Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- ps:cap5-cuantizare-snr-db [2026/11/09 16:57] – PS: Cap 5 cuantizare SNR dB apache
+++ ps:cap5-cuantizare-snr-db [2026/11/11 12:31] (current) – Cap 5 revizuit: de la zero, exemple numerice, casete De ce, teorie ca la examen apache
@@ Line 4: / Line 4: @@
 <note tip>
-**Ideea capitolului:**
+**Ideea capitolului, in 3 propozitii:**
-  - **Cuantizarea** = rotunjirea fiecarui esantion la unul din $2^B$ niveluri. Introduce o **eroare ireversibila**, cu atat mai mica cu cat ai mai multi biti.
+  - **Cuantizarea** = rotunjirea fiecarui esantion la una din cateva valori permise (ca atunci cand rotunjesti un pret la leu). Rotunjirea strica putin semnalul, **definitiv**.
-  - **SNR** = de cate ori e mai puternic semnalul decat zgomotul. **Decibelii** sunt doar un mod comod (logaritmic) de a scrie rapoarte de puteri.
+  - **SNR** = de cate ori e mai puternic semnalul decat zgomotul.
-  - Capitolul e **scurt si da puncte usoare** la grile: invata tabelul din sectiunea 4.2 si formula $\mathrm{SNR}_{ADC} \approx 6B + 2$ dB.
+  - **Decibelii** = un mod scurt de a scrie "de cate ori" cand numerele sunt uriase: in loc de "de 1 000 000 de ori" scrii "60 dB".
 </note>
-**Ce cade:** partial 2025 grila 5 (amplificator de 40 dB, ADC cu SNR 50 dB) — rezolvata in sectiunea 6; examen 2023 C: "decibeli: definitie, interpretare; daca SNR = 60 dB, de cate ori e mai mare puterea semnalului decat a zgomotului?"; examen 2024: "ce probleme apar la cuantizare, se poate recupera semnalul, cum minimizam erorile?"
+**Ce cade:** partial 2025 grila 5 (amplificator de 40 dB, ADC cu SNR 50 dB) — rezolvata in sectiunea 6; examen 2023 C: "decibeli: definitie, interpretare; daca SNR = 60 dB, de cate ori e mai mare puterea semnalului decat a zgomotului?"; examen 2024: "ce probleme apar la cuantizare, se poate recupera semnalul, cum minimizam erorile?". Raspunsurile model sunt in sectiunea 10.
+**Cum citesti pagina:** sectiunile 1–2 (cuantizarea si eroarea ei) → sectiunea 3 (SNR) → sectiunea 4 (decibeli, explicati de la zero, inclusiv ce e un logaritm). Fiecare lucru nou incepe cu un exemplu cu numere. Formula vine abia dupa.
 ===== 1. Cuantizarea =====
-Dupa esantionare, fiecare esantion $s(nT_s)$ e inca un numar real (infinit de zecimale). Ca sa-l putem stoca pe un numar finit de biti $B$, il **rotunjim** la unul din $2^B$ niveluri: $s(n) = Q[s(nT_s)]$.
+==== 1.1 Unde suntem si care e problema ====
-{{ps:cap5:esantionat_cuantizat.png?1000|Analog → esantionat → cuantizat}}
+In [[ps:cap4-esantionare|Cap 4]] am **esantionat** semnalul: din curba continua am pastrat doar valorile de la anumite momente. Fiecare valoare pastrata se numeste **esantion**. Dupa esantionare avem o lista de numere, de exemplu: 0.9, 0.3, −0.1, ...
-**Pasul de cuantizare** (latimea unei trepte), pentru semnal in $[-A, A]$:
+Problema: un esantion real poate fi **orice** numar, de exemplu 0.3172849... cu oricate zecimale. Calculatorul nu poate stoca oricate zecimale. El stocheaza fiecare esantion pe un numar fix de **biti**, notat $B$.
+Un **bit** e o cifra care poate fi doar 0 sau 1. Cu $B$ biti poti scrie doar $2^B$ numere diferite.
+<note tip>
+**De ce $2^B$?** Numara combinatiile:
+  * 1 bit: ''0'', ''1'' → **2** combinatii
+  * 2 biti: ''00'', ''01'', ''10'', ''11'' → **4** combinatii
+  * 3 biti: ''000'', ''001'', ''010'', ''011'', ''100'', ''101'', ''110'', ''111'' → **8** combinatii
+Fiecare bit in plus **dubleaza** numarul de combinatii. De aceea: $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2$ (de $B$ ori) $= 2^B$.
+^ $B$ (biti) ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 8 ^ 12 ^ 16 ^
+| $2^B$ (cate valori diferite) | 2 | 4 | 8 | 16 | 256 | 4096 | 65 536 |
+</note>
+Deci avem voie doar la $2^B$ valori. Solutia: **rotunjim** fiecare esantion la cea mai apropiata valoare permisa. Aceasta rotunjire se numeste **cuantizare**.
+**Analogie:** o rigla care are liniute doar din centimetru in centimetru. Orice lungime masori, o citesti rotunjit la o liniuta. Lungimea reala de 7.3 cm si cea de 7.4 cm se citesc amandoua "7 cm". Cu cat rigla are liniute mai dese, cu atat greseala e mai mica. Bitii sunt "desimea liniutelor".
+==== 1.2 Exemplu cu numere, facut de mana ====
+**Ce avem:**
+  * un semnal care ia valori intre $-1$ si $1$. Cea mai mare valoare posibila o notam $A$. Aici $A = 1$. Intervalul merge de la $-A$ la $A$.
+  * un convertor cu $B = 2$ biti, deci $2^2 = 4$ valori permise.
+**Pas 1 — impartim intervalul in 4 bucati egale.** Bucatile se numesc **trepte**. Intervalul de la $-1$ la $1$ are lungimea $2$. Impartit in 4: fiecare treapta are latimea $2 : 4 = 0.5$.
+**Pas 2 — fiecare treapta primeste un cod (pe 2 biti) si o valoare: mijlocul ei.**
+^ Treapta ^ De la ... pana la ^ Codul stocat ^ Valoarea treptei (mijlocul) ^
+| 0 | $-1$ ... $-0.5$ | ''00'' | $-0.75$ |
+| 1 | $-0.5$ ... $0$ | ''01'' | $-0.25$ |
+| 2 | $0$ ... $0.5$ | ''10'' | $0.25$ |
+| 3 | $0.5$ ... $1$ | ''11'' | $0.75$ |
+**Pas 3 — luam 5 esantioane si le rotunjim.** Pentru fiecare: gasesti treapta in care cade, apoi il inlocuiesti cu mijlocul treptei. **Eroarea** = cat ai gresit prin rotunjire = valoarea reala minus valoarea rotunjita.
+^ Esantionul real ^ In ce treapta cade ^ Cod ^ Valoarea dupa rotunjire ^ Eroarea (real − rotunjit) ^
+| $0.9$ | 3 (intre $0.5$ si $1$) | ''11'' | $0.75$ | $0.9 - 0.75 = 0.15$ |
+| $0.3$ | 2 (intre $0$ si $0.5$) | ''10'' | $0.25$ | $0.3 - 0.25 = 0.05$ |
+| $-0.1$ | 1 (intre $-0.5$ si $0$) | ''01'' | $-0.25$ | $-0.1 - (-0.25) = 0.15$ |
+| $-0.62$ | 0 (intre $-1$ si $-0.5$) | ''00'' | $-0.75$ | $-0.62 - (-0.75) = 0.13$ |
+| $0.48$ | 2 (intre $0$ si $0.5$) | ''10'' | $0.25$ | $0.48 - 0.25 = 0.23$ |
+In memorie ajung doar codurile: ''11 10 01 00 10''. Valorile reale ($0.9$, $0.3$, ...) s-au pierdut.
+**Pas 4 — acelasi lucru cu $B = 3$ biti.** Acum sunt $2^3 = 8$ trepte, fiecare de latime $2 : 8 = 0.25$. Mijloacele treptelor: $-0.875$, $-0.625$, $-0.375$, $-0.125$, $0.125$, $0.375$, $0.625$, $0.875$.
+^ Esantionul real ^ Valoarea dupa rotunjire (3 biti) ^ Eroarea ^ Eroarea cu 2 biti (de mai sus) ^
+| $0.9$ | $0.875$ | $0.025$ | $0.15$ |
+| $0.3$ | $0.375$ | $-0.075$ | $0.05$ |
+| $-0.1$ | $-0.125$ | $0.025$ | $0.15$ |
+| $-0.62$ | $-0.625$ | $0.005$ | $0.13$ |
+| $0.48$ | $0.375$ | $0.105$ | $0.23$ |
+{{ps:cap5:cuantizare_pas_cu_pas.png?1000|Aceleasi 5 esantioane, cuantizate pe 2 biti si pe 3 biti}}
+**Ce vezi in desen:** pe orizontala sunt cele 5 esantioane, pe verticala valoarea lor. Liniile gri sunt marginile treptelor. Liniile verzi punctate sunt mijloacele treptelor (valorile permise). Bulina albastra e esantionul real, patratul verde e valoarea dupa rotunjire, iar segmentul rosu dintre ele e eroarea. In stanga (2 biti) segmentele rosii sunt lungi. In dreapta (3 biti) abia se vad.
+**Ce am aflat din exemplu:**
+  * eroarea nu e niciodata mai mare decat **jumatate de treapta** (cu 2 biti: cel mult $0.25$; cu 3 biti: cel mult $0.125$)
+  * **mai multi biti → trepte mai inguste → erori mai mici**
+  * eroarea poate fi pozitiva (am rotunjit in jos) sau negativa (am rotunjit in sus)
+==== 1.3 Acelasi lucru, scris cu litere ====
+Latimea unei trepte se numeste **pasul de cuantizare** si se noteaza $\Delta$ (litera greceasca "delta"). In exemplu am calculat-o asa: lungimea intervalului impartita la numarul de trepte. Intervalul de la $-A$ la $A$ are lungimea $2A$. Numarul de trepte e $2^B$. Deci:
 $$ \boxed{\Delta = \frac{2A}{2^B}} $$
-Exemplu (curs): $A = 1$, $B = 3$ → $2^3 = 8$ niveluri, $\Delta = \frac{2}{8} = 0.25$.
+  * $A$ = cea mai mare valoare a semnalului (in aceeasi unitate ca semnalul, de exemplu volti)
+  * $B$ = numarul de biti
+  * $\Delta$ = latimea unei trepte (tot in volti)
+**Verificare cu numerele din exemplu:** $A = 1$, $B = 2$ → $\Delta = \frac{2 \cdot 1}{4} = 0.5$ ✓. $A = 1$, $B = 3$ → $\Delta = \frac{2}{8} = 0.25$ ✓ (acesta e exemplul din curs).
+<note tip>
+**De ce $2A$ si nu $A$?** Pentru ca semnalul merge si sub zero. De la $-A$ pana la $+A$ sunt $A$ (partea negativa) $+ A$ (partea pozitiva) $= 2A$. Pentru $A = 1$: de la $-1$ la $1$ e o distanta de $2$.
+</note>
+**Notatia din curs:** $s(nT_s)$ e esantionul real (numarul cu oricate zecimale), iar $s(n) = Q[s(nT_s)]$ e esantionul cuantizat. $Q[\cdot]$ inseamna doar "rotunjeste la treapta in care cade" ($Q$ de la //quantization//).
+{{ps:cap5:esantionat_cuantizat.png?1000|Analog → esantionat → cuantizat}}
+**Ce vezi in desen:** stanga — semnalul analog (curba continua). Mijloc — esantioanele lui (buline pe curba). Dreapta — aceleasi esantioane dupa cuantizarea pe 3 biti: fiecare patrat verde sta exact pe una din cele 8 linii punctate (valorile permise), deci nu mai e chiar pe curba gri. Distanta dintre patrat si curba e eroarea.
 {{ps:cap5:cuantizor.png?1000|Caracteristica cuantizorului si eroarea}}
+**Ce vezi in desen:** stanga — "scara" cuantizorului pe 3 biti. Pe orizontala e valoarea reala a esantionului, pe verticala treapta (codul) pe care o primeste. Toate valorile dintr-un interval de latime $\Delta = 0.25$ primesc acelasi cod. Dreapta — eroarea pentru fiecare valoare reala posibila: un "dinte de fierastrau" care merge de la $-\Delta/2$ la $+\Delta/2$ in fiecare treapta. Eroarea e $0$ exact la mijlocul treptei si cea mai mare la marginile ei.
 ===== 2. Eroarea de cuantizare =====
-**Eroarea** $\varepsilon = s(nT_s) - \tilde{s}(nT_s)$, unde $\tilde s$ e valoarea folosita la reconstructie (D → A) pentru treapta respectiva.
+==== 2.1 Ce este si intre ce limite sta ====
-  * cea mai buna alegere: $\tilde s$ = **mijlocul treptei** → eroarea e intre $-\Delta/2$ si $+\Delta/2$
+**Eroarea de cuantizare** = valoarea reala minus valoarea rotunjita. In curs se noteaza $\varepsilon$ (litera greceasca "epsilon"):
-  * **valoarea efectiva (RMS)** a erorii (calculul din notite p. 32–33):
+$$ \varepsilon = s(nT_s) - \tilde{s}(nT_s) $$
+unde $\tilde{s}$ ("s cu tilda") e valoarea pe care o punem in locul esantionului, adica valoarea treptei. E exact coloana "Eroarea" din tabelele de la 1.2.
+Daca valoarea treptei e **mijlocul** ei, eroarea e mereu intre $-\Delta/2$ si $+\Delta/2$.
+<note tip>
+**De ce mijlocul treptei si nu marginea?** Ia treapta de la $0$ la $0.5$ (deci $\Delta = 0.5$).
+  * Daca valoarea treptei e **mijlocul**, $0.25$: cel mai departat esantion posibil e la o margine ($0$ sau $0.5$), la distanta $0.25 = \Delta/2$.
+  * Daca valoarea treptei ar fi **marginea de jos**, $0$: un esantion de $0.49$ ar avea eroarea $0.49$, aproape $\Delta$ intreg. De doua ori mai rau.
+Mijlocul e punctul care sta cel mai aproape de **toate** valorile din treapta.
+</note>
+==== 2.2 Cat de mare e eroarea "in medie": RMS si putere ====
+Eroarea e alta la fiecare esantion. Vrem **un singur numar** care sa spuna cat de mare e eroarea "de obicei".
+**Prima idee (nu merge): media simpla.** Sa zicem ca 4 erori sunt: $+0.1$, $-0.1$, $+0.1$, $-0.1$. Media lor: $(0.1 - 0.1 + 0.1 - 0.1) : 4 = 0$. Media zice "eroare zero", desi am gresit de fiecare data cu $0.1$. Plusurile si minusurile s-au anulat intre ele.
+**Ideea buna: scapam de semn ridicand la patrat.** Reteta are 3 pasi:
+  - ridici fiecare eroare **la patrat** (orice patrat e pozitiv, deci nu se mai anuleaza nimic)
+  - faci **media** patratelor
+  - scoti **radicalul** (ca sa te intorci la marimea initiala, nu la "patratul" ei)
+Pe exemplul de mai sus: patratele sunt $0.01$, $0.01$, $0.01$, $0.01$ → media $0.01$ → radical $\sqrt{0.01} = 0.1$. Acum raspunsul e cel corect: "gresim de obicei cu $0.1$".
+Inca un exemplu, cu erori diferite: $0.3$, $-0.1$, $0.2$, $-0.4$.
+  - patratele: $0.09$, $0.01$, $0.04$, $0.16$
+  - media: $(0.09 + 0.01 + 0.04 + 0.16) : 4 = 0.30 : 4 = 0.075$
+  - radicalul: $\sqrt{0.075} \approx 0.27$
+Numarul obtinut se numeste **valoare efectiva** sau **RMS**. RMS vine din engleza, //Root Mean Square// = "radical din media patratelor", adica exact cei 3 pasi, cititi de la coada la cap.
+**Puterea** unui semnal (sau a unei erori) = **media patratelor**, adica rezultatul de la pasul 2, fara radical. Deci:
+$$ P = \mathrm{RMS}^2 \qquad\text{si}\qquad \mathrm{RMS} = \sqrt{P} $$
+In ultimul exemplu: puterea e $0.075$, iar RMS e $0.27$.
+<note tip>
+**De ce se numeste "putere"?** Din electricitate: puterea consumata de un bec e proportionala cu **patratul** tensiunii ($P = U^2 / R$). Daca tensiunea se schimba in timp, conteaza **media patratului**. La acest curs ignoram rezistenta $R$ si numim "putere" direct media patratului. E aceeasi putere ca in [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §4.1]].
+</note>
+==== 2.3 De unde vine formula cu radical din 12 ====
+Formula din curs pentru eroarea de cuantizare este $\mathrm{RMS} = \Delta/\sqrt{12}$. Hai sa vedem de unde apare acel 12, doar cu medii.
+**Observatia de pornire:** un esantion real poate cadea **oriunde** in treapta lui. Nu are niciun motiv sa prefere mijlocul sau marginea. Deci erorile sunt **imprastiate uniform** intre $-\Delta/2$ si $+\Delta/2$ (e dintele de fierastrau din desenul de la 1.3).
+**Calcul cu numere.** Luam $\Delta = 1$, ca sa fie simplu. Erorile sunt atunci imprastiate uniform intre $-0.5$ si $0.5$. Luam 5 erori asezate la distante egale si aplicam reteta de la 2.2:
+^ eroarea ^ $-0.4$ ^ $-0.2$ ^ $0$ ^ $0.2$ ^ $0.4$ ^
+| patratul ei | $0.16$ | $0.04$ | $0$ | $0.04$ | $0.16$ |
+Media patratelor: $(0.16 + 0.04 + 0 + 0.04 + 0.16) : 5 = 0.40 : 5 = 0.08$.
+Cu doar 5 valori, rezultatul e aproximativ. Daca luam tot mai multe erori, tot la distante egale intre $-0.5$ si $0.5$:
+^ cate erori luam ^ 5 ^ 10 ^ 100 ^ 1000 ^ oricat de multe ^
+| media patratelor | $0.08$ | $0.0825$ | $0.083325$ | $0.08333325$ | $0.083333... = \frac{1}{12}$ |
+Media patratelor se apropie de $0.08333...$, iar $0.08333... = \frac{1}{12}$ (verifica: $1 : 12 = 0.0833...$). **De aici vine 12.**
+Asta a fost pentru $\Delta = 1$. Daca treapta are latimea $\Delta$, toate erorile sunt de $\Delta$ ori mai mari, deci patratele lor sunt de $\Delta^2$ ori mai mari:
+$$ \boxed{P_{eroare} = \frac{\Delta^2}{12}} \qquad\qquad \boxed{\mathrm{rms}(\varepsilon) = \sqrt{\frac{\Delta^2}{12}} = \frac{\Delta}{\sqrt{12}} \approx 0.29\,\Delta} $$
+**Are sens rezultatul?** Da: eroarea e intre $0$ si cel mult $0.5\,\Delta$ (in marime), iar "de obicei" e $0.29\,\Delta$, undeva la mijloc.
+**Exemplu:** pentru $B = 3$, $A = 1$ aveam $\Delta = 0.25$. Atunci $P_{eroare} = \frac{0.25^2}{12} = \frac{0.0625}{12} \approx 0.0052$ si $\mathrm{rms} = \frac{0.25}{\sqrt{12}} = \frac{0.25}{3.46} \approx 0.072$.
+<note>
+**Calculul exact din notite (p. 32–33), pentru cine a facut integrale.** "Media patratelor pentru infinit de multe valori" se scrie ca integrala:
+$$ \mathrm{rms}(\varepsilon) = \sqrt{\frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\varepsilon^2\,d\varepsilon} = \sqrt{\frac{1}{\Delta}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2\Delta^3}{8}} = \sqrt{\frac{\Delta^2}{12}} = \frac{\Delta}{\sqrt{12}} $$
+Da acelasi rezultat ca tabelul de mai sus. Daca nu stii integrale, tine minte doar rezultatul si ideea: "media patratelor unor erori imprastiate uniform pe o treapta".
+</note>
-$$ \mathrm{rms}(\varepsilon) = \sqrt{\frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\varepsilon^2\,d\varepsilon} = \sqrt{\frac{1}{\Delta}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2\Delta^3}{8}} = \boxed{\sqrt{\frac{\Delta^2}{12}} = \frac{\Delta}{\sqrt{12}}} \qquad P_{eroare} = \frac{\Delta^2}{12} $$
+==== 2.4 Ce trebuie retinut despre eroare ====
 <note important>
@@ Line 42: / Line 202: @@
 </note>
-**Tema din curs (rezolvata):** daca reconstruim la $a = \Delta/4$ in loc de mijloc, eroarea e in $[-\Delta/4, 3\Delta/4]$:
+<note tip>
-$\mathrm{rms}^2 = \frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/4}^{3\Delta/4}\varepsilon^2 d\varepsilon = \frac{1}{3\Delta}\left(\frac{27\Delta^3}{64} + \frac{\Delta^3}{64}\right) = \frac{7\Delta^2}{48} \approx 0.146\Delta^2 > \frac{\Delta^2}{12} \approx 0.083\Delta^2$ → **mai mare**, deci mijlocul e mai bun.
+**De ce nu se mai poate recupera?** In exemplul cu 3 biti, esantioanele $0.3$ si $0.48$ au devenit amandoua $0.375$. Cine primeste $0.375$ nu are de unde sti daca la inceput a fost $0.3$, $0.48$ sau orice alt numar dintre $0.25$ si $0.5$. Informatia aceea a fost aruncata la rotunjire.
+**Cele doua probleme ale conversiei analog → digital** (intrebare de examen):
+  * **aliasing-ul** — vine de la **esantionare** (pe axa timpului). Se poate evita **complet** daca esantionezi destul de des ([[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3–4]]).
+  * **eroarea de cuantizare** — vine de la **rotunjire** (pe axa valorilor). Nu se poate evita, doar micsora cu mai multi biti.
+</note>
+==== 2.5 Tema din curs (rezolvata): ce se intampla daca NU alegem mijlocul ====
+**Enunt:** valoarea treptei nu mai e mijlocul, ci punctul aflat la un sfert din treapta ($a = \Delta/4$ de la marginea de jos). Cat e eroarea RMS? E mai buna sau mai rea?
+**Pas 1 — intre ce limite e eroarea acum.** Luam $\Delta = 1$ si treapta de la $0$ la $1$. Valoarea treptei e $0.25$. Un esantion la marginea de jos ($0$) are eroarea $0 - 0.25 = -0.25$. Un esantion la marginea de sus ($1$) are eroarea $1 - 0.25 = 0.75$. Deci eroarea e intre $-0.25$ si $0.75$, adica intre $-\Delta/4$ si $3\Delta/4$. Inainte era intre $-0.5$ si $0.5$.
+**Pas 2 — media patratelor.** Erorile mari (pana la $0.75$) au patrate mari (pana la $0.56$), mult peste $0.25$ cat era maximul inainte. Daca faci media patratelor pentru multe erori imprastiate uniform intre $-0.25$ si $0.75$, obtii $0.1458... = \frac{7}{48}$.
+**Raspuns:** $P_{eroare} = \frac{7\Delta^2}{48} \approx 0.146\,\Delta^2$, mai mare decat $\frac{\Delta^2}{12} \approx 0.083\,\Delta^2$. Deci **mijlocul e mai bun**.
+Cu integrala (ca in notite): $\mathrm{rms}^2 = \frac{1}{\Delta}\int_{-\Delta/4}^{3\Delta/4}\varepsilon^2 d\varepsilon = \frac{1}{3\Delta}\left(\frac{27\Delta^3}{64} + \frac{\Delta^3}{64}\right) = \frac{7\Delta^2}{48}$.
 ===== 3. SNR (Signal-to-Noise Ratio) =====
+**Zgomot** = orice se aduna peste semnalul nostru si nu vrem: fasaitul dintr-o inregistrare, purecii de la un televizor vechi si, cum vom vedea, eroarea de cuantizare.
+**Analogie:** vorbesti cu cineva la o petrecere. Vocea lui e semnalul, galagia din jur e zgomotul. Nu conteaza cat de tare vorbeste el in sine. Conteaza **de cate ori** e vocea lui mai puternica decat galagia.
+Acest "de cate ori" se numeste **SNR**, din engleza //Signal-to-Noise Ratio// = raportul semnal-zgomot. Se calculeaza impartind **puterile** (puterea = media patratelor, de la 2.2):
 $$ \boxed{\mathrm{SNR} = \frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}}} $$
-= de cate ori e mai mare **puterea** semnalului decat **puterea** zgomotului. Cu cat mai mare, cu atat mai bine.
+**Exemplu:** $P_{semnal} = 8$ mW si $P_{zgomot} = 2$ mW → $\mathrm{SNR} = 8 : 2 = 4$. Semnalul e de 4 ori mai puternic decat zgomotul.
+  * SNR e un **raport**, deci nu are unitate de masura (mW impartit la mW)
+  * SNR **mare** = bine (semnalul se distinge clar)
+  * SNR $= 1$ = semnalul si zgomotul sunt la fel de puternice (nu mai intelegi nimic)
 ==== 3.1 SNR-ul unui convertor A/D (zgomotul = eroarea de cuantizare) ====
-Semnal de test: sinusoida $A\cos(2\pi f t)$ care ocupa tot intervalul $[-A, A]$:
+Un convertor analog-digital (prescurtat **ADC** sau **convertor A/D**) esantioneaza si cuantizeaza. Chiar daca semnalul de la intrare e perfect curat, la iesire el are peste el eroarea de cuantizare. Aceasta eroare se comporta ca un zgomot. Deci orice ADC are un SNR al lui:
-  * $P_{semnal} = \frac{A^2}{2}$ (puterea unui cosinus, Cap 2)
-  * $P_{eroare} = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{(2A/2^B)^2}{12} = \frac{A^2}{3\cdot 2^{2B}}$
-$$ \mathrm{SNR}_{ADC} = \frac{A^2/2}{A^2/(3\cdot 2^{2B})} = \boxed{\frac{3}{2}\cdot 2^{2B}} $$
+$$ \mathrm{SNR}_{ADC} = \frac{P_{semnal}}{P_{eroare}} $$
-(nu depinde de $A$!)
+**Exemplu cu numere: $A = 1$, $B = 3$ biti.** Semnalul de test e un cosinus care ocupa tot intervalul, de la $-1$ la $1$.
+**Pas 1 — puterea semnalului.** Puterea unui cosinus de amplitudine $A$ este $\frac{A^2}{2}$. Pentru $A = 1$: $P_{semnal} = \frac{1}{2} = 0.5$.
+{{ps:cap5:putere_cos.png?950|De ce puterea unui cosinus de amplitudine 1 este 1/2}}
+**Ce vezi in desen:** stanga — cosinusul de amplitudine 1; media lui e 0, pentru ca partea pozitiva si cea negativa se anuleaza. Dreapta — acelasi cosinus ridicat la patrat; acum sta doar intre 0 si 1, iar media lui e $\frac12$. Media patratului e puterea.
+<note tip>
+**De ce $\frac{A^2}{2}$?** Verifica pe 8 valori ale cosinusului de amplitudine 1, luate la distante egale pe o perioada: $1$; $0.71$; $0$; $-0.71$; $-1$; $-0.71$; $0$; $0.71$. Patratele lor: $1$; $0.5$; $0$; $0.5$; $1$; $0.5$; $0$; $0.5$. Media patratelor: $4 : 8 = 0.5$ ✓. Daca amplitudinea e $A$ in loc de 1, fiecare valoare e de $A$ ori mai mare si fiecare patrat de $A^2$ ori mai mare → $\frac{A^2}{2}$. (Aceeasi formula ca in [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2 §4.1]].)
+</note>
+**Pas 2 — puterea erorii.** $\Delta = \frac{2 \cdot 1}{2^3} = 0.25$, deci $P_{eroare} = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{0.0625}{12} \approx 0.0052$ (calculat la 2.3).
+**Pas 3 — impartim.** $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac{0.5}{0.0052} = 96$. Semnalul e de 96 de ori mai puternic decat eroarea de cuantizare.
+**Acelasi calcul, cu litere.**
+  * $P_{semnal} = \frac{A^2}{2}$
+  * $P_{eroare} = \frac{\Delta^2}{12}$, iar $\Delta = \frac{2A}{2^B}$. Ridicam $\Delta$ la patrat: $\Delta^2 = \frac{4A^2}{2^{2B}}$. Impartim la 12: $P_{eroare} = \frac{4A^2}{12 \cdot 2^{2B}} = \frac{A^2}{3\cdot 2^{2B}}$
+  * impartim cele doua puteri ($A^2$ apare si sus, si jos, deci se simplifica):
+$$ \mathrm{SNR}_{ADC} = \frac{A^2/2}{A^2/(3\cdot 2^{2B})} = \frac{A^2}{2}\cdot\frac{3\cdot 2^{2B}}{A^2} = \boxed{\frac{3}{2}\cdot 2^{2B}} $$
+$2^{2B}$ inseamna "2 la puterea $2B$" si e acelasi lucru cu $(2^B)^2$, adica **numarul de trepte la patrat**. Verificare pentru $B = 3$: $2^{6} = 64 = 8^2$, deci $\mathrm{SNR}_{ADC} = 1.5 \cdot 64 = 96$ ✓ (la fel ca la Pas 3).
+^ $B$ (biti) ^ trepte ($2^B$) ^ $\mathrm{SNR}_{ADC} = 1.5 \cdot 2^{2B}$ ^ in cuvinte ^
+| 1 | 2 | $1.5 \cdot 4 = 6$ | semnalul e de 6 ori mai puternic decat eroarea |
+| 2 | 4 | $1.5 \cdot 16 = 24$ | de 24 de ori |
+| 3 | 8 | $1.5 \cdot 64 = 96$ | de 96 de ori |
+| 4 | 16 | $1.5 \cdot 256 = 384$ | de 384 de ori |
+| 8 | 256 | $1.5 \cdot 65\,536 \approx 98\,000$ | de aproape $10^5$ ori |
+| 16 | 65 536 | $\approx 6.4 \cdot 10^{9}$ | de aproape $10^{10}$ ori |
+<note tip>
+**De ce fiecare bit in plus inmulteste SNR-ul cu 4?** (vezi coloana a treia: $6 \to 24 \to 96 \to 384$) Un bit in plus → de 2 ori mai multe trepte → treapta de 2 ori mai ingusta → eroarea de 2 ori mai mica. Puterea e media **patratelor**, deci puterea erorii scade de $2^2 = 4$ ori. Semnalul ramane acelasi → SNR creste de 4 ori.
+**De ce nu depinde de $A$?** Daca semnalul e de 2 ori mai mare, si convertorul e reglat pe un interval de 2 ori mai mare, deci treptele sunt de 2 ori mai late. Semnalul si eroarea cresc la fel, iar raportul lor nu se schimba. **Atentie:** formula presupune ca semnalul **ocupa tot intervalul** convertorului. Un semnal mic intr-un interval mare foloseste doar cateva trepte si are un SNR mai prost.
+</note>
+Numerele din tabel devin repede uriase ($6.4 \cdot 10^9$). Pentru asa ceva exista decibelii.
 ===== 4. Decibeli =====
-==== 4.1 Definitie ====
+==== 4.0 Inainte de toate: ce e un logaritm (log10) ====
-**Decibelul** (dB) = unitate pentru un **raport de puteri**, pe scara logaritmica:
+Decibelii se calculeaza cu un logaritm. Nu e nimic complicat: **logaritmul in baza 10 numara zerourile**.
-$$ \boxed{\frac{P_2}{P_1}\,(\mathrm{dB}) = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{P_2}{P_1} = 10^{\,\mathrm{dB}/10} $$
+^ numarul ^ 1 ^ 10 ^ 100 ^ 1000 ^ 10 000 ^ 1 000 000 ^
+| scris ca putere a lui 10 | $10^0$ | $10^1$ | $10^2$ | $10^3$ | $10^4$ | $10^6$ |
+| $\log_{10}$ (cate zerouri are) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
-  * **Bel** (dupa Graham **Bell**) $= \log_{10}\frac{P_2}{P_1}$; prea grosier, asa ca folosim **zecimi** de Bel → **deci**Bel → factorul 10
+  * $10^3$ ("10 la puterea 3") inseamna $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Numarul mic de sus (3) se numeste **exponent**.
-  * **De ce logaritmic?** Rapoartele din practica merg de la $10^{-10}$ la $10^{10}$; in dB devin $-100 \dots 100$. Si: **inmultirea rapoartelor devine adunare** (doua amplificatoare de 20 dB + 10 dB in serie = 30 dB).
+  * $\log_{10}$ face drumul invers: primeste $1000$ si raspunde "$3$". Adica: **$\log_{10}(x)$ = exponentul pe care trebuie sa-l pui lui 10 ca sa obtii $x$**.
+  * $\log_{10}(1) = 0$, pentru ca $1$ nu are niciun zero ($10^0 = 1$).
+**Numere mai mici decat 1** → logaritm **negativ** (numeri impartirile la 10):
+^ numarul ^ $0.1$ ^ $0.01$ ^ $0.001$ ^
+| ce inseamna | $1 : 10$ | $1 : 100$ | $1 : 1000$ |
+| $\log_{10}$ | $-1$ | $-2$ | $-3$ |
+**Numere care nu sunt "rotunde".** Logaritmul lor e undeva intre. Doua valori merita tinute minte:
+  * $\log_{10}(2) \approx 0.3$
+  * $\log_{10}(1.5) \approx 0.18$ (aproape $0.2$)
+<note tip>
+**De ce $\log_{10}(2) \approx 0.3$?** Inmulteste-l pe 2 cu el insusi de 10 ori: $2^{10} = 1024$, adica aproape $1000 = 10^3$. Deci zece de 2 "fac" cat trei de 10. Un singur 2 face cat $3 : 10 = 0.3$ dintr-un 10. Adica $2 \approx 10^{0.3}$.
+</note>
+**Singura regula de care avem nevoie: logaritmul transforma inmultirea in adunare.**
+Exemplu: $100 \cdot 1000 = 100\,000$. In zerouri: $2 + 3 = 5$ ✓. Cand inmultesti doua numere, zerourile lor se **aduna**. Scris cu litere: $\log_{10}(a \cdot b) = \log_{10}(a) + \log_{10}(b)$.
+Alt exemplu: $\log_{10}(200) = \log_{10}(2 \cdot 100) = 0.3 + 2 = 2.3$.
+==== 4.1 Definitia decibelului ====
+**Exemplu cu numere.** Un amplificator (un aparat care face semnalul mai puternic) primeste la intrare $2$ mW si scoate la iesire $2000$ mW. (mW = miliwatt, unitate de putere; $1000$ mW $= 1$ W.)
+  - de cate ori a crescut puterea: $2000 : 2 = 1000$ ori
+  - cate zerouri are $1000$: $\log_{10}(1000) = 3$. Acest numar se masoara in **Bel** (dupa Graham Bell, inventatorul telefonului): 3 Bel.
+  - Belul e o unitate prea mare, asa ca se lucreaza in **zecimi** de Bel: **deci**Bel, prescurtat **dB** (ca la decimetru = zecime de metru). 3 Bel $= 30$ dB.
+Spunem: "amplificatorul are un castig de 30 dB".
+**Formula** (aceiasi 3 pasi, cu litere). $P_1$ e puterea de referinta (aici cea de la intrare), $P_2$ e puterea pe care o comparam cu ea (aici cea de la iesire):
+$$ \boxed{\frac{P_2}{P_1}\,(\mathrm{dB}) = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}} $$
+**Drumul invers** (ai decibelii, vrei "de cate ori"): imparti la 10 si pui rezultatul ca exponent al lui 10.
+$$ \boxed{\frac{P_2}{P_1} = 10^{\,\mathrm{dB}/10}} $$
+Exemplu: 40 dB → $40 : 10 = 4$ → $10^4 = 10\,000$ ori.
+<note tip>
+**De ce se foloseste o scara cu logaritm?** Doua motive:
+  * **numerele devin mici.** In practica rapoartele merg de la $0.000\,000\,000\,1$ la $10\,000\,000\,000$. In dB, aceleasi rapoarte sunt de la $-100$ la $100$.
+  * **inmultirile devin adunari.** Doua amplificatoare unul dupa altul inmultesc puterea de doua ori la rand. In dB doar aduni (vezi 4.2).
+**Atentie:** decibelul e un **raport** ("de cate ori"), nu o marime. "30 dB" singur nu inseamna nimic. Trebuie sa stii ce cu ce compari: iesirea cu intrarea (castig), semnalul cu zgomotul (SNR).
+</note>
 ==== 4.2 Tabelul de stiut pe de rost ====
-^ dB ^ raport de puteri ^ in cuvinte ^
+^ dB ^ raport de puteri ^ in cuvinte ^ de unde vine ^
-| $-10$ | $0.1$ | de 10 ori mai mic |
+| $-30$ | $0.001$ | de 1000 de ori mai mic | $\log_{10}(0.001) = -3$ |
-| $-3$ | $\approx 0.5$ | **jumatate** (frecventa de taiere!) |
+| $-20$ | $0.01$ | de 100 de ori mai mic | $\log_{10}(0.01) = -2$ |
-| $0$ | $1$ | egale |
+| $-10$ | $0.1$ | de 10 ori mai mic | $\log_{10}(0.1) = -1$ |
-| $3$ | $\approx 2$ | dublu |
+| $-3$ | $\approx 0.5$ | **jumatate** (frecventa de taiere!) | $\log_{10}(0.5) \approx -0.3$ |
-| $10$ | $10$ | |
+| $0$ | $1$ | egale | $\log_{10}(1) = 0$ |
-| $20$ | $100$ | |
+| $3$ | $\approx 2$ | dublu | $\log_{10}(2) \approx 0.3$ |
-| $30$ | $1000$ | |
+| $10$ | $10$ | de 10 ori mai mare | $\log_{10}(10) = 1$ |
-| $10\cdot X$ | $10^X$ | **X ordine de marime** |
+| $20$ | $100$ | de 100 de ori | $\log_{10}(100) = 2$ |
+| $30$ | $1000$ | de 1000 de ori | $\log_{10}(1000) = 3$ |
+| $40$ | $10\,000 = 10^4$ | de zece mii de ori | 4 zerouri |
+| $50$ | $100\,000 = 10^5$ | de o suta de mii de ori | 5 zerouri |
+| $60$ | $1\,000\,000 = 10^6$ | de un milion de ori | 6 zerouri |
+| $10\cdot X$ | $10^X$ | **X ordine de marime** | $X$ zerouri |
+{{ps:cap5:rigla_db.png?1000|Rigla decibelilor}}
+**Ce vezi in desen:** o rigla. Jos sunt decibelii, sus "de cate ori" se schimba puterea. La 0 dB puterea nu se schimba (×1). La dreapta (dB pozitiv) puterea creste, la stanga (dB negativ) scade. La fiecare 10 dB in plus mai apare un zero.
 <note important>
-**Regula rapida:** $10X$ dB = $10^X$ ori. 30 dB → $10^3$; 40 dB → $10^4$; 50 dB → $10^5$; 60 dB → $10^6$.
+**Regula rapida:** $10X$ dB = $10^X$ ori. Adica **tai zeroul de la decibeli si atatea zerouri are raportul**. 30 dB → $10^3$; 40 dB → $10^4$; 50 dB → $10^5$; 60 dB → $10^6$.
 **Capcana:** 40 dB **NU** inseamna "de 40 ori" si nici "×400". Inseamna $10^{40/10} = 10^4 = 10000$ ori.
 </note>
+**Trei lucruri pe care le faci cu tabelul:**
+**1. Decibelii se aduna cand rapoartele se inmultesc.** Doua amplificatoare legate unul dupa altul: primul de 20 dB (×100), al doilea de 10 dB (×10). In total puterea creste de $100 \cdot 10 = 1000$ ori, adica 30 dB. Si $20 + 10 = 30$ ✓. (E regula "zerourile se aduna" de la 4.0.)
+**2. Un numar de dB care nu e in tabel il desfaci in bucati din tabel.**
+  * 23 dB $= 20 + 3$ → $\times 100$ si apoi $\times 2$ → $\times 200$
+  * 36 dB $= 30 + 3 + 3$ → $\times 1000 \times 2 \times 2$ → $\times 4000$
+  * 7 dB $= 10 - 3$ → $\times 10$ si apoi $: 2$ → $\times 5$
+**3. dB negativ = puterea scade** (atenuare). Semnul minus inseamna "impartit" in loc de "inmultit": $-20$ dB = de 100 de ori **mai mic**. Un cablu lung care "pierde 3 dB" lasa sa treaca doar jumatate din putere.
 ==== 4.3 dBm ====
-Puterea **absoluta** a unui semnal, raportata la **1 mW**:
+Decibelul simplu e un raport intre doua puteri oarecare. **dBm** e un decibel la care puterea de referinta e **fixata la 1 mW** (m-ul vine de la miliwatt). Asa, un numar in dBm spune o **putere adevarata**, nu doar "de cate ori".
 $$ P\,(\mathrm{dBm}) = 10\log_{10}\frac{P}{1\ \mathrm{mW}} $$
-^ Putere ^ dBm ^
+Adica: scrii puterea in mW si intrebi "de cate ori e mai mare decat 1 mW", in dB.
-| 1 mW | 0 dBm |
-| 10 mW | 10 dBm |
-| 1 W | 30 dBm |
-| 1 µW = 0.001 mW | −30 dBm |
-Folosita de exemplu pentru puterea semnalului GSM primit de telefon. **Truc:** $P_{iesire}(\mathrm{dBm}) = P_{intrare}(\mathrm{dBm}) + G(\mathrm{dB})$.
+^ Putere ^ De cate ori fata de 1 mW ^ dBm ^
+| 1 mW | ×1 | 0 dBm |
+| 2 mW | ×2 | ≈ 3 dBm |
+| 10 mW | ×10 | 10 dBm |
+| 100 mW | ×100 | 20 dBm |
+| 1 W = 1000 mW | ×1000 | 30 dBm |
+| 0.1 mW | de 10 ori mai mic | −10 dBm |
+| 1 µW = 0.001 mW | de 1000 de ori mai mic | −30 dBm |
+Se foloseste de exemplu pentru puterea semnalului GSM primit de telefon (valori foarte mici, de ordinul a −70 dBm).
+**Diferenta dB / dBm:** **dB** = "de cate ori" (castig, atenuare, SNR). **dBm** = "cata putere" (o valoare concreta).
+**Truc:** $P_{iesire}(\mathrm{dBm}) = P_{intrare}(\mathrm{dBm}) + G(\mathrm{dB})$, unde $G$ e castigul amplificatorului (//gain//).
+**Exemplu:** intra 10 mW, adica 10 dBm. Amplificatorul are 20 dB. Iese $10 + 20 = 30$ dBm, adica 1 W. Verificare pe drumul lung: 20 dB = ×100, iar $10\ \mathrm{mW} \cdot 100 = 1000$ mW $= 1$ W ✓. Merge pentru ca dB-urile se aduna cand rapoartele se inmultesc.
 ==== 4.4 SNR-ul ADC in decibeli ====
+La 3.1 am obtinut $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac{3}{2}\cdot 2^{2B}$, cu numere uriase. Il trecem in decibeli cu formula de la 4.1.
+**Exemplu cu numere, $B = 3$:** $\mathrm{SNR}_{ADC} = 96$. In dB: $10\log_{10}(96)$. Cum $96 \approx 100$ si $\log_{10}(100) = 2$, rezultatul e aproape $20$ dB (exact: $19.8$ dB).
+**Cu litere, pas cu pas:**
+  - $\frac32 \cdot 2^{2B}$ e un **produs**, deci logaritmul lui e o **suma** (regula de la 4.0): $\log_{10}\frac32 + \log_{10}(2^{2B})$
+  - $2^{2B}$ inseamna 2 inmultit cu el insusi de $2B$ ori. Fiecare 2 aduce $\log_{10}(2) \approx 0.3$. Deci $\log_{10}(2^{2B}) = 2B \cdot 0.3 = 0.6\,B$
+  - $\log_{10}\frac32 \approx 0.18$
+  - inmultim totul cu 10 (din formula decibelului): $10 \cdot 0.18 + 10 \cdot 0.6\,B = 1.8 + 6B$
 $$ \mathrm{SNR}_{ADC}(\mathrm{dB}) = 10\log_{10}\left(\frac{3}{2}\cdot 2^{2B}\right) = \underbrace{10\log_{10}\tfrac{3}{2}}_{\approx 2} + 2B\cdot\underbrace{10\log_{10}2}_{\approx 3} \approx \boxed{6B + 2\ \mathrm{dB}} $$
-(am folosit $\log_{10}\frac32 \approx 0.2$ si $\log_{10}2 \approx 0.3$; in notite apare intai "+20", corectat apoi la "+2")
+(in notite apare intai "+20", corectat apoi la "+2")
+^ $B$ (biti) ^ $\mathrm{SNR}_{ADC}$ ca raport ^ exact in dB ^ cu formula $6B + 2$ ^
+| 1 | 6 | 7.8 | 8 |
+| 2 | 24 | 13.8 | 14 |
+| 3 | 96 | 19.8 | 20 |
+| 4 | 384 | 25.8 | 26 |
+| 8 | $\approx 98\,000$ | 49.9 | **50** |
+| 10 | $\approx 1.6 \cdot 10^6$ | 62.0 | 62 |
+| 12 | $\approx 2.5 \cdot 10^7$ | 74.0 | 74 |
+| 16 | $\approx 6.4 \cdot 10^9$ | 98.1 | **98** |
 {{ps:cap5:snr_vs_biti.png?750|SNR in functie de numarul de biti}}
+**Ce vezi in desen:** pe orizontala numarul de biti, pe verticala SNR-ul convertorului in dB. Punctele stau pe o dreapta care urca cu 6 dB la fiecare bit. Punctele rosii sunt cele doua valori de tinut minte: 8 biti → 50 dB, 16 biti → 98 dB.
   * $B = 8$ → $\approx 50$ dB → puterea semnalului e de $\approx 10^5$ ori mai mare decat a erorii
-  * $B = 16$ → $\approx 98$ dB → $\approx 10^{10}$ ori. **CD audio:** $B = 16$, $f_s = 44100$ Hz → frecventa maxima 22.05 kHz
+  * $B = 16$ → $\approx 98$ dB → $\approx 10^{10}$ ori
   * **fiecare bit in plus** → $+6$ dB (eroarea de 2 ori mai mica in amplitudine, de 4 ori in putere)
-<note>
+<note tip>
-**Bonus (raport de amplitudini):** puterea e proportionala cu patratul amplitudinii, deci pentru amplitudini/tensiuni: $\mathrm{dB} = 20\log_{10}\frac{A_2}{A_1}$. Exemplu: la frecventa de taiere $|H| = \frac{1}{\sqrt2}$ → $20\log_{10}\frac{1}{\sqrt 2} = 10\log_{10}\frac12 \approx -3$ dB (Cap 1). Daca problema spune "putere", folosesti **10**.
+**De ce +6 dB la fiecare bit?** La 3.1 am vazut ca un bit in plus inmulteste SNR-ul cu 4. Iar $\times 4 = \times 2 \times 2$ → in dB: $3 + 3 = 6$ dB.
+**CD audio:** s-au ales $B = 16$ biti si $f_s = 44\,100$ Hz.
+  * 16 biti → 65 536 trepte → SNR $\approx 98$ dB: eroarea de cuantizare e de cateva miliarde de ori mai slaba decat muzica, practic nu se aude.
+  * $f_s = 44\,100$ Hz → se pot inregistra frecvente pana la $f_s/2 = 22\,050$ Hz $= 22.05$ kHz (Nyquist, [[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3]]). Urechea aude pana pe la 20 kHz, deci e de ajuns.
 </note>
+==== 4.5 Decibeli pentru amplitudini (20 in loc de 10) ====
+Pana acum am comparat **puteri**. Uneori se compara **amplitudini** (de exemplu tensiuni, sau $|H(f)|$ de la filtre). Atunci in formula apare 20 in loc de 10:
+$$ \mathrm{dB} = 20\log_{10}\frac{A_2}{A_1} $$
+**De ce 20?** Puterea e proportionala cu **patratul** amplitudinii (2.2). Exemplu: amplitudinea creste de 10 ori → puterea creste de $10^2 = 100$ ori → 20 dB. Ca sa iasa tot 20 dB pornind de la raportul de amplitudini (care e 10, cu $\log_{10} = 1$), trebuie inmultit cu 20. Patratul dubleaza numarul de zerouri, deci 10 devine 20.
+**Exemplu legat de filtre:** la frecventa de taiere $|H| = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$ ([[ps:cap1-filtre|Cap 1 §4]]). Amplitudinea scade la 0.707, deci puterea scade la $0.707^2 = 0.5$, adica la **jumatate** → $-3$ dB. Cu formula: $20\log_{10}\frac{1}{\sqrt 2} = 10\log_{10}\frac12 \approx -3$ dB. De aceea frecventa de taiere se mai numeste "punctul de −3 dB".
+**Regula:** daca problema spune "putere" → **10**. Daca spune "amplitudine" sau "tensiune" → **20**. La examenele de pana acum a fost mereu vorba de puteri.
 ===== 5. Ce trebuie sa stii din Cap 5 (fisa de 1 minut) =====
-  * $2^B$ niveluri; $\Delta = \frac{2A}{2^B}$
+  * $B$ biti → $2^B$ trepte (niveluri); latimea treptei $\Delta = \frac{2A}{2^B}$
-  * eroarea de cuantizare: $\pm\Delta/2$, RMS $= \frac{\Delta}{\sqrt{12}}$, putere $\frac{\Delta^2}{12}$; **ireversibila**, scade cu mai multi biti
+  * eroarea de cuantizare: intre $\pm\Delta/2$, RMS $= \frac{\Delta}{\sqrt{12}}$, putere $\frac{\Delta^2}{12}$; **ireversibila**, scade cu mai multi biti
+  * RMS = radical din media patratelor; putere = media patratelor
   * $\mathrm{SNR} = \frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}}$; $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac32 2^{2B}$ → **$\approx 6B + 2$ dB**
+  * $\log_{10}$ = cate zerouri; $\log_{10}(2) \approx 0.3$
   * $\mathrm{dB} = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$; **$10X$ dB = $10^X$ ori**; $3$ dB ≈ ×2; $-3$ dB ≈ jumatate
   * dB-urile se **aduna** cand rapoartele se inmultesc (lant de amplificatoare)
   * dBm = raportat la 1 mW (0 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W)
   * $B = 8$ → 50 dB; $B = 16$ → 98 dB; CD: 16 biti, 44.1 kHz
+  * cele 2 probleme ale conversiei A/D: **aliasing** (se poate evita) si **eroarea de cuantizare** (doar se micsoreaza)
 ===== 6. Partialul 2025, grila 5 — rezolvare =====
-**Enunt:** Un **amplificator analog de 40 dB** si un **convertor A/D cu SNR = 50 dB**. (a) La intrarea amplificatorului avem $P = 10$ mW. $P_{out} = $ ? (b) In digital: de cate ori e $P_{out}$ (semnalul) mai mare decat $P_{zgomot}$?
+<note important>
+**Enunt:** Un **amplificator analog de 40 dB** e urmat de un **convertor A/D cu SNR = 50 dB**.
+  - **a)** La intrarea amplificatorului avem $P_{in} = 10$ mW. Cat e puterea de la iesirea lui, $P_{out}$?
+  - **b)** In digital (dupa convertor): de cate ori e puterea semnalului mai mare decat puterea zgomotului?
+</note>
-  * **(a)** $40$ dB → raport $10^{40/10} = 10^4$. $P_{out} = 10\ \mathrm{mW}\cdot 10^4 = 10^5$ mW $= $ **100 W**. (Cu dBm: $10$ mW $= 10$ dBm; $10 + 40 = 50$ dBm $= 10^5$ mW ✓.) **Capcana:** "$40 \cdot 10 = 400$" e **gresit** — dB-urile nu se inmultesc direct cu puterea.
+{{ps:cap5:partial_amplificator.png?900|Schema problemei: amplificator, apoi convertor A/D}}
-  * **(b)** $\mathrm{SNR} = 50$ dB → $\frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}} = 10^{50/10} =$ **$10^5$** ori.
+**Ce vezi in desen:** semnalul intra din stanga cu 10 mW, trece prin amplificator (punctul a intreaba ce putere are dupa el), apoi prin convertorul A/D, care il transforma in numere (punctul b intreaba cat de curate sunt numerele).
+==== Punctul a) ====
+**Ce se cere:** puterea la iesirea amplificatorului, $P_{out}$.
+**Ce stim:** $P_{in} = 10$ mW. Castigul amplificatorului e 40 dB. "Castig de 40 dB" inseamna: raportul $P_{out} / P_{in}$, scris in decibeli, e 40.
+**Pasi:**
+  - Trecem 40 dB in "de cate ori" (4.1, drumul invers): $40 : 10 = 4$ → $10^4 = 10\,000$. Amplificatorul inmulteste puterea cu 10 000.
+  - Inmultim: $P_{out} = 10\ \mathrm{mW} \cdot 10\,000 = 100\,000$ mW.
+  - Trecem in wati ($1$ W $= 1000$ mW): $100\,000 : 1000 = 100$ W.
+**Raspuns a):** $P_{out} =$ **100 W** (adica $10^5$ mW).
+**Verificare cu dBm** (4.3): $10$ mW $= 10$ dBm. $10 + 40 = 50$ dBm. $50$ dBm $= 10^5$ mW $= 100$ W ✓.
+<note warning>
+**Capcana:** "$40 \cdot 10 = 400$ mW" e **gresit**. Decibelii nu se inmultesc cu puterea. Mai intai ii transformi in "de cate ori" ($10^4$) si abia apoi inmultesti.
+</note>
+==== Punctul b) ====
+**Ce se cere:** de cate ori e $P_{semnal}$ mai mare decat $P_{zgomot}$, dupa convertor. Asta e chiar definitia SNR-ului (sectiunea 3), ca raport.
+**Ce stim:** SNR-ul convertorului e 50 dB.
+**Pasi:**
+  - Trecem 50 dB in "de cate ori": $50 : 10 = 5$ → $10^5 = 100\,000$.
+**Raspuns b):** $\frac{P_{semnal}}{P_{zgomot}} = 10^5$, adica semnalul e de **100 000 de ori** mai puternic decat zgomotul.
+<note tip>
+**De ce nu conteaza aici cei 100 W de la a)?** Pentru ca SNR-ul e un **raport**. Orice putere ar avea semnalul, zgomotul adaugat de convertor e de $10^5$ ori mai mic decat ea. Daca se cerea si puterea zgomotului: $100\ \mathrm{W} : 10^5 = 0.001$ W $= 1$ mW.
+**Legatura cu 4.4:** un SNR de 50 dB e cel al unui convertor pe **8 biti** ($6 \cdot 8 + 2 = 50$).
+</note>
 ===== 7. Grile de antrenament =====
+Raspunsurile, cu explicatie pentru fiecare varianta, sunt in sectiunea 9.
 **G1.** Un amplificator de 30 dB mareste puterea semnalului de:
@@ Line 222: / Line 611: @@
   - C. de frecventa de esantionare
   - D. de frecventa semnalului
+**G15.** Cele doua probleme principale ale conversiei din analog in digital sunt:
+  - A. aliasing-ul si eroarea de cuantizare
+  - B. amplificarea si atenuarea
+  - C. modulatia si demodulatia
+  - D. decimarea si filtrarea
+**G16.** Un semnal de 0 dBm trece printr-un amplificator de 20 dB si apoi printr-un cablu care atenueaza 3 dB. Puterea la capatul cablului este:
+  - A. 17 dBm (aproximativ 50 mW)
+  - B. 23 dBm (aproximativ 200 mW)
+  - C. 60 dBm
+  - D. −17 dBm
 ===== 8. Problema de antrenament =====
@@ Line 232: / Line 633: @@
 ===== 9. Raspunsuri =====
-^ Grila ^ Raspuns ^ Explicatie ^
+==== 9.1 Grilele ====
-| G1 | **C** | $10^{30/10} = 10^3$ |
-| G2 | **B** | $10^{60/10} = 10^6$ |
-| G3 | **A** | $10^{-0.3} \approx 0.5$ |
-| G4 | **C** | $10\log_{10}\frac{1000\ \mathrm{mW}}{1\ \mathrm{mW}} = 30$ |
-| G5 | **B** | dB-urile se aduna: $20 + 10 = 30$ dB = ×1000 (= ×100 · ×10) |
-| G6 | **C** | $6\cdot 8 + 2 = 50$ |
-| G7 | **A** | $2^{2(B+1)} = 4\cdot 2^{2B}$ → $10\log_{10}4 \approx 6$ dB |
-| G8 | **B** | $\frac{2}{2^4} = \frac{2}{16} = 0.125$ |
-| G9 | **C** | $\sqrt{\Delta^2/12}$ |
-| G10 | **B** | rotunjirea pierde informatie definitiv |
-| G11 | **C** | $2^3 = 8$ |
-| G12 | **B** | $10\log_{10}10^{-2} = -20$ |
-| G13 | **B** | 16 biti, 44100 Hz |
-| G14 | **B** | $A$ se simplifica |
-**Problema — rezolvare:**
+^ Grila ^ Raspuns ^ De ce e corect ^ De ce sunt gresite celelalte ^
-  * a) $6\cdot 12 + 2 = 74$ dB; raport $\frac32 2^{24} \approx 2.5\cdot 10^7$ (adica $10^{7.4}$).
+| G1 | **C** | $30 : 10 = 3$ → $10^3 = 1000$ | A: 30 e numarul de dB, nu "de cate ori". B: nu exista regula "dB ori 10". D: 3 e exponentul (cate zerouri), nu raportul. |
-  * b) $6B + 2 \geq 90$ → $B \geq 14.67$ → **$B = 15$** biti.
+| G2 | **B** | $60 : 10 = 6$ → $10^6$ | A si D: dB nu se citesc direct ca "ori". C: a uitat impartirea la 10. |
-  * c) $23$ dB $= 20 + 3$ dB → $\times 100 \times 2 = \times 200$ → **200 mW**; in dBm: $0 + 23 = $ **23 dBm**.
+| G3 | **A** | $-3$ dB → $10^{-0.3} \approx 0.5$ (din tabel) | B: 3 dB nu inseamna "de 3 ori". C: de 1000 de ori ar fi −30 dB. D: semnul minus inseamna ca scade; +3 dB ar fi dublare. |
-  * d) $\Delta = \frac{2\cdot 2}{2^{12}} = \frac{4}{4096} \approx 0.98$ mV; $\mathrm{rms} = \frac{\Delta}{\sqrt{12}} \approx 0.28$ mV.
+| G4 | **C** | $1$ W $= 1000$ mW → ×1000 fata de 1 mW → 30 dBm | A: 0 dBm e chiar 1 mW. B: 1 dBm e abia 1.26 mW. D: 1000 e numarul de mW, nu logaritmul lui. |
+| G5 | **B** | dB-urile se aduna: $20 + 10 = 30$ dB (×100 · ×10 = ×1000) | A: dB-urile nu se inmultesc. C: nici nu se impart. D: $20 - 10$ ar fi un amplificator urmat de o atenuare. |
+| G6 | **C** | $6\cdot 8 + 2 = 50$ | A: 8 e numarul de biti. B: 16 e $2B$, fara factorul 6. D: 98 dB e pentru 16 biti. |
+| G7 | **A** | un bit in plus → eroarea de 4 ori mai mica in putere → ×4 = 6 dB | B: se **aduna** 6, nu se dubleaza (50 → 56, nu 100). C, D: mai multi biti = eroare mai mica = SNR mai mare. |
+| G8 | **B** | $\frac{2\cdot 1}{2^4} = \frac{2}{16} = 0.125$ | A: 0.25 e pentru 3 biti. C: 0.5 e pentru 2 biti. D: $4096 = 2^{12}$, alt numar de biti si lipseste $2A$. |
+| G9 | **C** | $\sqrt{\Delta^2/12}$ (2.3) | A: $\Delta$ e toata treapta; eroarea nu trece de jumatate. B: $\Delta/2$ e eroarea **maxima**, nu cea "de obicei". D: seamana cu puterea ($\Delta^2/12$), dar lipseste 12 si radicalul. |
+| G10 | **B** | rotunjirea arunca informatie definitiv; mai multi biti → trepte mai inguste | A: un filtru nu are de unde sti ce valori au fost rotunjite. C: asta e conditia pentru aliasing, alta problema. D: orice ADC are un numar finit de biti. |
+| G11 | **C** | $2^3 = 8$ | A: 3 e numarul de biti. B: $2 \cdot 3$ in loc de $2^3$. D: $3^2$ in loc de $2^3$. |
+| G12 | **B** | $0.01 = 1 : 100$ → $\log_{10} = -2$ → $10 \cdot (-2) = -20$ | A: a uitat inmultirea cu 10. C: −100 dB ar fi $10^{-10}$. D: 0.01 e raportul, nu decibelii. |
+| G13 | **B** | 16 biti, 44 100 Hz | A: valori de telefonie, nu de CD. C: valori de studio. D: 22.05 kHz e frecventa **maxima** inregistrata ($f_s/2$), nu $f_s$. |
+| G14 | **B** | $A$ se simplifica (3.1); in formula a ramas doar $B$ | A: $A^2$ apare sus si jos si dispare. C, D: nicio frecventa nu apare in formula. |
+| G15 | **A** | esantionarea poate da aliasing; rotunjirea da eroarea de cuantizare (2.4) | B, C, D: sunt operatii facute cu semnalul, nu probleme ale conversiei. |
+| G16 | **A** | $0 + 20 - 3 = 17$ dBm; ×100 si apoi :2 → 50 mW | B: a adunat atenuarea in loc s-o scada. C: a inmultit 20 cu 3. D: semn gresit; puterea a crescut fata de 1 mW. |
+==== 9.2 Problema de antrenament, pe puncte ====
+**Punctul a)**
+  * **Ce se cere:** SNR-ul unui ADC pe 12 biti, in dB si ca raport.
+  * **Ce stim:** $B = 12$; formulele $\mathrm{SNR}_{ADC} \approx 6B + 2$ dB si $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac32 \cdot 2^{2B}$.
+  * **Pasi:** in dB: $6 \cdot 12 + 2 = 74$ dB. Ca raport: $2^{24} = 16\,777\,216$, inmultit cu $1.5$ da aproximativ $25\,000\,000 = 2.5 \cdot 10^7$. Verificare: 74 dB → $10^{7.4} \approx 2.5 \cdot 10^7$ ✓.
+  * **Raspuns:** **74 dB**, adica de aproximativ **25 de milioane de ori**.
+**Punctul b)**
+  * **Ce se cere:** cel mai mic numar de biti pentru care SNR-ul e cel putin 90 dB.
+  * **Ce stim:** $\mathrm{SNR}_{ADC} \approx 6B + 2$.
+  * **Pasi:** punem conditia $6B + 2 \geq 90$. Scadem 2: $6B \geq 88$. Impartim la 6: $B \geq 14.67$. Numarul de biti e intreg, deci rotunjim **in sus**. Verificare: $B = 14$ da $86$ dB (prea putin), $B = 15$ da $92$ dB (ajunge).
+  * **Raspuns:** **$B = 15$ biti**.
+**Punctul c)**
+  * **Ce se cere:** puterea la iesirea unui amplificator de 23 dB, in mW si in dBm.
+  * **Ce stim:** la intrare 1 mW, adica 0 dBm.
+  * **Pasi:** 23 dB nu e in tabel, il desfacem: $23 = 20 + 3$ → ×100 si apoi ×2 → ×200. In mW: $1 \cdot 200 = 200$ mW. In dBm: $0 + 23 = 23$ dBm.
+  * **Raspuns:** **200 mW**, adica **23 dBm**.
+**Punctul d)**
+  * **Ce se cere:** pasul de cuantizare $\Delta$ si eroarea RMS.
+  * **Ce stim:** $B = 12$, intrarea e intre $-2$ V si $2$ V, deci $A = 2$ V.
+  * **Pasi:** $\Delta = \frac{2A}{2^B} = \frac{2\cdot 2}{2^{12}} = \frac{4}{4096} \approx 0.00098$ V $= 0.98$ mV. Apoi $\mathrm{rms} = \frac{\Delta}{\sqrt{12}} = \frac{0.98}{3.46} \approx 0.28$ mV.
+  * **Raspuns:** **$\Delta \approx 0.98$ mV**, **RMS $\approx 0.28$ mV**.
+===== 10. Intrebari de teorie ca la examen =====
+La examen, teoria e cu raspuns scris de tine, in cateva randuri. Mai jos sunt intrebarile reale din acest capitol (lista completa: [[ps:subiecte-reale|Subiecte reale §2]]), fiecare cu un raspuns model. Incearca intai sa raspunzi singur pe foaie, apoi compara.
+**T1. (examen 2023, varianta C) Despre decibeli: a. definitie; b. interpretare (aplicatii); c. daca SNR = 60 dB, de cate ori e puterea semnalului mai mare decat a zgomotului?**
+<note>
+**Raspuns model:**
+  * **a.** Decibelul (dB) e o unitate logaritmica pentru un **raport de puteri**: $\mathrm{dB} = 10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$.
+  * **b.** Arata de cate ori e o putere mai mare decat alta: castigul unui amplificator, atenuarea unui cablu sau filtru, SNR-ul. Se foloseste pentru ca rapoartele foarte mari devin numere mici si pentru ca inmultirile devin adunari (castigurile in dB se aduna). $10X$ dB inseamna de $10^X$ ori; 3 dB inseamna dublu.
+  * **c.** $60$ dB → $10^{60/10} = 10^6$: semnalul e de **un milion de ori** mai puternic decat zgomotul.
+</note>
+**T2. (examen 2024, varianta B) Ce probleme apar in procesul de cuantizare din conversia A/D? Se poate recupera un semnal analog dintr-unul cuantizat? In ce conditii? Ce putem face sa minimizam erorile?**
+<note>
+**Raspuns model:**
+  * Cuantizarea rotunjeste fiecare esantion la unul din $2^B$ niveluri. Apare **eroarea de cuantizare**, intre $-\Delta/2$ si $\Delta/2$, cu valoarea efectiva $\Delta/\sqrt{12}$, unde $\Delta = 2A/2^B$. Ea se comporta ca un zgomot adaugat peste semnal.
+  * Semnalul **nu se mai poate recupera exact**: toate valorile dintr-o treapta devin acelasi numar, deci informatia e pierduta. S-ar recupera exact doar daca esantioanele ar fi fost de la inceput chiar pe niveluri, ceea ce practic nu se intampla. Se recupereaza doar o aproximare.
+  * Minimizam eroarea cu: **mai multi biti** (fiecare bit in plus aduce aproximativ 6 dB la SNR), reconstructie la **mijlocul treptei** si un semnal care **ocupa tot intervalul** convertorului.
+</note>
+**T3. (examen 2023, varianta A) Care sunt doua probleme principale la conversia din analog in digital? Detaliati.**
+<note>
+**Raspuns model:**
+  * **Aliasing-ul**, de la esantionare: daca $f_s$ e prea mica, copiile spectrului se suprapun si frecventele inalte apar ca frecvente joase false. Se evita complet cu $f_s \geq 2W$ (Nyquist) si cu un filtru anti-aliasing inaintea convertorului ([[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3–4]]).
+  * **Eroarea de cuantizare**, de la rotunjirea pe $B$ biti: e ireversibila; se poate doar micsora cu mai multi biti. $\mathrm{SNR}_{ADC} \approx 6B + 2$ dB.
+</note>
+**T4. (examen 2023, varianta C) Conversia A/D: a. dupa esantionare se mai poate recupera semnalul analog? b. sub ce conditii? c. exista limitari/degradare? d. ce parametri influenteaza cel mai mult degradarea?**
+<note>
+**Raspuns model:**
+  * **a, b.** Dupa **esantionare**: da, exact, daca semnalul are banda limitata la $W$ si $f_s \geq 2W$; se recupereaza cu un filtru trece-jos ideal ([[ps:cap4-esantionare|Cap 4 §3]]).
+  * **c.** Degradarea vine de la **cuantizare**: eroarea de rotunjire nu se mai poate elimina. Daca $f_s < 2W$ apare in plus aliasing.
+  * **d.** **Frecventa de esantionare** $f_s$ (hotaraste daca apare aliasing) si **numarul de biti** $B$ (hotaraste marimea erorii de cuantizare).
+</note>
+**T5. (intrebare de antrenament, nu e luata dintr-un examen) Ce este SNR-ul si cat este el pentru un convertor A/D pe $B$ biti?**
+<note>
+**Raspuns model:** SNR e raportul dintre puterea semnalului si puterea zgomotului, $\mathrm{SNR} = P_{semnal}/P_{zgomot}$. La un convertor A/D zgomotul e eroarea de cuantizare, de putere $\Delta^2/12$. Pentru o sinusoida care ocupa tot intervalul, $P_{semnal} = A^2/2$, deci $\mathrm{SNR}_{ADC} = \frac32\cdot 2^{2B}$, adica aproximativ $6B + 2$ dB. Exemple: 8 biti → 50 dB, 16 biti (CD) → 98 dB.
+</note>
 ----
-**Urmatorul:** [[ps:cap6-curs8|Cap 6 — Jumatatea din Cursul 8]] (dupa curs) · [[ps:simulare-partial|Simulare partial + foaie de formule]].
+**Urmatorul:** [[ps:simulare-partial|Simulare partial]] · [[ps:foaie-formule|Foaia de formule]] · [[ps:start|Cuprins]].