ Line 262: / Line 262: @@
 ==== 5.2 Ce FACE zero-padding-ul: iti arata mai multe puncte din aceeasi curba ====
-Revenim la $N = 32$, $f_s = 3200$ Hz, cosinus la 800 Hz (pe cutie).
+Revenim la $N = 32$, $f_s = 3200$ Hz, cosinus la 800 Hz (pe casuta).
 {{ps:cap8:zero_padding.png?950|Zero-padding: aceeasi curba, citita in tot mai multe puncte}}
 **Ce vezi in desen:** pe orizontala frecventa in Hz (de la 0 la $f_s/2 = 1600$), pe verticala $|X(k)|$. Portocaliu = curba (aceeasi in toate cele trei desene). Albastru = punctele DFT-ului.
-  * **Sus, fara zero-padding (32 de puncte):** cutii din 100 in 100 Hz. Toate cad pe varf sau pe zerouri → o singura linie.
+  * **Sus, fara zero-padding (32 de puncte):** casute din 100 in 100 Hz. Toate cad pe varf sau pe zerouri → o singura linie.
-  * **Mijloc, zero-padding la 64:** cutii din 50 in 50 Hz. Apar punctele dintre cutiile vechi: 10.2 langa varf, 3.4, 2.1, ...
+  * **Mijloc, zero-padding la 64:** casute din 50 in 50 Hz. Apar punctele dintre casutele vechi: 10.2 langa varf, 3.4, 2.1, ...
-  * **Jos, zero-padding la 256:** cutii din 12.5 in 12.5 Hz. Punctele sunt atat de dese ca se vede toata curba.
+  * **Jos, zero-padding la 256:** casute din 12.5 in 12.5 Hz. Punctele sunt atat de dese ca se vede toata curba.
-In limbajul din curs: semnalul are $M$ esantioane reale si $N'$ puncte in total. Zerourile dsinc-ului sunt la fiecare $N'/M$ cutii (sectiunea 4.3). Cu $N' = 2M$, doar **una din doua** cutii mai cade pe un zero. Celelalte arata curba.
+In limbajul din curs: semnalul are $M$ esantioane reale si $N'$ puncte in total. Zerourile dsinc-ului sunt la fiecare $N'/M$ casute (sectiunea 4.3). Cu $N' = 2M$, doar **una din doua** casute mai cade pe un zero. Celelalte arata curba.
 **La ce foloseste:**
   * vezi **forma** spectrului (lobul principal, lobii laterali), nu doar cateva puncte;
-  * gasesti mai precis **unde e varful** cand frecventa e intre doua cutii (punctele dese ajung mai aproape de varful lobului).
+  * gasesti mai precis **unde e varful** cand frecventa e intre doua casute (punctele dese ajung mai aproape de varful lobului).
 ==== 5.3 Ce NU face zero-padding-ul ====
@@ Line 282: / Line 282: @@
 **Zero-padding-ul NU adauga informatie.** Zerourile nu spun nimic despre semnal. Ele doar te lasa sa citesti curba in mai multe locuri.
   * **NU micsoreaza leakage-ul.** Curba (dsinc-ul) ramane aceeasi: aceiasi lobi laterali, la fel de inalti. Ba chiar il face **vizibil** acolo unde inainte era ascuns in zerouri.
-  * **NU te ajuta sa deosebesti doua frecvente apropiate.** Latimea lobului principal e data de numarul de esantioane **reale** $M$: este de 2 cutii vechi, adica $2 f_s / M$ Hz. Doua frecvente mai apropiate decat atat se contopesc intr-un singur deal, oricate zerouri ai adauga.
+  * **NU te ajuta sa deosebesti doua frecvente apropiate.** Latimea lobului principal e data de numarul de esantioane **reale** $M$: este de 2 casute vechi, adica $2 f_s / M$ Hz. Doua frecvente mai apropiate decat atat se contopesc intr-un singur deal, oricate zerouri ai adauga.
 </note>
@@ Line 289: / Line 289: @@
 {{ps:cap8:zero_padding_nu_separa.png?950|Zero-padding nu separa doua frecvente apropiate}}
-**Ce vezi in desen:** pe orizontala frecventa in Hz, pe verticala $|X(k)|$ impartit la $N/2$ (ca un cosinus de amplitudine 1 pe cutie sa dea inaltimea 1). Liniile mov punctate = cele doua frecvente reale.
+**Ce vezi in desen:** pe orizontala frecventa in Hz, pe verticala $|X(k)|$ impartit la $N/2$ (ca un cosinus de amplitudine 1 pe casuta sa dea inaltimea 1). Liniile mov punctate = cele doua frecvente reale.
   * **Sus (32 de esantioane reale):** lobul principal e lat de $2 \cdot 3200/32 = 200$ Hz. Cele doua frecvente sunt la doar 50 Hz una de alta → se vede **un singur deal**.
   * **Mijloc (aceleasi 32 de esantioane + zero-padding la 256):** curba e desenata mai fin, dar e **tot un singur deal**. Nu poti spune ca sunt doua frecvente.
@@ Line 299: / Line 299: @@
 ^ ^ Zero-padding (adaugi zerouri) ^ Mai multe esantioane reale ^
-| distanta dintre cutii | scade | scade |
+| distanta dintre casute | scade | scade |
 | numarul de puncte din desen | creste | creste |
 | latimea lobului principal (in Hz) | **ramane la fel** | **scade** |
@@ Line 334: / Line 334: @@
 ==== 6.2 Efectul pe exemplul nostru (cosinus la 8.5, N = 32) ====
-^ cutia $k$ ^ 0 ^ 4 ^ 5 ^ 6 ^ 7 ^ 8 ^ 9 ^ 10 ^ 11 ^ 12 ^ 16 ^
+^ casuta $k$ ^ 0 ^ 4 ^ 5 ^ 6 ^ 7 ^ 8 ^ 9 ^ 10 ^ 11 ^ 12 ^ 16 ^
 | fara fereastra: $\lvert X(k)\rvert$ | 1.00 | 1.33 | 1.62 | 2.17 | 3.49 | **10.25** | **10.15** | 3.40 | 2.07 | 1.53 | 1.00 |
 | cu fereastra Hann: $\lvert X(k)\rvert$ | 0.004 | 0.03 | 0.07 | 0.20 | 1.51 | **6.65** | **6.65** | 1.51 | 0.20 | 0.07 | 0.006 |
@@ Line 340: / Line 340: @@
 {{ps:cap8:fereastra_efect.png?950|Spectrul cosinusului de la 8.5, fara si cu fereastra Hann}}
-**Ce vezi in desen:** pe orizontala cutia $k$ (doar 0...16), pe verticala $|X(k)|$. Sus fara fereastra: toate cutiile au cel putin 1. Jos cu fereastra Hann: mai raman vizibile doar cutiile 7, 8, 9, 10; restul sunt aproape 0.
+**Ce vezi in desen:** pe orizontala casuta $k$ (doar 0...16), pe verticala $|X(k)|$. Sus fara fereastra: toate casutele au cel putin 1. Jos cu fereastra Hann: mai raman vizibile doar casutele 7, 8, 9, 10; restul sunt aproape 0.
-**Ce ai castigat:** departe de varf, scurgerea a scazut enorm. In cutia 0: de la 1.00 la 0.004, adica de 250 de ori mai putin. In cutia 12: de la 1.53 la 0.07.
+**Ce ai castigat:** departe de varf, scurgerea a scazut enorm. In casuta 0: de la 1.00 la 0.004, adica de 250 de ori mai putin. In casuta 12: de la 1.53 la 0.07.
 **Ce ai pierdut (nimic nu e gratis):**
-  - **Varful e mai scund:** 6.65 in loc de 10.25. Fereastra micsoreaza esantioanele de la capete, deci "ia" din semnal. (Cu Hann, un cosinus aflat exact pe cutie da cam 8 in loc de 16: jumatate.)
+  - **Varful e mai scund:** 6.65 in loc de 10.25. Fereastra micsoreaza esantioanele de la capete, deci "ia" din semnal. (Cu Hann, un cosinus aflat exact pe casuta da cam 8 in loc de 16: jumatate.)
-  - **Varful e mai lat:** lobul principal al ferestrei Hann are **4 cutii** in loc de 2. Chiar si un cosinus aflat exact pe cutia 8 nu mai da o singura linie, ci trei: cam 4 la $k = 7$, 8 la $k = 8$, 4 la $k = 9$. Doua frecvente apropiate se deosebesc mai greu.
+  - **Varful e mai lat:** lobul principal al ferestrei Hann are **4 casute** in loc de 2. Chiar si un cosinus aflat exact pe casuta 8 nu mai da o singura linie, ci trei: cam 4 la $k = 7$, 8 la $k = 8$, 4 la $k = 9$. Doua frecvente apropiate se deosebesc mai greu.
 <note tip>
@@ Line 356: / Line 356: @@
 {{ps:cap8:ferestre_spectru.png?950|Spectrele celor patru ferestre}}
-**Ce vezi in desen:** spectrul fiecarei ferestre. Pe orizontala: distanta fata de frecventa reala, in cutii. Pe verticala: inaltimea fata de varf, in decibeli ([[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5]]): 0 dB = varful, $-20$ dB = de 10 ori mai mic, $-40$ dB = de 100 de ori mai mic, $-60$ dB = de 1000 de ori mai mic. Sageata neagra = latimea lobului principal. Linia rosie = cel mai inalt lob lateral.
+**Ce vezi in desen:** spectrul fiecarei ferestre. Pe orizontala: distanta fata de frecventa reala, in casute. Pe verticala: inaltimea fata de varf, in decibeli ([[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5]]): 0 dB = varful, $-20$ dB = de 10 ori mai mic, $-40$ dB = de 100 de ori mai mic, $-60$ dB = de 1000 de ori mai mic. Sageata neagra = latimea lobului principal. Linia rosie = cel mai inalt lob lateral.
 ^ Fereastra ^ Latimea lobului principal ^ Cel mai mare lob lateral, fata de varf ^ In cuvinte ^
-| dreptunghiulara (adica "fara fereastra") | 2 cutii | $-13$ dB (de vreo 4.6 ori mai mic) | varf ingust, scurgere mare |
+| dreptunghiulara (adica "fara fereastra") | 2 casute | $-13$ dB (de vreo 4.6 ori mai mic) | varf ingust, scurgere mare |
-| Hann (Hanning) | 4 cutii | $-31$ dB (de vreo 38 de ori mai mic) | scurgerea scade repede cu distanta |
+| Hann (Hanning) | 4 casute | $-31$ dB (de vreo 38 de ori mai mic) | scurgerea scade repede cu distanta |
-| Hamming | 4 cutii | $-42$ dB (de vreo 130 de ori mai mic) | primul lob lateral foarte mic; urmatorii scad incet |
+| Hamming | 4 casute | $-42$ dB (de vreo 130 de ori mai mic) | primul lob lateral foarte mic; urmatorii scad incet |
-| Blackman | 6 cutii | $-58$ dB (de vreo 800 de ori mai mic) | scurgere foarte mica, varf foarte lat |
+| Blackman | 6 casute | $-58$ dB (de vreo 800 de ori mai mic) | scurgere foarte mica, varf foarte lat |
 **Regula:** cu cat cobori pe tabel, lobii laterali sunt mai mici (bine), dar lobul principal e mai lat (rau).
@@ Line 368: / Line 368: @@
 ==== 6.4 Exemplul din curs: un semnal mic ascuns de scurgerea unuia mare ====
-$f_s = 8000$ Hz, $N = 256$. Distanta dintre cutii: $8000/256 = 31.25$ Hz. Semnalul are doua cosinusuri: unul **mare** la $f_1$ si unul **foarte mic** (de 500 de ori mai mic) la $f_2 = 2000$ Hz.
+$f_s = 8000$ Hz, $N = 256$. Distanta dintre casute: $8000/256 = 31.25$ Hz. Semnalul are doua cosinusuri: unul **mare** la $f_1$ si unul **foarte mic** (de 500 de ori mai mic) la $f_2 = 2000$ Hz.
-Verificam cine e pe cutie, cu regula $k = f \cdot N / f_s$:
+Verificam cine e pe casuta, cu regula $k = f \cdot N / f_s$:
-  * $f_2 = 2000$: $2000 \cdot 256/8000 = 64$ → pe cutie
+  * $f_2 = 2000$: $2000 \cdot 256/8000 = 64$ → pe casuta
-  * $f_1 = 1000$: $1000 \cdot 256/8000 = 32$ → pe cutie
+  * $f_1 = 1000$: $1000 \cdot 256/8000 = 32$ → pe casuta
-  * $f_1 = 1150$: $1150 \cdot 256/8000 = 36.8$ → **intre cutii** → leakage
+  * $f_1 = 1150$: $1150 \cdot 256/8000 = 36.8$ → **intre casute** → leakage
 {{ps:cap8:semnal_mic_ascuns.png?950|Semnalul mic de la 2000 Hz: vizibil, acoperit de scurgere, vizibil din nou cu fereastra}}
 **Ce vezi in desen:** pe orizontala frecventa in Hz (0...4000), pe verticala $|X(k)|$ fata de varf, in dB (ca sa se vada si lucrurile foarte mici). Linia mov punctata = 2000 Hz, unde e semnalul mic.
-  * **Sus ($f_1 = 1000$ Hz, pe cutie):** doua linii curate. Cea mica se vede fara probleme, pentru ca in jurul ei nu e nimic.
+  * **Sus ($f_1 = 1000$ Hz, pe casuta):** doua linii curate. Cea mica se vede fara probleme, pentru ca in jurul ei nu e nimic.
-  * **Mijloc ($f_1 = 1150$ Hz, intre cutii, fara fereastra):** scurgerea semnalului mare umple tot spectrul la un nivel cam cat semnalul mic. Linia de la 2000 Hz **nu se mai deosebeste** de vecinele ei.
+  * **Mijloc ($f_1 = 1150$ Hz, intre casute, fara fereastra):** scurgerea semnalului mare umple tot spectrul la un nivel cam cat semnalul mic. Linia de la 2000 Hz **nu se mai deosebeste** de vecinele ei.
   * **Jos ($f_1 = 1150$ Hz, cu fereastra Hann):** scurgerea scade repede pe masura ce te departezi de 1150 Hz. La 2000 Hz a ajuns mult sub semnalul mic → acesta **se vede din nou**.
@@ Line 393: / Line 393: @@
 ^ Metoda ^ Ce face ^ Pretul ^
-| **1. Fereastra** (Hann, Hamming, Blackman) in loc de cea dreptunghiulara | lobi laterali mult mai mici → scurgerea departe de varf scade mult | lob principal mai lat (4–6 cutii in loc de 2), varf mai scund |
+| **1. Fereastra** (Hann, Hamming, Blackman) in loc de cea dreptunghiulara | lobi laterali mult mai mici → scurgerea departe de varf scade mult | lob principal mai lat (4–6 casute in loc de 2), varf mai scund |
-| **2. Mai multe esantioane reale** ($N$ mai mare) | cutiile sunt mai dese, lobii sunt mai ingusti in Hz ($2f_s/N$) → scurgerea ramane stransa langa frecventa reala | trebuie sa inregistrezi mai mult timp |
+| **2. Mai multe esantioane reale** ($N$ mai mare) | casutele sunt mai dese, lobii sunt mai ingusti in Hz ($2f_s/N$) → scurgerea ramane stransa langa frecventa reala | trebuie sa inregistrezi mai mult timp |
-| **3. Alegi $N$ (sau $f_s$) ca sa incapa un numar intreg de perioade** ($f \cdot N/f_s$ intreg) | cutiile cad pe zerourile dsinc-ului → scurgerea nu se vede deloc | merge doar daca stii dinainte frecventa semnalului |
+| **3. Alegi $N$ (sau $f_s$) ca sa incapa un numar intreg de perioade** ($f \cdot N/f_s$ intreg) | casutele cad pe zerourile dsinc-ului → scurgerea nu se vede deloc | merge doar daca stii dinainte frecventa semnalului |
 <note warning>
@@ Line 419: / Line 419: @@
 === PUNCTUL a) — DFT cu N = 64 ===
-**Ce se cere:** in ce cutii apar linii si ce inaltime au.
+**Ce se cere:** in ce casute apar linii si ce inaltime au.
 **Ce stim:** $N = 64$; trei cosinusuri de amplitudine $A = 1$ la $f_s/8$, $f_s/4$, $3f_s/8$.
-**Pas 1 — in ce cutie cade fiecare frecventa.** Regula: $k = f \cdot N / f_s$.
+**Pas 1 — in ce casuta cade fiecare frecventa.** Regula: $k = f \cdot N / f_s$.
   * $f_s/8$: $k = \frac{f_s}{8} \cdot \frac{64}{f_s} = \frac{64}{8} = 8$
   * $f_s/4$: $k = \frac{64}{4} = 16$
@@ Line 432: / Line 432: @@
 </note>
-**Pas 2 — apare leakage?** Toate trei numerele (8, 16, 24) sunt **intregi** → toate frecventele cad exact pe cutii → **nu se vede leakage**. (Altfel spus: in cele 64 de esantioane incap exact 8, 16 si 24 de perioade.)
+**Pas 2 — apare leakage?** Toate trei numerele (8, 16, 24) sunt **intregi** → toate frecventele cad exact pe casute → **nu se vede leakage**. (Altfel spus: in cele 64 de esantioane incap exact 8, 16 si 24 de perioade.)
-**Pas 3 — inaltimea liniilor.** Cosinus de amplitudine $A$ pe cutie → $N \cdot A / 2 = 64 \cdot 1/2 = 32$.
+**Pas 3 — inaltimea liniilor.** Cosinus de amplitudine $A$ pe casuta → $N \cdot A / 2 = 64 \cdot 1/2 = 32$.
 **Pas 4 — oglinda.** Fiecare linie de la $k$ are perechea la $N - k$: $64 - 8 = 56$, $64 - 16 = 48$, $64 - 24 = 40$.
-**Raspuns a):** **6 linii de inaltime 32**, la $k = 8, 16, 24$ si la $k = 40, 48, 56$. Toate celelalte cutii sunt 0. (Desenul de sus, mai jos.)
+**Raspuns a):** **6 linii de inaltime 32**, la $k = 8, 16, 24$ si la $k = 40, 48, 56$. Toate celelalte casute sunt 0. (Desenul de sus, mai jos.)
 === PUNCTUL b) — zero-padding la 128 ===
@@ Line 446: / Line 446: @@
 **Ce stim:** $M = 64$ esantioane reale, $N' = 128$ puncte in total.
-**Pas 1 — unde ajung varfurile.** Cutiile sunt acum de doua ori mai dese ($f_s/128$). Aceeasi regula, cu $N' = 128$:
+**Pas 1 — unde ajung varfurile.** Casutele sunt acum de doua ori mai dese ($f_s/128$). Aceeasi regula, cu $N' = 128$:
   * $f_s/8$: $k' = 128/8 = 16$
   * $f_s/4$: $k' = 128/4 = 32$
@@ Line 452: / Line 452: @@
   * oglinzile: $128 - 16 = 112$, $128 - 32 = 96$, $128 - 48 = 80$
-Numerele cutiilor s-au dublat. **Frecventele sunt aceleasi.**
+Numerele casutelor s-au dublat. **Frecventele sunt aceleasi.**
 **Pas 2 — inaltimea varfurilor.** Ramane **32**, nu devine 64. Varful este $M \cdot A/2$ cu $M$ = numarul de esantioane reale: $64 \cdot 1/2 = 32$. Zerourile nu aduna nimic.
-**Pas 3 — cutiile pare.** Cutiile pare ($k' = 0, 2, 4, \dots$) sunt exact cutiile vechi ($k = 0, 1, 2, \dots$). Au aceleasi valori ca la punctul a): 32 in varfuri, 0 in rest.
+**Pas 3 — casutele pare.** Casutele pare ($k' = 0, 2, 4, \dots$) sunt exact casutele vechi ($k = 0, 1, 2, \dots$). Au aceleasi valori ca la punctul a): 32 in varfuri, 0 in rest.
-**Pas 4 — cutiile impare (ce e nou).** Cutiile impare cad **intre** cutiile vechi. Acolo dsinc-ul nu e zero, deci apar valori nenule:
+**Pas 4 — casutele impare (ce e nou).** Casutele impare cad **intre** casutele vechi. Acolo dsinc-ul nu e zero, deci apar valori nenule:
-  * langa fiecare varf (la o jumatate de cutie veche): cam $0.64 \cdot 32 \approx 20$. Valorile exacte: 21.4 la $k' = 15$, 19.4 la $k' = 17$, 20.4 la $k' = 31$ si $33$, 19.4 la $k' = 47$, 21.4 la $k' = 49$.
+  * langa fiecare varf (la o jumatate de casuta veche): cam $0.64 \cdot 32 \approx 20$. Valorile exacte: 21.4 la $k' = 15$, 19.4 la $k' = 17$, 20.4 la $k' = 31$ si $33$, 19.4 la $k' = 47$, 21.4 la $k' = 49$.
   * mai departe de varfuri: intre 3 si 8.
 <note tip>
-**De unde vine 0.64?** La o jumatate de cutie de varf, dsinc-ul are $2/\pi \approx 0.64$ din inaltimea varfului (e acelasi 10.2 din 16 de la exemplul cu 8.5). Deci un cosinus singur ar da $0.64 \cdot 32 = 20.4$. Valorile ies putin diferite (19.4 ... 21.4) pentru ca in fiecare cutie se aduna si cozile celorlalte cosinusuri.
+**De unde vine 0.64?** La o jumatate de casuta de varf, dsinc-ul are $2/\pi \approx 0.64$ din inaltimea varfului (e acelasi 10.2 din 16 de la exemplul cu 8.5). Deci un cosinus singur ar da $0.64 \cdot 32 = 20.4$. Valorile ies putin diferite (19.4 ... 21.4) pentru ca in fiecare casuta se aduna si cozile celorlalte cosinusuri.
 </note>
 **Raspuns b):**
-  * varfurile se muta la $k' = 16, 32, 48$ (si oglinzile $80, 96, 112$) — aceleasi frecvente, numerotate cu cutii de doua ori mai dese;
+  * varfurile se muta la $k' = 16, 32, 48$ (si oglinzile $80, 96, 112$) — aceleasi frecvente, numerotate cu casute de doua ori mai dese;
   * inaltimea lor ramane 32;
-  * intre varfuri, in cutiile impare, apar valori nenule: se vede forma dsinc (lobii) din jurul fiecarei linii;
+  * intre varfuri, in casutele impare, apar valori nenule: se vede forma dsinc (lobii) din jurul fiecarei linii;
   * **nu** s-a castigat informatie si **nu** s-a imbunatatit separarea frecventelor: avem tot 64 de esantioane reale. Spectrul e doar citit in de doua ori mai multe puncte.
 {{ps:cap8:p1_n64_n128.png?950|Problema 1: spectrul cu N = 64 si dupa zero-padding la 128}}
-**Ce vezi in desen:** pe orizontala cutia $k$, pe verticala $|S(k)|$. Sus (punctul a): 6 linii curate de inaltime 32. Jos (punctul b): varfurile sunt la cutii cu numar dublu, tot de inaltime 32; cutiile pare dintre ele sunt 0; cutiile impare arata lobii.
+**Ce vezi in desen:** pe orizontala casuta $k$, pe verticala $|S(k)|$. Sus (punctul a): 6 linii curate de inaltime 32. Jos (punctul b): varfurile sunt la casute cu numar dublu, tot de inaltime 32; casutele pare dintre ele sunt 0; casutele impare arata lobii.
 <note important>
-**Capcana:** dupa zero-padding spectrul **arata** ca si cum ar fi aparut leakage. Formularea corecta: scurgerea (dsinc-ul) era acolo de la inceput; la $N = 64$ toate cutiile cadeau pe zerourile ei, iar acum jumatate din cutii cad intre zerouri si o arata.
+**Capcana:** dupa zero-padding spectrul **arata** ca si cum ar fi aparut leakage. Formularea corecta: scurgerea (dsinc-ul) era acolo de la inceput; la $N = 64$ toate casutele cadeau pe zerourile ei, iar acum jumatate din casute cad intre zerouri si o arata.
 </note>
@@ Line 493: / Line 493: @@
 **Ce se cere:** da / nu, cu justificare.
-**Ce stim (regula din sectiunea 3.1):** calculezi $k = f \cdot N / f_s$. Daca iese **intreg** → frecventa e pe cutie → nu se vede leakage. Daca nu → leakage.
+**Ce stim (regula din sectiunea 3.1):** calculezi $k = f \cdot N / f_s$. Daca iese **intreg** → frecventa e pe casuta → nu se vede leakage. Daca nu → leakage.
 **Pasi (acelasi calcul de 5 ori):**
-  * **a)** $1000 \cdot 256 / 8000 = 32$ → intreg → **fara leakage**. Linia e in cutia 32.
+  * **a)** $1000 \cdot 256 / 8000 = 32$ → intreg → **fara leakage**. Linia e in casuta 32.
-  * **b)** $1150 \cdot 256 / 8000 = 36.8$ → nu e intreg → **leakage**. Cele mai inalte cutii: 36 si 37 (37 e mai inalta, fiind mai aproape de 36.8).
+  * **b)** $1150 \cdot 256 / 8000 = 36.8$ → nu e intreg → **leakage**. Cele mai inalte casute: 36 si 37 (37 e mai inalta, fiind mai aproape de 36.8).
   * **c)** $50 \cdot 100 / 1000 = 5$ → intreg → **fara leakage**.
-  * **d)** $50 \cdot 128 / 1000 = 6.4$ → nu e intreg → **leakage**. Cele mai inalte cutii: 6 si 7 (6 e mai inalta).
+  * **d)** $50 \cdot 128 / 1000 = 6.4$ → nu e intreg → **leakage**. Cele mai inalte casute: 6 si 7 (6 e mai inalta).
   * **e)** $440 \cdot 1024 / 44100 = 10.22$ → nu e intreg → **leakage**.
@@ Line 516: / Line 516: @@
 **Ce se cere:** frecventa cosinusului, aproximativ.
-**Ce stim:** cutiile sunt din $3200/32 = 100$ in 100 Hz. Pe axa orizontala sunt trecute direct frecventele cutiilor.
+**Ce stim:** casutele sunt din $3200/32 = 100$ in 100 Hz. Pe axa orizontala sunt trecute direct frecventele casutelor.
-**Pas 1 — e pe cutie sau intre cutii?** Daca ar fi pe cutie, am vedea o singura linie de inaltime $N/2 = 16$ si zero in rest. Aici toate cutiile au ceva, iar cea mai inalta are doar 14.2 → **e intre cutii** (leakage).
+**Pas 1 — e pe casuta sau intre casute?** Daca ar fi pe casuta, am vedea o singura linie de inaltime $N/2 = 16$ si zero in rest. Aici toate casutele au ceva, iar cea mai inalta are doar 14.2 → **e intre casute** (leakage).
-**Pas 2 — intre care cutii?** Cea mai inalta linie: 1200 Hz (14.2). Ne uitam la cele doua vecine ale ei: 1100 Hz (3.7) si 1300 Hz (5.3). Vecina mai inalta e cea de la 1300 Hz → frecventa reala e **intre 1200 si 1300 Hz**.
+**Pas 2 — intre care casute?** Cea mai inalta linie: 1200 Hz (14.2). Ne uitam la cele doua vecine ale ei: 1100 Hz (3.7) si 1300 Hz (5.3). Vecina mai inalta e cea de la 1300 Hz → frecventa reala e **intre 1200 si 1300 Hz**.
 **Pas 3 — mai aproape de care?** Linia de la 1200 (14.2) e mult mai inalta decat cea de la 1300 (5.3) → frecventa reala e **mult mai aproape de 1200**.
-**Raspuns:** intre 1200 si 1300 Hz, aproape de 1200 — cam **1230 Hz**. (Semnalul din desen chiar a fost generat la 1230 Hz, adica "cutia 12.3".)
+**Raspuns:** intre 1200 si 1300 Hz, aproape de 1200 — cam **1230 Hz**. (Semnalul din desen chiar a fost generat la 1230 Hz, adica "casuta 12.3".)
 <note tip>
-**Regula de citire:** frecventa reala e intre cele doua cutii cele mai inalte, mai aproape de cea mai inalta. Daca cele doua sunt egale (ca 10.25 si 10.15 la exemplul cu 8.5), frecventa e la mijloc.
+**Regula de citire:** frecventa reala e intre cele doua casute cele mai inalte, mai aproape de cea mai inalta. Daca cele doua sunt egale (ca 10.25 si 10.15 la exemplul cu 8.5), frecventa e la mijloc.
 **Atentie si la amplitudine:** cea mai inalta linie are 14.2, nu 16. Daca ai citi amplitudinea din ea ai obtine $14.2/16 = 0.89$ in loc de 1. Leakage-ul strica si citirea amplitudinii.
@@ Line 534: / Line 534: @@
 ===== 9. Ce trebuie sa stii din Cap 8 (fisa de 1 minut) =====
-  * **Leakage** = o frecventa care nu cade exact pe o cutie DFT apare imprastiata in toate cutiile (mult in vecine, putin departe).
+  * **Leakage** = o frecventa care nu cade exact pe o casuta DFT apare imprastiata in toate casutele (mult in vecine, putin departe).
   * **Cand apare:** cand $f \cdot N / f_s$ **nu** e intreg (in cele $N$ esantioane nu incape un numar intreg de perioade).
   * **De ce apare:** cele $N$ esantioane = semnal infinit × **fereastra dreptunghiulara**. Inmultire in timp ⇔ convolutie in frecventa → fiecare linie devine o copie a spectrului ferestrei = **dsinc** (lob principal + lobi laterali).
-  * $\mathrm{dsinc}_M(\pi k/N) = \sin(\pi k M/N) / \sin(\pi k/N)$; zerouri la $k = l \cdot N/M$; cu $M = N$: zero la fiecare cutie, lob principal lat de 2 cutii, primul lob lateral ≈ 22% din varf ($-13$ dB).
+  * $\mathrm{dsinc}_M(\pi k/N) = \sin(\pi k M/N) / \sin(\pi k/N)$; zerouri la $k = l \cdot N/M$; cu $M = N$: zero la fiecare casuta, lob principal lat de 2 casute, primul lob lateral ≈ 22% din varf ($-13$ dB).
-  * **Pe cutie nu se vede leakage** pentru ca celelalte cutii cad exact pe zerourile dsinc-ului. Scurgerea exista mereu; doar nu se vede.
+  * **Pe casuta nu se vede leakage** pentru ca celelalte casute cad exact pe zerourile dsinc-ului. Scurgerea exista mereu; doar nu se vede.
-  * **Zero-padding** = adaugi zerouri → cutii mai dese → vezi mai multe puncte din **aceeasi** curba. Varful ramane $M \cdot A/2$ ($M$ = esantioane reale); pozitia lui devine $k' = f \cdot N'/f_s$. **Nu** adauga informatie, **nu** reduce leakage, **nu** separa frecvente apropiate.
+  * **Zero-padding** = adaugi zerouri → casute mai dese → vezi mai multe puncte din **aceeasi** curba. Varful ramane $M \cdot A/2$ ($M$ = esantioane reale); pozitia lui devine $k' = f \cdot N'/f_s$. **Nu** adauga informatie, **nu** reduce leakage, **nu** separa frecvente apropiate.
   * **Ferestre** (Hann/Hanning, Hamming, Blackman): $s(n) \cdot w(n)$, cu $w$ lin spre 0 la capete → lobi laterali mici; pret: lob principal mai lat, varf mai scund.
   * **Cum atenuam leakage:** (1) fereastra, (2) mai multe esantioane reale, (3) $N$ ales ca sa incapa un numar intreg de perioade.
@@ Line 569: / Line 569: @@
   - D. acelasi spectru
-**G5.** Un cosinus de amplitudine 1, aflat exact pe o cutie, da cu $N = 32$ o linie de inaltime 16. Adaugam 32 de zerouri (DFT de 64 de puncte). Inaltimea varfului devine:
+**G5.** Un cosinus de amplitudine 1, aflat exact pe o casuta, da cu $N = 32$ o linie de inaltime 16. Adaugam 32 de zerouri (DFT de 64 de puncte). Inaltimea varfului devine:
   - A. 32
   - B. 16
@@ Line 587: / Line 587: @@
   - D. nimic, e imposibil
-**G8.** De ce nu se vede leakage cand frecventa cade exact pe o cutie?
+**G8.** De ce nu se vede leakage cand frecventa cade exact pe o casuta?
   - A. pentru ca fereastra dreptunghiulara dispare in acest caz
-  - B. pentru ca celelalte cutii cad exact pe zerourile dsinc-ului
+  - B. pentru ca celelalte casute cad exact pe zerourile dsinc-ului
   - C. pentru ca DFT-ul face singur zero-padding
   - D. pentru ca semnalul nu mai e periodic
@@ Line 596: / Line 596: @@
 ^ Grila ^ Raspuns ^ De ce e corect ^ De ce sunt gresite celelalte ^
-| G1 | **B** | cutiile sunt la multiplii de $f_s/N$; o frecventa aflata intre ele se imprastie | A descrie aliasingul (Cap 4); C: mai multe esantioane ajuta, nu strica; D descrie cuantizarea (Cap 5) |
+| G1 | **B** | casutele sunt la multiplii de $f_s/N$; o frecventa aflata intre ele se imprastie | A descrie aliasingul (Cap 4); C: mai multe esantioane ajuta, nu strica; D descrie cuantizarea (Cap 5) |
-| G2 | **C** | $130 \cdot 100/1000 = 13$, numar intreg → pe cutie | A: 5.5; B: 12.5; D: 9.9 — niciunul nu e intreg → leakage |
+| G2 | **C** | $130 \cdot 100/1000 = 13$, numar intreg → pe casuta | A: 5.5; B: 12.5; D: 9.9 — niciunul nu e intreg → leakage |
-| G3 | **B** | zero-padding = aceeasi curba citita in mai multe puncte | A: lobii raman la fel; C: latimea lobului principal depinde de esantioanele reale (64); D: $f_s$ nu se schimba, se schimba doar distanta dintre cutii |
+| G3 | **B** | zero-padding = aceeasi curba citita in mai multe puncte | A: lobii raman la fel; C: latimea lobului principal depinde de esantioanele reale (64); D: $f_s$ nu se schimba, se schimba doar distanta dintre casute |
-| G4 | **B** | compromisul oricarei ferestre: lobi laterali mici ⇔ lob principal lat (4 cutii fata de 2) | A e pe dos; C ar fi "gratis", nu exista; D: forme diferite in timp → spectre diferite |
+| G4 | **B** | compromisul oricarei ferestre: lobi laterali mici ⇔ lob principal lat (4 casute fata de 2) | A e pe dos; C ar fi "gratis", nu exista; D: forme diferite in timp → spectre diferite |
 | G5 | **B** | varful = suma data de esantioanele reale: $32 \cdot 1/2 = 16$; zerourile nu aduna nimic | A: ar fi asa doar cu 64 de esantioane reale; C, D: zerourile nici nu scad nimic |
-| G6 | **C** | inmultire in timp ⇔ convolutie in frecventa (teorema convolutiei) | A = aliasing, B = cuantizare, D = alta problema; niciuna nu depinde de pozitia frecventei fata de cutii |
+| G6 | **C** | inmultire in timp ⇔ convolutie in frecventa (teorema convolutiei) | A = aliasing, B = cuantizare, D = alta problema; niciuna nu depinde de pozitia frecventei fata de casute |
-| G7 | **B** | cu 50 de esantioane lobul principal are $2 \cdot 1000/50 = 40$ Hz, mai lat decat cei 10 Hz; cu 500 are 4 Hz | A: zero-padding nu ingusteaza lobul; C: Blackman il lateste (6 cutii = 120 Hz); D: se poate, cu mai mult semnal |
+| G7 | **B** | cu 50 de esantioane lobul principal are $2 \cdot 1000/50 = 40$ Hz, mai lat decat cei 10 Hz; cu 500 are 4 Hz | A: zero-padding nu ingusteaza lobul; C: Blackman il lateste (6 casute = 120 Hz); D: se poate, cu mai mult semnal |
-| G8 | **B** | zerourile dsinc-ului (cu $M = N$) sunt la fiecare cutie intreaga fata de varf | A: fereastra e mereu acolo; C: nu face; D: nu are legatura |
+| G8 | **B** | zerourile dsinc-ului (cu $M = N$) sunt la fiecare casuta intreaga fata de varf | A: fereastra e mereu acolo; C: nu face; D: nu are legatura |
 ===== 11. Intrebari de teorie ca la examen =====
@@ Line 612: / Line 612: @@
 **Raspuns model:**
   * **Ce este:** fenomenul prin care o componenta a semnalului a carei frecventa nu coincide cu una dintre frecventele DFT ($k \cdot f_s/N$) apare in spectru imprastiata peste toate componentele $k$, nu ca o singura linie. Poate acoperi componente vecine de amplitudine mai mica.
-  * **De ce apare:** secventa de $N$ esantioane este un semnal infinit inmultit cu o fereastra dreptunghiulara: $s(n) = s^{\infty}(n) \cdot r(n)$. Inmultirea in timp inseamna convolutie in frecventa: $S(k) = (S^{\infty} \ast R)(k)$, unde $R(k)$ este un dsinc (lob principal + lobi laterali). Cand frecventa e exact pe o cutie, celelalte cutii cad pe zerourile dsinc-ului si efectul nu se vede.
+  * **De ce apare:** secventa de $N$ esantioane este un semnal infinit inmultit cu o fereastra dreptunghiulara: $s(n) = s^{\infty}(n) \cdot r(n)$. Inmultirea in timp inseamna convolutie in frecventa: $S(k) = (S^{\infty} \ast R)(k)$, unde $R(k)$ este un dsinc (lob principal + lobi laterali). Cand frecventa e exact pe o casuta, celelalte casute cad pe zerourile dsinc-ului si efectul nu se vede.
   * **Cum il atenuam:** inmultim semnalul cu o fereastra cu lobi laterali mai mici (Hamming, Hanning, Blackman) si/sau folosim mai multe esantioane $N$. Zero-padding-ul **nu** il atenueaza.
 </note>
@@ Line 619: / Line 619: @@
 <note>
-**Raspuns model:** Zero-padding = adaugarea de esantioane cu valoarea 0 la sfarsitul semnalului inainte de DFT. Numarul de puncte ale spectrului creste (cutiile devin mai dese, $f_s/N'$), deci vedem mai multe puncte din acelasi spectru, inclusiv forma dsinc dintre cutiile initiale. Nu adauga informatie: nu reduce leakage-ul si nu imbunatateste separarea a doua frecvente apropiate; pentru asta trebuie mai multe esantioane reale sau alta fereastra.
+**Raspuns model:** Zero-padding = adaugarea de esantioane cu valoarea 0 la sfarsitul semnalului inainte de DFT. Numarul de puncte ale spectrului creste (casutele devin mai dese, $f_s/N'$), deci vedem mai multe puncte din acelasi spectru, inclusiv forma dsinc dintre casutele initiale. Nu adauga informatie: nu reduce leakage-ul si nu imbunatateste separarea a doua frecvente apropiate; pentru asta trebuie mai multe esantioane reale sau alta fereastra.
 </note>
@@ Line 631: / Line 631: @@
 <note>
-**Raspuns model:** Pentru ca in acele cazuri frecventa semnalului corespunde exact unui index $k$ al DFT, iar dsinc-ul adus de convolutie are zerouri exact in toate celelalte cutii: $\mathrm{dsinc}_M(\pi k/N) = 0$ cand $kM/N$ e intreg, iar pentru $M = N$ asta se intampla la orice $k \ne 0$. DFT-ul citeste varful intr-o cutie si zerouri in rest. Daca facem zero-padding ($M \ne N$), cutiile nu mai cad toate pe zerouri si forma dsinc devine vizibila.
+**Raspuns model:** Pentru ca in acele cazuri frecventa semnalului corespunde exact unui index $k$ al DFT, iar dsinc-ul adus de convolutie are zerouri exact in toate celelalte casute: $\mathrm{dsinc}_M(\pi k/N) = 0$ cand $kM/N$ e intreg, iar pentru $M = N$ asta se intampla la orice $k \ne 0$. DFT-ul citeste varful intr-o casuta si zerouri in rest. Daca facem zero-padding ($M \ne N$), casutele nu mai cad toate pe zerouri si forma dsinc devine vizibila.
 </note>