Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- ps:cap4-esantionare [2026/11/09 16:55] – PS: Cap 4 esantionare apache
+++ ps:cap4-esantionare [2026/11/11 12:39] (current) – Cap 4 revizuit: de la zero, cele 3 cazuri fs>=W / fs>=2W, probleme pe puncte, teorie ca la examen apache
@@ Line 4: / Line 4: @@
 <note important>
-**Cel mai important capitol pentru problema de la partial.** Toate problemele "mari" din ultimii ani sunt de tipul: //ai un semnal la o frecventa mare $f_c$, cu banda mica; ai un convertor A/D lent; cum il esantionezi fara sa pierzi informatie si cum reduci apoi rata de esantionare?// La final ai **reteta** (sectiunea 8) si **4 probleme rezolvate pas cu pas** (sectiunile 9–12).
+**Cel mai important capitol pentru problema de la partial si de la examen.** Toate problemele "mari" din ultimii ani sunt de tipul: //ai un semnal la o frecventa mare, care ocupa o banda ingusta; ai un convertor lent; cum il esantionezi fara sa pierzi informatie si cum reduci apoi numarul de esantioane pe secunda?// La final ai **reteta** (sectiunea 8) si **4 probleme rezolvate punct cu punct** (sectiunile 9–12). Doua probleme de acelasi tip sunt rezolvate si mai incet, cu desen la fiecare pas, in [[ps:problema-tip|Problema-tip]].
+</note>
+<note>
+**Cum citesti pagina.** E lunga, dar are o ordine:
+  - sectiunile **1–4**: ce e esantionarea si ce strica ea (copii ale spectrului, aliasing, Nyquist)
+  - sectiunile **5–7**: cele trei "scule" din probleme (bandpass sampling, IQ, decimare)
+  - sectiunea **8**: reteta pe pasi
+  - sectiunile **9–12**: probleme de examen rezolvate
+  - sectiunile **13–17**: fisa de 1 minut, grile, probleme pentru tine, intrebari de teorie ca la examen
+**Ce trebuie sa stii dinainte** (daca ceva nu e clar, intoarce-te acolo):
+  * ce e **spectrul** unui semnal si de ce un cosinus de amplitudine $A$ da doua linii de $A/2$, la $+f$ si la $-f$ → [[ps:cap0-baze|Cap 0 §6]]
+  * ce face un **filtru** cu un spectru (o "fereastra" care lasa sa treaca doar unele frecvente) → [[ps:cap0-baze|Cap 0 §6.5]], [[ps:cap1-filtre|Cap 1 §6]]
+  * numarul $j$ si cercul cu $e^{j\theta}$ → [[ps:cap0-baze|Cap 0 §2–4]]
+  * inmultirea cu un cosinus **muta** spectrul → [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §4]]
 </note>
 <note tip>
 **Ideea capitolului in 3 fraze:**
-  - Esantionarea cu $f_s$ **copiaza spectrul** semnalului la fiecare $f_s$ (replici la $0, \pm f_s, \pm 2f_s, \dots$).
+  - Esantionarea cu $f_s$ **copiaza spectrul** semnalului la fiecare $f_s$ (copii la $0, \pm f_s, \pm 2f_s, \dots$).
-  - Daca replicile **se suprapun** → **aliasing** = informatie pierduta. Ca sa nu se suprapuna: $f_s \geq 2W$ (Nyquist) — **sau**, pentru semnale inguste la frecventa mare, o $f_s$ aleasa cu grija (**bandpass sampling**).
+  - Daca copiile **se suprapun** → **aliasing** = informatie pierduta. Ca sa nu se suprapuna: $f_s \geq 2\cdot$(frecventa maxima) — regula lui Nyquist. Pentru un semnal ingust aflat la o frecventa mare exista o scurtatura: o $f_s$ mica, dar aleasa cu grija (**bandpass sampling**).
-  - Dupa esantionare, tot ce conteaza e in intervalul $[-f_s/2, f_s/2]$; cu **IQ** aducem semnalul in jurul lui 0 si cu **decimare** reducem rata.
+  - Dupa esantionare, tot ce conteaza se afla intre $-f_s/2$ si $f_s/2$. Cu **IQ** aducem semnalul in jurul lui 0, iar cu **decimare** reducem numarul de esantioane pe secunda.
 </note>
+**Cuvintele pe care le folosim in tot capitolul:**
+^ Cuvant ^ Ce inseamna, simplu ^
+| **semnal analog** | un semnal care are o valoare in **orice** moment (ex. tensiunea de la un microfon). Il notam $s(t)$; $t$ = timpul, in secunde. |
+| **semnal digital** | un **sir de numere** (masuratori ale semnalului analog). Il notam $s(n)$; $n$ = numarul de ordine al masuratorii: 0, 1, 2, ... |
+| **esantion** | **o** masuratoare a semnalului, la un anumit moment (engleza: //sample//) |
+| **convertor A/D** (ADC) | aparatul care face masuratorile: transforma semnalul analog intr-un sir de numere |
+| **Hz, kHz, MHz** | unitatea pentru frecventa. 1 Hz = o oscilatie pe secunda. 1 kHz = 1 000 Hz. 1 MHz = 1 000 000 Hz. |
+| **banda** | intervalul de frecvente pe care il ocupa un semnal in spectru (ex. de la 99 la 101 MHz) |
+| **latimea benzii** ($B$, in probleme si $W$) | cat de lat e intervalul: capatul din dreapta minus capatul din stanga (ex. $101 - 99 = 2$ MHz) |
+| **$f_c$** | frecventa din **mijlocul** benzii (centrul); la AM e frecventa purtatoarei |
+| **copie** (in curs: **replica**) | acelasi desen din spectru, aparut si in alt loc pe axa frecventei |
 ===== 1. Ce e esantionarea =====
-{{ps:cap4:esantionare_timp.png?850|Esantionarea in timp}}
+==== 1.1 Ideea ====
-  * luam valoarea semnalului analog din $T_s$ in $T_s$ secunde: $s(n) = s(nT_s)$, $n \in \mathbb{Z}$
+Un calculator nu poate tine minte un semnal analog: acesta are o valoare in **fiecare** clipa, adica o infinitate de valori. Asa ca **masuram** semnalul doar din cand in cand, la intervale egale, si pastram doar masuratorile. Asta e **esantionarea**.
-  * $T_s$ = **perioada de esantionare**; $f_s = 1/T_s$ = **frecventa de esantionare** (esantioane pe secunda)
-**Lantul complet de conversie analog → digital (A/D):**
+**Analogie:** un film nu inregistreaza miscarea continuu. Face 24 de poze pe secunda, iar ochiul reface miscarea din ele. Esantionarea face acelasi lucru cu un semnal: "poze" la intervale egale.
+==== 1.2 Exemplu cu numere ====
+Luam semnalul $s(t) = \cos(2\pi\cdot 1\cdot t)$: un cosinus de **1 Hz**, adica face o oscilatie completa intr-o secunda ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §5]]).
+Il masuram de **8 ori pe secunda**. Atunci:
+  * numarul de masuratori pe secunda se numeste **frecventa de esantionare**: $f_s = 8$ Hz
+  * timpul dintre doua masuratori se numeste **perioada de esantionare**: $T_s = 1/8 = 0.125$ secunde
+Masuratoarea cu numarul $n$ se face la momentul $t = n\cdot T_s = n\cdot 0.125$ s. Calculam valorile (unghiul din cosinus e $2\pi\cdot t$, adica $360^\circ\cdot t$):
+^ $n$ (numarul esantionului) ^ momentul $t = n\cdot 0.125$ s ^ unghiul $360^\circ\cdot t$ ^ valoarea $s(n) = \cos(\text{unghi})$ ^
+| 0 | 0 | 0° | 1 |
+| 1 | 0.125 | 45° | 0.71 |
+| 2 | 0.25 | 90° | 0 |
+| 3 | 0.375 | 135° | −0.71 |
+| 4 | 0.5 | 180° | −1 |
+| 5 | 0.625 | 225° | −0.71 |
+| 6 | 0.75 | 270° | 0 |
+| 7 | 0.875 | 315° | 0.71 |
+| 8 | 1 | 360° | 1 |
+Semnalul digital este sirul din ultima coloana: $s(n) = [1,\ 0.71,\ 0,\ -0.71,\ -1,\ -0.71,\ 0,\ 0.71,\ 1,\ \dots]$.
+{{ps:cap4:esantionare_timp.png?950|Esantionarea in timp}}
+**Ce vezi in desen:** linia gri e semnalul analog. Punctele albastre sunt esantioanele, cu valoarea scrisa langa fiecare. Sageata rosie arata timpul dintre doua esantioane, $T_s = 0.125$ s.
+==== 1.3 Acelasi lucru, scris cu litere ====
+$$ s(n) = s(n\cdot T_s), \qquad f_s = \frac{1}{T_s} $$
+  * $s(n)$ = esantionul cu numarul $n$ ($n$ = 0, 1, 2, ...; poate fi si negativ, daca numaram si inainte de momentul 0)
+  * $T_s$ = **perioada de esantionare** (secunde): cat timp trece intre doua esantioane
+  * $f_s$ = **frecventa de esantionare** (Hz = esantioane pe secunda): cate esantioane luam intr-o secunda
+<note tip>
+**De ce $f_s = 1/T_s$?** Daca intre doua esantioane trec $T_s = 0.125$ secunde, intr-o secunda incap $1 / 0.125 = 8$ esantioane. E aceeasi legatura ca intre perioada si frecventa unui cosinus ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §5]]).
+</note>
+==== 1.4 Lantul complet de conversie analog → digital (A/D) ====
 {{ps:cap4:lant_ad.png?900|Lantul A/D}}
+**Ce vezi in desen:** drumul semnalului de la analog la digital, in 3 pasi:
+  - **filtru trece-jos analog (anti-aliasing):** taie frecventele prea mari **inainte** de masurare. De ce e nevoie de el afli in sectiunile 3 si 4.
+  - **esantionare:** masuram semnalul de $f_s$ ori pe secunda (sectiunea asta).
+  - **cuantizare:** fiecare masuratoare e rotunjita la un numar care se poate scrie pe $B$ biti ([[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5]]).
 <note>
-**"Care sunt doua probleme principale la conversia din analog in digital?"** (examen 2023)
+**Intrebare de examen (2023): "Care sunt doua probleme principale la conversia din analog in digital?"**
-  - **Aliasing** (la esantionare): daca $f_s$ e prea mica fata de frecventele din semnal, componente diferite se confunda intre ele → informatie pierduta. Se evita cu filtru anti-aliasing + $f_s \geq 2W$.
+  - **Aliasing** (apare la esantionare): daca $f_s$ e prea mica fata de frecventele din semnal, frecvente diferite ajung sa dea aceleasi esantioane si se confunda intre ele → informatie pierduta. Se evita cu un filtru anti-aliasing si cu $f_s \geq 2\cdot f_{max}$ (sectiunile 3–4).
-  - **Eroarea de cuantizare** (la cuantizare): fiecare esantion e rotunjit la unul din $2^B$ niveluri → eroare ireversibila. Se micsoreaza cu mai multi biti $B$ (vezi [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5]]).
+  - **Eroarea de cuantizare** (apare la cuantizare): fiecare esantion e rotunjit la unul din $2^B$ niveluri → o eroare care nu se mai poate scoate. Se micsoreaza cu mai multi biti $B$ ([[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5]]).
 </note>
 ===== 2. Spectrul semnalului esantionat =====
-Esantionarea = inmultirea lui $s(t)$ cu un tren de pulsuri foarte inguste (pulsul periodic din Cap 2 cu $\Delta \to 0$). Trenul de pulsuri are seria Fourier $\sum_k c_k e^{j2\pi k t/T_s}$, iar fiecare termen **muta** spectrul lui $s$ cu $k/T_s = k f_s$ (proprietatea de deplasare in frecventa din Cap 3):
+Intrebarea sectiunii: **ce se intampla cu spectrul unui semnal dupa ce il esantionam?** Raspunsul (apar copii ale spectrului) e baza pentru tot restul capitolului, asa ca il construim incet.
+==== 2.1 Experiment cu numere: doua cosinusuri diferite, aceleasi esantioane ====
+Pastram $f_s = 8$ Hz (8 esantioane pe secunda). Esantionam **doua** semnale diferite:
+  * un cosinus de **1 Hz** (cel din sectiunea 1)
+  * un cosinus de **9 Hz** (9 = 1 + 8, adica 1 + $f_s$)
+La momentul $t = n\cdot 0.125$ s, unghiul din cosinus este $360^\circ\cdot f\cdot t$:
+  * pentru 1 Hz: $360^\circ\cdot 1\cdot n\cdot 0.125 = 45^\circ\cdot n$
+  * pentru 9 Hz: $360^\circ\cdot 9\cdot n\cdot 0.125 = 405^\circ\cdot n = 45^\circ\cdot n + 360^\circ\cdot n$
+Cosinusul nu se schimba daca aduni la unghi ture complete (360°, 720°, ...) — pe cerc ajungi in acelasi punct ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §4]]). Deci cele doua semnale dau **aceleasi valori**:
+^ $n$ ^ unghi pentru 1 Hz ^ unghi pentru 9 Hz ^ acelasi punct pe cerc? ^ valoarea (aceeasi la amandoua) ^
+| 0 | 0° | 0° | da | 1 |
+| 1 | 45° | 405° = 45° + 360° | da | 0.71 |
+| 2 | 90° | 810° = 90° + 2·360° | da | 0 |
+| 3 | 135° | 1215° = 135° + 3·360° | da | −0.71 |
+| 4 | 180° | 1620° = 180° + 4·360° | da | −1 |
+{{ps:cap4:aceleasi_esantioane.png?950|1 Hz si 9 Hz dau aceleasi esantioane}}
+**Ce vezi in desen:** linia gri groasa e cosinusul de 1 Hz, linia rosie subtire e cel de 9 Hz. Sunt semnale foarte diferite, dar trec amandoua prin **aceleasi** puncte albastre (esantioanele). Cine are doar punctele albastre nu poate sti care dintre cele doua a fost semnalul adevarat.
+La fel se intampla cu 17 Hz (= 1 + 2·8), cu 25 Hz (= 1 + 3·8) si asa mai departe. Si in jos: cu −7 Hz (= 1 − 8), −15 Hz (= 1 − 2·8), ...
+<note tip>
+**De ce se intampla asta, intr-o propozitie:** intre doua esantioane, cosinusul de 9 Hz face **o tura intreaga in plus** fata de cel de 1 Hz. O tura intreaga in plus nu se vede: la urmatorul esantion cele doua sunt iar in acelasi punct.
+</note>
+==== 2.2 Ce inseamna asta pentru spectru ====
+**Regula (cu numerele de mai sus):** dupa esantionarea cu $f_s = 8$ Hz, frecventele 1, 9, 17, 25, ... si −7, −15, ... **nu se mai pot deosebi**. Esantioanele sunt aceleasi pentru toate.
+Spectrul arata ce frecvente sunt in semnal. Daca semnalul esantionat "ar putea fi" la fel de bine 1 Hz, 9 Hz, 17 Hz sau −7 Hz, atunci spectrul lui are **cate o linie la fiecare** dintre ele. Deci linia de la 1 Hz apare **copiata** la fiecare 8 Hz, in sus si in jos.
+**Regula generala:** dupa esantionarea cu $f_s$, o linie de la frecventa $f$ apare si la $f + f_s$, $f + 2f_s$, ... si la $f - f_s$, $f - 2f_s$, ...
+Orice semnal e o suma de cosinusuri ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §6]]), deci spectrul lui e facut din multe linii. **Fiecare** linie se copiaza la fel. Rezultatul:
+<note important>
+**Esantionarea cu $f_s$ copiaza TOT spectrul semnalului la fiecare $f_s$:** desenul din jurul lui 0 apare la fel si in jurul lui $f_s$, $2f_s$, $3f_s$, ... si in jurul lui $-f_s$, $-2f_s$, ... In curs, aceste copii se numesc **replici**.
+</note>
+{{ps:cap4:spectru_esantionat.png?950|Copiile spectrului: fara aliasing vs cu aliasing}}
+**Ce vezi in desen** (axa orizontala: frecventa $f$; axa verticala: cat de "tare" e semnalul la acea frecventa):
+  * **sus:** spectrul semnalului analog, un triunghi care se intinde de la $-f_{max}$ la $f_{max}$ ($f_{max}$ = cea mai mare frecventa din semnal)
+  * **mijloc:** dupa esantionare cu o $f_s$ destul de mare. Triunghiul albastru (originalul) apare copiat (gri) la $\pm f_s$, $\pm 2f_s$, ... Copiile nu se ating.
+  * **jos:** dupa esantionare cu o $f_s$ prea mica. Copiile sunt prea aproape una de alta si **se suprapun**. Asta e **aliasing** (sectiunea 4).
+==== 2.3 Formula din curs ====
+Tot ce am spus mai sus se scrie intr-o singura formula:
 $$ \boxed{X(f) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k\, S(f - k f_s)} $$
-**In cuvinte:** spectrul semnalului esantionat = **copii (replici) ale lui $S(f)$ la fiecare multiplu de $f_s$**.
+Cum o citesti, bucata cu bucata:
+  * $S(f)$ = spectrul semnalului analog (triunghiul de sus din desen)
+  * $X(f)$ = spectrul semnalului esantionat (desenul din mijloc)
+  * $S(f - k f_s)$ = acelasi desen $S$, **mutat la dreapta cu $k\cdot f_s$**. Pentru $k = 0$ e originalul. Pentru $k = 1$ e copia din jurul lui $f_s$. Pentru $k = -1$ e copia din jurul lui $-f_s$. Si tot asa.
+  * $\sum$ = le aduni pe toate: originalul plus toate copiile
+  * $c_k$ = un numar care spune cat de inalta e copia cu numarul $k$. La esantionarea ideala toate copiile au aceeasi inaltime, asa ca in desene le facem egale.
-{{ps:cap4:spectru_esantionat.png?950|Replicile spectrului: fara aliasing vs cu aliasing}}
+<note tip>
+**De unde vine formula in curs** (nu trebuie s-o deduci la examen, doar sa stii povestea). In curs, esantionarea e vazuta ca **inmultirea** semnalului $s(t)$ cu un sir de pulsuri foarte inguste, cate unul la fiecare $T_s$: unde e puls, semnalul trece; in rest e zero. Sirul de pulsuri e un semnal periodic, deci se scrie ca o suma de termeni $c_k e^{j2\pi k t/T_s}$ (seria Fourier, [[ps:cap2-serii-fourier|Cap 2]]). Inmultirea cu fiecare astfel de termen **muta** spectrul lui $s$ cu $k/T_s = k f_s$ (proprietatea de deplasare in frecventa, [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §2]]). Suma tuturor mutarilor da formula. Experimentul cu numere din 2.1 arata acelasi lucru, fara formule.
+</note>
 ===== 3. Criteriul lui Nyquist si teorema de recuperare =====
-Replica de la 0 se intinde pana la $W$; urmatoarea incepe la $f_s - W$. Ca sa nu se atinga: $W \le f_s - W$:
+Intrebarea sectiunii: **cat de mare trebuie sa fie $f_s$ ca sa nu pierdem nimic?**
-$$ \boxed{f_s \geq 2W} \qquad (W = \text{frecventa MAXIMA din semnal}) $$
+==== 3.1 Exemplu cu numere ====
-  * $f_s/2$ = **frecventa Nyquist** = cea mai mare frecventa care se poate reprezenta corect
+Un semnal are frecvente pana la 3 kHz. Deci spectrul lui ocupa intervalul de la −3 la 3 kHz ($f_{max} = 3$ kHz).
-  * **conditia 2 (limitare in banda):** semnalul **nu** are voie sa aiba nimic peste $W$ → inainte de esantionare se pune un **filtru analog trece-jos anti-aliasing** cu taierea la $W$ (altfel zgomotul de frecventa mare se "pliaza" peste semnal)
-**Teorema de recuperare (D → A):** daca $s(t)$ e limitat in banda la $W$ si a fost esantionat cu $f_s \geq 2W$, atunci $s(t)$ se poate **recupera exact** din esantioane, aplicand un **filtru trece-jos** (analog) cu taierea la $W$ (pastreaza replica de la 0, arunca restul).
+Dupa esantionare, copia din jurul lui $f_s$ ocupa intervalul de la $f_s - 3$ la $f_s + 3$ (acelasi desen, mutat cu $f_s$).
-**Exemplu:** CD audio: auzul merge pana la ~20 kHz → $f_s = 44.1$ kHz $> 2 \cdot 20$ kHz.
+  * **Incercam $f_s = 8$ kHz:** copia ocupa de la $8 - 3 = 5$ la $8 + 3 = 11$ kHz. Originalul se termina la 3. Intre 3 si 5 e loc liber → **nu se ating** ✓
+  * **Incercam $f_s = 5$ kHz:** copia ocupa de la $5 - 3 = 2$ la $5 + 3 = 8$ kHz. Originalul ajunge pana la 3. Pe bucata de la 2 la 3 kHz sunt **amandoua** → **se suprapun** ✗
+  * **La limita, $f_s = 6$ kHz:** copia incepe la $6 - 3 = 3$, exact unde se termina originalul. Se ating, dar nu se calca.
+Deci pentru $f_{max} = 3$ kHz e nevoie de $f_s \geq 6$ kHz, adica de **doua ori** frecventa maxima.
+==== 3.2 Regula (criteriul lui Nyquist) ====
+Cu litere, acelasi calcul: originalul se termina la $f_{max}$, copia urmatoare incepe la $f_s - f_{max}$. Ca sa nu se calce: $f_s - f_{max} \geq f_{max}$, adica:
+$$ \boxed{f_s \geq 2\cdot f_{max}} \qquad (f_{max} = \text{cea mai mare frecventa din semnal}) $$
+  * In cuvinte: **esantionezi cu cel putin dublul celei mai mari frecvente din semnal.**
+  * $f_s/2$ se numeste **frecventa Nyquist**: cea mai mare frecventa pe care o poti reprezenta corect cand esantionezi cu $f_s$. (Daca $f_s = 8$ kHz, poti reprezenta corect doar frecvente pana la 4 kHz.)
+**Exemplu din viata reala:** urechea aude pana la aproximativ 20 kHz. CD-ul audio foloseste $f_s = 44.1$ kHz, putin peste $2\cdot 20 = 40$ kHz.
+<note warning>
+**Atentie la litera W — inseamna doua lucruri diferite!**
+  * In **carte si in curs**, criteriul lui Nyquist e scris $f_s \geq 2W$, unde **$W$ = frecventa maxima** din semnal (ce am notat aici $f_{max}$).
+  * In **enunturile problemelor** (ex. "spectrul ocupa de la $-W/2$ la $W/2$", "semnalul are banda $W = 1$ MHz"), **$W$ = latimea totala a benzii**. Acolo frecventa maxima e doar $W/2$.
+Nu tine minte litera. Tine minte regula in cuvinte: **$f_s \geq$ de doua ori frecventa maxima**. Apoi uita-te in enunt care e frecventa maxima. Cele trei situatii care apar la examen sunt puse una langa alta in sectiunea 5.6.
+</note>
+==== 3.3 De ce e nevoie de filtrul anti-aliasing ====
+Regula $f_s \geq 2 f_{max}$ presupune ca semnalul **chiar nu are nimic** peste $f_{max}$. In realitate, pe langa semnalul care ne intereseaza, pe fir vine si **zgomot** la frecvente mai mari. La esantionare se copiaza **tot**, si zgomotul. Copiile lui ar cadea peste semnalul nostru.
+De aceea, **inainte** de convertor se pune un **filtru analog trece-jos** care taie tot ce e peste $f_{max}$ (primul bloc din lantul A/D, sectiunea 1.4). Se numeste **filtru anti-aliasing**.
+==== 3.4 Teorema de recuperare (drumul inapoi, digital → analog) ====
+Daca copiile nu se suprapun (desenul din mijloc de la sectiunea 2.2), originalul sta neatins intre $-f_{max}$ si $f_{max}$. Ca sa-l scoatem inapoi, punem o "fereastra" care pastreaza doar bucata asta si arunca toate copiile: un **filtru trece-jos** cu frecventa de taiere $f_{max}$ ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §6.5]]).
+<note important>
+**Teorema de recuperare:** daca semnalul $s(t)$ nu are frecvente peste $f_{max}$ (se spune ca e **limitat in banda**) si a fost esantionat cu $f_s \geq 2 f_{max}$, atunci $s(t)$ se poate **recupera exact** din esantioane, cu un filtru trece-jos (analog) cu taierea la $f_{max}$.
+</note>
+Daca in schimb copiile s-au suprapus (desenul de jos), in zona de suprapunere nu mai stii ce era original si ce era copie. Semnalul nu mai poate fi recuperat.
 <note>
-**"Dupa esantionare se mai poate recupera semnalul analog? Sub ce conditii? Exista limitari? Ce parametri influenteaza degradarea?"** (examen 2023 var. C)
+**Intrebare de examen (2023 var. C): "Dupa esantionare se mai poate recupera semnalul analog? Sub ce conditii? Exista limitari? Ce parametri influenteaza degradarea?"**
-  * **Da**, daca (1) semnalul e limitat in banda la $W$ si (2) $f_s \geq 2W$: cu un FTJ cu taierea la $W$.
+  * **Da**, daca (1) semnalul e limitat in banda la $f_{max}$ si (2) $f_s \geq 2 f_{max}$. Se recupereaza cu un filtru trece-jos cu taierea la $f_{max}$.
-  * **Limitari:** filtrele reale nu sunt ideale (au zona de tranzitie → in practica $f_s$ se alege mai mare decat $2W$); **cuantizarea** adauga o eroare care nu se mai poate scoate.
+  * **Limitari:** filtrele reale nu taie perfect drept (au o zona de trecere), asa ca in practica $f_s$ se alege ceva mai mare decat $2 f_{max}$. In plus, **cuantizarea** adauga o eroare care nu se mai poate scoate.
-  * **Parametri:** frecventa de esantionare $f_s$ (aliasing) si numarul de biti $B$ (eroarea de cuantizare).
+  * **Parametri:** frecventa de esantionare $f_s$ (de ea depinde aliasingul) si numarul de biti $B$ (de el depinde eroarea de cuantizare).
 </note>
 ===== 4. Aliasing =====
-**Aliasing** = suprapunerea replicilor spectrului, cand $f_s < 2W$ (sau cand semnalul are componente peste $f_s/2$). O frecventa mare **se deghizeaza** intr-una mica:
+**Aliasing** = ce se intampla cand $f_s$ e prea mica: copiile spectrului se suprapun, iar o frecventa mare ajunge sa arate ca una mica. Cuvantul vine de la //alias// = nume fals: frecventa mare apare "sub alt nume".
-{{ps:cap4:aliasing_timp.png?850|Aliasing in timp: 800 Hz arata ca 200 Hz}}
+**Analogie:** in filme, rotile unei masini par uneori ca se invart incet sau chiar invers. Camera face prea putine poze pe secunda fata de cat de repede se invarte roata. E exact aliasing.
-**Unde apare o frecventa $f$ dupa esantionare** (frecventa "aparenta", in $[-f_s/2, f_s/2]$):
+==== 4.1 Exemplu cu numere, in timp ====
-$$ f_a = f - m\cdot f_s, \quad \text{cu } m \text{ intreg ales astfel incat } |f_a| \le f_s/2 $$
+Semnalul e un cosinus de **800 Hz**. Il esantionam cu $f_s = 1000$ Hz (un esantion la fiecare $T_s = 1/1000$ s = 1 milisecunda). Regula Nyquist ar cere $f_s \geq 2\cdot 800 = 1600$ Hz, deci 1000 e **prea putin**.
-Exemple cu $f_s = 1000$ Hz: 800 Hz → $800 - 1000 = -200$ → apare la **200 Hz** (cosinusul e par); 1100 Hz → **100 Hz**; 300 Hz → 300 Hz (nu e afectata, e sub 500).
+Unghiul din cosinus la esantionul $n$: $360^\circ\cdot 800\cdot n/1000 = 288^\circ\cdot n$. Comparam cu un cosinus de **200 Hz**, pentru care unghiul e $360^\circ\cdot 200\cdot n/1000 = 72^\circ\cdot n$:
+^ $n$ ^ unghi pentru 800 Hz ($288^\circ\cdot n$) ^ valoare ^ unghi pentru 200 Hz ($72^\circ\cdot n$) ^ valoare ^
+| 0 | 0° | 1 | 0° | 1 |
+| 1 | 288° | 0.31 | 72° | 0.31 |
+| 2 | 576° = 216° + 360° | −0.81 | 144° | −0.81 |
+| 3 | 864° = 144° + 2·360° | −0.81 | 216° | −0.81 |
+| 4 | 1152° = 72° + 3·360° | 0.31 | 288° | 0.31 |
+| 5 | 1440° = 4·360° | 1 | 360° | 1 |
+Valorile sunt **identice**. (De ce: $\cos(288^\circ) = \cos(72^\circ)$, pentru ca $288^\circ = 360^\circ - 72^\circ$, iar pe cerc cele doua unghiuri au acelasi cosinus — [[ps:cap0-baze|Cap 0 §4]].)
+{{ps:cap4:aliasing_timp.png?950|Aliasing in timp: 800 Hz arata ca 200 Hz}}
+**Ce vezi in desen:** linia gri e cosinusul adevarat, de 800 Hz. Punctele albastre sunt esantioanele. Linia portocalie intrerupta e un cosinus de 200 Hz, care trece prin **aceleasi** puncte. Cine vede doar punctele crede ca semnalul are 200 Hz.
+==== 4.2 Acelasi exemplu, in frecventa ====
+Cosinusul de 800 Hz are doua linii de ½: la $+800$ si la $-800$ Hz ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §6]]). Esantionarea copiaza fiecare linie la fiecare 1000 Hz (sectiunea 2.2):
+  * copiile liniei de la $+800$: ..., $800 - 1000 = -200$, $800$, $800 + 1000 = 1800$, ...
+  * copiile liniei de la $-800$: ..., $-800 + 1000 = 200$, $-800$, $-800 - 1000 = -1800$, ...
+{{ps:cap4:aliasing_frecventa.png?950|Aliasing in frecventa: liniile de la 800 Hz apar la 200 Hz}}
+**Ce vezi in desen:** sus, spectrul inainte de esantionare (doua linii, la ±800 Hz). Jos, spectrul dupa esantionare: liniile sunt copiate la fiecare 1000 Hz. In zona galbena (de la $-f_s/2 = -500$ la $f_s/2 = 500$ Hz) au ajuns doua linii, la **±200 Hz**. Exact spectrul unui cosinus de 200 Hz.
+<note tip>
+**De ce ne uitam doar in zona galbena, intre $-f_s/2$ si $f_s/2$?** Dupa esantionare, tot spectrul se repeta la fiecare $f_s$. Deci e de ajuns sa privesti o singura bucata de lungime $f_s$; restul e acelasi desen, copiat. Prin conventie se alege bucata din jurul lui 0: de la $-f_s/2$ la $f_s/2$. Tot ce face apoi calculatorul cu semnalul digital "vede" doar aceasta zona.
+</note>
+==== 4.3 Regula: unde apare o frecventa dupa esantionare ====
+Aduni sau scazi $f_s$ (de cate ori e nevoie) pana cand rezultatul ajunge intre $-f_s/2$ si $f_s/2$:
+$$ f_a = f - m\cdot f_s, \quad \text{cu } m \text{ intreg ales astfel incat } -f_s/2 \le f_a \le f_s/2 $$
+($f_a$ = frecventa "aparenta", cea pe care o vezi dupa esantionare.)
+Exemple cu $f_s = 1000$ Hz (zona: de la −500 la 500):
+  * **800 Hz:** $800 - 1000 = -200$ → apare la −200 Hz. Linia pereche, de la −800, apare la +200. Semnalul arata ca un cosinus de **200 Hz**.
+  * **1100 Hz:** $1100 - 1000 = 100$ → arata ca **100 Hz**.
+  * **300 Hz:** e deja intre −500 si 500 → ramane **300 Hz** (nu e afectata).
 <note warning>
-**Dupa esantionare, aliasingul NU mai poate fi reparat** (nu stii daca linia de la 200 Hz era 200 sau 800). De aceea filtrul anti-aliasing e **analog** si se pune **inainte** de convertor.
+**Dupa esantionare, aliasingul NU mai poate fi reparat.** Daca vezi o linie la 200 Hz, nu ai de unde sa stii daca semnalul avea 200 Hz sau 800 Hz. De aceea filtrul anti-aliasing este **analog** si se pune **inainte** de convertor: trebuie sa scoata frecventele prea mari inainte ca ele sa ajunga sa fie esantionate.
+</note>
+<note>
+**Intrebare de examen (2023 var. B): "Despre aliasing: cand apare? cum il putem evita?"**
+  * **Cand apare:** cand frecventa de esantionare e prea mica fata de frecventele din semnal, adica $f_s < 2 f_{max}$ (semnalul are componente peste $f_s/2$). Copiile spectrului se suprapun, iar frecventele mari apar ca frecvente mici.
+  * **Cum il evitam:** (1) alegem $f_s \geq 2 f_{max}$; (2) punem **inainte** de convertor un filtru analog trece-jos (anti-aliasing) care taie tot ce e peste $f_s/2$.
 </note>
 ===== 5. Bandpass sampling (esantionare trece-banda) =====
-**Problema:** semnalul e centrat la $f_c$ mare (ex. 20 MHz) dar are banda mica $B$ (ex. 5 MHz). Nyquist clasic: $f_s > 2(f_c + B/2) = 45$ MHz — scump/imposibil.
+==== 5.1 Problema ====
-**Ideea:** informatia ocupa doar $B$ MHz. Replicile apar oricum la fiecare $f_s$; daca alegem $f_s$ astfel incat replicile **sa nu se suprapuna**, putem esantiona cu $f_s$ **mult mai mica** decat $2f_{max}$:
+Semnalele radio stau **sus**, la frecvente mari, dar ocupa o banda **ingusta**. Exemplul din curs: banda de latime $B = 5$ MHz, cu centrul la $f_c = 20$ MHz.
-  - **intai** un **filtru analog trece-banda** in jurul lui $f_c$ (scoate zgomotul din jur, altfel s-ar plia peste semnal)
-  - apoi esantionare cu $f_s < 2f_{max}$, dar cu **$f_s \geq 2B$** (conditie necesara: altfel replicile sigur se suprapun) si cu replicile nesuprapuse
+<note>
+**Regula pentru TOATE intervalele din capitol:** o banda se scrie **[centru − latime/2, centru + latime/2]**. **Latimea** nu se schimba niciodata. Doar **centrul** se muta de la un pas la altul.
+</note>
+Aici: centrul 20, latimea 5 → banda ocupa $[20 - 2.5,\ 20 + 2.5] = [17.5,\ 22.5]$ MHz.
+Frecventa maxima e 22.5 MHz. Regula lui Nyquist ar cere $f_s \geq 2\cdot 22.5 = 45$ MHz. Un convertor atat de rapid e scump sau nu exista. Si e pacat: informatia ocupa doar 5 MHz, restul pana la 22.5 e gol.
+==== 5.2 Ideea ====
+Esantionarea face **oricum** copii ale spectrului la fiecare $f_s$ (sectiunea 2). Pana acum copiile erau o problema. Acum le folosim: alegem $f_s$ astfel incat **o copie a benzii sa cada jos, aproape de 0, fara sa se suprapuna cu nimic**. Informatia e aceeasi in orice copie, deci n-am pierdut nimic. Asa putem esantiona cu o $f_s$ **mult mai mica** decat cere Nyquist.
+Se face in doi pasi:
+  - **Intai un filtru analog trece-banda** in jurul lui $f_c$, inainte de convertor.
+  - **Apoi esantionare** cu o $f_s$ aleasa cu grija (cum, in 5.3).
+<note tip>
+**De ce filtrul trece-banda inainte?** La esantionare se copiaza **tot** ce e in semnal, nu doar banda noastra. Daca in jurul benzii e zgomot (alte semnale), copiile lui ar cadea peste copia benzii noastre si ar strica-o. Dupa esantionare nu le mai poti desparti. Asa ca scoatem zgomotul inainte, cu un filtru care lasa sa treaca doar banda noastra. De la acest filtru vine si numele metodei (//bandpass// = trece-banda).
+</note>
 {{ps:cap4:bandpass_sampling.png?1000|Bandpass sampling: exemplul din curs}}
-**Dupa esantionare, toata informatia e in $[-f_s/2, f_s/2]$** (sau echivalent $[0, f_s]$): o copie a partii pozitive si o copie a partii negative.
+**Ce vezi in desen** (albastru = semnalul, din partea pozitiva; portocaliu = oglinda lui din partea negativa — orice semnal real are spectrul simetric, [[ps:cap0-baze|Cap 0 §6]]):
+  * **sus:** inainte de esantionare. Banda albastra pe [17.5, 22.5], oglinda ei pe [−22.5, −17.5].
+  * **mijloc:** dupa esantionare cu $f_s = 17.5$ MHz. Banda albastra a "coborat" cu 17.5: de la 20 la $20 - 17.5 = 2.5$. Ocupa acum $[2.5 - 2.5,\ 2.5 + 2.5] = [0, 5]$ MHz. Zona galbena e ce conteaza dupa esantionare: de la $-8.75$ la $8.75$.
+  * **jos:** dupa esantionare cu $f_s = 22.5$ MHz. Banda albastra a coborat la $20 - 22.5 = -2.5$, adica a trecut in partea **negativa**. Despre asta e sectiunea 5.5 (inversarea spectrului).
-==== 5.1 Inversarea spectrului ====
+Benzile sunt desenate ca niste rampe (mai joase intr-un capat, mai inalte in celalalt) ca sa se vada incotro "privesc". In exemplul din curs, benzile se ating exact in 0 — e un caz la limita. In probleme alegi, daca poti, o $f_s$ care lasa loc liber in jur.
+==== 5.3 Cum alegi f_s: restul r ====
+**Unde ajunge banda dupa esantionare?** Copiile benzii albastre apar la $f_c - f_s$, $f_c - 2f_s$, $f_c - 3f_s$, ... Banda "coboara" in pasi de $f_s$. Ultima oprire inainte sa treaca sub 0 este **restul impartirii** lui $f_c$ la $f_s$. Il notam $r$.
+**Ce e restul, cu numere.** Impartim 100 la 16. De cate ori intra 16 in 100? De 6 ori, pentru ca $6\cdot 16 = 96$ (iar $7\cdot 16 = 112$ e deja prea mult). Cat mai ramane pana la 100? $100 - 96 = 4$. Deci:
+$$ 100 = 6\cdot 16 + 4 \qquad\Rightarrow\qquad r = 4 $$
+Daca $f_c = 100$ MHz si $f_s = 16$ MHz, banda coboara de 6 ori cate 16 MHz si se opreste cu centrul la **4 MHz**. (In formule, restul se scrie $r = f_c \bmod f_s$.)
+Latimea nu se schimba. Deci dupa esantionare banda albastra ocupa **$[r - B/2,\ r + B/2]$**.
+**Cand e buna $f_s$?** Dupa esantionare ne uitam in zona de la $-f_s/2$ la $f_s/2$ (sectiunea 4.2). In ea trebuie sa incapa doua lucruri, fara sa se calce: banda albastra si oglinda ei portocalie. Fiecare isi are jumatatea ei: albastra in partea pozitiva, portocalia in partea negativa.
+<note important>
+**Regula:** banda $[r - B/2,\ r + B/2]$ trebuie sa stea **in intregime intre 0 si $f_s/2$**, fara sa atinga 0 si fara sa atinga $f_s/2$.
+</note>
+<note tip>
+**De ce nu are voie sa atinga 0?** Oglinda portocalie sta la $-r$, simetric fata de 0. Daca banda albastra trece de 0 spre stanga, intra peste oglinda, care trece de 0 spre dreapta. Exemplu: $r = 0$, $B = 2$ → albastra pe [−1, 1], portocalia tot pe [−1, 1]. Una peste alta.
+**De ce nu are voie sa atinga $f_s/2$?** Oglinda are si ea copii la fiecare $f_s$. Copia ei de la $-r + f_s$ sta **simetric fata de $f_s/2$**. Exemplu: $f_s = 8$, $r = 4$, $B = 2$ → albastra pe [3, 5]; copia oglinzii e la $-4 + 8 = 4$, tot pe [3, 5]. Iar una peste alta.
+</note>
+**Conditia minima.** Zona dintre 0 si $f_s/2$ are latimea $f_s/2$. O banda de latime $B$ incape in ea doar daca $B \le f_s/2$, adica:
+$$ f_s \geq 2B $$
+Asta e conditia **necesara** scrisa in curs ("$F_s < 2W$, dar $F_s \geq 2B$"). Nu e si **suficienta**: chiar daca $f_s \geq 2B$, tot trebuie verificat cu restul $r$ unde ajunge banda.
+==== 5.4 Exemplu: incerci valorile una cate una, in tabel ====
+Semnal cu banda $B = 2$ MHz, centrat la $f_c = 36$ MHz. Convertorul merge pana la 20 MHz. Ce $f_s$ alegem?
+Conditia minima: $f_s \geq 2B = 4$ MHz. Pentru fiecare $f_s$ incercata facem 3 lucruri: (1) calculam restul $r$; (2) scriem banda $[r - 1,\ r + 1]$ (pentru ca $B/2 = 1$); (3) verificam daca sta intre 0 si $f_s/2$.
+^ $f_s$ ^ impartirea $36 : f_s$ ^ $r$ ^ banda $[r - 1,\ r + 1]$ ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
+| 20 | $36 = 1\cdot 20 + 16$ | 16 | [15, 17] | 10 | banda e **peste** $f_s/2$ (intre 10 si 20) → merge, dar spectrul iese **inversat** (vezi 5.5) |
+| 18 | $36 = 2\cdot 18 + 0$ | 0 | [−1, 1] | 9 | **NU** — banda cade pe 0, peste oglinda ei |
+| **16** | $36 = 2\cdot 16 + 4$ | **4** | **[3, 5]** | **8** | **DA** ✓ — 3 > 0 si 5 < 8 |
+| 8 | $36 = 4\cdot 8 + 4$ | 4 | [3, 5] | 4 | **NU** — banda trece peste $f_s/2 = 4$ |
+{{ps:cap4:alegere_fs.png?1000|Cele patru incercari, desenate}}
+**Ce vezi in desen:** cate un rand pentru fiecare $f_s$ din tabel, in aceeasi ordine. Zona galbena e intervalul de la $-f_s/2$ la $f_s/2$. La $f_s = 16$ (randul 3) albastrul si portocaliul stau fiecare in jumatatea lui, cu loc liber in jur. La $f_s = 18$ si $f_s = 8$ se calca. La $f_s = 20$ nu se calca, dar si-au schimbat locurile intre ele.
+**Alegem $f_s = 16$ MHz.** Observa ca aici $r = 4 = f_s/4$: banda e **fix la mijloc** intre 0 si $f_s/2 = 8$. E cazul ideal, din doua motive: are cea mai mare margine de siguranta si face foarte usor pasul urmator (IQ, sectiunea 6).
+<note tip>
+**Scurtatura pentru cazul ideal** (foloseste-o doar dupa ce tabelul ti-e clar). Vrem ca restul sa fie exact un sfert din $f_s$. Asta se intampla cand $4 f_c$ impartit la $f_s$ da un numar din sirul **1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...** (din 4 in 4). Exemplu: $f_c = 36$ → $4 f_c = 144$; $144 : 9 = 16$ → $f_s = 16$ ✓. Alt exemplu: $f_c = 100$ → $400 : 25 = 16$ → $f_s = 16$ ✓. Cu formula: $f_s = \dfrac{4 f_c}{4k + 1}$, cu $k$ intreg.
+</note>
+Aceeasi metoda, cu desen la fiecare pas, e in [[ps:problema-tip|Problema-tip]] (b.3–b.5 la Problema 1, a.4–a.5 la Problema 2).
+==== 5.5 Inversarea spectrului ====
+**Ce inseamna.** In randul cu $f_s = 20$ din tabel, restul e $r = 16$, mai mare decat $f_s/2 = 10$. Banda mai coboara un pas: $16 - 20 = -4$. Deci copia benzii **albastre** ajunge in partea **negativa** (la −4), iar copia oglinzii **portocalii** ajunge in partea pozitiva (la +4). Si-au schimbat locurile.
+Urmarea: in partea pozitiva vezi oglinda, nu semnalul. Oglinda are frecventele in ordine inversa: ce era la capatul de jos al benzii apare la capatul de sus si invers. De aceea se spune ca spectrul e **inversat** (oglindit). La fel e si in desenul de jos din 5.2 ($f_s = 22.5$).
+**Regula completa cu restul $r$:**
+  * banda $[r - B/2,\ r + B/2]$ e intre **0 si $f_s/2$** → bine, **neinversat**; banda apare la $r$
+  * banda e intre **$f_s/2$ si $f_s$** → merge, dar **inversat**; banda apare la $r - f_s$ (numar negativ)
+  * banda **atinge sau trece peste** 0, $f_s/2$ sau $f_s$ → **nu merge** (suprapunere)
+**Cum se repara inversarea:** in digital, inmultind fiecare esantion cu $(-1)^n$, adica cu sirul $[1, -1, 1, -1, \dots]$ (esantioanele cu numar par raman la fel, cele cu numar impar isi schimba semnul).
+<note tip>
+**De ce ajuta inmultirea cu $(-1)^n$?** Sirul $[1, -1, 1, -1, \dots]$ este el insusi un cosinus esantionat: cel mai rapid posibil, care isi schimba semnul la fiecare esantion. Frecventa lui este $f_s/2$. (Verificare: un cosinus de frecventa $f_s/2$ are la esantionul $n$ unghiul $360^\circ\cdot\frac{f_s}{2}\cdot n\cdot T_s = 180^\circ\cdot n$, iar $\cos(180^\circ\cdot n)$ = 1, −1, 1, −1, ...) Inmultirea cu un cosinus **muta** spectrul ([[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §4]]). Deci inmultirea cu $(-1)^n$ muta tot spectrul cu $f_s/2$. Banda albastra, care era in partea negativa, ajunge in partea pozitiva.
+**Cu numerele din tabel** ($f_s = 20$): albastra e la −4. O mutam cu $f_s/2 = 10$: $-4 + 10 = 6$. Acum e in partea pozitiva → neinversat.
+</note>
-In figura de jos ($f_s = 22.5$ MHz), copia partii **pozitive** a ajuns in partea **negativa** → spectru **inversat** (oglindit). Se repara usor, in digital, **inmultind cu $(-1)^n$**:
+In formula din curs:
-$$ (-1)^n = \cos(\pi n) = e^{j\pi n} = e^{j2\pi\frac{f_s}{2}nT_s} \;\Rightarrow\; s(n)(-1)^n \leftrightarrow S\!\left(f - \tfrac{f_s}{2}\right) $$
+$$ (-1)^n = \cos(\pi n) = e^{j\pi n} = e^{j2\pi\frac{f_s}{2}nT_s} \;\Rightarrow\; s(n)\cdot(-1)^n \leftrightarrow S\!\left(f - \tfrac{f_s}{2}\right) $$
-adica muta spectrul cu $f_s/2$: frecventele joase devin inalte si invers ($f_0 \to f_s/2 - f_0$).
+Cum o citesti: in stanga sagetii duble e semnalul inmultit cu $(-1)^n$; in dreapta e spectrul lui, adica $S$ **mutat cu $f_s/2$**.
 {{ps:cap4:inmultire_minus1_n.png?950|Inmultirea cu (-1)^n}}
+**Ce vezi in desen** (in timp; pe orizontala e numarul esantionului $n$): in stanga un semnal lent. La mijloc sirul $(-1)^n$. In dreapta produsul lor: acum semnalul sare in sus si in jos la fiecare esantion, adica a devenit un semnal de frecventa mare. O frecventa mica $f_0$ a devenit $f_s/2 - f_0$.
+==== 5.6 Cat de mic poate fi f_s? Cele 3 cazuri (grila de la partial) ====
+La partial apar grile de felul: //"semnalul are banda $W$; frecventa de esantionare trebuie sa fie cel putin ...?"// cu variante ca $W$ si $2W$. Raspunsul depinde de **ce fel de semnal** e. Sunt 3 cazuri. In toate trei, $W$ = **latimea totala** a benzii (asa e folosit in enunturi). Exemplul numeric: $W = 1$ MHz.
+{{ps:cap4:trei_cazuri.png?1000|Cele 3 cazuri: fs minim pentru o banda de latime W = 1}}
+**Ce vezi in desen:** cate un rand pentru fiecare caz. In stanga e spectrul semnalului inainte de esantionare. In dreapta e spectrul dupa esantionarea cu cea mai mica $f_s$ posibila: copiile se ating, dar nu se calca. Zona galbena e intervalul de la $-f_s/2$ la $f_s/2$.
+^ Cazul ^ Ce semnal e ^ Cate benzi trebuie sa incapa in zona de lungime $f_s$ ^ $f_s$ minim ^ Cu $W = 1$ MHz ^
+| **1** | semnal **real**, in **banda de baza**: spectrul e in jurul lui 0, de la $-W/2$ la $W/2$ | una, de latime $W$ | **$f_s \geq W$** | $f_s \geq 1$ MHz |
+| **2** | semnal **real**, aflat **sus, la purtatoarea $f_c$**, esantionat direct (bandpass sampling) | **doua**, fiecare de latime $W$: semnalul (albastru) si oglinda lui (portocaliu) | **$f_s \geq 2W$** | $f_s \geq 2$ MHz |
+| **3** | semnal **complex (IQ)**, dupa ce a fost mutat in 0 si filtrat (sectiunea 6) | una, de latime $W$ (oglinda a fost aruncata) | **$f_s \geq W$** | $f_s \geq 1$ MHz |
+  * **Cazul 1** e chiar regula lui Nyquist: frecventa maxima e $W/2$, deci $f_s \geq 2\cdot\frac{W}{2} = W$.
+  * **Cazul 2** e conditia din 5.3 ($f_s \geq 2B$, cu $B = W$). Semnalul si oglinda lui sunt in locuri diferite pe axa, asa ca ocupa impreuna $2W$.
+  * **Cazul 3** e motivul pentru care facem IQ: scapam de oglinda si ne ajunge jumatate din $f_s$.
+<note warning>
+**La grila, intreaba-te doua lucruri:**
+  - Semnalul e in jurul lui 0 sau sus, la o purtatoare $f_c$?
+  - E esantionat direct (real) sau a trecut deja prin IQ (complex)?
+Daca enuntul spune "bandpass" si da o purtatoare $f_c$, e **cazul 2** → **$f_s \geq 2W$**. Exemple: grila 6c de la partialul 2025 ($W = 10$ kHz, $f_c = 1000$ kHz → 20 kHz; vezi sectiunea 11) si, dupa cum a fost povestita, grila de la partialul din 11.11.2026 ($W = 1$ si o purtatoare $f_c$ → $f_s \geq 2$).
+**De stiut:** in curs (notite C6) conditia e scrisa "$F_s \geq 2B$". In carte (cap. 5.3) apare si o fraza mai slaba: "o conditie necesara este $f_S \geq B$" (daca $f_s < B$, copiile se suprapun **sigur**). Ambele fraze sunt adevarate, dar cea care da **minimul** pentru un semnal real esantionat direct este $2B$. Daca la o grila apar si $B$, si $2B$ printre variante, raspunsul din curs este $2B$.
+</note>
 ===== 6. IQ downconversion =====
-**Scop:** sa aducem **partea pozitiva** a benzii (centrata in $f_c$) **in jurul lui 0** (baseband), ca apoi sa putem esantiona/pastra semnalul cu o rata foarte mica (cat banda $B$).
+==== 6.1 Scopul ====
-Mutarea spectrului cu $-f_c$ = inmultire cu $e^{-j2\pi f_c t}$ (Cap 3). Cu Euler:
+Dupa bandpass sampling, banda sta la $r$ (ex. la 4 MHz), iar oglinda ei la $-r$. Vrem sa aducem **banda albastra cu centrul in 0** si sa scapam de oglinda. Castigul: ajungem in cazul 3 din 5.6, unde e de ajuns $f_s \geq B$, adica jumatate fata de cazul 2.
-$$ x(t) = s_{bp}(t)\,e^{-j2\pi f_c t} = \underbrace{s_{bp}(t)\cos(2\pi f_c t)}_{i(t)} + j\,\underbrace{\big(-s_{bp}(t)\sin(2\pi f_c t)\big)}_{q(t)} \;\leftrightarrow\; S_{bp}(f + f_c) $$
+Dupa regula intervalelor: latimea ramane $B$, centrul se muta din $r$ in 0 → banda va ocupa $[-B/2,\ B/2]$. Semnalul "in jurul lui 0" se mai numeste semnal **in banda de baza** (//baseband//). //Downconversion// = mutarea in jos, spre 0.
-  * $i$ = componenta **In-phase** (in faza), $q$ = componenta **Quadrature** (in cuadratura) → de aici "IQ"
+==== 6.2 Scula: inmultirea cu o exponentiala complexa ====
-  * semnalul rezultat e **complex**: $x = i + jq$
-**Varianta 1 (analogica):** inmultiri cu cos/sin in analog + FTJ + esantionare lenta. **Impractica**: e greu sa sincronizezi perfect faza cos/sin in analog.
+Din [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3 §4]] stii ca inmultirea cu $\cos(2\pi f_0 t)$ muta spectrul **si** la dreapta, **si** la stanga cu $f_0$ (iese cate o copie in fiecare parte). Motivul: un cosinus e facut din **doua** bucati, $\cos\theta = \frac12 e^{j\theta} + \frac12 e^{-j\theta}$ ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §3]]), si fiecare bucata muta intr-o directie.
+Noi vrem sa mutam **intr-o singura directie** (la stanga). Atunci inmultim doar cu **una** dintre bucati:
+<note important>
+**Inmultirea cu $e^{-j2\pi f_0 t}$ muta TOT spectrul la stanga cu $f_0$.** (Cu plus la exponent, $e^{+j2\pi f_0 t}$, il muta la dreapta.)
+</note>
+Exemplu: banda e la 4 MHz. Inmultim cu $e^{-j2\pi\cdot 4\,\text{MHz}\cdot t}$ → banda ajunge la $4 - 4 = 0$. Oglinda, care era la −4, ajunge la $-4 - 4 = -8$.
+<note tip>
+**De ce nu inmultim pur si simplu cu un cosinus?** Cosinusul ar muta banda albastra si la 0, si la 8. Dar ar muta si oglinda portocalie de la −4 la −8 **si la 0**. In jurul lui 0 ar ajunge albastra peste portocalie, amestecate. Exponentiala muta totul intr-o singura directie, deci nimic nu se calca.
+</note>
+**De unde vin literele I si Q.** Cu formula lui Euler ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §3]]): $e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta$. Deci semnalul inmultit are doua parti:
+$$ x(t) = s(t)\,e^{-j2\pi f_c t} = \underbrace{s(t)\cos(2\pi f_c t)}_{i(t)} + j\,\underbrace{\big(-s(t)\sin(2\pi f_c t)\big)}_{q(t)} $$
+  * $i$ = partea **reala** = semnalul inmultit cu cosinus. Se numeste **In-phase** (in faza).
+  * $q$ = partea **imaginara** = semnalul inmultit cu minus sinus. Se numeste **Quadrature** (in cuadratura, adica decalat cu un sfert de tura).
+  * Rezultatul $x = i + jq$ e un semnal **complex**: fiecare esantion e o pereche de doua numere obisnuite, $i$ si $q$. In calculator se tin pur si simplu doua siruri.
+==== 6.3 Dupa esantionare: sirul [1, −j, −1, j, ...] ====
+Dupa esantionare, timpul este $t = n\cdot T_s = n/f_s$. Ca sa mutam banda de la $r$ la 0, inmultim esantionul cu numarul $n$ cu:
+$$ e^{-j2\pi\, r\, n/f_s} $$
+**Cazul comod: banda e la un sfert din $f_s$** ($r = f_s/4$). Atunci $r/f_s = 1/4$ si factorul devine $e^{-j2\pi n/4} = e^{-j\pi n/2}$. Unghiul e $-\frac{\pi}{2}\cdot n = -90^\circ\cdot n$: la fiecare esantion, **un sfert de tura in sensul acelor de ceas**. Calculam pe cerc ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §4]]), cu $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$:
+^ $n$ ^ unghiul $-90^\circ\cdot n$ ^ $\cos$ ^ $\sin$ ^ valoarea $\cos + j\sin$ ^
+| 0 | 0° | 1 | 0 | **1** |
+| 1 | −90° | 0 | −1 | **−j** |
+| 2 | −180° | −1 | 0 | **−1** |
+| 3 | −270° | 0 | 1 | **j** |
+| 4 | −360° (iar 0°) | 1 | 0 | **1** (se repeta) |
+{{ps:cap4:ceas_iq.png?420|Sirul 1, -j, -1, j pe cerc}}
+**Ce vezi in desen:** cercul din Cap 0. Pornim din punctul 1 (dreapta) si la fiecare esantion mergem un sfert de tura in sensul acelor de ceas: 1 → −j → −1 → j → inapoi la 1.
+Deci, cand banda e la $f_s/4$:
+$$ e^{-j\pi n/2} = [\,1,\ -j,\ -1,\ j,\ 1,\ -j,\ -1,\ j,\ \dots\,] $$
+**Exemplu cu numere.** Esantioanele sunt $s(n) = [5,\ 3,\ -2,\ 4,\ \dots]$. Inmultim pe rand cu 1, cu $-j$, cu $-1$, cu $j$:
+$$ x(n) = [\,5\cdot 1,\ \ 3\cdot(-j),\ \ (-2)\cdot(-1),\ \ 4\cdot j,\ \dots\,] = [\,5,\ -3j,\ 2,\ 4j,\ \dots\,] $$
+Nu e nevoie de nicio inmultire adevarata: doar schimbari de semn si mutari intre partea reala si cea imaginara. Separat pe cele doua parti:
+  * partea reala: $i(n) = s(n)\cdot[1, 0, -1, 0, \dots]$ (adica inmultire cu $\cos(\frac{\pi}{2}n)$) → $[5, 0, 2, 0, \dots]$
+  * partea imaginara: $q(n) = s(n)\cdot[0, -1, 0, 1, \dots]$ (adica inmultire cu $-\sin(\frac{\pi}{2}n)$) → $[0, -3, 0, 4, \dots]$
+<note tip>
+**De ce se muta exact cu $f_s/4$?** Factorul $e^{-j\pi n/2}$ este $e^{-j2\pi f_0 t}$ cu $f_0 = f_s/4$ si $t = n/f_s$: $2\pi\cdot\frac{f_s}{4}\cdot\frac{n}{f_s} = \frac{\pi}{2}n$. Deci muta spectrul la stanga cu $f_s/4$. Daca banda era la $r = f_s/4$, ajunge fix in 0. **De aceea, la bandpass sampling, incercam sa alegem $f_s$ astfel incat $r = f_s/4$** (sectiunea 5.4).
+**Si daca $r$ nu e $f_s/4$?** Metoda merge la fel, doar ca numerele cu care inmultesti, $\cos(2\pi r n/f_s)$ si $-\sin(2\pi r n/f_s)$, nu mai sunt asa de simple.
+</note>
+==== 6.4 De ce urmeaza un filtru trece-jos si unde taie ====
+Dupa mutare, banda albastra e pe $[-B/2,\ B/2]$. Dar in spectru au ramas si alte lucruri: oglinda portocalie (mutata si ea cu $f_s/4$, de la $-f_s/4$ la $-f_s/2$) si copiile de la fiecare $f_s$. Ele nu ne trebuie. Le aruncam cu un **filtru trece-jos digital** (o "fereastra" in jurul lui 0).
+**Unde taie:** exact la marginea benzii, adica la **$B/2$**. Lasa sa treaca $[-B/2,\ B/2]$ si arunca restul.
+Exemplu ($B = 2$ MHz, $f_s = 16$ MHz, banda la 4 MHz): dupa mutare, albastra e pe [−1, 1], portocalia in jurul lui −8. Filtrul trece-jos taie la 1 MHz. Desenul e la problema din sectiunea 10 (randul 3).
+==== 6.5 Cele doua variante din curs ====
+**Varianta 1 (analogica):** inmultirile cu cos si sin se fac in analog, inainte de convertor; urmeaza filtre trece-jos si o esantionare lenta. E **nepractica**: e greu sa tii in analog un cosinus si un sinus perfect sincronizate.
 **Varianta 2 (digitala, cea folosita):**
-  - FTB analog in jurul lui $f_c$
+  - filtru analog trece-banda in jurul lui $f_c$
-  - esantionare rapida, ex. **$f_s = 4f_c$**
+  - esantionare
-  - inmultire **digitala** cu cos si $-\sin$. La $f_s = 4f_c$: $2\pi f_c n T_s = \frac{\pi}{2}n$, deci
+  - inmultire **digitala** cu sirurile de mai sus (cos pentru $i$, −sin pentru $q$)
-    * $\cos(\frac{\pi}{2}n) = [1, 0, -1, 0, 1, 0, \dots]$
+  - filtru trece-jos digital, apoi **decimare** cu $M$ (sectiunea 7)
-    * $-\sin(\frac{\pi}{2}n) = [0, -1, 0, 1, 0, -1, \dots]$
-    * → inmultirile sunt **triviale** (doar semne si zerouri, fara calcule)
-  - FTJ digital + **decimare** cu $M$ → $f_s' = f_s/M$
 {{ps:cap4:schema_iq.png?1000|Schema IQ downconversion (varianta digitala)}}
-<note important>
+**Ce vezi in desen:** semnalul analog $s(t)$ trece prin filtrul trece-banda, apoi prin convertor. Sirul de esantioane $s(n)$ se desparte in doua ramuri: sus se inmulteste cu cos (iese $i$), jos cu −sin (iese $q$). Pe fiecare ramura urmeaza filtrul trece-jos digital si decimarea (↓M). La capat, cele doua siruri formeaza semnalul complex $x(n) = i(n) + j\,q(n)$.
-**Trucul care leaga bandpass sampling de IQ:** nu ai nevoie de $f_s = 4f_c$ propriu-zis. E suficient ca **dupa bandpass sampling, banda sa ajunga la $f_s/4$**. Atunci inmultirea cu $e^{-j2\pi\frac{f_s}{4}nT_s} = e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$ e la fel de triviala. In probleme alegi $f_s$ astfel incat $f_c \bmod f_s = f_s/4$.
+<note>
+**Cum apare in curs:** exemplul de baza esantioneaza direct cu $f_s = 4 f_c$, ca banda sa fie la $f_s/4$. Dar asta cere o $f_s$ uriasa. **Trucul care leaga bandpass sampling de IQ:** nu e nevoie de $f_s = 4 f_c$. E de ajuns ca, **dupa bandpass sampling**, banda sa ajunga la $f_s/4$ (adica $r = f_s/4$). Atunci inmultirea e tot cu $[1, -j, -1, j, \dots]$. Exemplul din carte: $f_c = 900$ MHz, $f_s = 400$ MHz → $900 = 2\cdot 400 + 100$ → $r = 100 = f_s/4$ ✓.
 </note>
-**Avantaj IQ:** un semnal **complex** de banda $B$ (centrat in 0, ocupand $[-B/2, B/2]$) poate fi esantionat cu **$f_s' \geq B$** (nu $2B$), pentru ca spectrul lui nu mai e simetric — fiecare esantion are doua numere ($i$ si $q$).
+**Avantajul IQ, intr-o fraza:** un semnal **complex** de latime $B$, centrat in 0, are nevoie doar de $f_s \geq B$ (nu $2B$), pentru ca nu mai are oglinda (cazul 3 din 5.6). Pretul: fiecare esantion are acum doua numere ($i$ si $q$).
 ===== 7. Decimarea (reducerea frecventei de esantionare) =====
-$$ s_M(n) = s(nM) \qquad\Rightarrow\qquad f_s' = \frac{f_s}{M} $$
+==== 7.1 Ce face, cu numere ====
+**Decimare cu $M$** = pastram **un esantion din $M$** si le aruncam pe celelalte.
+Exemplu cu $M = 4$. Esantioanele sunt:
+$$ s(n) = [\,\mathbf{5},\ 3,\ -2,\ 4,\ \mathbf{1},\ 0,\ 7,\ 2,\ \mathbf{-3},\ 6,\ 4,\ -1,\ \mathbf{2},\ \dots\,] $$
+Pastram esantioanele cu numarul 0, 4, 8, 12, ... (cele ingrosate):
+$$ s_M(n) = [\,5,\ 1,\ -3,\ 2,\ \dots\,] $$
+{{ps:cap4:decimare_timp.png?900|Decimare cu M = 4}}
+**Ce vezi in desen:** toate esantioanele dinainte de decimare. Cele rosii (numerele 0, 4, 8, 12, 16) raman; cele gri se arunca.
+**Ce se intampla cu $f_s$:** daca inainte aveam 16 milioane de esantioane pe secunda si pastram unul din 4, raman 4 milioane pe secunda. Frecventa de esantionare s-a impartit la $M$.
+Cu litere:
+$$ s_M(n) = s(n\cdot M) \qquad\Rightarrow\qquad f_s' = \frac{f_s}{M} $$
+  * $s_M(n)$ = sirul dupa decimare; esantionul lui cu numarul $n$ este esantionul cu numarul $n\cdot M$ din sirul vechi
+  * $f_s'$ = noua frecventa de esantionare (se citeste "f s prim")
+  * $M$ trebuie sa fie numar **intreg**; il afli din $M = f_s / f_s'$ (ex. de la 16 MHz la 2 MHz: $M = 16/2 = 8$)
+==== 7.2 Ce se intampla in spectru si de ce filtrul vine INAINTE ====
+A pastra un esantion din $M$ e acelasi lucru cu a fi esantionat de la bun inceput mai rar, cu $f_s' = f_s/M$. Deci se aplica tot ce stim din sectiunea 2: **copiile spectrului ajung la fiecare $f_s'$**, mai dese ca inainte. Zona in care ne uitam se ingusteaza: de la $-f_s'/2$ la $f_s'/2$.
+Daca in spectru exista **orice** in afara acestei zone noi, la decimare va fi copiat inauntru, peste semnal. E aliasing (sectiunea 4), si nu se mai poate repara.
+<note important>
+**Inainte de decimare se pune un filtru trece-jos digital** care lasa doar banda utila. Abia apoi se arunca esantioane. Ordinea e mereu: **mutare in 0 (IQ) → filtru trece-jos → decimare**.
+</note>
+{{ps:cap4:decimare_spectru.png?1000|De ce filtrul vine inainte de decimare}}
+**Ce vezi in desen** (numerele din Problema 2 de la [[ps:problema-tip|Problema-tip]]: $B = 1$ MHz, $f_s = 4$ MHz, $M = 4$):
+  * **sus:** inainte de decimare. Semnalul (albastru) e pe [−0.5, 0.5]; oglinda (portocaliu) e la ±2 MHz.
+  * **mijloc:** decimare **fara** filtru. Copiile apar la fiecare 1 MHz. Oglinda de la −2 ajunge la $-2 + 2\cdot 1 = 0$, peste semnal. Stricat.
+  * **jos:** intai filtrul trece-jos (taie la 0.5 MHz, oglinda dispare), apoi decimarea. Copiile albastre sunt la fiecare 1 MHz, exact cat latimea benzii: se ating, dar nu se calca. Corect.
+<note tip>
+**Cat de mult putem decima?** Pana cand noua zona, de la $-f_s'/2$ la $f_s'/2$, e exact cat banda $[-B/2,\ B/2]$. Adica pana la $f_s' = B$. Mai jos de atat, copiile s-ar suprapune. De aceea in probleme raspunsul final e mereu "$f_s' = B$" (sau $W$): 1 MHz pentru o banda de 1 MHz, 2 MHz pentru o banda de 2 MHz.
+</note>
-Pastram doar fiecare al $M$-lea esantion. Replicile spectrului ajung la distanta $f_s'$ → **inainte** de decimare trebuie un **FTJ digital** care sa lase doar banda utila (altfel apare aliasing). Exemplu din curs: $f_c = 50$ MHz, $f_s = 4f_c = 200$ MHz, $M = 20$ → $f_s' = 10$ MHz.
+**Exemplul din curs:** $f_c = 50$ MHz, esantionat cu $f_s = 4 f_c = 200$ MHz, apoi decimare cu $M = 20$ → $f_s' = 200/20 = 10$ MHz.
 ===== 8. RETETA pentru problemele de esantionare =====
 <note important>
-**Pas 1 — Unde e semnalul?** Scrie banda: $[f_c - \frac{B}{2},\ f_c + \frac{B}{2}]$ (atentie daca $W$ e latimea totala sau jumatate!). Frecventa maxima $f_{max} = f_c + B/2$.
+**Pas 1 — Unde e semnalul?** Scrie banda: [centru − latime/2, centru + latime/2] = $[f_c - \frac{B}{2},\ f_c + \frac{B}{2}]$. (In enunt, latimea poate fi notata $W$.) Frecventa maxima: $f_{max} = f_c + B/2$.
-**Pas 2 — Nyquist clasic:** $f_s \geq 2f_{max}$. Daca ADC-ul nu poate → bandpass sampling.
+**Pas 2 — Merge Nyquist clasic?** Ar trebui $f_s \geq 2 f_{max}$. Daca convertorul nu poate atat → **bandpass sampling**.
-**Pas 3 — Filtru:** daca e zgomot in jur → **FTB analog** centrat in $f_c$, inainte de ADC (latime ≥ $B$, dar sa nu prinda zgomotul).
+**Pas 3 — Filtru:** daca in jur e zgomot → **filtru analog trece-banda** centrat in $f_c$, **inainte** de convertor. Fereastra lui trebuie sa cuprinda banda si sa nu prinda zgomotul.
-**Pas 4 — Alege $f_s$ (bandpass):** conditie necesara $f_s \geq 2B$. Calculeaza **restul** $r = f_c \bmod f_s$ (cat ramane din $f_c$ dupa ce scazi multipli intregi de $f_s$):
+**Pas 4 — Alege $f_s$:** conditia minima e $f_s \geq 2B$. Apoi, pentru fiecare $f_s$ incercata, calculeaza **restul** $r$ al impartirii $f_c : f_s$ si scrie banda $[r - \frac{B}{2},\ r + \frac{B}{2}]$:
-  * daca $[r - \frac{B}{2}, r + \frac{B}{2}] \subset (0, \frac{f_s}{2})$ → **OK, neinversat**, banda apare la $r$
+  * e intre **0 si $f_s/2$** (fara sa le atinga) → **buna**, neinversata; banda apare la $r$
-  * daca $[r - \frac{B}{2}, r + \frac{B}{2}] \subset (\frac{f_s}{2}, f_s)$ → **OK, inversat**, banda apare la $f_s - r$ (repari cu $(-1)^n$)
+  * e intre **$f_s/2$ si $f_s$** → buna, dar **inversata**; banda apare la $r - f_s$ (repari cu $(-1)^n$)
-  * daca banda **trece peste 0 sau peste $f_s/2$** (ex. $r \approx 0$ sau $r \approx f_s/2$) → **NU merge** (suprapunere)
+  * **atinge sau trece peste** 0 sau $f_s/2$ (ex. $r = 0$ sau $r = f_s/2$) → **nu merge**
-  * **ideal:** $r = f_s/4$ (banda fix la mijloc, cea mai mare marja) → $f_s = \frac{4f_c}{2m+1}$, $m$ intreg
+  * **ideal:** $r = f_s/4$ (banda fix la mijloc)
-**Pas 5 — Desen dupa esantionare:** in $[-\frac{f_s}{2}, \frac{f_s}{2}]$: banda la $\pm r$ (sau $\pm(f_s - r)$), plus replici la fiecare $f_s$.
+**Pas 5 — Deseneaza spectrul dupa esantionare:** intre $-f_s/2$ si $f_s/2$: banda la $+r$, oglinda la $-r$. (Totul se repeta la fiecare $f_s$.)
-**Pas 6 — Reducere de rata:** IQ (inmultire cu $e^{-j2\pi r n/f_s}$, triviala daca $r = f_s/4$) → banda in jurul lui 0 → FTJ digital (taiere $B/2$) → decimare cu $M = f_s/f_s'$. Semnal complex: e nevoie de $f_s' \geq B$.
+**Pas 6 — Redu frecventa de esantionare:**
+  - **IQ:** inmulteste cu $e^{-j2\pi r n/f_s}$ (daca $r = f_s/4$: cu $[1, -j, -1, j, \dots]$) → banda ajunge pe $[-\frac{B}{2},\ \frac{B}{2}]$
+  - **filtru trece-jos digital** cu taierea la $B/2$
+  - **decimare** cu $M = f_s / f_s'$. Semnalul e complex, deci ajunge $f_s' \geq B$.
 </note>
+**Cum se leaga pasii de regula intervalelor:** latimea $B$ ramane aceeasi peste tot. Centrul se muta: $f_c$ (pas 1) → $r$ (pas 4) → 0 (pas 6).
 ===== 9. PROBLEMA 1 (examen 2021, 2023 var. A/B/C — 3 puncte) =====
@@ Line 159: / Line 618: @@
 <note important>
 **Enunt:** Avem un semnal real $x(t)$ cu spectrul $X(f)$: semnalul de interes are banda $W = 1$ MHz, centrat in $f_c = 81$ MHz, si e inconjurat de zgomot (la distanta de 5 MHz) pe o banda de $W_N = 20$ MHz (centrata tot in $f_c$).
-  - (a) Cum putem face esantionarea daca avem la dispozitie doar un **filtru analog** ce poate filtra in banda de latime **maxima 5 MHz** pe orice frecventa de centru intre 0 si 100 MHz si un **convertor A/D** cu frecventa maxima de esantionare **$f_s = 5$ MHz**? Explicati pas cu pas.
+  - **a)** Cum putem face esantionarea daca avem la dispozitie doar un **filtru analog** ce poate filtra in banda de latime **maxima 5 MHz** pe orice frecventa de centru intre 0 si 100 MHz si un **convertor A/D** cu frecventa maxima de esantionare **$f_s = 5$ MHz**? Explicati pas cu pas.
-  - (b) Ce putem face ca sa **reducem esantionarea la maxim 1 MHz** (1 milion de esantioane pe secunda), pastrand toata informatia? Detaliati.
+  - **b)** Ce putem face ca sa **reducem esantionarea la maxim 1 MHz** (1 milion de esantioane pe secunda), pastrand toata informatia? Detaliati.
 </note>
+**Cuvintele din enunt, pe scurt:**
+  * **banda $W = 1$ MHz, centrat in 81 MHz** = semnalul util ocupa [centru − latime/2, centru + latime/2] = $[81 - 0.5,\ 81 + 0.5] = [80.5,\ 81.5]$ MHz
+  * **zgomot la distanta de 5 MHz, pe o banda de 20 MHz centrata in $f_c$** = zgomotul se intinde in total de la $81 - 10 = 71$ la $81 + 10 = 91$ MHz, dar incepe abia la 5 MHz departare de centru: de la 71 la 76 si de la 86 la 91 MHz. Intre 76 si 86 e doar semnalul nostru.
+  * **filtru analog de latime maxima 5 MHz** = o fereastra de cel mult 5 MHz, pe care o putem pune oriunde
 {{ps:cap4:problema_81mhz.png?1000|Problema 81 MHz pas cu pas}}
-**(a)**
+**Ce vezi in desen:** cele 5 etape, de sus in jos. Axa orizontala: frecventa in MHz. Axa verticala: cat de "tare" e semnalul la acea frecventa. Albastru = semnalul util, portocaliu = oglinda lui, gri = zgomot, verde intrerupt = fereastra unui filtru, galben = zona de la $-f_s/2$ la $f_s/2$.
-  - **Pas 1.** Semnalul util: $[80.5, 81.5]$ MHz. Nyquist clasic ar cere $f_s > 2\cdot 81.5 = 163$ MHz (ba chiar $> 2\cdot 91$ MHz, cu tot cu zgomot) — imposibil cu ADC-ul de 5 MHz. → **bandpass sampling**.
-  - **Pas 2.** Aplicam **filtrul analog trece-banda centrat in 81 MHz** (latime ≤ 5 MHz, de ex. $[78.5, 83.5]$ MHz). Zgomotul e la 5 MHz distanta, deci e eliminat; ramane doar semnalul de 1 MHz. (Fara filtru, zgomotul s-ar plia peste semnal la esantionare.)
-  - **Pas 3.** Esantionam cu $f_s \le 5$ MHz, cu $f_s \geq 2B = 2$ MHz. Alegem **$f_s = 4$ MHz**: $81 = 20\cdot 4 + 1$ → $r = 1$ MHz = $f_s/4$ ✓. Banda ajunge in $[0.5, 1.5] \subset (0, 2)$ → fara suprapuneri, **neinversata**.
-    * merge si $f_s = 5$ MHz ($81 = 16\cdot5 + 1$, $r = 1$, banda $[0.5, 1.5] \subset (0, 2.5)$ ✓)
-    * **NU** merge $f_s = 3$ MHz: $81 = 27\cdot 3$, $r = 0$ → banda in jurul lui 0, peste copia negativa ✗
-  - **Pas 4.** Spectrul digital: in $[-2, 2]$ MHz avem copia partii pozitive la $+1$ MHz si a partii negative la $-1$ MHz; replici la fiecare 4 MHz.
-**(b)** Banda e de 1 MHz, deci un semnal **real** ar avea nevoie de $f_s' \geq 2$ MHz. Ca sa coboram la **1 MHz** facem semnalul **complex** (IQ), care are nevoie doar de $f_s' \geq B = 1$ MHz:
+==== Punctul a) — cum esantionam ====
-  - **Pas 1 — IQ digital:** inmultim $s(n)$ (la 4 MHz) cu $e^{-j2\pi\cdot 1\,\mathrm{MHz}\cdot n/4\,\mathrm{MHz}} = e^{-j\pi n/2}$, adica $i(n) = s(n)\cos(\frac{\pi}{2}n)$ cu $[1, 0, -1, 0, \dots]$ si $q(n) = -s(n)\sin(\frac{\pi}{2}n)$ cu $[0, -1, 0, 1, \dots]$. Banda pozitiva ajunge in $[-0.5, 0.5]$ MHz.
-  - **Pas 2 — FTJ digital** cu taierea la 0.5 MHz: scoate copia partii negative (ajunsa la $-2$ MHz) si celelalte replici.
+**Ce se cere:** pasii prin care ajungem de la semnalul analog la esantioane, fara sa pierdem informatie, cu filtrul si convertorul date.
-  - **Pas 3 — Decimare** cu $M = 4$: $f_s' = 4/4 = 1$ MHz. Replicile ajung la distanta 1 MHz, exact cat banda → se ating, dar **nu se suprapun**.
-  - **Rezultat:** $x(n) = i_M(n) + j\,q_M(n)$, **1 milion de esantioane (complexe) pe secunda**, toata informatia pastrata.
+**Ce stim:** semnalul util e pe [80.5, 81.5] MHz; zgomot pe [71, 76] si [86, 91]; fereastra filtrului ≤ 5 MHz; $f_s \le 5$ MHz.
+**Pas 1 — De ce nu merge esantionarea obisnuita.** Frecventa maxima a semnalului util e 81.5 MHz. Nyquist ar cere $f_s \geq 2\cdot 81.5 = 163$ MHz. Convertorul merge doar pana la 5 MHz. → folosim **bandpass sampling** (sectiunea 5).
+**Pas 2 — Scoatem zgomotul.** Punem **filtrul analog trece-banda** cu fereastra centrata in 81 MHz, de latime 5: de la $81 - 2.5 = 78.5$ la $81 + 2.5 = 83.5$ MHz (desenele 1 si 2).
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** fereastra trebuie sa **cuprinda** semnalul [80.5, 81.5] si sa **nu** prinda zgomotul (care incepe la 76 in stanga si la 86 in dreapta). [78.5, 83.5] respecta amandoua: $78.5 > 76$ si $83.5 < 86$. **De ce e obligatoriu pasul asta:** fara filtru, la esantionare copiile zgomotului ar cadea peste copia semnalului.
+</note>
+**Pas 3 — Alegem $f_s$.** Conditia minima: $f_s \geq 2B = 2\cdot 1 = 2$ MHz. Convertorul permite cel mult 5. Incercam valorile, cu restul $r$ al impartirii $81 : f_s$ si banda $[r - 0.5,\ r + 0.5]$:
+^ $f_s$ ^ impartirea ^ $r$ ^ banda ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
+| 5 | $81 = 16\cdot 5 + 1$ | 1 | [0.5, 1.5] | 2.5 | da (0.5 > 0 si 1.5 < 2.5) |
+| **4** | $81 = 20\cdot 4 + 1$ | **1** | **[0.5, 1.5]** | **2** | **da** ✓, si $r = 1 = f_s/4$ (ideal) |
+| 3 | $81 = 27\cdot 3 + 0$ | 0 | [−0.5, 0.5] | 1.5 | **NU** — banda cade pe 0 |
+| 2 | $81 = 40\cdot 2 + 1$ | 1 | [0.5, 1.5] | 1 | **NU** — banda trece peste $f_s/2 = 1$ |
+Alegem **$f_s = 4$ MHz** (merge si 5, dar 4 face punctul b mult mai simplu, pentru ca $r = f_s/4$).
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** centrul devine $r = 1$ (restul lui 81 : 4), latimea ramane 1 → $[1 - 0.5,\ 1 + 0.5] = [0.5,\ 1.5]$. Zona permisa e intre 0 si $f_s/2 = 2$. Verificare: $0.5 > 0$ si $1.5 < 2$ → da.
+</note>
+**Pas 4 — Cum arata spectrul dupa esantionare** (desenul 3): intre −2 si 2 MHz avem semnalul pe [0.5, 1.5] si oglinda lui pe [−1.5, −0.5]. Totul se repeta la fiecare 4 MHz.
+<note tip>
+**Raspuns a):**
+  - filtru analog trece-banda centrat in 81 MHz, cu fereastra [78.5, 83.5] MHz → scoatem zgomotul
+  - esantionam cu $f_s = 4$ MHz (bandpass sampling): $81 = 20\cdot 4 + 1$ → banda ajunge pe [0.5, 1.5] MHz, oglinda pe [−1.5, −0.5], fara suprapuneri, neinversat
+</note>
+==== Punctul b) — reducem la 1 MHz ====
+**Ce se cere:** sa ajungem la cel mult 1 milion de esantioane pe secunda, fara sa pierdem informatie.
+**Ce stim:** dupa a) avem esantioane la 4 MHz; semnalul e pe [0.5, 1.5], oglinda pe [−1.5, −0.5].
+**Pas 1 — De ce nu putem direct.** Semnalul e real si are latimea 1 MHz. Un semnal real esantionat direct are nevoie de $f_s \geq 2B = 2$ MHz (cazul 2 din sectiunea 5.6). Noi vrem 1 MHz. Solutia: il facem **complex** (IQ) si il mutam in 0. Atunci ajunge $f_s \geq B = 1$ MHz (cazul 3).
+**Pas 2 — IQ: mutam semnalul in 0.** Semnalul e la $r = 1$ MHz, adica la $f_s/4$. Inmultim esantioanele cu $e^{-j2\pi\cdot 1\cdot n/4} = e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$ (sectiunea 6.3). Tot spectrul se muta cu 1 MHz la stanga. Pe cele doua parti: $i(n) = s(n)\cdot[1, 0, -1, 0, \dots]$ si $q(n) = s(n)\cdot[0, -1, 0, 1, \dots]$.
+**Pas 3 — Filtru trece-jos digital** cu taierea la 0.5 MHz (desenul 4): pastreaza semnalul, arunca oglinda (ajunsa la −2 MHz, adica la marginea zonei) si restul copiilor.
+<note tip>
+**Cum am ales intervalul:** dupa mutare centrul devine 0, latimea ramane 1 → $[0 - 0.5,\ 0 + 0.5] = [-0.5,\ 0.5]$. Filtrul taie la marginea benzii: $B/2 = 0.5$ MHz.
+</note>
+**Pas 4 — Decimare** cu $M = 4/1 = 4$ (pastram un esantion din 4): $f_s' = 4/4 = 1$ MHz (desenul 5). Copiile ajung la fiecare 1 MHz, exact cat latimea benzii: se ating, dar **nu se suprapun**.
+<note tip>
+**Raspuns b):** inmultim esantioanele (luate la 4 MHz) cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ → filtru trece-jos digital cu taierea la 0.5 MHz → decimare cu $M = 4$ → semnal complex $x(n) = i(n) + j\,q(n)$ la **1 MHz** (1 milion de esantioane complexe pe secunda), cu toata informatia.
+</note>
 ===== 10. PROBLEMA 2 (examene 2024–2026, partile b–c; "recuperare partial") =====
 <note important>
-**Enunt:** Fie $s(t)$ aperiodic, cu spectrul ocupand $[-W/2, W/2]$. Generam $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$, $f_c > W$. (a) $|Y(f)|$ — rezolvat in [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3]].
+**Enunt:** Fie $s(t)$ aperiodic, cu spectrul ocupand $[-W/2, W/2]$. Generam $y(t) = (1 + s(t))\cos(2\pi f_c t)$, $f_c > W$.
-  - (b) Fie **$W = 2$ MHz** si **$f_c = 100$ MHz**. Vrem sa esantionam $y(t)$ cu un convertor A/D cu **$f_s \in [5, 20]$ MHz**. Ce $f_s$ am putea folosi, pastrand informatia, si cum arata $|Y(k)|$ pentru semnalul esantionat?
+  - **a)** Cum arata $\lvert Y(f)\rvert$? — rezolvat in [[ps:cap3-transformata-fourier-am|Cap 3]] si in [[ps:problema-tip|Problema-tip, punctul a)]].
-  - (c) Avem un procesor de semnale cu frecventa de lucru **$f_p = 2$ MHz** si vrem sa reducem frecventa de esantionare la **$f_s' = f_p = 2$ MHz**, obtinand $x(n)$ care sa contina in continuare informatia din $y(n)$. Ce putem face (cu acelasi convertor, $f_s \in [5, 20]$ MHz)? (2026: cum arata $|X(k)|$? ce formula obtine $x(n)$ din $y(t), f_s, f_s', f_c$?)
+  - **b)** Fie **$W = 2$ MHz** si **$f_c = 100$ MHz**. Vrem sa esantionam $y(t)$ cu un convertor A/D cu **$f_s \in [5, 20]$ MHz**. Ce $f_s$ am putea folosi, pastrand informatia, si cum arata $\lvert Y(k)\rvert$ pentru semnalul esantionat?
+  - **c)** Avem un procesor de semnale cu frecventa de lucru **$f_p = 2$ MHz** si vrem sa reducem frecventa de esantionare la **$f_s' = f_p = 2$ MHz**, obtinand $x(n)$ care sa contina in continuare informatia din $y(n)$. Ce putem face (cu acelasi convertor, $f_s \in [5, 20]$ MHz)? (2026: cum arata $\lvert X(k)\rvert$? ce formula obtine $x(n)$ din $y(t), f_s, f_s', f_c$?)
 </note>
+Aceasta problema e rezolvata cel mai incet, cu cate un desen la fiecare pas, in [[ps:problema-tip|Problema-tip (Problema 1)]]. Aici e rezolvarea "de examen", pe scurt, plus partile care apar doar in varianta din 2026 ($\lvert Y(k)\rvert$, $\lvert X(k)\rvert$, formula).
 {{ps:cap4:problema_am_100mhz.png?1000|Problema AM 100 MHz pas cu pas}}
-**(b)**
+**Ce vezi in desen:** cele 4 etape. Sagetile rosii, de inaltime ½, sunt purtatoarea. Trapezele sunt copiile mesajului, de inaltime $A/2$ ($A$ = varful spectrului mesajului; enuntul nu da un numar). Albastru = partea pozitiva, portocaliu = oglinda.
-  - **Pas 1.** Banda lui $y$: purtatoarea la 100 MHz + copia lui $S$ → $[99, 101]$ MHz, latime $W = 2$ MHz. Nyquist clasic: $f_s \geq 202$ MHz — imposibil → **bandpass sampling**, $f_s \geq 2W = 4$ MHz ✓ (orice $f_s \in [5, 20]$ trece de conditia necesara).
-  - **Pas 2.** Verificam restul $r = 100 \bmod f_s$; vrem $[r - 1, r + 1] \subset (0, f_s/2)$ sau $\subset (f_s/2, f_s)$:
-^ $f_s$ [MHz] ^ $100 = m f_s + r$ ^ $r$ ^ banda $[r-1, r+1]$ ^ $f_s/2$ ^ merge? ^
+==== Punctul b) — alegem f_s ====
-| 20 | $5\cdot 20 + 0$ | 0 | $[-1, 1]$ | 10 | **NU** (trece peste 0) |
-| 10 | $10\cdot 10 + 0$ | 0 | $[-1, 1]$ | 5 | **NU** |
-| 8 | $12\cdot 8 + 4$ | 4 | $[3, 5]$ | 4 | **NU** (trece peste $f_s/2$) |
-| 12 | $8\cdot 12 + 4$ | 4 | $[3, 5]$ | 6 | DA, neinversat |
-| **16** | $6\cdot 16 + 4$ | **4 = $f_s/4$** | $[3, 5]$ | 8 | **DA, ideal** (banda la mijloc) |
-  - **Alegem $f_s = 16$ MHz** (si pentru ca la (c) da $M = 16/2 = 8$ intreg si IQ trivial). **Capcana:** $f_s = 20$ MHz, cea mai mare, **nu** merge!
+**Ce se cere:** o valoare buna pentru $f_s$ intre 5 si 20 MHz si desenul spectrului dupa esantionare.
-  - **$|Y(k)|$:** in $[-8, 8]$ MHz (sau $k$ corespunzator): **sageti de $\frac12$ la $\pm 4$ MHz** (purtatoarea) + **trapezul** de inaltime $\frac12$ din $|S|$, pe $[3, 5]$ si $[-5, -3]$ MHz; totul se repeta la fiecare 16 MHz. (Pe axa $k = 0 \dots N-1$, cu $f = k f_s/N$: varfurile la $k = N/4$ si $k = 3N/4$.)
-**(c)** Banda are 2 MHz, iar $f_s' = 2$ MHz → ca semnal **real** n-ar incapea ($2B = 4$ MHz). Solutia: **IQ downconversion + decimare** (semnal complex: $f_s' \geq B$ ✓):
+**Ce stim** (de la punctul a, cu numere): $y$ are sageti de ½ la ±100 MHz si copiile mesajului pe [centru − latime/2, centru + latime/2] = $[100 - 1,\ 100 + 1] = [99,\ 101]$ MHz si pe [−101, −99] MHz (desenul 1).
-  - esantionam cu $f_s = 16$ MHz (de la (b)); banda e la $f_s/4 = 4$ MHz
-  - **IQ:** inmultim cu $e^{-j2\pi\cdot 4\,\mathrm{MHz}\cdot n/16\,\mathrm{MHz}} = e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$ (adica cos → $[1,0,-1,0]$, $-\sin$ → $[0,-1,0,1]$) → banda ajunge in $[-1, 1]$ MHz
-  - **FTJ digital** cu taierea la 1 MHz ($= W/2$): scoate copia partii negative (ajunsa la $\pm 8$ MHz)
-  - **decimare** cu $M = f_s/f_s' = 16/2 = 8$ → $x(n)$ la **2 MHz**
-**$|X(k)|$:** in $[-1, 1]$ MHz: **o linie de $\frac12$ la $f = 0$** (purtatoarea a devenit componenta continua!) + **trapezul de $\frac12$** care ocupa tot intervalul $[-1, 1]$; replicile la fiecare 2 MHz se ating dar nu se suprapun.
+**Pas 1 — De ce bandpass sampling.** Frecventa maxima e 101 MHz. Nyquist ar cere $f_s \geq 202$ MHz; convertorul merge pana la 20. Conditia minima la bandpass sampling: $f_s \geq 2W = 4$ MHz — orice valoare din [5, 20] o respecta. Ramane de verificat unde ajunge banda.
-**Formula (2026, 2.5):**
+**Pas 2 — Incercam valori**, cu restul $r$ al impartirii $100 : f_s$ si banda $[r - 1,\ r + 1]$:
-$$ x(m) = \Big\{\, y\!\left(\tfrac{n}{f_s}\right) e^{-j2\pi \frac{f_c}{f_s} n} \Big\}_{\text{FTJ}} \Big|_{n = mM}, \qquad M = \frac{f_s}{f_s'} $$
+^ $f_s$ [MHz] ^ impartirea ^ $r$ ^ banda $[r-1, r+1]$ ^ $f_s/2$ ^ e buna? ^
+| 20 | $100 = 5\cdot 20 + 0$ | 0 | [−1, 1] | 10 | **NU** — cade pe 0 |
+| 10 | $100 = 10\cdot 10 + 0$ | 0 | [−1, 1] | 5 | **NU** — cade pe 0 |
+| 8 | $100 = 12\cdot 8 + 4$ | 4 | [3, 5] | 4 | **NU** — trece peste $f_s/2 = 4$ |
+| 12 | $100 = 8\cdot 12 + 4$ | 4 | [3, 5] | 6 | da (3 > 0 si 5 < 6) |
+| **16** | $100 = 6\cdot 16 + 4$ | **4** | **[3, 5]** | **8** | **da** ✓, si $r = 4 = f_s/4$ (ideal) |
-Cu numere: $\frac{f_c}{f_s} = \frac{100}{16} = 6.25$, iar $e^{-j2\pi\cdot 6.25 n} = e^{-j2\pi\cdot 0.25 n} = e^{-j\pi n/2}$ (multiplii intregi dispar) → $x(m) = \mathrm{FTJ}\{y(n/16\,\mathrm{MHz})\,e^{-j\pi n/2}\}$ luat la $n = 8m$.
+**Alegem $f_s = 16$ MHz.** Merge si 12, dar 16 are banda fix la mijloc si face punctul c simplu.
-**Varianta 2026 ($W = 4$ MHz, $f_p = 4$ MHz):** banda $[98, 102]$; $f_s = 16$ MHz → $r = 4$, banda $[2, 6] \subset (0, 8)$ ✓; IQ la fel; FTJ cu taierea la 2 MHz; $M = 16/4 = 4$ → $f_s' = 4$ MHz.
+<note warning>
+**Capcana:** $f_s = 20$ MHz, cea mai mare valoare permisa, **nu** merge! "Cat mai mare" nu inseamna "mai bine" la bandpass sampling.
+</note>
+**Pas 3 — Spectrul dupa esantionare** (desenul 2). Intre −8 si 8 MHz:
+  * sageti de **½ la ±4 MHz** (purtatoarea, ajunsa de la ±100 la ±4)
+  * copiile mesajului (trapeze de inaltime $A/2$) pe **[3, 5]** si pe **[−5, −3]** MHz
+  * totul se repeta la fiecare 16 MHz
+<note tip>
+**Ce inseamna $\lvert Y(k)\rvert$ in enunt?** E spectrul semnalului **esantionat**. Litera $k$ numara punctele de pe axa frecventei cand spectrul e calculat pe calculator (cu DFT/FFT — materie de dupa partial). Legatura e $f = k\cdot f_s/N$, unde $N$ e numarul de puncte. Pentru desen nu se schimba nimic: desenezi spectrul de mai sus. Daca vrei sa pui si $k$ pe axa: frecventa 4 MHz $= f_s/4$ corespunde lui $k = N/4$.
+</note>
+<note tip>
+**Raspuns b):** $f_s = 16$ MHz. Dupa esantionare, intre −8 si 8 MHz: purtatoarea (½) la ±4 MHz si copiile mesajului pe [3, 5] si [−5, −3] MHz; se repeta la fiecare 16 MHz.
+</note>
+==== Punctul c) — reducem la 2 MHz ====
+**Ce se cere:** un semnal $x(n)$ esantionat la 2 MHz, cu aceeasi informatie.
+**Ce stim:** esantioane la 16 MHz; banda pe [3, 5], centrata in $4 = f_s/4$; latimea benzii 2 MHz.
+**Pas 1 — De ce IQ.** Semnal real de latime 2 MHz, esantionat direct: ar trebui $f_s \geq 2\cdot 2 = 4$ MHz. Vrem 2. Il facem complex si il mutam in 0: atunci ajunge $f_s' \geq 2$ MHz ✓.
+**Pas 2 — IQ.** Banda e la $f_s/4$ → inmultim cu $e^{-j2\pi\cdot 4\cdot n/16} = e^{-j\pi n/2} = [1, -j, -1, j, \dots]$. Totul se muta cu 4 MHz la stanga: banda ajunge pe $[-1,\ 1]$ MHz, oglinda la $-4 - 4 = -8$ MHz (desenul 3).
+**Pas 3 — Filtru trece-jos digital** cu taierea la $W/2 = 1$ MHz: pastreaza [−1, 1], arunca oglinda.
+**Pas 4 — Decimare** cu $M = f_s/f_s' = 16/2 = 8$ → $x(n)$ la **2 MHz** (desenul 4).
+**Cum arata $\lvert X(k)\rvert$:** intre −1 si 1 MHz: **o sageata de ½ la $f = 0$** si **trapezul** (inaltime $A/2$) care ocupa tot intervalul [−1, 1]. Copiile de la fiecare 2 MHz se ating, dar nu se suprapun.
+<note tip>
+**De ce apare o sageata la 0?** Purtatoarea era o linie la 100 MHz. A coborat la 4 MHz (esantionarea) si apoi la 0 (IQ). O linie la frecventa 0 inseamna o **constanta** adunata la semnal ([[ps:cap0-baze|Cap 0 §6]]). E chiar acel "1" din $(1 + s(t))$.
+</note>
+**Formula ceruta in 2026** (cum obtii $x$ din $y$, $f_s$, $f_s'$, $f_c$):
+$$ x(m) = \Big\{\, y\!\left(\tfrac{n}{f_s}\right) e^{-j2\pi \frac{f_c}{f_s} n} \Big\}_{\text{trece-jos}} \Big|_{n = mM}, \qquad M = \frac{f_s}{f_s'} $$
+Cum o citesti, de la stanga la dreapta:
+  * $y(n/f_s)$ = esantioanele lui $y$ (masurat la momentele $t = n/f_s$)
+  * $\cdot\, e^{-j2\pi\frac{f_c}{f_s}n}$ = mutarea in 0 (IQ)
+  * acolada cu "trece-jos" = rezultatul trece prin filtrul trece-jos digital
+  * $n = mM$ = decimarea: pastram doar esantioanele cu numarul $0, M, 2M, \dots$
+Cu numere: $\frac{f_c}{f_s} = \frac{100}{16} = 6.25$. In exponent, partea intreaga (6) inseamna ture complete si nu schimba nimic, ramane $0.25$: $e^{-j2\pi\cdot 6.25\, n} = e^{-j2\pi\cdot 0.25\, n} = e^{-j\pi n/2}$. Deci $x(m)$ = filtrul trece-jos aplicat lui $y(n/16\,\text{MHz})\cdot[1, -j, -1, j, \dots]$, luat la $n = 8m$.
+<note tip>
+**Raspuns c):** esantionam la 16 MHz → inmultim cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ → filtru trece-jos digital la 1 MHz → decimare cu $M = 8$ → semnal complex la 2 MHz. $\lvert X\rvert$: trapez pe [−1, 1] MHz + sageata de ½ la 0.
+</note>
+**Varianta din 2026 cu alte numere ($W = 4$ MHz, $f_p = 4$ MHz):** banda $[100 - 2,\ 100 + 2] = [98,\ 102]$. Cu $f_s = 16$: $r = 4$, banda $[4 - 2,\ 4 + 2] = [2,\ 6]$, intre 0 si 8 ✓. IQ la fel. Filtru trece-jos cu taierea la $W/2 = 2$ MHz. $M = 16/4 = 4$ → $f_s' = 4$ MHz.
 ===== 11. PROBLEMA 3 (partialul 2025, grila 6) =====
-**Enunt:** $W = 10$ kHz, $f_c = 1000$ kHz (+ zgomot). (a) Frecventa Nyquist $f_s \geq$ ? (1000 / 2000 / 2010 / 2020) (b) $f_s = 300$ kHz: spectrul? (c) Bandpass: $f_s \geq$ ? (1000 / 100 / 20 / 10)
+<note important>
+**Enunt:** $W = 10$ kHz, $f_c = 1000$ kHz (+ zgomot in jur).
+  - **a)** Frecventa de esantionare dupa Nyquist: $f_s \geq$ ? Variante: 1000 / 2000 / 2010 / 2020 kHz.
+  - **b)** Daca $f_s = 300$ kHz, cum arata spectrul?
+  - **c)** Bandpass sampling: $f_s \geq$ ? Variante: 1000 / 100 / 20 / 10 kHz.
+</note>
-  * **(a)** Banda: $[995, 1005]$ kHz → $f_{max} = 1005$ kHz → $f_s \geq 2\cdot 1005 =$ **2010 kHz**. (2000 ar fi gresit: ia doar $f_c$, nu si marginea benzii.)
+**Ce stim:** $W$ = latimea totala a benzii (in desenul din enunt, banda e marcata de la 995 la 1005). Deci semnalul ocupa [centru − latime/2, centru + latime/2] = $[1000 - 5,\ 1000 + 5] = [995,\ 1005]$ kHz.
-  * **(b)** Dupa FTB analog (scoate zgomotul): $1000 = 3\cdot 300 + 100$ → $r = 100$ kHz; banda $[95, 105] \subset (0, 150)$ ✓ neinversat. Spectrul: benzi la $\pm 100$ kHz, plus replici la $\pm 200$ (= 300 − 100), $\pm 400$, $\pm 500$, ...
-  * **(c)** Bandpass sampling: $f_s \geq 2B =$ **20 kHz** (minimul teoretic; in practica se alege putin mai mare si cu banda nesuprapusa).
+==== Punctul a) ====
+Nyquist: de doua ori **frecventa maxima**. Frecventa maxima e capatul din dreapta al benzii: 1005 kHz. Deci $f_s \geq 2\cdot 1005 =$ **2010 kHz**.
+De ce nu celelalte: 1000 e chiar $f_c$ (nici macar dublat); 2000 = $2 f_c$ uita de jumatatea de banda de deasupra centrului; 2020 ar fi corect daca banda ar fi de 10 kHz de **fiecare** parte a centrului, dar $W$ e latimea totala.
+==== Punctul b) ====
+Intai filtrul analog trece-banda in jurul lui 1000 kHz (scoate zgomotul). Apoi restul: $1000 = 3\cdot 300 + 100$ → $r = 100$ kHz. Banda: $[100 - 5,\ 100 + 5] = [95,\ 105]$. Zona permisa: intre 0 si $f_s/2 = 150$. $95 > 0$ si $105 < 150$ → buna, neinversata.
+**Spectrul:** semnalul la +100 kHz, oglinda la −100 kHz. Copiile lor, la fiecare 300 kHz: la ±200 ($100 - 300 = -200$ si $-100 + 300 = 200$), la ±400, la ±500, ...
 {{ps:cap4:partial_300khz.png?1000|Partial 2025: fs = 300 kHz}}
+**Ce vezi in desen:** in zona galbena (de la −150 la 150 kHz) sunt semnalul (albastru, la +100) si oglinda (portocaliu, la −100). In afara ei, mai sterse, copiile.
+==== Punctul c) ====
+Semnal real, sus la o purtatoare, esantionat direct → cazul 2 din sectiunea 5.6: $f_s \geq 2B = 2\cdot 10 =$ **20 kHz**.
+De ce nu celelalte: 1000 si 100 sunt mult peste minim; 10 kHz ($= W$) ar fi minimul pentru un semnal complex, deja mutat in 0 (cazul 3), nu pentru semnalul real de la antena. (20 kHz e minimul teoretic; in practica se alege ceva mai mare si se verifica restul $r$, ca la punctul b.)
 ===== 12. PROBLEMA 4 (februarie 2021) — aliasing + filtru digital =====
-**Enunt:** $x(t) = \cos(2\pi\cdot 800\,t)$, esantionat cu $f_s = 1000$ Hz. Apoi filtram $x(n)$ cu un FIR trece-jos cu taierea la $0.4 f_s$. (a) Desenati spectrul lui $x(n)$ intre $-2f_s$ si $2f_s$. (b) Desenati spectrul lui $y(n)$ cum l-ati vedea cu FFT.
+<note important>
+**Enunt:** $x(t) = \cos(2\pi\cdot 800\,t)$, esantionat cu $f_s = 1000$ Hz. Apoi filtram $x(n)$ cu un filtru digital (FIR) trece-jos cu taierea la $0.4 f_s$.
+  - **a)** Desenati spectrul lui $x(n)$ intre $-2f_s$ si $2f_s$.
+  - **b)** Desenati spectrul lui $y(n)$ (iesirea filtrului) cum l-ati vedea cu FFT.
+</note>
-  * **(a)** $f = 800 > f_s/2 = 500$ → **aliasing**. Liniile de $\frac12$ de la $\pm 800$ Hz se repeta la fiecare 1000 Hz. In $[-2000, 2000]$: **$\pm 200, \pm 800, \pm 1200, \pm 1800$ Hz** (toate de inaltime $\frac12$). In zona de baza $[-500, 500]$ apare doar $\pm 200$ Hz.
+E exact exemplul din sectiunea 4 (800 Hz esantionat la 1000 Hz). Desenul de la 4.2 este raspunsul la punctul a).
-  * **(b)** Filtrul **digital** vede doar $[-f_s/2, f_s/2]$, unde componenta e la $\pm 200$ Hz $< 0.4 f_s = 400$ Hz → **trece**! $y(n)$ arata ca un cosinus de **200 Hz**. Pe FFT ($k = 0 \dots N-1$ ↔ $0 \dots f_s$): varfuri la **200 Hz** si **800 Hz** ($= f_s - 200$, oglinda).
-  * **Morala:** aliasingul nu se mai poate repara dupa esantionare → filtrul anti-aliasing trebuie pus **analog, inainte** de ADC.
+==== Punctul a) ====
+**Ce stim:** cosinusul de 800 Hz are linii de ½ la ±800 Hz. $f_s/2 = 500$ Hz, iar $800 > 500$ → va fi **aliasing**.
+**Pasi:** copiem fiecare linie la fiecare 1000 Hz si pastram ce cade intre −2000 si 2000:
+  * din $+800$: $800 - 2000 = -1200$; $800 - 1000 = -200$; $800$; $800 + 1000 = 1800$
+  * din $-800$: $-800 - 1000 = -1800$; $-800$; $-800 + 1000 = 200$; $-800 + 2000 = 1200$
+**Raspuns:** linii de inaltime ½ la **±200, ±800, ±1200, ±1800 Hz**. In zona de baza (intre −500 si 500) apare doar ±200 Hz.
+==== Punctul b) ====
+**Ce stim:** un filtru **digital** lucreaza pe esantioane, deci "vede" doar zona de la $-f_s/2$ la $f_s/2$. Taierea lui e la $0.4\cdot 1000 = 400$ Hz.
+**Pasi:** in zona asta semnalul are linii la ±200 Hz. $200 < 400$ → liniile **trec** prin filtru. Deci $y(n)$ arata ca un cosinus de **200 Hz**. Filtrul n-a scos nimic.
+**Raspuns:** FFT-ul arata frecventele de la 0 la $f_s$ (nu de la $-f_s/2$ la $f_s/2$), asa ca linia de la −200 Hz apare mutata cu $f_s$, la $-200 + 1000 = 800$ Hz. Se vad doua varfuri: la **200 Hz** si la **800 Hz**. (Cum functioneaza axa FFT-ului e materie de dupa partial.)
+<note warning>
+**Morala problemei:** aliasingul s-a produs la esantionare. Filtrul digital, pus **dupa**, nu-l mai poate repara: el crede sincer ca semnalul are 200 Hz. De aceea filtrul anti-aliasing trebuie sa fie **analog** si pus **inainte** de convertor.
+</note>
 ===== 13. Ce trebuie sa stii din Cap 4 (fisa de 1 minut) =====
-  * $s(n) = s(nT_s)$, $f_s = 1/T_s$; lant A/D: FTJ anti-aliasing → esantionare → cuantizare
+  * **esantionare:** $s(n) = s(nT_s)$, $f_s = 1/T_s$ = esantioane pe secunda; lantul A/D: filtru trece-jos anti-aliasing → esantionare → cuantizare
-  * spectrul esantionat = **replici la fiecare $f_s$**: $X(f) = \sum c_k S(f - kf_s)$
+  * spectrul semnalului esantionat = **copii (replici) la fiecare $f_s$**: $X(f) = \sum_k c_k S(f - kf_s)$
-  * **Nyquist:** $f_s \geq 2W$ ($W$ = frecventa maxima); $f_s/2$ = frecventa Nyquist
+  * dupa esantionare conteaza doar zona **de la $-f_s/2$ la $f_s/2$**
-  * recuperare: FTJ cu taierea la $W$, daca semnalul era limitat in banda si $f_s \geq 2W$
+  * **Nyquist:** $f_s \geq 2 f_{max}$ (in carte: $2W$, cu $W$ = frecventa maxima); $f_s/2$ = frecventa Nyquist
-  * **aliasing** = replici suprapuse; $f$ apare la $f - mf_s \in [-f_s/2, f_s/2]$; se previne doar **inainte** de ADC
+  * **recuperare:** filtru trece-jos cu taierea la $f_{max}$, daca semnalul era limitat in banda si $f_s \geq 2 f_{max}$
-  * **bandpass sampling:** FTB analog, apoi $f_s \geq 2B$ cu $r = f_c \bmod f_s$ ales ca banda sa nu treaca peste 0 sau $f_s/2$; ideal $r = f_s/4$
+  * **aliasing** = copii suprapuse; frecventa $f$ apare la $f - m f_s$, adusa intre $-f_s/2$ si $f_s/2$; se previne doar **inainte** de convertor (filtru analog)
-  * informatia dupa esantionare: $[-f_s/2, f_s/2]$
+  * **banda** = [centru − latime/2, centru + latime/2]; latimea nu se schimba, centrul se muta: $f_c$ → $r$ → 0
-  * **inversare** de spectru ($r > f_s/2$) → inmultesti cu $(-1)^n$ (muta cu $f_s/2$)
+  * **bandpass sampling:** filtru analog trece-banda, apoi $f_s \geq 2B$ cu $r$ = restul lui $f_c : f_s$ ales ca banda $[r - B/2, r + B/2]$ sa stea intre 0 si $f_s/2$; ideal $r = f_s/4$
-  * **IQ:** $x = s\,e^{-j2\pi f_c t} = i + jq$, $i = s\cos$, $q = -s\sin$; la $f_s = 4f_c$: cos → $[1,0,-1,0]$, $-\sin$ → $[0,-1,0,1]$
+  * **inversare** de spectru (banda intre $f_s/2$ si $f_s$) → inmultesti cu $(-1)^n$ (muta spectrul cu $f_s/2$)
-  * semnal **complex** de banda $B$: ajunge $f_s' \geq B$ (real: $2B$)
+  * **IQ:** $x = s\cdot e^{-j2\pi f_c t} = i + jq$, $i = s\cos$, $q = -s\sin$; cand banda e la $f_s/4$: inmultire cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ (cos → $[1,0,-1,0]$, $-\sin$ → $[0,-1,0,1]$)
-  * **decimare:** $s_M(n) = s(nM)$, $f_s' = f_s/M$; FTJ digital inainte
+  * **$f_s$ minim:** real in banda de baza → $W$; real la purtatoare (bandpass) → $2W$; complex IQ → $W$ ($W$ = latimea benzii)
+  * **decimare:** $s_M(n) = s(nM)$, $f_s' = f_s/M$; **filtru trece-jos digital inainte**
 ===== 14. Grile de antrenament =====
@@ Line 266: / Line 873: @@
 **G3.** Filtrul anti-aliasing este:
-  - A. un FTJ digital, dupa ADC
+  - A. un filtru trece-jos digital, dupa convertor
-  - B. un FTJ analog, inainte de ADC
+  - B. un filtru trece-jos analog, inainte de convertor
-  - C. un FTS analog
+  - C. un filtru trece-sus analog
-  - D. un FTB digital
+  - D. un filtru trece-banda digital
-**G4.** Un cosinus de 900 Hz esantionat la $f_s = 1000$ Hz apare (in $[-f_s/2, f_s/2]$) la:
+**G4.** Un cosinus de 900 Hz esantionat la $f_s = 1000$ Hz apare (intre $-f_s/2$ si $f_s/2$) la:
   - A. 900 Hz
   - B. 100 Hz
@@ Line 283: / Line 890: @@
   - D. FFT si DFT
-**G6.** La bandpass sampling, o conditie **necesara** pentru frecventa de esantionare (semnal real de banda $B$) este:
+**G6.** La bandpass sampling, o conditie **necesara** pentru frecventa de esantionare (semnal real de banda $B$, aflat la purtatoarea $f_c$) este:
   - A. $f_s \geq 2f_c$
   - B. $f_s \geq 2B$
@@ Line 298: / Line 905: @@
   - A. inmultind semnalul digital cu $(-1)^n$
   - B. esantionand de doua ori
-  - C. cu un FTS
+  - C. cu un filtru trece-sus
   - D. nu se poate corecta
@@ Line 337: / Line 944: @@
   - D. $[f_c - B, f_c + B]$
-===== 15. Problema de antrenament =====
+**G15.** Un semnal real are spectrul in jurul lui 0, de la $-W/2$ la $W/2$, cu $W = 1$ MHz. Frecventa minima de esantionare fara aliasing este:
+  - A. 0.5 MHz
+  - B. 1 MHz
+  - C. 2 MHz
+  - D. 4 MHz
-Un semnal util de banda $B = 2$ MHz e centrat in $f_c = 70$ MHz, cu zgomot in jur. Ai un ADC cu $f_s \le 10$ MHz si un procesor care lucreaza la 2 MHz.
+**G16.** Un semnal real are banda de latime $W = 1$ MHz, centrata la $f_c = 45$ MHz. Il esantionam direct, prin bandpass sampling. Conditia necesara este:
+  - A. $f_s \geq 0.5$ MHz
+  - B. $f_s \geq 1$ MHz
+  - C. $f_s \geq 2$ MHz
+  - D. $f_s \geq 91$ MHz
+**G17.** Semnalul e centrat la $f_c = 45$ MHz si il esantionam cu $f_s = 4$ MHz. Dupa esantionare, centrul benzii apare la:
+  - A. 45 MHz
+  - B. 1 MHz
+  - C. 0 MHz
+  - D. 4 MHz
+**G18.** Avem esantioane la 16 MHz si vrem sa ajungem la 2 MHz. Factorul de decimare este:
+  - A. $M = 2$
+  - B. $M = 4$
+  - C. $M = 8$
+  - D. $M = 32$
+**G19.** Inainte de decimare se aplica un filtru trece-jos digital pentru ca:
+  - A. altfel semnalul ar fi prea slab
+  - B. altfel ce e in afara noii zone $[-f_s'/2, f_s'/2]$ s-ar copia peste semnal (aliasing)
+  - C. asa se face semnalul complex
+  - D. filtrul mareste frecventa de esantionare
+===== 15. Probleme de antrenament =====
+**Problema A (ca la examen).** Un semnal util de banda $B = 2$ MHz e centrat in $f_c = 50$ MHz, cu zgomot in jur. Ai un filtru analog trece-banda, un convertor cu $f_s \le 10$ MHz si un procesor care lucreaza la 2 MHz.
   - a) Ce $f_s$ alegi (bandpass sampling)? Verifica cu restul $r$. Unde ajunge banda?
   - b) Ce pasi faci ca sa ajungi la 2 MHz fara pierderi? Ce $M$ folosesti?
+  - c) De ce nu merge $f_s = 10$ MHz?
+**Problema B (mai grea: spectru inversat).** Acelasi lucru, dar cu $f_c = 70$ MHz ($B = 2$ MHz, $f_s \le 10$ MHz, procesor la 2 MHz).
+  - a) Arata ca $f_s = 8$ MHz merge, dar da spectru inversat. Unde apare banda?
+  - b) Ce pasi faci ca sa ajungi la 2 MHz? Cu ce sir inmultesti?
   - c) De ce nu merge $f_s = 10$ MHz?
 ===== 16. Raspunsuri =====
-^ Grila ^ Raspuns ^ Explicatie ^
+^ Grila ^ Raspuns ^ De ce e corect ^ De ce sunt gresite celelalte ^
-| G1 | **B** | $2 \cdot 15 = 30$ kHz |
+| G1 | **B** | Nyquist: $2\cdot 15 = 30$ kHz | A si C sunt sub dublul frecventei maxime → aliasing; D (44.1) merge, dar nu e **minimul** |
-| G2 | **B** | $X(f) = \sum c_k S(f - kf_s)$ |
+| G2 | **B** | esantionarea copiaza spectrul la fiecare $f_s$ (sectiunea 2) | A: apar copii, deci nu ramane identic; C: nu se muta, se **copiaza** (originalul ramane); D: latimea nu se schimba |
-| G3 | **B** | trebuie sa actioneze inainte ca aliasingul sa se produca |
+| G3 | **B** | trebuie sa taie frecventele mari **inainte** sa fie esantionate | A si D sunt digitale, deci actioneaza dupa ce aliasingul s-a produs; C lasa sa treaca tocmai frecventele mari |
-| G4 | **B** | $900 - 1000 = -100$ → 100 Hz |
+| G4 | **B** | $900 - 1000 = -100$ → arata ca 100 Hz | A: 900 e peste $f_s/2 = 500$, nu poate ramane acolo; C: 1900 e o copie, dar nu e in zona; D: 500 e doar marginea zonei |
-| G5 | **A** | esantionare → aliasing; cuantizare → eroare |
+| G5 | **A** | esantionarea aduce aliasing, cuantizarea aduce eroare de rotunjire | B, C, D nu sunt probleme ale conversiei A/D discutate la curs |
-| G6 | **B** | altfel replicile (la distanta $f_s$) sigur se suprapun |
+| G6 | **B** | semnalul si oglinda lui (cate $B$ fiecare) trebuie sa incapa in zona de lungime $f_s$ | A e Nyquist clasic, tocmai ce vrem sa evitam; C ar garanta suprapunerea; D da $r = 0$ (banda cade pe 0) |
-| G7 | **A** | scoate zgomotul care altfel s-ar plia peste semnal |
+| G7 | **A** | scoate zgomotul din jurul benzii, care altfel s-ar copia peste semnal | B e digital (prea tarziu) si trece-jos (ar taia chiar semnalul); C lasa zgomotul; D se face la sfarsit |
-| G8 | **A** | $(-1)^n$ muta spectrul cu $f_s/2$ |
+| G8 | **A** | $(-1)^n$ muta spectrul cu $f_s/2$ si readuce banda in partea pozitiva | B si C nu au legatura; D e fals: se corecteaza usor |
-| G9 | **A** | $s\,e^{-j2\pi f_c t} = s\cos - js\sin$ |
+| G9 | **A** | $s\cdot e^{-j2\pi f_c t} = s\cos - j\,s\sin$: partea reala si cea imaginara | B: $i$ si $q$ nu sunt bucati de spectru; C: au aceeasi $f_s$; D: sunt partea reala si imaginara, nu modulul si faza |
-| G10 | **B** | $\cos(\frac{\pi}{2}n)$ |
+| G10 | **B** | unghiul e $90^\circ\cdot n$: cos = 1, 0, −1, 0 | A e o constanta; C e sirul pentru sinus; D e $(-1)^n$, adica frecventa $f_s/2$ |
-| G11 | **B** | definitia decimarii |
+| G11 | **B** | e definitia decimarii | A: $f_s$ scade, nu creste; C descrie operatia inversa; D: decimarea nu muta spectrul |
-| G12 | **A** | spectrul complex nu e simetric, nu trebuie "loc" si pentru oglinda |
+| G12 | **A** | semnalul complex nu are oglinda → incape o singura banda de latime $B$ | B e pentru semnalul real la purtatoare; C e mai mult decat trebuie; D: sub $B$ copiile se suprapun |
-| G13 | **C** | $100 \bmod 20 = 0$ → banda in jurul lui 0 → suprapunere |
+| G13 | **C** | $100 = 5\cdot 20 + 0$ → $r = 0$ → banda cade pe 0, peste oglinda | A: $r = 4$, banda [3, 5] intre 0 si 8 ✓; B: $r = 4$, banda [3, 5] intre 0 si 6 ✓; deci D e fals |
-| G14 | **B** | restul sunt replici |
+| G14 | **B** | spectrul se repeta la fiecare $f_s$; o singura bucata de lungime $f_s$ contine tot | A e doar o parte din zona; C contine si copii; D e banda dinainte de esantionare |
+| G15 | **B** | frecventa maxima e $W/2 = 0.5$ MHz → Nyquist: $2\cdot 0.5 = 1$ MHz (cazul 1 din 5.6) | A e sub minim; C ar fi corect daca frecventa maxima ar fi 1 MHz (adica daca $W$ ar fi jumatatea benzii); D e prea mult |
+| G16 | **C** | semnal real la purtatoare: semnalul + oglinda, cate $W$ fiecare → $f_s \geq 2W = 2$ MHz (cazul 2) | A si B sunt prea mici pentru doua benzi; B ar fi corect pentru semnalul complex de dupa IQ; D e Nyquist clasic, nu e nevoie de atat |
+| G17 | **B** | $45 = 11\cdot 4 + 1$ → restul $r = 1$ | A: 45 e in afara zonei (−2, 2); C ar fi restul pentru $f_s = 5$ sau 9; D e chiar $f_s$, nu restul |
+| G18 | **C** | $M = f_s/f_s' = 16/2 = 8$ | A da 8 MHz, B da 4 MHz, D da 0.5 MHz |
+| G19 | **B** | decimarea e o esantionare mai rara: copiile se indesesc si ce e in afara zonei noi cade peste semnal | A si D nu au legatura; C: semnalul devine complex la inmultirea IQ, nu la filtru |
-**Problema — rezolvare:**
+==== Problema A — rezolvare ====
-  * a) Varianta comoda: **$f_s = 8$ MHz** ($\geq 2B = 4$ ✓): $70 = 8\cdot 8 + 6$ → $r = 6 = 3f_s/4$ → banda $[5, 7] \subset (4, 8)$ ✓, deci merge, dar e **inversata**: copia partii pozitive apare la $6 - 8 = -2$ MHz, iar cea a partii negative la $+2$ MHz (ambele la distanta $f_s/4$ de 0, deci IQ trivial).
-    * alternativa neinversata cu $r = f_s/4$ exact: $f_s = \frac{4\cdot 70}{2m+1} \le 10$ → $2m+1 = 29$ → $f_s = 280/29 \approx 9.66$ MHz (corect, dar numar urat). Orice $f_s$ care trece testul cu $r$ e corect daca e justificat.
+{{ps:cap4:antrenament_50mhz.png?1000|Problema A: fs = 8 merge, fs = 10 nu merge}}
-  * b) FTB analog la 70 MHz → ADC la 8 MHz → IQ: inmultire cu $e^{+j2\pi\cdot 2\,\mathrm{MHz}\cdot n/8\,\mathrm{MHz}} = e^{j\pi n/2}$ (copia partii pozitive e la $-2$ MHz, o aducem la 0) → FTJ digital la 1 MHz → decimare $M = 8/2 = 4$ → 2 MHz complex, $f_s' = 2 \geq B = 2$ ✓.
-  * c) $70 = 7\cdot 10 + 0$ → $r = 0$ → banda $[-1, 1]$ se suprapune cu copia partii negative.
+**Ce vezi in desen:** sus, spectrul dupa esantionarea cu $f_s = 8$ MHz (bun); jos, cu $f_s = 10$ MHz (rau: albastrul si portocaliul cad unul peste altul in 0).
+**a) Ce se cere:** $f_s \le 10$ MHz buna pentru bandpass sampling. **Ce stim:** banda e $[50 - 1,\ 50 + 1] = [49,\ 51]$ MHz; conditia minima $f_s \geq 2B = 4$ MHz.
+  - Intai **filtrul analog trece-banda** in jurul lui 50 MHz (scoate zgomotul).
+  - Incercam $f_s = 8$: $50 = 6\cdot 8 + 2$ → $r = 2$. Banda: $[2 - 1,\ 2 + 1] = [1,\ 3]$. Zona permisa: intre 0 si $f_s/2 = 4$. $1 > 0$ si $3 < 4$ → **buna**. In plus $r = 2 = f_s/4$ (ideal).
+  - **Raspuns:** $f_s = 8$ MHz; dupa esantionare banda e pe [1, 3] MHz, oglinda pe [−3, −1].
+**b) Ce se cere:** sa ajungem la 2 MHz. **Ce stim:** esantioane la 8 MHz, banda la $2 = f_s/4$, latime 2 MHz.
+  - **IQ:** inmultim cu $[1, -j, -1, j, \dots]$ → totul se muta cu 2 MHz la stanga → banda pe $[-1,\ 1]$.
+  - **Filtru trece-jos digital** cu taierea la $B/2 = 1$ MHz.
+  - **Decimare** cu $M = 8/2 = 4$ → 2 MHz.
+  - **Raspuns:** semnal complex la 2 MHz; e de ajuns pentru ca $f_s' = 2 \geq B = 2$ ✓.
+**c)** $50 = 5\cdot 10 + 0$ → $r = 0$ → banda $[-1,\ 1]$ cade pe 0, peste oglinda ei (desenul de jos).
+==== Problema B — rezolvare ====
+**a)** Banda e $[69,\ 71]$ MHz. Cu $f_s = 8$: $70 = 8\cdot 8 + 6$ → $r = 6$. Banda: $[5,\ 7]$. Nu e intre 0 si $f_s/2 = 4$, dar e in intregime intre $f_s/2 = 4$ si $f_s = 8$ → **merge, dar inversat** (sectiunea 5.5). Banda (albastra) apare la $r - f_s = 6 - 8 = -2$ MHz, adica pe [−3, −1]; oglinda apare la +2 MHz, pe [1, 3].
+**b)** Filtru analog trece-banda la 70 MHz → convertor la 8 MHz → acum banda e la **−2** MHz, deci trebuie mutata la **dreapta** cu 2 MHz $= f_s/4$: inmultim cu $e^{+j\pi n/2} = [1, j, -1, -j, \dots]$ (plus la exponent = mutare la dreapta; sirul e cel de la 6.3, parcurs in sens invers) → banda pe [−1, 1] → filtru trece-jos digital la 1 MHz → decimare cu $M = 8/2 = 4$ → semnal complex la 2 MHz.
+Varianta echivalenta: intai inmultesti cu $(-1)^n$ (banda sare de la −2 la $-2 + 4 = 2$, neinversat), apoi faci exact ca la Problema A.
+**c)** $70 = 7\cdot 10 + 0$ → $r = 0$ → banda $[-1,\ 1]$ cade pe 0, peste oglinda ei.
+<note tip>
+**Exista si o $f_s$ neinversata pentru Problema B?** Da, dar nu e numar rotund: cu scurtatura din 5.4, $4 f_c = 280$ si $280 : 29 \approx 9.66$ MHz da $r = f_s/4$. La examen, orice $f_s$ care trece verificarea cu restul $r$ e corecta, daca e justificata.
+</note>
+===== 17. Intrebari de teorie ca la examen =====
+La examen, teoria se cere **in scris**, in cateva randuri. Mai jos sunt intrebarile din acest capitol care s-au dat sau se pot da, fiecare cu un raspuns model. Incearca intai sa raspunzi singur pe foaie, apoi compara.
+**T1. Care sunt doua probleme principale la conversia din analog in digital? Detaliati.** (2023 var. A)
+<note tip>
+Conversia are doi pasi si fiecare aduce o problema. (1) **Esantionarea** poate produce **aliasing**: daca $f_s < 2 f_{max}$, copiile spectrului se suprapun si frecventele mari apar ca frecvente mici; informatia se pierde. Se evita cu un filtru analog trece-jos inainte de convertor si cu $f_s \geq 2 f_{max}$. (2) **Cuantizarea** rotunjeste fiecare esantion la unul din $2^B$ niveluri, ceea ce introduce o **eroare de cuantizare** care nu mai poate fi scoasa. Se micsoreaza marind numarul de biti $B$.
+</note>
+**T2. Despre aliasing: cand apare? cum il putem evita?** (2023 var. B)
+<note tip>
+Aliasingul apare la esantionare, cand frecventa de esantionare e prea mica: $f_s < 2 f_{max}$. Esantionarea copiaza spectrul la fiecare $f_s$; daca $f_s$ e prea mica, copiile se suprapun, iar o frecventa $f > f_s/2$ apare ca o frecventa mai mica, $f - m f_s$. Exemplu: 800 Hz esantionat la 1000 Hz arata ca 200 Hz. Il evitam alegand $f_s \geq 2 f_{max}$ si punand **inainte** de convertor un filtru analog trece-jos (anti-aliasing) care taie tot ce e peste $f_s/2$. Dupa esantionare nu mai poate fi reparat.
+</note>
+**T3. Dupa esantionare se mai poate recupera semnalul analog? Sub ce conditii? Exista limitari? Ce parametri influenteaza cel mai mult degradarea?** (2023 var. C)
+<note tip>
+Da. Conditii: semnalul sa fie limitat in banda (sa nu aiba frecvente peste $f_{max}$) si sa fi fost esantionat cu $f_s \geq 2 f_{max}$ (Nyquist). Atunci copiile spectrului nu se suprapun si semnalul se recupereaza exact cu un filtru trece-jos cu taierea la $f_{max}$. Limitari: filtrele reale nu sunt ideale, deci in practica se ia $f_s$ ceva mai mare; cuantizarea adauga o eroare ireversibila. Parametrii care conteaza: frecventa de esantionare $f_s$ (aliasing) si numarul de biti $B$ (eroarea de cuantizare).
+</note>
+**T4. Enuntati criteriul lui Nyquist (teorema esantionarii). Ce este frecventa Nyquist?**
+<note tip>
+Un semnal limitat in banda, cu frecventa maxima $f_{max}$ (in curs notata $W$), poate fi esantionat fara pierdere de informatie daca $f_s \geq 2 f_{max}$. Explicatia: esantionarea copiaza spectrul la fiecare $f_s$, iar pentru $f_s \geq 2 f_{max}$ copiile nu se suprapun. Frecventa Nyquist este $f_s/2$: cea mai mare frecventa care poate fi reprezentata corect la frecventa de esantionare $f_s$.
+</note>
+**T5. Ce se intampla cu spectrul unui semnal cand il esantionam?**
+<note tip>
+Spectrul semnalului esantionat este format din copii (replici) ale spectrului original, asezate la fiecare multiplu de $f_s$: $X(f) = \sum_k c_k S(f - k f_s)$. De aceea, dupa esantionare e de ajuns sa privim intervalul de la $-f_s/2$ la $f_s/2$; restul sunt copii.
+</note>
+**T6. Ce este bandpass sampling? Cand il folosim si ce conditii trebuie respectate?**
+<note tip>
+Este esantionarea unui semnal de banda ingusta $B$, aflat la o frecventa mare $f_c$, cu o frecventa de esantionare mai mica decat cea ceruta de Nyquist ($f_s < 2 f_{max}$). Se bazeaza pe faptul ca esantionarea produce copii la fiecare $f_s$: alegem $f_s$ astfel incat o copie a benzii sa ajunga aproape de 0 fara sa se suprapuna cu copia partii negative. Pasi si conditii: (1) intai un filtru analog trece-banda in jurul lui $f_c$, ca sa eliminam zgomotul; (2) $f_s \geq 2B$; (3) copiile sa nu se suprapuna — banda de dupa esantionare, centrata in $r = f_c \bmod f_s$, trebuie sa stea intre 0 si $f_s/2$ (sau intre $f_s/2$ si $f_s$, caz in care spectrul iese inversat si se corecteaza inmultind cu $(-1)^n$). Il folosim cand convertorul nu poate esantiona la $2 f_{max}$.
+</note>
+**T7. Ce este IQ downconversion si ce avantaj are?**
+<note tip>
+Este mutarea benzii unui semnal din jurul lui $f_c$ in jurul frecventei 0 (in banda de baza), prin inmultire cu $e^{-j2\pi f_c t}$. Rezulta un semnal complex $x = i + jq$, cu $i = s\cos(2\pi f_c t)$ (in faza) si $q = -s\sin(2\pi f_c t)$ (in cuadratura). In practica se face digital: daca banda e la $f_s/4$, inmultirea e cu sirul $[1, -j, -1, j, \dots]$, deci fara calcule. Urmeaza un filtru trece-jos si decimarea. Avantaj: semnalul complex de banda $B$ centrat in 0 poate fi esantionat cu doar $f_s \geq B$ (nu $2B$), deci se poate prelucra cu dispozitive lente, in timp real.
+</note>
+**T8. Ce este decimarea? De ce e nevoie de un filtru inaintea ei?**
+<note tip>
+Decimarea cu factorul $M$ pastreaza un esantion din $M$: $s_M(n) = s(nM)$. Frecventa de esantionare scade la $f_s' = f_s/M$. In spectru, copiile ajung la fiecare $f_s'$, mai dese. Daca semnalul are componente in afara intervalului $[-f_s'/2, f_s'/2]$, ele se suprapun peste banda utila (aliasing). De aceea, inainte de decimare se aplica un filtru trece-jos digital care pastreaza doar banda utila.
+</note>
+**T9. De ce filtrul anti-aliasing trebuie sa fie analog si pus inaintea convertorului?**
+<note tip>
+Pentru ca aliasingul se produce chiar in momentul esantionarii si dupa aceea nu mai poate fi reparat: o frecventa mare ajunsa peste una mica nu mai poate fi deosebita de ea. Un filtru digital lucreaza pe esantioane, deci dupa ce raul s-a facut. Singura solutie e sa eliminam frecventele de peste $f_s/2$ cat semnalul e inca analog.
+</note>
 ----
-**Urmatorul capitol:** [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 — Cuantizare, SNR si decibeli]] (puncte usoare la grile).
+**Urmatorul capitol:** [[ps:cap5-cuantizare-snr-db|Cap 5 — Cuantizare, SNR si decibeli]] (puncte usoare la grile). **Pentru exercitiu pe acest capitol:** [[ps:problema-tip|Problema-tip]] (doua probleme rezolvate cu desen la fiecare pas).